数学实验和数学建模
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22
五、实验任务
1、试制定一张完整的个人住房商业贷款（万元）利率和还款表，贷款期从 一年至二十年，表中应包含以下各项：贷款期（年、月），年利率，月 利率，月还款额和本息总额.注意个人住房十年期贷款的年利率为4.41%， 十年以上贷款年利率不变，仍为4.41%. 2、从还款周期的比较看出，逐月还款比逐年还款付出较少的本息总额，那 么逐周还款情况又将如何？考虑是否有必要采取尽可能短的周期（比如 每日一次）还款?
全国大学生数学建模竞赛
China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling (CUMCM) 宗旨： 创新意识 团队精神 重在参与 与 公平竞争
全国大学生数学建模竞赛网址: www.csiam.edu.cn
在竞赛过程中，学生们的聪明才智和创造精神得到 了充分的发挥，提交了许多出色的答卷，也有力地促进 了高等院校的数学教学改革，充分显示了数学建模竞赛 活动的强大生命力。
x
的数学表达式。
15
3、每月还款一定数额所需时间的计算
在上面的模型中,若
n
x
为已知,求还款的月数
x n 由 a0 (1 r ) [(1 r ) 1] 0 r
变形后两边取自然对数整理得 式中
x (1 r ) 可得 x ra0 x ln( ) x a0 r n ln(1 r )
一、数学实验与建模课的提出
二、数学建模竞赛简介 三、建立数学模型的方法与步骤 四、数学建模实例 五、实验任务
一、数学实验与建模课的提出
１、生活工作的需要
现代社会正经历着由工业社会向信息社会过渡的变革, 信息社会有两个主要的特征：
一是计算机技术的迅速发展与广泛应用； 二是数学的应用范围急剧扩展,几乎社会生活中的每 个领域都有数学的应用。
已知. y 就是银行所说的递减金额.
其中
a0 , r , n
所还本息合计的计算：sn
yi
i 1
n
a0 n 1 a0 a0 r (a0 )r (a0 a0 )r n n 1 n 1 a0 [1+r (1 )r (1 )r ] n n
化简得:
a0 (1 r )
r (a0
i
n a0 (i 1)a0 yi r[a0 ] (i 1, 2, 个月的情况为: n n
n
)
, n)
ra0 这样就得到一个差分方程: y yi yi 1 n
17
用数学模型表示为
a0 y1 ra0 n y y a0 r i i 1 n
21
综合上述检验数据，说明我们所得到的公式比较符合实际情况。
进一步深入思考
细心的读者会发现两者存在着一定的差额，若按贷款10万元12年还 清来计算，则两者相差1千多元，但是上述两种算法都是人民银行许可 的，《金陵晚报》针对此种现象作过报道并引起了央行的重视。同学们 经过分析可以发现在月等额还款中第 i 个月的情况为:
ai ai 1 (1 r ) x
(i 1, 2,
, n)
这样在下一个月还款时不但还了本金及其利息而且还多还了利 息的利息，虽然这个数值很小，但数额一累加就大了，对银行来说 就是一个不小的数目。改进的方法为月借款利率不能是
r0 12 ，而是月利率为 1 r0 1 12
代入上面的数学模型计算可知差额消失，故从消 费者利益出发采用等额本金递减还款法较好。
n 1 sn (1 r )a0 2
18
(三)、模型的检验与应用
现运用 MATLAB 进行编程计算上表各期限的月还款额： a0=10000;％以借款10000元为例 r=[0.0033 0.0033 0.0033 0.003675 0.003675 0.003675];% 月利率 n=[24 36 60 96 120 144];%分别计算2年,3年,5年,8年,10年,12年 x1=a0*r.*(1+r).^n; x2=(1+r).^n-1; x=x1./x2;%月还款额 计算得：x=434.0712 295.0619 183.9848 123.8092 103.2051 89.5572
23
24
其中
, n)
a0 , r , n
已知常数.
２、模型的求解 显然
a2 a1 (1 r ) x
a3 a2 (1 r ) x
a0 (1 r )2 x(1 r ) x
a0 (1 r)3 x(1 r)2 x(1 r) x
14
ak a0 (1 r )k x(1 r )k 1 x(1 r )k 2
黄河水院基础部数学教研室
数学实验与建模课是一种新的教学模式， 是大学数学课程的重要组成部分。 它将数学知识、数学建模与计算机应用三者 融为一体，通过数学实验与建模课程学习，同 学们经过自己动手计算、体验解决实际问题的 全过程，既初步掌握了数学软件的使用，同时 也培养了同学们的创新精神。
§1数学实验与建模的基础知识
n
n
即为每月还
x
元的前提下还清贷款所需的月数.
所还本息合计的计算法
sn nx
16
４、等额本金递减还款法的数学模型
等额本金递减还款法,即每月等额偿还本金与贷款利息之 和，只不过贷款利息遂月递减 一个月后欠银行的本得和为:
第二个月的还款额为: y2 第
a0 ra0 同样为了减少欠款,还了 y1 元,因而: y1 n a0 a0
这些数是怎么算的？对不对？
11
（一）、问题分析
随着经济的发展，金融正越来越多地进入普通人的生活：贷款、保 险、养老金和信用卡等；个人购买住房、汽车是其中重要的一项，大多 数的工薪阶层都会产生按揭贷款购物的想法，但对商家所给出的数据表 了解不多, 现从数学模型的角度来揭开中间的内幕。 首先，我们要弄清楚“按揭”的涵义。所谓按揭，是消费者、商家、 银行之间的一种协定，是消费者因购买资金不足而向银行贷款购物（以 所购物作为抵押），而还款按照约定的时间间隔定期偿还贷款并付息的 一种消费方式。现在的问题是对于不同的还款方式：(1)如何计算各期 还款额.(2)若自己设定一个每月还款数额需还多长时间. (3)还款本息 合计的计算方法.
4.模型求解。
借助 计算机 求出数值解。
5.模型的检验与应用。
9
现实问题
观察、分析 简化、假设
建立模型
收集数据
求解模型
错误
验证模型
正 确
应用
10
四、数学建模实例
开封市住房公积金管理中心提供的测算表(以10000元为例)
贷款利率
贷款 期限 (年 )
1
年利率% 3.96
月利率% 0.33
还款 期数 (月 ) 1
月均等额本息还款法 月均还本 息（元） 还本息合 计（元） 10396
等额本金递减还款法 月还本金 （元） 还本金合 计（元） 10396
2
3 5 8 10 12
3.96
3.96 3.96 4.41 4.41 4.41
0.33
0.33 0.33 0.3675 0.3675 0.3675
24
36 60 96 120 144
x a0 (1 r ) [(1 r ) k 1] r
k
x
, n)
(k 1, 2,
n
再由
an 0 可得
x a0 (1 r ) [(1 r ) n 1] 0 r
解得:
a0 r (1 r )n x (1 r )n 1
上式也就是我们所Fra Baidu bibliotek求的每月应还贷款额
若贷款10000元2年内还清则第一个月还款额为:
a0 y1 ra0 n
代入数据计算得:
10000 y1 10000*0.0033 449.67 24 ra0 y yi yi 1 以后每个月递减 1.3750 n
还本合计:
n 1 sn (1 r )a0 10413 2
这其中必 有数学公式， 哼哼，我 要找出它。。。。
12
（二）、模型的建立与求解
1、 月均等额还款的数学模型 计算每月还款额 一个月后欠银行的本得和为: a0 (1 r ) 式中
a0
表示借款额（即贷款本金）；
r
：借款利率；
但为了减少欠款,设每月还 元,因而一个月后还欠款: a1 a0 (1 r ) x 式中
显然与表中所提供的数据基本吻合。
19
若贷款100000元,每月还500、800、1000元需用的时间
代入
x ln( ) x a0 r n ln(1 r )
得:
n 362,
168,
125
即若贷款10万元， 每个月各还500,800,1000元所对应的时间为362,168,125月
20
对于等额本金递减还款法
自然数学建模与数学实验课同时也走进了大学课堂。
三、建立数学模型的方法与步骤
1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握 必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过 对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必 要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻 划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 ——即 建立数学模型。 在难以得出解析解时，可
x
x
i
表示定期还款额
ai
第
表示第
i
次还款后的欠款（ i 0,1, 2
, n ）其中
n 为还款次数
, n)
个月的情况为: ai ai 1 (1 r ) x
(i 1, 2,
又由常识知道，最后一次还款应该全部还清；故
an 0
13
于是得数学模型（差分方程）:
ai ai 1 (1 r ) x (i 1, 2, an 0
2、人才培养的需要
（1）21世纪培养的各类专业技术人才，应该具有将他所涉及的专业实 际问题建立数学模型的能力，这样才能在实际工作中发挥更大的创造性。
（2）为了培养学生的定量思维能力和创造能力，就必须在数学教育 中培养学生的建模能力与数值计算及数据处理的能力，加强在应用数学方 面的教育。 （3）通过学习本课程使同学们具有应用数学知识解决实际问题的意 识和能力。
434.07
295.06 183.98 123.81 103.21 89.56
10417.68
10622.16 11038.8 1185.76 12385.2 12896.64
416.67
277.78 166.67 104.17 83.34 69.45
10412.2
10610.04 11004.55 11768.41 12205.88 12664.54
二、数学建模竞赛简介
1992 年我国大学生数学建模竞赛开始举办，从最初 的几十所学校、几百个队发展到05年，全国 30 个省 （市、自治区）以及香港各院校３千多个队参赛。 全国大学生数学建模竞赛，是由教育部高等教育司 与中国工业与应用数学学会联合举办的大学生科技活动， 竞赛每年 9月上旬举行，竞赛面向全国本专院校的学生， 不分专业。由 3 位同学组成一个队，在三天的时间里， 团结协作，利用数学知识与计算机知识，建立一个数学 模型，解决一个实际问题，最后提交一篇自己撰写的论 文。
五、实验任务
1、试制定一张完整的个人住房商业贷款（万元）利率和还款表，贷款期从 一年至二十年，表中应包含以下各项：贷款期（年、月），年利率，月 利率，月还款额和本息总额.注意个人住房十年期贷款的年利率为4.41%， 十年以上贷款年利率不变，仍为4.41%. 2、从还款周期的比较看出，逐月还款比逐年还款付出较少的本息总额，那 么逐周还款情况又将如何？考虑是否有必要采取尽可能短的周期（比如 每日一次）还款?
全国大学生数学建模竞赛
China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling (CUMCM) 宗旨： 创新意识 团队精神 重在参与 与 公平竞争
全国大学生数学建模竞赛网址: www.csiam.edu.cn
在竞赛过程中，学生们的聪明才智和创造精神得到 了充分的发挥，提交了许多出色的答卷，也有力地促进 了高等院校的数学教学改革，充分显示了数学建模竞赛 活动的强大生命力。
x
的数学表达式。
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3、每月还款一定数额所需时间的计算
在上面的模型中,若
n
x
为已知,求还款的月数
x n 由 a0 (1 r ) [(1 r ) 1] 0 r
变形后两边取自然对数整理得 式中
x (1 r ) 可得 x ra0 x ln( ) x a0 r n ln(1 r )
一、数学实验与建模课的提出
二、数学建模竞赛简介 三、建立数学模型的方法与步骤 四、数学建模实例 五、实验任务
一、数学实验与建模课的提出
１、生活工作的需要
现代社会正经历着由工业社会向信息社会过渡的变革, 信息社会有两个主要的特征：
一是计算机技术的迅速发展与广泛应用； 二是数学的应用范围急剧扩展,几乎社会生活中的每 个领域都有数学的应用。
已知. y 就是银行所说的递减金额.
其中
a0 , r , n
所还本息合计的计算：sn
yi
i 1
n
a0 n 1 a0 a0 r (a0 )r (a0 a0 )r n n 1 n 1 a0 [1+r (1 )r (1 )r ] n n
化简得:
a0 (1 r )
r (a0
i
n a0 (i 1)a0 yi r[a0 ] (i 1, 2, 个月的情况为: n n
n
)
, n)
ra0 这样就得到一个差分方程: y yi yi 1 n
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用数学模型表示为
a0 y1 ra0 n y y a0 r i i 1 n
21
综合上述检验数据，说明我们所得到的公式比较符合实际情况。
进一步深入思考
细心的读者会发现两者存在着一定的差额，若按贷款10万元12年还 清来计算，则两者相差1千多元，但是上述两种算法都是人民银行许可 的，《金陵晚报》针对此种现象作过报道并引起了央行的重视。同学们 经过分析可以发现在月等额还款中第 i 个月的情况为:
ai ai 1 (1 r ) x
(i 1, 2,
, n)
这样在下一个月还款时不但还了本金及其利息而且还多还了利 息的利息，虽然这个数值很小，但数额一累加就大了，对银行来说 就是一个不小的数目。改进的方法为月借款利率不能是
r0 12 ，而是月利率为 1 r0 1 12
代入上面的数学模型计算可知差额消失，故从消 费者利益出发采用等额本金递减还款法较好。
n 1 sn (1 r )a0 2
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(三)、模型的检验与应用
现运用 MATLAB 进行编程计算上表各期限的月还款额： a0=10000;％以借款10000元为例 r=[0.0033 0.0033 0.0033 0.003675 0.003675 0.003675];% 月利率 n=[24 36 60 96 120 144];%分别计算2年,3年,5年,8年,10年,12年 x1=a0*r.*(1+r).^n; x2=(1+r).^n-1; x=x1./x2;%月还款额 计算得：x=434.0712 295.0619 183.9848 123.8092 103.2051 89.5572
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其中
, n)
a0 , r , n
已知常数.
２、模型的求解 显然
a2 a1 (1 r ) x
a3 a2 (1 r ) x
a0 (1 r )2 x(1 r ) x
a0 (1 r)3 x(1 r)2 x(1 r) x
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ak a0 (1 r )k x(1 r )k 1 x(1 r )k 2
黄河水院基础部数学教研室
数学实验与建模课是一种新的教学模式， 是大学数学课程的重要组成部分。 它将数学知识、数学建模与计算机应用三者 融为一体，通过数学实验与建模课程学习，同 学们经过自己动手计算、体验解决实际问题的 全过程，既初步掌握了数学软件的使用，同时 也培养了同学们的创新精神。
§1数学实验与建模的基础知识
n
n
即为每月还
x
元的前提下还清贷款所需的月数.
所还本息合计的计算法
sn nx
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４、等额本金递减还款法的数学模型
等额本金递减还款法,即每月等额偿还本金与贷款利息之 和，只不过贷款利息遂月递减 一个月后欠银行的本得和为:
第二个月的还款额为: y2 第
a0 ra0 同样为了减少欠款,还了 y1 元,因而: y1 n a0 a0
这些数是怎么算的？对不对？
11
（一）、问题分析
随着经济的发展，金融正越来越多地进入普通人的生活：贷款、保 险、养老金和信用卡等；个人购买住房、汽车是其中重要的一项，大多 数的工薪阶层都会产生按揭贷款购物的想法，但对商家所给出的数据表 了解不多, 现从数学模型的角度来揭开中间的内幕。 首先，我们要弄清楚“按揭”的涵义。所谓按揭，是消费者、商家、 银行之间的一种协定，是消费者因购买资金不足而向银行贷款购物（以 所购物作为抵押），而还款按照约定的时间间隔定期偿还贷款并付息的 一种消费方式。现在的问题是对于不同的还款方式：(1)如何计算各期 还款额.(2)若自己设定一个每月还款数额需还多长时间. (3)还款本息 合计的计算方法.
4.模型求解。
借助 计算机 求出数值解。
5.模型的检验与应用。
9
现实问题
观察、分析 简化、假设
建立模型
收集数据
求解模型
错误
验证模型
正 确
应用
10
四、数学建模实例
开封市住房公积金管理中心提供的测算表(以10000元为例)
贷款利率
贷款 期限 (年 )
1
年利率% 3.96
月利率% 0.33
还款 期数 (月 ) 1
月均等额本息还款法 月均还本 息（元） 还本息合 计（元） 10396
等额本金递减还款法 月还本金 （元） 还本金合 计（元） 10396
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3 5 8 10 12
3.96
3.96 3.96 4.41 4.41 4.41
0.33
0.33 0.33 0.3675 0.3675 0.3675
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36 60 96 120 144
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k
x
, n)
(k 1, 2,
n
再由
an 0 可得
x a0 (1 r ) [(1 r ) n 1] 0 r
解得:
a0 r (1 r )n x (1 r )n 1
上式也就是我们所Fra Baidu bibliotek求的每月应还贷款额
若贷款10000元2年内还清则第一个月还款额为:
a0 y1 ra0 n
代入数据计算得:
10000 y1 10000*0.0033 449.67 24 ra0 y yi yi 1 以后每个月递减 1.3750 n
还本合计:
n 1 sn (1 r )a0 10413 2
这其中必 有数学公式， 哼哼，我 要找出它。。。。
12
（二）、模型的建立与求解
1、 月均等额还款的数学模型 计算每月还款额 一个月后欠银行的本得和为: a0 (1 r ) 式中
a0
表示借款额（即贷款本金）；
r
：借款利率；
但为了减少欠款,设每月还 元,因而一个月后还欠款: a1 a0 (1 r ) x 式中
显然与表中所提供的数据基本吻合。
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若贷款100000元,每月还500、800、1000元需用的时间
代入
x ln( ) x a0 r n ln(1 r )
得:
n 362,
168,
125
即若贷款10万元， 每个月各还500,800,1000元所对应的时间为362,168,125月
20
对于等额本金递减还款法
自然数学建模与数学实验课同时也走进了大学课堂。
三、建立数学模型的方法与步骤
1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握 必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过 对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必 要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻 划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 ——即 建立数学模型。 在难以得出解析解时，可
x
x
i
表示定期还款额
ai
第
表示第
i
次还款后的欠款（ i 0,1, 2
, n ）其中
n 为还款次数
, n)
个月的情况为: ai ai 1 (1 r ) x
(i 1, 2,
又由常识知道，最后一次还款应该全部还清；故
an 0
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于是得数学模型（差分方程）:
ai ai 1 (1 r ) x (i 1, 2, an 0
2、人才培养的需要
（1）21世纪培养的各类专业技术人才，应该具有将他所涉及的专业实 际问题建立数学模型的能力，这样才能在实际工作中发挥更大的创造性。
（2）为了培养学生的定量思维能力和创造能力，就必须在数学教育 中培养学生的建模能力与数值计算及数据处理的能力，加强在应用数学方 面的教育。 （3）通过学习本课程使同学们具有应用数学知识解决实际问题的意 识和能力。
434.07
295.06 183.98 123.81 103.21 89.56
10417.68
10622.16 11038.8 1185.76 12385.2 12896.64
416.67
277.78 166.67 104.17 83.34 69.45
10412.2
10610.04 11004.55 11768.41 12205.88 12664.54
二、数学建模竞赛简介
1992 年我国大学生数学建模竞赛开始举办，从最初 的几十所学校、几百个队发展到05年，全国 30 个省 （市、自治区）以及香港各院校３千多个队参赛。 全国大学生数学建模竞赛，是由教育部高等教育司 与中国工业与应用数学学会联合举办的大学生科技活动， 竞赛每年 9月上旬举行，竞赛面向全国本专院校的学生， 不分专业。由 3 位同学组成一个队，在三天的时间里， 团结协作，利用数学知识与计算机知识，建立一个数学 模型，解决一个实际问题，最后提交一篇自己撰写的论 文。