高一数学预科班第一次课教学内容
高一数学必修一人教版暑假预科资料
高一数学必修一人教版暑假预科资料暑假是学生们进行自主学习的好时机，对于高一学生来说，暑假预科是很重要的一部分。
高一数学必修一是高中数学的第一个学期，它主要涉及到集合与逻辑、函数与方程、数列与数学归纳法以及三角函数。
下面我将结合教材内容为大家提供一些学习资料和学习方法，希望能帮助到大家。
首先，我们先来了解一下高一数学必修一的教材内容。
这本教材共分为六个单元，分别为：集合与逻辑、函数与方程、数列与数学归纳法、三角函数、数据的收集与统计及统计图与图形。
每个单元都有详细的知识点和例题，通过学习这些内容，可以掌握基本的数学概念和解题技巧。
接下来，我将为大家介绍一些学习资料和学习方法。
1.课本和习题册：课本是最基本的学习资料，建议大家认真阅读教材内容，并多做习题。
通过课本和习题册的练习，可以帮助巩固基本的数学知识，并提高解题能力。
2.网络资源：现在网络上有很多数学学习资源可以供大家参考和学习。
可以通过搜索引擎查找相关的数学学习网站，如有道数学、小猴数学等，这些网站提供了大量的数学知识和解题方法，可以帮助大家更好地理解和掌握数学知识。
3.老师和同学：在学习过程中，可以向老师请教问题，向同学讨论解题方法。
与他人的交流和讨论可以帮助加深对数学知识的理解，并且也可以从他人的解题方法中学习到更多的技巧和思路。
4.做题技巧：在解题过程中，可以注意以下一些技巧：-仔细阅读题目，理解题意；-对于有条件的题目，可以构建方程或者不等式来解题；-注意符号的运用，要清楚各个符号的含义；-多画图或者列表来理清思路，简化解题过程；-对于较长的计算题，可以使用计算器进行计算以节省时间。
通过以上的学习资料和学习方法，相信大家能够更好地进行高一数学必修一的暑期预科学习。
但是记住，只有不断的练习和实践才能真正掌握数学知识，所以要在暑假期间制定一个合理的学习计划，并坚持下去。
最后，祝愿大家在高一数学必修一的学习中有所收获，进一步提升自己的数学水平！。
高一数学教学第一课
高一数学教学第一课一、教学任务及对象1、教学任务本节课是针对高一新生开设的数学教学第一课，旨在引领学生从初中数学过渡到高中数学，初步建立高中数学的知识体系。
教学任务主要包括：回顾初中数学的重要概念和方法，介绍高中数学的学习内容和学习方法，激发学生对数学学科的兴趣，培养学生严密的逻辑思维能力和解决问题的能力。
2、教学对象本节课的教学对象为高一年级新生，他们在初中阶段已经掌握了基本的数学知识和技能，但高中数学的深度和广度都有所增加，学生在学习过程中可能会遇到一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，因材施教，帮助他们在数学学科上取得更好的成绩。
此外，由于是新生，他们对新环境和新同学还不太熟悉，因此，在教学过程中，还要注重培养学生的合作意识和团队精神，使他们尽快适应高中生活。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握高中数学的基本概念、定理和公式，为后续学习打下坚实基础。
（2）掌握数学问题的分析方法，提高解题能力，特别是代数、几何和概率统计等方面的应用。
（3）学会运用数学软件或工具，如几何画板、计算器等，辅助解决数学问题，提高数学学习效率。
（4）培养良好的数学学习习惯，如预习、复习、整理笔记等，形成系统的知识体系。
2、过程与方法（1）通过自主探究、合作学习和教师引导，培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
（2）运用启发式教学法，引导学生主动发现问题和解决问题，提高学生的自主学习能力。
（3）采用案例分析法，将实际生活中的问题引入课堂，让学生了解数学知识在实际中的应用，增强数学学习的实用性。
（4）注重数学思想方法的渗透，如数形结合、化归思想等，提高学生数学素养。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣和热情，使其树立正确的数学观，认识到数学在科学发展和国家建设中的重要作用。
（2）培养学生严谨、细致的学习态度，勇于克服困难，善于发现问题和解决问题。
（3）培养合作精神和团队意识，使学生学会倾听、沟通、协作，形成良好的集体氛围。
高一预科课程设计
高一预科课程设计一、教学目标本课程旨在为高一新生提供预科数学知识的学习，通过本课程的学习，学生应达到以下教学目标：1.知识目标：–掌握函数、导数、积分等基本概念；–理解函数的图像和性质，能够运用函数解决实际问题；–掌握三角函数的基本性质和公式，能够解决三角函数相关问题；–掌握指数函数、对数函数的基本性质和公式，能够解决相关问题；–掌握数列的基本性质和求和公式，能够解决数列相关问题。
2.技能目标：–能够运用数学符号和语言表达数学概念和问题；–能够运用数学方法解决实际问题，具备一定的数学建模能力；–能够运用数学软件或工具进行数学计算和作图。
3.情感态度价值观目标：–培养学生对数学的兴趣和好奇心，激发学生的学习动力；–培养学生的团队合作意识和沟通能力；–培养学生的批判性思维和创新能力。
二、教学内容根据教学目标，本课程的教学内容主要包括以下几个方面：1.函数与极限：介绍函数的基本概念和性质，理解函数的图像，掌握函数的求导和积分方法，解决函数相关问题。
2.三角函数：掌握三角函数的基本性质和公式，能够解决三角函数相关问题，如解三角形、三角恒等式等。
3.指数函数与对数函数：掌握指数函数和对数函数的基本性质和公式，能够解决相关问题，如增长率和对数方程等。
4.数列：掌握数列的基本性质和求和公式，能够解决数列相关问题，如等差数列、等比数列等。
三、教学方法为了实现教学目标，本课程将采用多种教学方法，包括：1.讲授法：教师通过讲解和解释数学概念和公式，帮助学生理解和掌握相关知识。
2.案例分析法：通过分析和解决实际问题，培养学生的数学应用能力和解决问题的能力。
3.小组讨论法：通过小组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
4.实验法：利用数学软件或工具进行数学计算和作图，培养学生的实验操作能力和数学思维能力。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本课程将使用以下教学资源：1.教材：选用适合高一新生预科水平的数学教材，如《高中数学预科教程》等。
2012高一预科数学教案精选范文
2012高一预科数学教案 (精选范文)第一课解题能力训练1.求下列方程的解.(1)3x?4x?4?0(2)x?3x?6?0(3)｜2x＋5｜=3(4)｜3x－5｜＋｜x＋1｜＝1 222.解下列不等式(1).x2?2x?3?0(3)(5)｜2x－1｜一｜x一2｜＜0(7)x?32x?1?03.不等式?x?3的解集为（A.?3,???；B.?3,???；4.不等式(x?2)(1?x2)?0的解集是（A．(??,?1）?(1,??)C．(?1,1)(2)(4).｜2x＋5｜＞7 (6)｜3x－5｜＋｜x＋1｜≥3 (8)x?32x?1?1 ） C.??2,5?；D.?3,5? ） B．(??,?1]?[1,??) D．[?1,1]6.一元二次方程x?3x?2?m有解，求m的取值范围7.一元二次方程2x?3x?5?m恒成立，求m的取值范围 22第二课集合的含义与表示（一）阅读教材复习问题问题1：在小学和初中我们学过哪些集合？（数集，点集）（如自然数的集合，有理数的集合，不等式x?7?3的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等）。
（二）讲授新课（1）含义：一般地，我们把某些指定的对象集在一起就成为一个集合(set)（简称为）。
这此对象统称为元素（element）。
说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。
（2）表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C?表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c?表示。
2.集合的表示方法1. 列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号里的方法.说明： 2.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共属性描述出来, 写在大括号里的方法)。
A={x∣p}，其中竖线前x叫做此集合的代表元素；p叫做元素x所具有的公共属性；A={x∣p}表示集合A是由所有具有性质P的那些元素x组成的，即若x具有性质p，则x?A；若x?A,则x具有性质p。
高一预科第一讲
第 1 页 共 3 页第一讲 集合知识点1.集合的定义及表示；2.常见的集合的表示；3.集合中元素的性质；4.元素与集合的关系；4.集合的运算；5.集合关系的转化注意事项1、集合中的元素的三个性质，特别是无序性和互异性，在解题时经常用到。
解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化。
2、对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意等号单独考察。
3、对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图。
这是数形结合思想的又一体现。
空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏掉。
在A B ⊆、=A B B 、A B A =、A B =∅、A B =中容易忽视∅，预防的方法是分类讨论。
4、解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系。
5、解答集合题目，认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件。
6、韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心。
7、要注意A B ⊆、A B A =、=A B B 、U U A B ⊇痧、()U A B =∅ð这五个关系式的等价性。
典型例题【例1】集合A ={0,2,a }，B ={1,a 2}，若A B ={0，1，2，4，16}，则a 的值为（ ）A.0B.1C.2D.4【例2】已知集合A ={x |0<ax +1≤5}，集合B =1{|2}2x x -<≤，⑴若A B ⊆，求实数a 的取值范围；⑵若B A ⊆，求实数a 的取值范围；⑶A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能， 试说明理由。
【例3】已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2,}B x x a a A ==∈,求集合()U A B ð中元素的个数。
预科班高一数学课件：1.1.1《集合的含义与表示》(新人教A版必修1)
列举法表示集合：如果一个集合是有限集，元素又不
太多，常常把集合的所有元素一一列举出来，写在花括号 内表示这个集合。 注意 (1)元素个数多且有限又有规律时，可以列举部分，中间用 省略号表示，例如“从1到1000的所有自然数”可以表示为 {1,2,3…,1000} (2)元素个数无限但有规律时，也可以类似用省略号列举， 例如“自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…,n…}”
B.2
C.3
D.4
【解析】 ∵π是实数，是无理数， ∴①②正确，N＋表示正整数集，而0不是正整数； |－4|是正整数，∴③④错误. 【答案】 B 集合的表示
知识探究（四） 思考：所有的自然数，正整数，整数，有理数，实 数能否分别构成集合？
自然数集，正整数集，整数集，有理数集，实数 集等一些常用数集，分别用下列符号表示：
如果令a2=1，0或a 解方程求a
检验得x值
根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能 的值，再根据集合中元素的特性对集合中的元素进行检验，特别是
互异性，最易被忽略.另外，在利用集合中元素的特性解题时要注意
分类讨论思想的运用.
即时练习
1.若集合M中含有三个元素-2, 3 x 2∈M，求x的值
X=-3或x=2
2
3x 4
， x
2
x4
，且
2.设A是满足x<6的所有自然数组成的集合，若a∈A， 且3a∈A，求a的值
a=1
设集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}. 若a∈A，b∈B，试判断a＋b与A，B的关系.
【思路点拨】 因为A是偶数集，B是奇数集， 所以a是偶数，b是奇数从而a＋b是奇数. 【解析】 ∵a∈A，∴a＝2k1(k1∈Z). ∵b∈B，∴b＝2k2＋1(k2∈Z). ∴a＋b＝2(k1＋k2)＋1. 又∵k1＋k2∈Z，
最新高一数学暑假预科讲义 第1讲预科集合基础版教师版
第一讲集合的概念与表示考点1：集合的概念【知识点的认识】1.(1)集合的含义：集合是一定范围的,确定的,可以区别的事物,当作一个整体来看待,就叫做集合,简称集,其中各事物叫做集合的元素或简称元,是具有某种特定性质的事物的总体．(2)一般情况下,集合用英文大写字母,,,a b c表A B C表示．元素用英文小写字母,,,示；(3)不含任何元素的集合叫做空集,记作∅．2．元素与集合的关系：∈；如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作a A∉．如果a不是集合A中的元素,就说a不属于A,记作a A3．某些常见的数集(数集即元素是数的集合)的写法：4①确定性：集合中的元素是确定的,不能模棱两可．②互异性：集合中的元素是互不相同的,相同的元素在集合中只能算作一个．③无序性：集合中的元素是无次序关系的．题型一：判断能否构成集合例1：下列研究对象能否构成一个集合？如果能,采用适当的方式表示它．(1)小于5的自然数；(2)某班所有个子高的同学；(3)不等式2x+1＞7的整数解．【解答】:(1)小于5的自然数为0,1,2,3,4,元素确定,所以能构成集合．为{0,1,2,3,4}．(2)个子高的标准不确定,所以集合元素无法确定,所以不能构成集合．(3)由2x +1＞7得x ＞3,因为x 为整数,集合元素确定,但集合元素个数为无限个,所以用描述法表示为{x |x ＞3,且x ∈Z }．例2.(1)(2018秋•兴庆区校级期末)下面给出的四类对象中,能组成集合的是( ) A ．高一某班个子较高的同学 B ．比较著名的科学家 C ．无限接近于4的实数D ．到一个定点的距离等于定长的点的全体【解答】解：选项A ,B ,C 所描述的对象没有一个明确的标准,故不能构成一个集合, 选项D 的标准唯一,故能组成集合． 故选：D ．(2)(2018秋•玉山县校级月考)下列给出的命题正确的是( ) A ．高中数学课本中的难题可以构成集合 B ．有理数集Q 是最大的数集 C ．空集是任何非空集合的真子集 D ．自然数集N 中最小的数是1【解答】解：A 、难题不具有确定性,不能构造集合,故本选项错误；B 、实数集R 就比有理数集Q 大,故本选项错误；C 、空集是任何非空集合的真子集,故本选项正确；D 、自然数集N 中最小的数是0,故本选项错误；故选：C ．题型二：元素与集合关系例3.用∈,∉填空．①1-___N ；②3-___*N ；③12__Z ；④3.14___Q ___Q ；⑥2-___R ；⑦π___R ；【解答】∉；∈；∉；∈；∉；∈；∈．例4.(1)(2018秋•泸州期末)下列关系中,正确的是( )A ．0N +∈B ．32Z ∈C ．Q π∉D ．0∈∅【考点】12：元素与集合关系的判断 【解答】解：选项:0A N +∉,错误；选项C ,Q π∉,正确； 选项D ,0∉∅,错误； 故选：C ．(2)(2018秋•兴庆区校级期末)下列元素与集合的关系表示正确的是( )①*0N ∈； Z ； ③32Q ∈； ④Q π∈A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【解答】解：①0不是正整数,*0N ∴∈错误；④π是无理数,Q π∴∈错误；∴表示正确的为②③．故选：B ．题型三：元素的性质例5.(1)(2016秋•昌江区校级期末)若集合中三个元素为边可构成一个三角形,则该三角形一定不可能是( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【解答】解：若集合中三个元素为边可构成一个三角形, 则由集合元素的互异性可得,三个元素互不相等, 故该三角形一定不可能是等腰三角形, 故选：D ．(2)若221x x +，，是一个集合中的三个元素,实数x 应满足什么条件？ 【解答】1x ≠±且2x ≠．(3)(2017秋•莲湖区校级月考)以实数x ,x -,||x ( )个元素． A ．0B ．1C ．2D ．3故选：C ．(4)下列叙述中正确的个数是( )①若a -∈Z ,则a ∈Z ；②若a -∉N ,则a ∈N ；③a ∈Z ,若a -∉N ,则a ∈N ；④a ∈Z ,若a ∈N ,则a -∉N ． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解答】C ．考点2：集合的表示法——列举法与描述法5．集合的表示法⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表,其它元素用省略号表示,并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法．例如：{12345}，，，，,{12345}，，，，，． ⑵ 描述法(又称特征性质描述法)：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法,形如{|()}x A p x ∈,()p x 称为集合的特征性质,x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围,有时也写为{|()}x p x x A ∈，． 例如：大于3的所有整数用描述法表示为{|3}x x ∈>Z ． 方程260x x +-=的实根用描述法表示为2{|60}x x x ∈+-=R ．题型四：集合的表示方法例6.(1)将下列用描述法表示的集合用列举法表示出来：①2{|10}A x x =∈-=R ；②2{|10}B x x =∈-=Z ；③2{|10}C x x =∈-=N ； ④22{()|0}D x y x y =+=，；⑤{()|1E x y y x ==-，，且2}y x =． 【解答】①{11}-，；②{11}-，；③{1}；④{(00)}，；⑤{(12)}--，． (2)用通俗的语言(即自然语言)描述下面集合表示的含义：①{|21}x x k k ∈=-∈R Z ，；②{|2}x x k k ∈=∈R Z ，；③21()|y x x y y x ⎧⎫=+⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎪⎪⎩⎩⎭， 【解答】①由所有的奇数构成的集合；②由所有的偶数构成的集合；③直线与抛物线的交点．例7.(1)(2017秋•内蒙古期末)下列集合表示正确的是( ) A ．{2,4}B ．{2,4,4 }C ．{1,3,3}D ．{漂浪女生}【解答】解：在A 中,{2,4}表示集合,正确； 在B 中,{2,4,4}不满足集合中元素的互异性,错误； 在C 中,{1,3,3}不满足集合中元素的互异性,错误； 在D 中,{漂浪女生},不满足集合中元素的确定性,错误． 故选：A ．(2)(2017秋•桂林期末)集合2{|}A x x x ==中所含元素为( ) A ．0,1B ．1-,1C ．1-,0D ．1【解答】解：根据题意,20x x x =⇒=或1, 则{0A =,1},其中的元素为0、1, 故选：A ．(3)(2018秋•南康区校级月考)把集合2{|450}x x x --=用列举法表示为( ) A ．{1x =-,5}x =B ．{|1x x =-或5}x =C ．2{450}x x --=D ．{1-,5}【解答】解：根据题意,解2450x x --=可得1x =-或5, 用列举法表示可得{1-,5}； 故选：D ．(4)(2018秋•江岸区校级月考)下列叙述正确的是( ) A ．方程2210x x ++=的根构成的集合为{1-,1}-B ．{}22102030x x R x x Rx ⎧+>⎫⎧⎪⎪∈+==∈⎨⎨⎬+<⎪⎪⎩⎩⎭C ．集合{(,)|5M x y x y =+=,6}xy =表示的集合是{2,3}D ．集合{1,3,5}与集合{3,5,1]是不同的集合 【解答】解：选项A ：集合中的元素互异,故错误；误,选项D ：元素相同即集合相等,故错误． 故选：B ．例8.(1)(2018•江西二模)设集合{1A =,2,3},{2B =,3,4},{|M x x ab ==,a A ∈,}b B ∈,则M 中的元素个数为( ) A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：集合{1A =,2,3},{2B =,3,4}, {|M x x ab ==,a A ∈,}b B ∈, {2M ∴=,3,4,6,8,9,12}．M ∴中的元素个数为7．故选：C ．(2)(2017•陆川县校级模拟)已知集合{0A =,1,2},{|B z z x y ==+,x A ∈,}y A ∈,则(B =)A ．{0,1,2,3,4}B ．{0,1,2}C ．{0,2,4}D ．{1,2}【解答】解：{0A =,1,2},{|B z z x y ==+,x A ∈,}y A ∈,①当0x =,0y =；1x =,1y =；2x =,2y =时,0x y +=,2,4, ②当0x =,1y =；1x =,2y =时,1x y +=,3, ③当1x =,0y =；2x =,1y =时,1x y +=,3, ④当0x =,2y =时,2x y +=, ⑤当2x =,0y =时,2x y +=,综上,集合B 中元素有：{0,1,2,3,4}． 故选：A ．考点3：集合的表示法——图示法与区间表示法⑶ 图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合,这个区域通常叫做维恩(Venn)图．图示法常用在表示集合的相互关系与运算中．⑷ 区间表示法：设a b ∈R ，,且a b <,实数a 与b 都叫做相应区间的端点；“+∞”读作“正无穷大”, “-∞”读作“负无穷大”．实数集R 也可以用()-∞+∞，表示． 例10.将下面的集合表示成区间：(1){|12}x x -<≤；(2){|240}x x ->；(3){|420}x x -≥． 【解答】⑴(12]-，；⑵(2)+∞，；⑶(2]-∞，． 例11.把下列集合表示成区间(1){|1}x x ≤；(2)2{|2}y y x x =-+；(2)2{|22111}y y x x x =++-<<，．课后综合巩固1.(2018秋•玉山县校级月考)下列给出的命题正确的是( )A ．高中数学课本中的难题可以构成集合B ．有理数集Q 是最大的数集C ．空集是任何非空集合的真子集D ．自然数集N 中最小的数是1【解答】解：A 、难题不具有确定性,不能构造集合,故本选项错误；B 、实数集R 就比有理数集Q 大,故本选项错误；C 、空集是任何非空集合的真子集,故本选项正确；D 、自然数集N 中最小的数是0,故本选项错误；故选：C ． 2.用∈,∉填空．①1-___N ；②3-___*N ；③12__Z ；④3.14___Q ___Q ；⑥___R ；⑦π___R ；【解答】∉；∈；∉；∈；∉；∈；∈．3.(2017秋•莲湖区校级月考)以实数x ,x -,||x ()个元素． A ．0B ．1C ．2D ．3故选：C ．4.(2017•陆川县校级模拟)已知集合{0A =,1,2},{|B z z x y ==+,x A ∈,}y A ∈,则(B =)A ．{0,1,2,3,4}B ．{0,1,2}C ．{0,2,4}D ．{1,2}【解答】解：{0A =,1,2},{|B z z x y ==+,x A ∈,}y A ∈,。
(推荐)高一数学预科班第一次课
第一节集合的含义与关系知识点： (1)集合：某些指定的集在一起就成为一个集合．常用大写字母A、B、C等来表示．(2)常用的数集及记法：①非负整数集(自然数集)全体非负整数的集合．记作．②正整数集：非负整数集内排除0的集合．记作③整数集：全体整数的集合．记作④有理数集：全体有理数的集合．记作⑤实数集：全体实数的集合．记作(3)元素及元素与集合的关系：元素：集合中的每个叫做这个集合的元素．常用小写字母a，b，c，……来表示．如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作a A，否则a A．(4)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号“｛｝”内，元素与元素之间用“，”分开，这样的表示方法叫列举法．(5)描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法．(6)有限集：含有有限个元素的集合叫有限集．(7)无限集：含有无限个元素的集合叫无限集．（8）集合中的元素必须具有三大特性“”．①：是指集合中的元素必须是确定的，即任何一个对象都能判断它是或不是某个集合的元素，二者必居其一．如“接近于0的实数”接近由于没有一个确定的界性，故0．001是否属于这个集合不能判断，所以这不能组成一个集合．②：是指集合中的元素互不相同，即同一个集合中不能出现同一个元素两次，如：｛1，0，a2｝表示一个集合，则 a≠±1．③：集合中的元素无先后顺序，如｛1，2｝与｛2，1｝是同一个集合．二、集合间的基本关系1 子集：对于集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作：A B(或B A)，图1—1所示表示：这时我们也说集合A是集合B的子集．2 集合的相等：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素．我们说集合A等于集合B，记作：A＝B．即对于集合A，B，如果A B，同时B A，那么A＝B．B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A 3．真子集：对于两个集合A与B，如果AB(或B A)．4．空集是5 知识拓宽含有n 个元素的集合有几个子集？问：∈与⊆的区别是什么？［例1］若A ＝｛a ，b ｝；B ＝｛x ｜x ∈A ｝，则集合A 与集合B 的关系是( )A ．B ⊆A B ．B AC ．B ∈AD ．B ∉A［例2］已知A ＝{x|x ＜－1或x ＞2}，B ＝{x|4x ＋p ＜0}，当A ⊇B 时，求实数p 的取值范围．答案：p ≥4［例3］下列集合中表示空集的是( )A ．{x ∈R|x ＋5＝5}B ．{x ∈R|x ＋5＞5}C ．{x ∈R|x 2＝0}D ．{x ∈R|x 2＋x ＋1＝0}一、选择题1．在“①很大的有理数；②方程x 2＋1＝0的实数根；③直角坐标平面的第二象限的一些点；④所有等腰直角三角形”中，能够表示成集合的是A ．②B ．②③④C ．②④D ．①②③④答案C 提示：因为“大”“一些”没有具体的界线．2．方程组⎩⎨⎧=-=+13y x y x 的解集是 A ．｛2，1｝ B ．｛x ＝2，y ＝1｝ C ．｛(2，1)｝ D ．｛(x ，y)｜(2，1)｝答案D 提示：因为⎩⎨⎧=-=+1y x 3y x 的解为⎩⎨⎧==1y 2x 写成集合的形式为｛(x ，y)｜(2，1)｝．3．下列四个关系式中，正确的是A ．集合N 中最小元素为1B ．0.7∈QC ．｛a ｝∈｛a ，b ｝D ．｛a ｝∈a答案B4．下列各题中的M 与P 表示同一个集合的是A ．M ＝｛(1，－3)｝ P ＝｛(－3，1)｝B ．M ＝{3，4} P ＝｛（3，4）｝C ．M ＝｛y ｜y ＝x 2＋1，x ∈R ｝ P ＝｛(x ，y)｜y ＝x 2＋1，x ∈R ｝D ．M ＝｛y ｜y ＝x 2＋1，x ∈R ｝ P ＝｛t ｜t ＝(y －1)2＋1，y ∈R ｝答案D 提示：因为(1，－3)与(－3，1)是不同的点，而C 中M 是数集，P 是点集．二、填空题5．设21∈｛x ｜x 2－ax －25＝0｝，则a ＝_________．答案－29 提示：由题意知21是x 2－ax －25＝0的一个根，所以，252141--a ＝0，所以a ＝－296．设A ＝｛x ｜x ＝2k ，k ∈Z ｝，B ＝｛x ｜x ＝2k －1，k ∈Z ｝，C ＝｛x ｜x ＝4k ＋1，k ∈Z ｝，a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ∈_________．填(A 或B 或C)答案B 提示：因为A 是偶数集，B 是奇数集．∴a ＋b 是奇数．即a ＋b ∈B ．7．｛n ｜5n是整数，｜n ｜≤20｝＝_________．答案 提示：｛n ｜5n是整数，｜n ｜≤20｝＝｛－20，－15，－10，－5，0，5，10，15，20｝三、解答题8．若－3∈｛a 2－2a －3，2a 2－a －4，a 2＋1｝，求实数a 的值构成的集合．答案解：∵－3∈｛a 2－2a －3，2a 2－a －4，a 2＋1｝．∴a 2－2a －3＝－3或2a 2－a －4＝－3．∴a ＝0，2，1，－21．经检验a ＝0，2，1，－21均合题意．∴a 的值构成的集合为｛0，2，1，－21｝．【同步达纲练习】一、选择题1．下列关系不正确的是A ．R ⊆QB ．R ⊇ZC ．N ⊆ND ．Z ⊆Q2．设集合A ＝｛x ｜x ≤10｝，a ＝3，则A ．a AB ．a ∉AC ．｛a ｝∈AD ．｛a ｝A3．设M ＝｛x ｜x ＞}31，则①0⊆M ，②∅⊆M ，③｛0｝M ，④｛31｝M ，其中正确命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．44．集合M＝｛y｜y＝x2－2x－1，x∈R｝，N＝｛x｜－2≤x≤4，x∈R｝，则M与N的关系是A．M＝N B．M N C．M N D．无法确定5.下面四个命题正确的是:A．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 B 空集是任何集合的子集C．空集有真子集 D．∅={0}二、填空题6．集合M＝｛0｝，N＝｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝，则M_________N．⊆｛0，1，2，3，4｝的不同集合M有___________．7．满足｛1，0｝M⊆｛1，2，3，4，5｝；②对于M中的任何一个元素a，都能使得6－a∈M．则8．非空集合M满足①M同时满足①，②的M共有_________个．三、解答题9．设A＝｛x｜x≥－2－b，b∈R｝，B＝｛y｜y＝2x2＋1，x∈R｝．当A B时，求b的取值集合．10 设集合A={x| x2＋4x=0},B ={x| x2＋2(a+1)x+ 2a-1=0 , a∈R} 若B⊆A ，求实数a 的取值范围。
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高一数学预科班第一
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第一节集合的含义与关系
知识点： (1)集合：某些指定的集在一起就成为一个集合．常用大写字母A、
B、C等来表示．
(2)常用的数集及记法：
①非负整数集(自然数集)全体非负整数的集合．记作．
②正整数集：非负整数集内排除0的集合．记作
③整数集：全体整数的集合．记作
④有理数集：全体有理数的集合．记作
⑤实数集：全体实数的集合．记作
(3)元素及元素与集合的关系：
元素：集合中的每个叫做这个集合的元素．常用小写字母a，b，c，……来表示．如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作a A，否则a A．
(4)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号“｛｝”内，元素与元素之间用“，”分开，这样的表示方法叫列举法．
(5)描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法．
(6)有限集：含有有限个元素的集合叫有限集．
(7)无限集：含有无限个元素的集合叫无限集．
（8）集合中的元素必须具有三大特性“”．
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①：是指集合中的元素必须是确定的，即任何一个对象都能判断它是或不是某个集合的元素，二者必居其一．如“接近于0的实数”接近由于没有一个确定的界性，故0．001是否属于这个集合不能判断，所以这不能组成一个集合．
②：是指集合中的元素互不相同，即同一个集合中不能出现同一个元素两次，如：｛1，0，a2｝表示一个集合，则 a≠±1．
③：集合中的元素无先后顺序，如｛1，2｝与｛2，1｝是同一个集合．
二、集合间的基本关系
1 子集：对于集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集
合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作：A B(或B A)，图1—1
所示表示：
这时我们也说集合A是集合B的子集．
2 集合的相等：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，
同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素．我们说集合A等于集合
B，记作：A＝B．
即对于集合A，B，如果A B，同时B A，那么A＝B．
3．真子集：对于两个集合A与B，如果A B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B 的真子集，记作A B(或B A)．
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4．空集是
5 知识拓宽
含有n 个元素的集合有几个子集？
问：∈与⊆的区别是什么？
［例1］若A ＝｛a ，b ｝；B ＝｛x ｜x ∈A ｝，则集合A 与集合B 的关系是( )
A ．
B ⊆A B ．B A
C ．B ∈A
D ．B ∉A
［例2］已知A ＝{x|x ＜－1或x ＞2}，B ＝{x|4x ＋p ＜0}，当A ⊇B 时，求实数p 的取值
范围．
答案：p ≥4
［例3］下列集合中表示空集的是( )
A ．{x ∈R|x ＋5＝5}
B ．{x ∈R|x ＋5＞5}
C ．{x ∈R|x 2＝0}
D ．{x ∈R|x 2＋x ＋1＝0}
一、选择题
1．在“①很大的有理数；②方程x 2＋1＝0的实数根；③直角坐标平面的第二象限的一些点；④所有等腰直角三角形”中，能够表示成集合的是
A ．②
B ．②③④
C ．②④
D ．①②③④
答案C 提示：因为“大”“一些”没有具体的界线．
2．方程组⎩⎨⎧=-=+13y x y x 的解集是
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A ．｛2，1｝
B ．｛x ＝2，y ＝1｝
C ．｛(2，1)｝
D ．｛(x ，y)｜(2，
1)｝ 答案D 提示：因为⎩⎨⎧=-=+1y x 3y x 的解为⎩⎨⎧==1y 2x 写成集合的形式为｛(x ，y)｜(2，1)｝．
3．下列四个关系式中，正确的是
A ．集合N 中最小元素为1
B ．0.7∈Q
C ．｛a ｝∈｛a ，b ｝
D ．｛a ｝∈a
答案B
4．下列各题中的M 与P 表示同一个集合的是
A ．M ＝｛(1，－3)｝ P ＝｛(－3，1)｝
B ．M ＝{3，4} P ＝｛（3，4）｝
C ．M ＝｛y ｜y ＝x 2＋1，x ∈R ｝ P ＝｛(x ，y)｜y ＝x 2＋1，x ∈R ｝
D ．M ＝｛y ｜y ＝x 2＋1，x ∈R ｝ P ＝｛t ｜t ＝(y －1)2＋1，y ∈R ｝
答案D 提示：因为(1，－3)与(－3，1)是不同的点，而C 中M 是数集，P 是点集．
二、填空题
5．设21∈｛x ｜x 2－ax －25
＝0｝，则a ＝_________． 答案－29 提示：由题意知21是x 2－ax －25＝0的一个根，所以，252
141--a ＝0，所以a ＝－29
6．设A ＝｛x ｜x ＝2k ，k ∈Z ｝，B ＝｛x ｜x ＝2k －1，k ∈Z ｝，C ＝｛x ｜x ＝4k ＋1，k ∈Z ｝，a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ∈_________．填(A 或B 或C)
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 答案B 提示：因为A 是偶数集，B 是奇数集．∴a ＋b 是奇数．即a ＋b ∈B ．
7．｛n ｜5n
是整数，｜n ｜≤20｝＝_________．
答案 提示：｛n ｜5n
是整数，｜n ｜≤20｝＝｛－20，－15，－10，－5，0，5，10，15，20｝
三、解答题
8．若－3∈｛a 2－2a －3，2a 2－a －4，a 2＋1｝，求实数a 的值构成的集合． 答案解：∵－3∈｛a 2－2a －3，2a 2－a －4，a 2＋1｝．
∴a 2－2a －3＝－3或2a 2－a －4＝－3．
∴a ＝0，2，1，－21
．
经检验a ＝0，2，1，－21
均合题意．
∴a 的值构成的集合为｛0，2，1，－21
｝．
【同步达纲练习】
一、选择题
1．下列关系不正确的是
A ．R ⊆Q
B ．R ⊇Z
C ．N ⊆N
D ．Z ⊆Q
2．设集合A ＝｛x ｜x ≤10｝，a ＝3，则
A ．a A
B ．a ∉A
C ．｛a ｝∈A
D ．｛a ｝ A
3．设M＝｛x｜x＞
}
3
1
，则①0⊆M，②∅⊆M，③｛0｝M，④｛3
1
｝M，其中
正确命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
4．集合M＝｛y｜y＝x 2－2x－1，x∈R｝，N＝｛x｜－2≤x≤4，x∈R｝，则M与N的关系是
A．M＝N B．M N C．M N D．无法确定
5.下面四个命题正确的是:
A．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 B 空集是任何集合的子集
C．空集有真子集 D．∅={0}
二、填空题
6．集合M＝｛0｝，N＝｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝，则M_________N．
7．满足｛1，0｝M⊆｛0，1，2，3，4｝的不同集合M有___________．
8．非空集合M满足①M⊆｛1，2，3，4，5｝；②对于M中的任何一个元素a，都能使得6－a∈M ．则同时满足①，②的M共有_________个．
三、解答题
9．设A＝｛x｜x≥－2－b，b∈R｝，B＝｛y｜y＝2x2＋1，x∈R｝．当A B时，求b的取值集合．
10 设集合A={x| x2＋4x=0},B ={x| x2＋2(a+1)x+ 2a-1=0 , a∈R} 若B⊆A ，求实数a 的取值范围。
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