2020高一升高二预科班衔接教数学精品课程《第1讲集合及其运算》提升训练(附解析)
2020新版-上海-高一数学同步讲义-1.1集合的意义_集合的运算_交集及其运算_B_1
上海-高一数学同步讲义（2020新版）1.1集合的意义集合的运算-交集及其运算-B-1●十年一线教学经验沉淀●每年同步更新●优选全国题目，只为更好地贴合沪教版●四级大纲，按知识点按题型纵横编排●难度A-E五档覆盖不同层次学生●补差、培优、自招全体系覆盖●充分冗余，保证题型全面、保证题量充裕详尽答案、解析、word请联系作者1.1集合的意义-集合的运算-交集及其运算-B-11.设A＝{x|x≤1或x≥3}，B＝{x|a≤x≤a+1}，A∩B＝B，则a的取值范围是．2.若集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{x|mx+1＝0}，若A∩B＝B，则m＝．3.定义集合M与N的新运算如下：M*N＝{x|x∈M∪N，且x∉M∩N}．若M＝{0，2，4，6，8，10，12}，N＝{0，3，6，9，12，15}，则（M*N）*M＝．4.已知集合A＝{x||2x﹣1|＜3}，B＝{x|x2﹣（a+2）x+2a≤0}．（1）若a＝1，求A∩B；（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．5.已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）＝0}，（Ⅰ）是否存在实数a，使B＝{﹣2}？（Ⅱ）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．6.已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a+1}，B＝{x|0＜x＜1}．（Ⅰ）若 ，求A∩B；（Ⅱ）若集合A不是空集，且A∩B＝∅，求实数a的取值范围．7.已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．（1）当a＝3时，求A∩B．（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．8.已知集合A＝{a2，a+1，﹣3}，B＝{a﹣3，2a+1，a2+3}，若A∩B＝{﹣3}，求实数a的值．(Wx:znufewangyang）9.已知A＝{x∈R|x2+2x+p＝0}且A∩{x∈R|x＞0}＝∅，求实数p的取值范围．10.设集合A＝{（x，y）|y＝x2+4x+6}，B＝{（x，y）|y＝2x+a}，问：（1）a为何值时，集合A∩B有两个元素；（2）a为何值时，集合A∩B至多有一个元素．11.已知集合A＝{x|}，B＝{x|p+1≤x＜2p﹣1}，A∩B＝B，求实数p的取值范围．12.已知两个不同集合A＝{1，3，a2﹣a+3}，B＝{1，5，a2+2a}，A∩B＝{1，3}，求a的值及集合A．(Wx:znufewangyang）13.已知集合A＝{x|x2﹣ax+a2﹣19＝0}，B＝{x|x2﹣5x+6＝0}，C＝{x|x2+2x﹣8＝0}（1）当A＝B时，求实数a的值；（2）当A∩C＝∅，但A∩B≠∅时，求实数a的值．14.已知集合A＝{x|x2+2x+p＝0}，B＝{y|y＝x2，x≠0}，若A∩B＝∅，求实数p的取值范围．15.已知集合A＝{x|x2+px﹣3＝0}，集合B＝{x|x2﹣qx﹣p＝0|}，且A∩B＝{﹣1}，求2p+q的值．(Wx:znufewangyang）16.设集合P＝{x|﹣2≤x≤3}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}（1）若P∩Q＝∅，求实数a的取值范围；（2）若P∩Q＝{x|0≤x≤3}，求实数a的取值范围．。
高一数学-高一数学第一章集合与简易逻辑辅导讲义 精品
⊂⊂⊂高一数学第一章集合与简易逻辑辅导讲义第一讲集合【辅导内容】 1、集合2、子集、全集、补集3、交集、并集 【学习内容】 一、集合的概念1、常用数集及其记法。
φ空集 N 非负整数集，自然数集 N +或N +正整数集 Z 整数集Q 有理数集 R 实数集 C 复数集 2、集合中元素的特征确定性；互异性；无序性， 会判断一组对象是否组成集合 3、集合的表示方法 ①列举法②描述法{x| p(x)} 4、集合的分类空集，有限集，无限集 二、子集，全集，补集1、掌握子集，真子集，全集，补集的概念及表示方法2、掌握子集，补集的性质①A ⊆B B ⊆C 则A ⊆C A ≠B B ≠C 则A ≠C②A ⊆BB ⊆A则A=B③Cu(CuA)=A ；CuU=φ，Cu φ=U ，CuA ⊆U ④φ⊆A ，A ⊆A三、交集、并集1、掌握交集、并集的概念及表示方法2、结合文氏图，掌握交集并集的性质①A ∩A=A ，A ∩φ=φA ∪A=A ，A ∪φ=A ②(A ∩B)⊆A ，(A ∩B)⊆B(A ∪B)⊇A ，(A ∪B)⊇B③A ∩B=B ∩A A ∪B=B ∪A ④若A ⊆B 则A ∩B=A 反之也其 若A ⊆B 则A ∪B=B 反之也其 ⑤(A ∩B) ⊆(A ∪B)当且仅当A=B 时，A ∩B= A ∪B⊂⊂3、结合文氏图及数轴会求两集合的交集，并集，补集四、1、理解奇数、偶数的定义，会用集合语言表示奇数集，偶数集、整数集之间的关系2、注意a 与{a}的区别，以及φ，0，{0}的区别。
【例题选讲】例1、已知集合A={x|ax 2+2x+1=0,a ∈R}（1）若A 只有一个元素，试求a 的值，并求出这个元素； （2）若A 是空集，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 取值范围 分析：（1）集合只有一个元素时有两种情形： ①a=0，方程为2x+1=0，只有一个根为21-=x ②当a ≠0时，△=0，即4-4a=0，∴a=1，这时方程有两个相同的实数根x 1=x 2=-1 由①②可知，当a=0或a=1时，A 中只有一个元素，分别为21-或-1 （2）若A 为空集，则必须有⎩⎨⎧<-=∆≠0440a a ，解得a>1。
高中数学 阶段提升课 第一课 集合与常用逻辑用语课件 a高一第一册数学课件
A.-2
B.2
C.2或-2
D.2或4
【解析】选A.因为4∈{ x+2,x2}，
所解以得x=xx-2.224x， 2或xx224， x2，
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2.(2020·青岛高一检测)已知集合(jíhé)A={x|2a-3<x<3a+1}，集合B={x|-5<x<4}. (1)若A⊆B，求实数a的取值范围. (2)是否存在实数a，使得A=B？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
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【方法技巧】 1.集合基本运算的方法 (1)定义法或Venn图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接(zhíjiē)借助定义求解，或把元 素在Venn图中表示出来，借助Venn图观察求解. (2)数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借 助数轴求解.
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3.(2020·济宁高一检测)已知p：∃x∈R，使mx2-4x+2=0为假命题. (1)求实数m的取值集合(jíhé)B. (2)设A={x|3a＜x＜a+2}为非空集合，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值 范围.
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2.(2020·南昌高一检测)已知集合(jíhé)A={x|-2a+3≤x<4a}，B={x|-3≤x+1≤6}. (1)若a=2，求A∩B，(∁RA)∩(∁RB)； (2)若A∩B=A，求a的取值范围.
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暑假衔接班讲义 高中数学
（ ）
A．命题“若 x2 － 3x － 4 ＝ 0，则 x ＝ 4”的逆否命题为“若 x ≠ 4，则 x2 － 3x －
4 ≠ 0”
B．“x ＝ 4”是“x2 － 3x － 4 ＝ 0”的充分条件
C．命题“若 m>0，则方程 x2 ＋ x － m ＝ 0 有实根”的逆命题为真命题
D．命题“若 m2 ＋ n2 ＝ 0，则 m ＝ 0 且 n ＝ 0”的否命题是“若 m2 ＋ n2 ≠ 0，则 m ≠ 0 或 n ≠ 0”
（） D．③④
例4
命题“若 x，y 都是偶数，则 x ＋ y 也是偶数”的逆否命题是 A．若 x ＋ y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数
B．若 x ＋ y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
C．若 x ＋ y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数
D．若 x ＋ y 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
（ ）
第二讲 常用逻辑用语 11
例7
对于命题“任何实数的平方都是非负的”，下列叙述正确的是
A．是全称命题
B．是存在性命题
（）
C．是假命题
D．是“若 p 则 q”形式的命题
例8
设 a, b 是实数，则“a > b”是“a2 > b2”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
A．{0,2}
B．{1,2}
C．{0}
D．{ － 2，－ 1,0,1,2}
第一讲 集合的概念与运算 5
例 8 设 集 合 A ＝ {x| － 1 ≤ x<2}，B ＝ {x|x<a}， 若 A ∩ B ≠ Ø， 则 a 的 取 值 范 围 是 （ ）
A．－ 1<a ≤ 2
预科班讲义 数学 讲师版
（3）3__ __{x|x=n2 +1,n N*}；
5 ______{x|x=n2 +1,n N*}
（4）(-1,1) __ __{y|y=x2}；
（-1,1）__ __{（x，y）|y=x2}
【答案】① ∈ ② ③ ∈ ④_ ∈
例 2. 若集合 A {x ax2 2x 1 0, a R, x R} 中只有一个元素，则 a =___________。
A.0
B.2
C.-1 和 1
D.1 和 0
解析:由集合中元素的互异性知,x2≠1,即 x≠±1.
答案:C
4.若不等式 3-2x<0 的解集为 M,则下列结论正确的是
()
A.0∈M,2∈M
B.0∉ M,2∈M
C.0∈M,2∉ M
D.0∉ M,2∉ M
解析:当 x=0 时,3-2x=3>0,所以 0 不属于 M,即 0∉ M;当 x=2 时,3-2x=-1<0,所以 2 属于 M,即 2∈M.
A.锐角三角形 【答案】：D
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
|题型体系|——题型二元素与集合间的运算|
例 1. 用符号∈或填空：
（1）0______N*；
（2） 2 3 ______ x x 11 ；
2 ______Z；
3 2 ______ x x 0 ；
(-1)0______N*；
例 1. 下列各组对象中，不能组成集合的是 A 所有的正六边形
（） B《数学》必修 1 中的所有习题
C 所有的数学容易题 【答案】：C
D 所有的有理数
例 2. 由下列对象组成的集体属于集合的是
高中数学第一章集合阶段提升课课件北师大版必修
Δ＝0，
②若 B＝{0}，则
所以 a＝－1.
a2－1＝0，
Δ＝0，
③若 B＝{－4}，则
所以无解．
a2－8a＋7＝0，
2（a＋1）＝4，
④当B＝A时，
所以a＝1.
a2－1＝0，
【解析】(1)由a＝1得B＝x|x－2ax－1＝0 ＝x|x－2x－1＝0 ＝1，2 ，
又A＝－2，2 ，所以A∩B＝{2} . (2)由A∪B＝A得B A.当a＝0时，B＝ {2} 符合题意，当a≠0时，由(x－2)(ax－1)
＝0 得ax－2 x－1a ＝0，而B A， 所以a1 ＝2或1a ＝－2，解得a＝12 或－12 ， 所以a的取值集合为－12，0，21 .
②当B中有两个元素时，－a－2＝－4， 即a＝2，此时B＝{1，－4}． 综上可知，a＝－3时，B＝{1}； a＝2时，B＝{1，－4}．
在集合运算过程中应力求做到“三化”：(1)意义化：首先分清集合的类型，是表 示数集、点集，还是某类图形；是表示函数自变量的取值范围、因变量的取值范 围，还是表示方程或不等式的解集． (2)具体化：具体求出相关集合中函数的自变量、因变量的范围或方程、不等式 的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式． (3)直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来，从 而借助数形结合思想解决问题．
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解． (2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取 到等号的情况． (3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合 求解．
题组训练五 集合间的关系与集合运算的综合 1．已知集合A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤4a＋1}，且A∩B＝B，B≠∅，则实数 a的取值范围是( ) A．a≤1 B．0≤a≤1 C．a≤0 D．－4≤a≤1
2024年新高一数学初升高衔接《集合的基本运算》含答案解析
第03讲集合的基本运算，并能够运用这些语言解决集合运算知识点1并集1、并集的概念自然语言一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，读作“A 并B ”符号语言A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }图形语言2、并集的运算性质性质定义A B B A = 满足交换律A A A = 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身A A A∅=∅= 任何集合与空集的并集等于这个集合本身()()A B C A B C = 多个集合的并集满足结合律()A A B ⊆ ,()B A B ⊆ 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集A B ⊆⇔A B B= 任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然知识点2交集1、交集的概念自然语言由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”符号语言A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }图形语言2、交集的运算性质性质定义A B B A = 满足交换律A ∅=∅ 空集与任何集合的交集都是空集A A A= 集合与集合本身的交集仍为集合本身()()A B C A B C = 多个集合的交集满足结合律()()()A B C A C B C = 多个集合的综合运算满足分配律()()()A B C A C B C = 若A B A = ，则A B⊆交集关系与子集关系的转化()(),A B A A B B⊆⊆ 两个集合的交集是其中任一集合的子集知识点3全集与补集1、全集的概念自然语言一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U .符号语言若,,,A U B U C U ⊆⊆⊆ ，则U 为全集.图形语言2、补集的概念自然语言若集合A 是全集U 的一个子集，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作U A ð.符号语言{}U A x x U x A =∈∉且ð图形语言3、补集的运算性质性质定义()U A A U= ð任何集合与其补集的并集为全集()U A A =∅ ð任何集合与其补集的交集为空集()UUA A=痧任何集合补集的补集为集合本身,U U U U=∅∅=痧全集的补集为空集，空集的补集为全集知识点4德摩根律与容斥原理1、德摩根定律：设集合U 为全集，A 、B 为U 的子集，则有（1）()()()U U U A B A B = 痧（2）()()()U U U A B A B = 痧2、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn 图表示两集合的交、并、补。
2024年新高一数学初升高衔接《集合的概念》含答案解析
第01讲 集合的概念模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．通过实例了解集合的含义；2．理解集合中元素的特征；3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用.知识点 1 集合的含义1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a ，b ，c ，…表示．2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A ，B ，C ，…表示．3、对集合概念的理解：（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明．（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．（3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等．知识点 2 元素与集合1、元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ，读作a 属于A ．（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A ，读作a 不属于A ．【注意】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向．2、集合中元素的三大特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合．例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等．（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．3、集合相等：根据集合中元素的无序性，我们可以判断两个集合是否相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。
2020版高中数学高一必修1教案及练习归纳整理03知识讲解集合的基本关系及运算基础
集合的基本关系及运算【学习目标】1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别一些给定集合的子集.在具体情境中,了解空集和全集的含义.2.理解两个集合的交集和并集的含义,会求两个简单集合的交集与并集.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. 【要点梳理】要点一：集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A 是集合B 的部分元素构成的集合,我们说集合B 包含集合A;子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A 是集合B 的子集(subset).记作：A B(B A)⊆⊇或,当集合A 不包含于集合B 时,记作A B,用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)⊆⊇或要点诠释：(1)“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素,即由任意的x A ∈,能推出x B ∈. (2)当A 不是B 的子集时,我们记作“A ⊆B (或B ⊇A )”,读作：“A 不包含于B ”(或“B 不包含A ”). 真子集：若集合A B ⊆,存在元素x ∈B 且x A ∉,则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A)规定：空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系A B B A ⊆⊆且,则A 与B 中的元素是一样的,因此A ＝B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集,记作A A ⊆.要点二：集合的运算 1.并集一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,称为集合A 与B 的并集,记作：A ∪B 读作：“A 并B ”,即：A ∪B ＝{x|x ∈A,或x ∈B}Venn 图表示：要点诠释：(1)“x ∈A,或x ∈B ”包含三种情况：“,x A x B ∈∉但”;“,x B x A ∈∉但”;“,x A x B ∈∈且”. (2)两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地,由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合,叫做集合A 与B 的交集;记作：A ∩B,读作：“A 交B ”,即A ∩B ＝{x|x ∈A,且x ∈B};交集的Venn 图表示：要点诠释：(1)并不是任何两个集合都有公共元素,当集合A 与B 没有公共元素时,不能说A 与B 没有交集,而是A B =∅.(2)概念中的“所有”两字的含义是,不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”,同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”.(3)两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集合. 3.补集 全集：一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.补集：对于全集U 的一个子集A,由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set),简称为集合A 的补集,记作：U U A A={x|x U x A}∈∉；即且；痧补集的Venn 图表示：要点诠释：(1)理解补集概念时,应注意补集U A ð是对给定的集合A 和()U A U ⊆相对而言的一个概念,一个确定的集合A ,对于不同的集合U,补集不同.(2)全集是相对于研究的问题而言的,如我们只在整数范围内研究问题,则Z 为全集;而当问题扩展到实数集时,则R 为全集,这时Z 就不是全集.(3)U A ð表示U 为全集时A 的补集,如果全集换成其他集合(如R )时,则记号中“U ”也必须换成相应的集合(即R A ð).4.集合基本运算的一些结论：A B A A B B A A=A A =A B=B A ⋂⊆⋂⊆⋂⋂∅∅⋂⋂，，，， A A B B A B A A=A A =A A B=B A ⊆⋃⊆⋃⋃⋃∅⋃⋃，，，，U U (A)A=U (A)A=⋃⋂∅，痧 若A ∩B ＝A,则A B ⊆,反之也成立 若A ∪B ＝B,则A B ⊆,反之也成立若x ∈(A ∩B),则x ∈A 且x ∈B 若x ∈(A ∪B),则x ∈A,或x ∈B求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法. 【典型例题】类型一：集合间的关系例 1. 请判断①0{0} ;②{}R R ∈;③{}∅∈∅;④∅{}∅;⑤{}0∅=;⑥{}0∈∅;⑦{}0∅∈;⑧∅{}0,正确的有哪些？【答案】②③④⑧【试题解析】①错误,因为0是集合{}0中的元素,应是{}00∈;②③中都是元素与集合的关系,正确;④⑧正确,因为∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,而④中的{}∅为非空集合;⑤⑥⑦错误,∅是没有任何元素的集合.【总结升华】集合的符号语言十分简洁,因而被广泛用于现代数学之中,但往往容易混淆,其障碍在于这些符号与具体意义之间没有直接的联系,突破方法是熟练地掌握这些符号的具体含义.举一反三：【变式1】用适当的符号填空：(1) {x||x|≤1} {x|x 2≤1};(2){y|y ＝2x 2} {y|y ＝3x 2－1}; (3){x||x|＞1} {x|x ＞1};(4){(x,y)|－2≤x ≤2} {(x,y)|－1＜x ≤2}. 【答案】 (1)＝ (2) (3) (4)【总结升华】区分元素与集合间的关系,集合与集合间的关系.例2.(2015秋 确山县期中)已知A ＝{x ｜x 2―4＝0},B ＝{x ｜ax ―6＝0},且B 是A 的子集. (1)求a 的取值集合M ;(2)写出集合M 的所有非空真子集.【思路点拨】对(1)根据A 集合中的元素,B A ⊆,分类讨论B 的可能情况,再注解a ,写出集合M .根据含有n 个元素的集合的真子集个数是2n －1,求解(2).【答案】(1)M ＝{0,3,－3};(2){0},{3},{－3},{0,3},{0,－3},{3,－3} 【试题解析】(1)A ＝{2,－2}.∵B 是A 的子集,∴B ＝∅,{2},{－2}, ①B ＝∅时,方程ax －6＝0无解,得a ＝0;②B ＝{2}时,方程ax －6＝0的解为x ＝2,得2a －6＝0,所以a ＝3;③B ＝{－2}时,方程ax －6＝0的解为x ＝－2,得－2a －6＝0,所以a ＝－3. 所以a 的取值集合M ＝{0,3,－3}.(2)M ＝{0,3,－3}的非空真子集为{0},{3},{－3},{0,3},{0,－3},{3,－3}【总结升华】本题考查集合的子集问题,含有n 个元素的集合的子集个数是2n ,真子集个数是2n －1;非空真子集个数是2n －2.举一反三：【变式1】已知{},a b A ⊆{},,,,a b c d e ,则这样的集合A 有 个.【答案】7个【变式2】同时满足：①{}1,2,3,4,5M ⊆;②a M ∈,则6a M -∈的非空集合M 有( ) A. 16个 B. 15个 C. 7个 D. 6个 【答案】C【试题解析】3a =时,63a -=;1a =时,65a -=;2a =时,64a -=;4a =时,62a -=;5a =时,61a -=;∴非空集合M 可能是：{}{}{}{}{}{}3,1,5,2,4,1,3,5,2,3,4,1,2,4,5,{}1,2,3,4,5共7个.故选C.【变式3】已知集合A ＝{1,3,a}, B ＝{a 2},并且B 是A 的真子集,求实数a 的取值.【答案】 a ＝－1, a ＝3±或a ＝0【试题解析】∵, ∴a 2∈A, 则有：(1)a 2＝1⇒a ＝±1,当a ＝1时与元素的互异性不符,∴a ＝－1; (2)a 2＝3⇒a ＝3±(3)a 2＝a ⇒a ＝0, a ＝1,舍去a ＝1,则a ＝0综上：a ＝－1, a ＝3±或a ＝0.注意：根据集合元素的互异性,需分类讨论.【高清课堂：集合的概念、表示及关系377430 例2】例3. 设M ＝{x|x ＝a 2＋1,a ∈N ＋},N ＝{x|x ＝b 2－4b ＋5,b ∈N ＋},则M 与N 满足( ) A. M ＝N B. M N C. N M D. M ∩N ＝∅【答案】B【试题解析】当a ∈N ＋时,元素x ＝a 2＋1,表示正整数的平方加1对应的整数,而当b ∈N ＋时,元素x ＝b2－4b ＋5＝(b －2)2＋1,其中b －2可以是0,所以集合N 中元素是自然数的平方加1对应的整数,即M 中元素都在N 中,但N 中至少有一个元素x ＝1不在M 中,即M N,故选B.例 4.已知},,,0{},,,{y x N y x xy x M =-=若M ＝N ,则+++2()(x y x )()1001002y xy +++ ＝ .A .－200B .200C .－100D .0【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手,本题应侧重考虑集合中元素的互异性. 【答案】D【试题解析】由M ＝N,知M,N 所含元素相同.由0∈{0,|x|,y}可知0∈若x ＝0,则xy ＝0,即x 与xy 是相同元素,破坏了M 中元素互异性,所以x ≠0.若x ·y ＝0,则x ＝0或y ＝0,其中x ＝0以上讨论不成立,所以y ＝0,即N 中元素0,y 是相同元素,破坏了N 中元素的互异性,故xy ≠00,则x ＝y,M,N 可写为M ＝{x,x 2,0},N ＝{0,|x|,x}由M ＝N 可知必有x 2＝|x|,即|x|2＝|x| ∴|x|＝0或|x|＝1若|x|＝0即x ＝0,以上讨论知不成立 若|x|＝1即x ＝±1当x ＝1时,M 中元素|x|与x 相同,破坏了M 中元素互异性,故 x ≠1当x ＝－1时,M ＝{－1,1,0},N ＝{0,1,－1}符合题意,综上可知,x ＝y ＝－1∴+++2()(x y x )()1001002y x y +++ ＝－2＋2－2＋2＋…＋2＝0【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征,而找不到题目的突破口.因此,集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点.举一反三：【变式1】设a,b ∈R ,集合b {1,a+b,a}={0,,b}a,则b －a ＝( ) 【答案】2【试题解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：b1{0,,b},0{1,a+b,a}a 0a b=0a∈∈≠∴+，又，∴当b ＝1时,a ＝－1,b{0,b}={0,-1,1}a∴，当b=1a时,∴b ＝a 且a ＋b ＝0,∴a ＝b ＝0(舍) ∴综上：a ＝－1,b ＝1,∴b －a ＝2. 类型二：集合的运算例5.(1)(2014 湖北武汉期中)已知{}22A y y x ==-;{}22B y y x ==-+,则A ∩B ＝( )A.()){}00,,, B.⎡⎣C.[－2,2]D.{(2)设集合M ＝{3,a },N ＝{x |x 2－2x ＜0,x ∈Z},M ∩N ＝{1},则M ∪N 为( ).A. {1,2,a }B. {1,2,3,a }C. {1,2,3}D. {1,3}【思路点拨】(1)先把集合A 、B 进行化简,再利用数轴进行相应的集合运算.(2)先把集合N 化简,然后再利用集合中元素的互异性解题.【答案】(1)C (2)D【试题解析】(1)集合A 、B 均表示构成相关函数的因变量取值范围,故可知：A ＝{y |y ≥－2},B ＝{y |y ≤2},所以A ∩B ＝{y |－2≤y ≤2},选C.(2)由N ＝{x |x 2－2x ＜0,x ∈Z}可得：N ＝{x |0＜x ＜2,x ∈Z}＝{1},又由M ∩N ＝{1},可知1∈M ,即a ＝1,故选D. 举一反三：【变式1】设A 、B 分别是一元二次方程2x 2＋px ＋q ＝0与6x 2＋(2－p)x ＋5＋q ＝0的解集,且A ∩B ＝{21},求A ∪B.【答案】{21, 31,－4} 【试题解析】∵A ∩B ＝{21}, ∴21是方程2x 2＋px ＋q ＝0的解,则有： 0q p 21)21(22=++(1),同理有：6(21)2＋(2－p)·21＋5＋q ＝0(2)联立方程(1)(2)得到：⎩⎨⎧-==.4q ,7p∴方程(1)为2x 2＋7x －4＝0,∴方程的解为：x 1＝21, x 2＝－4, ∴ }4,21{A -=,由方程(2) 6x 2－5x ＋1＝0,解得：x 3＝21, x 4＝31,∴B ＝{21, 31},则A ∪B ＝{21, 31,－4}.【高清课堂：集合的运算377474 例5】【变式2】设集合A ＝{2,a 2－2a,6},B ＝{2,2a 2,3a －6},若A ∩B ＝{2,3},求A ∪B. 【答案】 ｛2,3,6,18｝【试题解析】由A ∩B ＝{2,3},知元素2,3是A,B 两个集合中所有的公共元素,所以3∈｛2,a 2－2a,6｝,则必有a 2－2a ＝3,解方程a 2－2a －3＝0得a ＝3或a ＝－1当a ＝3时,A ＝{2,3,6},B ＝{2,18,3}∴A ∪B ＝{2,3,6}∪｛2,18,3｝＝｛2,3,6,18｝ 当a ＝－1时,A ＝{2,3,6},B ＝{2,2,－9}这既不满足条件A ∩B ＝{2,3},也不满足B 中元素具有互异性,故a ＝－1不合题意,应舍去. 综上A ∪B ＝｛2,3,6,18｝.【高清课堂：集合的运算 377474 例6】例 6. 设全集U ＝{x ∈N ＋|x ≤8},若A ∩(C u B)＝{1,8},(C u A)∩B ＝{2,6},(C u A)∩(C u B)＝{4,7},求集合A,B.【答案】A ＝{1,3,5,8},B ＝{2,3,5,6} 【试题解析】全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}由A ∩(C u B)＝{1,8}知,在A 中且不在B 中的元素有1,8;由(C u A)∩B ＝{2,6},知不在A 中且在B 中的元素有2,6;由(C u A)∩(C u B)＝{4,7},知不在A 中且不在B 中的元素有4,7,则元素3,5必在A ∩B 中.由集合的图示可得A ＝{1,3,5,8},B ＝{2,3,5,6}. 类型三：集合运算综合应用例7.(2014 北京西城学探诊)已知集合A ＝{x |－4≤x ＜2}, B ＝{x |－1≤x ＜3},C ＝{x |x ≥a ,a ∈R}. (1)若(A ∪B )∩C ＝∅,求实数a 的取值范围;(2)若(A ∪B )ÜC ,求实数a 的取值范围.【思路点拨】(1)画数轴;(2)注意是否包含端点.【答案】(1)a ≥3 (2)a ≤－4 【试题解析】(1)∵A ＝{x |－4≤x ＜2}, B ＝{x |－1≤x ＜3},又(A ∪B )∩C ＝∅,如图,a ≥3;(2)画数轴同理可得：a ≤－4.【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算,但其本质是一个定区间,和一个动区间的问题.思路是,使动区间沿定区间滑动,数形结合解决问题.举一反三：【变式1】已知集合P ＝｛x ︱x 2≤1｝,M ＝｛a ｝.若P ∪M ＝P,则a 的取值范围是( ) A.(－∞, －1] B.[1, ＋∞) C.[－1,1] D.(－∞,－1] ∪[1,＋∞) 【答案】C【试题解析】P =｛x ︱11x -≤≤｝又 P M P =, ∴M P ⊆,∴ 11a -≤≤ 故选C.例8. 设集合{}{}222|40,|2(1)10,A x x x B x x a x a a R =+==+++-=∈.(1)若A B B =,求a 的值; (2)若A B B =,求a 的值.【思路点拨】明确A B 、A B 的含义,根据的需要,将其转化为等价的关系式B A ⊆和A B ⊆,是解决本题的关键.同时,在包含关系式B A ⊆中,不要漏掉B =∅的情况.【答案】(1)1a =或1a ≤-;(2)1a =. 【试题解析】 首先化简集合A ,得{}4,0A =-. (1)由AB B =,则有B A ⊆,可知集合B 为∅,或为{}0、{}4-,或为{}0,4-.①若B =∅时,224(1)4(1)0a a ∆=+--<,解得1a <-. ②若0B ∈,代入得21011a a a -=⇒==-或.当1a =时,{}{}2|400,4,B x x x A =+==-=符合题意;当1a =-时,{}{}2|00,B x x A ===⊆也符合题意.③若4B -∈,代入得2870a a -+=,解得7a =或1a =. 当1a =时,已讨论,符合题意;当7a =时,{}{}2|1648012,4B x x x =++==--,不符合题意.由①②③,得1a =或1a ≤-. (2),A B B A B =∴⊆.又{}4,0A =-,而B 至多只有两个根,因此应有A B =,由(1)知1a =.【总结升华】两个等价转化：,AB B A B A B B B A =⇔⊆=⇔⊆非常重要,注意应用.另外,在解决有条件A B ⊆的集合问题时,不要忽视A ≠∅的情况.举一反三：【变式1】(2015 源汇区一模)设A ＝{x ｜x 2＋4x ＝0},B ＝{x ｜x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0},其中x ∈R ,如果A ∩B ＝B ,求实数a 的取值范围.【答案】a ＝1或a ≤－1【试题解析】A ＝{x ｜x 2＋4x ＝0}＝{0,－4}, ∵A ∩B ＝B 知,B A ⊆,∴B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0,－4}或B =∅,若B ＝{0}时,x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有两个相等的根0,则2002(1)001a a +=-+⎧⎨⨯=-⎩,∴a ＝－1,若B ＝{－4}时,x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有两个相等的根－4,则24(4)2(1)4(4)1a a -+-=-+⎧⎨-⨯-=-⎩,∴a 无解, 若B ＝{0,－4}时,x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有两个不相等的根0和－4,则2402(1)401a a -+=-+⎧⎨-⨯=-⎩,∴a ＝1, 当B =∅时,x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实数根,Δ＝[2(a ＋1)]2－4(a 2－1)＝8a ＋8＜0,得a ＜－1,综上,a ＝1或a ≤－1.。
高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(教学案)：第一讲 集合及其运算提升训练
第一讲 集合及其运算一、选择题(每题5分，合计60分)8. 已知2{1,},{1,}M y y x x R P x x a a R ==-∈==-∈,则集合M 与P 的关系是( )A. M=PB. P R ∈ C . M ⊂≠P D. M ⊃≠P9. 设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6 10. 设全集{(,),},I x y x y R =∈集合3{(,)1},{(,)1}2y M x y N x y y x x -===≠+-,那么()()I I C M C N ⋂等于 （ ）A. ∅B.{(2,3)}C. (2,3)D.{(,)1}x y y x ≠+11. 设U 为全集,集合A 、B 、C 满足条件A B A C ⋃=⋃，那么下列各式中一定成立的是（ ） A.A B A C ⋂=⋂ B.B C =C. ()()U U A C B A C C ⋂=⋂D. ()()U U C A B C A C ⋂=⋂12.2{60},{10}A x x x B x mx =+-==+=,且A B A ⋃=,则m 的取值范围是( )A.11{,}32-B. 11{0,,}32--C. 11{0,,}32-D. 11{,}32二、填空题（共4题，每题4分，计16分）13/ 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =，则C 的非空子集的个数为 /14/ 若集合{}|37A x x =≤<{}|210B x x =<<，则A B =_____________/15.设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 /16/已知知{}{}221,21A y y x x B y y x ==-+-==+，则A B =_________/三、解答题（共6题，合计74分）17/ （原创）（本题满分12分）某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，求该班既爱好体育又爱好音乐的人数/18. （本题满分12分）已知集合A=()(){}222110y y a a y a a -++++> ， B=215,0322y y x x x ⎧⎫=-+≤≤⎨⎬⎩⎭，A∩B=φ，求实数a 的取值范围.19/ 已知A=｛x ︱x 2-3x+2=0｝，B=｛x ︱ax －2=0｝，且满足B A ⊆,求实数a的取值范所组成的集合C /20/（本题满分12分）已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若A∩B=｛－3｝，求实数a 的值21.（本题满分12分）设}01)1(2|{},04|{222=-+++==+=a x a x x B x x x A ，若B B A =⋂，求a 的值22.（本题满分14分）已知集合A={|}x y =使，集合B={|}y y =使 ，A=B 是否可能成立？如可能成立，求出使A=B 的a 的取值范围，如不可能成立，说明理由.第一章 集合全章检测参考解析 一、选择题：1/ 答案： C 解析：主要考察元素的确定性； 2/ 答案： D解析： 选项A 所代表的集合是{}0并非空集，选项B 所代表的集合是{}(0,0)并非空集，选项C 所代表的集合是{}0并非空集，选项D 中的方程210x x -+=无实数根；3/ 答案： D 解析： 当0m =时，,B φ=满足AB A =，即0m =；当0m ≠时，1,B m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭而A B A =，∴11111m m=-=-或，或；∴1,10m =-或； 4/ 答案： A解析： 阴影部分完全覆盖了C 部分，这样就要求交集运算的两边都含有C 部分； 5/ 答案： D 解析：由元素的互异性a b c ≠≠可得答案； 6/ 答案： C解析：由{}0,1,3A =，其真子集有3217-=/7. 答案： A解析： （1）最小的数应该是0，（2）反例：0.5N -∉，但0.5N ∉（3）当0,1,1a b a b ==+=,（4）元素的互异性8.答案： A 解析：由x 2≥0，而︱a ︱≥0,则M=P . 9. 答案：B解析：分别取P 、Q 为两个非空实数集中的元素相加，可知所得的结果有8个。