高一数学预科
高一数学预科资料前 言课时安排：第 一 讲 集合的含义与表示(1)及集合间的基本关系(2)第十四讲 幂函数第十五讲 二次函数（加强）及单元自测第一讲 集合的含义与表示（1）I 、引入在小学和初中，我们已经接触过一些集合，例如： （1）自然数的集合； （2）有理数的集合；（3）不等式37<-x 的解的集合；（4）到一个定点的距离等到于定长的点的集合（即 ）；（5）到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（即 ） II 、新授一、集合的概念：新教材：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），把一些元素组成的总体叫做集合（set ）（简称为集 ）。
旧教材：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。
集合中的每一个对象叫做这个集合的元素。
例1：判断下列哪些能组成集合。
（1）1~20以内的所有质数； （2）我国从1991~2003年的13年内所发射的所有人造卫星；（ （ （ （ 1 2 3A 的4 全体整数组成的集合称为整数集，记作 有理数组成的集合称为有理数集，记作 ； 全体实数组成的集合称为实数集，记作 。
二、集合的表示方法我们可以用自然语言描述一个集合，还可以用列举法、描述法等来表示集合。
1、 列举法概念：把集合中的元素一 一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法 自然语言描述：“地球上的四大洋”组成的集合 列举法： 自然语言描述：“方程0)2)(1(=+-x x 的所有实数根”组成的集合列举法：例2、用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x x =2的所有实数根组成的集合；（3）由1~20以内的所有质数组成的集合。
问：（1）你能用自然语言描述集合{2，4，6，8}吗？（2）你能用列举法表示不等式37<-x 的解集吗？ 2、描述法我们不能用列举法表示不等式37<-x 的解集，因为这个集合中的元素是列举不完的。
但是，我们可以用这个集合中元素所具有的共同特征来描述。
为例31a 的2 3 四、思考（本题仅供参考）4、设集合M = {z y x y x z z ∈-=,,|22}。
（1）试验证5和6是否属于集合M ； （2）关于集合M ，还能得到什么结论吗？ 五、家庭作业1、用列举法表示下列集合：（1）{既是质数又是偶数的数}：（2）{（y x ,）|6=+y x ，N y x ∈,}：2、用描述法表示下列集合：（1）方程52=+y x 的解集： （2）集合{1，2，3，2，5， }： 3、用符号“∈”或“∉”填空： （1）若A={x x x =2|}，则1- A （2）若B={06|2=-+x x x }，则3 B （3）若C={101|≤≤∈x N x }，则8 C （I 1、 23II读作“ ”（或“ ”如：{x |3>x } {x |063>-x }； 两集合相等：如果集合A 是集合B 的子集（A ⊆B ），且集合B 是集合A 的子集（B ⊆A ），此时，集合A与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作 {x |x 真子集：（A={x空集：我们把不含任何元素的集合叫做 （empty set ），记作 ，例如：{x |012=+x }=点评：1、⊆和⊇分别可以用⊂和⊃表示；2、在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为V enn 图（韦恩图） 例如：A ⊆B 可以用下图表示3、任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A ；4、规定：空集是任何集合的子集；A ⊆φ， ⊆φ{φ}， ∈φ{φ} 空集是任何非空集合的真子集；5、子集的传递性（1）对于集合A 、B 、C ，如果A B ， B C ， 那么A C （2）对于集合A 、B 、C ，如果A B ， B C ， 那么A C 6、注意区别：{a }⊆A 与 a ∈A 二、例题解析1、集合φ与{0}的关系是（ ）A 、{0} = φB 、φ ∈ {0}C 、φ{0}D 、{0} φ2、判断A={x |12+=m x ，Z m ∈} ， B={x |12-=n x ，Z n ∈}是否相等。
3、写出集合{a ，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。
三、拓展探索1、设A={x R ∈|01582=+-x x }，B={x R ∈|01=-ax }，且B ⊆A ，求实数a 组成的集合，并写出它的所有非空真子集。
2、设A={ 04|2=+x x x }，B={ 01)1(2|22=-+++a x a x x }。
（1）若B ⊆A ，求a 的值 （2）若A ⊆B ，求a 的值 3、已知A={ c b a ,, }，求：（1）集合A 的子集的个数；（2）若集合A 含有元素分别为1个、2个、3个、4个、5个，则子集的个数分别是多少？ （3）据上面的结果猜测集合A 含有n 个元素时，集合A 的子集的个数。
4、 设集合1{|,}24n A x x n Z ==+∈，1{|,}42n B x x n Z ==+∈，试确定集合A 与B 的关系. 四、思考（本题仅供参考）5 、设,,,a b c d Z ∈，集合{|128},{|208}A x x a b B x x c d ==+==+，试确定集合A 与B 的关系. 五、家庭作业1、满足关系式{1，2}M⊆{1，2，3，4}的集合M 的个数有 （ ） A 、3个B 、4个C 、5个D 、6个2、设集合A={x |3<x }，B={x |0<-a x }（1）当A ⊆B 时，则实数a 的取值范围是 ； （2）当A B 时，则实数a 的取值范围是 ；3、集合M ={x |23-=k x ，Z k ∈}，P={y |13+=l y ，Z l ∈}，S={x |16+=m x ，Z m ∈}之间的关系是 （ ）A 、S P MB 、S=P MC 、S P=MD 、S=P=M4、 设集合{1,2,}A a =，2{2,}B a =，若B A ⊆，求实数a 的值.家长签字：第二讲 1．1．3集合的基本运算（一）引：我们知道，实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？ 考察下列各个集合，你能说出集合C 与集合A ，B 之间的关系吗？ （1） A={1，3，5}， B={2，4，6}， C={1，2，3，4，5，6}； （2） A={x x |是有理数}，B={x x |是无理数}，C={x x |是实数}。
一、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集（union set ），记作 （读作“ ”），即 点评： （1）“A x ∈或B x ∈”包括下列三种情况： （2）A A= ；A φ =（3） （4） （5）例1、设A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}，求A ⋃B例2、设集合A={}21|<<-x x ，集合B={31|<<x x }，求A ⋃B 点评：我们还可以在数轴上表示例2中的并集A ⋃B ，即：引入：考察下面的的问题，集合A ，B 与集合C 之间有什么关系？ （1） A={2，4，6，8，10}， B={3，5，8，12}， C={8}； （2） A={x x |是新华中学2004年9月在校的女同学}，B={x x |是新华中学2004年9月在校的高一年级同学}， C={x x |是新华中学2004年9月在校的高一年级女同学}，二、交集一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集（tion er sec intset ），记作 （读作“ ”），即 思考？点评：（1）A A= ； A φ = 。
（2） （3） （4）例3、新华中学开运动会，设 A={x x |是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}， B={x x |是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}， 求A B 。
例4、设平面内直线l 上点的集合为L ，直线l 上点的集合为L ，试用集合的运算表示l ，2l 的位置 12、3≤x }，3 4{1,7}A B =-5、(3)a x a -+B ≠，且A AB .12-}，B={x 2是等腰三角形3是锐角三角形4、设A={21|<<-x x }，B={31|<<x x }，求A B 。
5、已知M={1}，N={1，2}，设A={（y x ,）|N y M x ∈∈,}，B={（y x ,）|M y N x ∈∈,}，求A B ，A B 。
6、设A={015|2=+-px x x }，B={}05|2=+-q x x x ，若A B={5}，则A B=家长签字：第三讲 集合的基本运算（二）在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围。
例如，从小学到初中，数的研究范围逐步地由自然数到正分数，再到有理数，引进无理数后，数的研究范围扩充到实数。
在高中阶段，数的研究范围将进一步扩充。
在不同范围研究同一个问题，可能有不同的结果。
例如方程（0)3)(22=--x x 的解集，在有理数范围内只有一个解2，即{|Q x ∈（0)3)(22=--x x }={ }；在实数范围内有三个解： ，即{|R x ∈（0)3)(22=--x x }={ }；一、 全集一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universe set ），通常记作 。
例1例2例3例4例5例6、已知A 为奇数集，B 为偶数集，Z 为整数集，求A B ，Z A ，Z B ，A B ，Z A ，Z B 。
四、拓展探索1、设全集U = { 1，2，3，4 }，A = { U x m x x x ∈=+-,05|2}，求A C U ，m 。
2、（1）已知全集U = {2，5，422--a a }，M={2，|6-a |}，且}5{-=M C U ，求a 的值；（2）若A={0，2，4}，A C U ={-1，1}，B C U ={-1，0，2}，求B 。
3、设全集U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，A = { 3，4，5 }， B = { 4，7，8 } 求（1）、A C U ，B C U ，（A C U ）⋂（B C U ），（A C U ）⋃（B C U ）。
（2）、A B ，A B ，)(B A C U ⋂，)(B A C U ⋃。
4、已知U=R ，集合{|37}A x x =≤<，{|210}B x x =<<，求)(B A C U ， B A C U )( 五、思考1、设集合2{4,2,1,}A a a =--，{9,5,1}B a a =--，已知{9}AB =，求A B .2、 设全集{|7,}U x x x N =≤∈，已B A C U )(={1，6}，)(B C A U ={2，3}，)(B A C U ={0，5}，求集合A 、B . 六、家庭作业12341 (1)234B = B = 56、某班有学生60人，其中体育爱好者有32人，电脑爱好者有40人，还有7人既不爱好体育也不爱好电脑，则班上既爱好电脑又爱好音乐的学生有 人。
高一数学预科班前言
高一数学预科班前言随着社会的发展和竞争的加剧，高中数学已经成为了学生们学习的重要科目之一。
为了帮助学生更好地适应高中数学的学习需求，提高数学学习能力，许多学校纷纷开设了高一数学预科班。
本文将就高一数学预科班的意义和作用进行探讨。
高一数学预科班的开设有助于学生建立数学学科的基本框架。
在初中阶段，学生对数学的学习主要是基础知识的掌握，而高中数学则更加注重对知识的整合和拓展。
高一数学预科班通过系统地复习和梳理初中数学知识，帮助学生全面理解和巩固初中数学知识，为接下来的高中数学学习打下坚实的基础。
高一数学预科班的开设能够帮助学生快速适应高中数学的学习方法和思维方式。
与初中数学相比，高中数学更加注重对问题的分析和解决能力的培养。
高一数学预科班通过引导学生进行思维训练，让学生逐渐掌握高中数学的学习方法和思维方式，提高解决问题的能力和效率。
高一数学预科班还能够帮助学生提前了解高中数学的难点和重点。
高中数学知识的难度和复杂度相较于初中数学有了明显的提升，许多学生在刚开始接触高中数学时会感到困惑和无助。
高一数学预科班通过有针对性地讲解和练习，让学生提前了解高中数学的难点和重点，为学生在学习中遇到困难时提供帮助和指导。
高一数学预科班还能够帮助学生培养数学学科的兴趣和自信心。
高中数学的学习需要学生具备一定的毅力和耐心，而数学预科班通过丰富多彩的教学方法和实践活动，激发学生对数学学科的兴趣，增强学生对数学的自信心，提高学生学习数学的积极性和主动性。
高一数学预科班的开设对于学生的数学学习具有重要的意义和作用。
通过系统地复习和梳理初中数学知识，帮助学生建立数学学科的基本框架；通过引导学生进行思维训练，帮助学生快速适应高中数学的学习方法和思维方式；通过提前了解高中数学的难点和重点，帮助学生在学习中遇到困难时提供帮助和指导；通过培养学生对数学学科的兴趣和自信心，提高学生学习数学的积极性和主动性。
相信通过高一数学预科班的学习，学生们将能够更好地适应和应对高中数学的学习挑战，取得优秀的学习成绩。
高一预科数学衔接教材含解析
高一预科数学教材大纲第一讲复习课：二次函数的图像及性质第二讲复习课：因式分解及解一元二次方程第三讲复习课：解一元二次不等式第四讲集合之间的基本关系第五讲集合之间的基本运算第六讲函数的概念及表示法第七讲函数的单调性第八讲函数的最值及映射第九讲函数的奇偶性第十讲指数与指数幂的运算第十一讲指数函数及其性质第十二讲对数与对数运算第十三讲对数函数及其性质第十四讲幂函数第十五讲必修一综合测试卷第一讲复习课：二次函数的图像及性质一、基础闯关答案1．（2015•沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（）A．B． C．D．【考点】二次函数的图象．【专题】压轴题．【分析】根据二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答．【解答】解：二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明二次函数的顶点坐标．2．（2015秋•重庆校级期中）是二次函数，则m的值为（）A．0，﹣2 B．0，2 C．0 D．﹣2【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义知道其系数不为零且指数为2，从而求得m的值．【解答】解：∵是二次函数，∴解得：m=﹣2，故选D．【点评】本题考查了二次函数的定义，特别是遇到二次函数的解析式中二次项含有字母系数时，要注意字母系数的取值不能使得二次项系数为0．3．（2013秋•张家港市期末）已知二次函数y=ax2+bx+c，若a＜0，c＞0，那么它的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】根据二次函数系数a的大小，可判定图象的开口方向，根据c的大小，可判定图象与y轴的交点，可得答案．【解答】解：a＜0，图象开口向下，故A、B错误；c＞0，图象与y轴的交点在x轴的上方，故C错误；故D正确；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，a＜0，图象开口向下，c＞0，图象与y轴的交点在x 轴的上方，是解题关键．4．（2012•鞍山）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA=3；②a+b+c＜0；③ac＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论是（）A．①④ B．①③ C．②④ D．①②【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题；推理填空题．【分析】根据点B坐标和对称轴求出A的坐标，即可判断①；由图象可知：当x=1时，y＞0，把x=1代入二次函数的解析式，即可判断②；抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，得出a＜0，c ＞0，即可判断③；根据抛物线与x轴有两个交点，即可判断④．【解答】解：∵点B坐标（﹣1，0），对称轴是直线x=1，∴A的坐标是（3，0），∴OA=3，∴①正确；∵由图象可知：当x=1时，y＞0，∴把x=1代入二次函数的解析式得：y=a+b+c＞0，∴②错误；∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴③错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴④正确；故选A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系的应用，主要考查学生的观察图象的能力和理解能力，是一道比较容易出错的题目，但题型比较好．5．（2015秋•榆社县期末）在同一坐标系中，函数y=ax2与y=ax+a（a＜0）的图象的大致位置可能是（）A．B．C． D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【专题】数形结合．【分析】可先根据a的符号判断一次函数与二次函数的图象所经过的象限，然后作出选择．【解答】解：∵a＜0，∴二次函数y=ax2的图象的开口方向是向下；一次函数y=ax+a（a＜0）的图象经过第二、三、四象限；故选B．【点评】应该熟记正比例函数y=kx在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．6．（2015•深圳模拟）若（2，5）、（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（）A．x=﹣B．x=1 C．x=2 D．x=3【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想．【分析】由已知，点（2，5）、（4，5）是该抛物线上关于对称轴对称的两点，所以只需求两对称点横坐标的平均数．【解答】解：因为点（2，5）、（4，5）在抛物线上，根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，所以，对称轴x==3；故选D．【点评】本题考查了二次函数的对称性．二次函数关于对称轴成轴对称图形．7．（2015•成都校级模拟）实数m，n满足2m﹣n2=4，则y=m2+2n2+4m+1的最小值是13．【考点】二次函数的最值．【分析】把2m﹣n2=4变形为n2=2m﹣4，代入函数关系式，运用配方法把解析式化为顶点式，求出最小值即可．【解答】解：∵2m﹣n2=4，∴2m=n2+4，∴m的最小值是2，∵2m﹣n2=4，∴n2=2m﹣4，∴y=m2+2n2+4m+1=m2+4m﹣8+4m+1=（m+4）2﹣23，∴当m=2时，y的最小值是13，故答案为：13．【点评】本题考查的是二次函数的最小值的确定，掌握配方法的一般步骤是解题的关键．8.（2014秋•娄底校级期末）函数的图象是开口向下的抛物线，则m=﹣1．【考点】二次函数的性质．【分析】根据题意可得二次项系数a＜0，未知数的次数为2，由此可得出m的值．【解答】解：∵二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，∴，解得：m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了二次函数的定义，注意掌握二次函数的性质，开口向下二次项系数小于零．9．（2013秋•南长区校级月考）抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交点为（﹣3，0）、（1，0），与y轴交点为（0，3）．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】当x=0时，可以求得y的值，即可求得抛物线与y轴交点；当y=0时，可以求得x的值，即可求得抛物线与x轴交点．【解答】解：∵当x=0时，y=3，∴与y轴交点为（0，3）；∵当y=0时，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x=﹣3或1，∴抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交点为（﹣3，0）、（1，0）；故答案为（﹣3，0）、（1，0），（0，3）．【点评】本题考查了抛物线与x轴交点的求解，考查了抛物线与y轴交点的求解，本题中解一元二次方程﹣x2﹣2x+3=0是解题的关键．10．（2014春•永定县校级期末）不论x取何值，二次函数y=﹣x2+6x+c的函数值总为负数，则c的取值范围为c＜﹣9．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】计算题．【分析】因为二次函数y=﹣x2+6x+c的图象开口向下，所以一元二次方程﹣x2+6x+c=0无实数根，从而解得c的取值范围．【解答】解：∵二次函数y=﹣x2+6x+c的函数值总为负数，∴一元二次方程﹣x2+6x+c=0无实数根，即△=36+4c＜0，解得c＜﹣9．故答案为：c＜﹣9．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：当抛物线y=ax2+bx+c与轴有两个交点时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根即△＞0；当抛物线y=ax2+bx+c与轴有一个交点时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根即△=0；当抛物线y=ax2+bx+c与轴无交点时，一元二次方程ax2+bx+c=0无实数根即△＜0．11．（2013秋•富阳市校级月考）已知二次函数y=的图象经过点（0，5）．（1）求m的值，并写出该二次函数的关系式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．【分析】（1）把点（0，5）代入解析式就可以求出m的值，从而也可以得出解析式；（2）将二次函数的解析式转化为顶点式就可以求出顶点坐标、对称轴．【解答】解：（1）∵y=的图象经过点（0，5）．∴5=m2+1，∴m=±2．∵m+2≠0，∴m≠﹣2．∴m=2，∴二次函数的关系式为：y=x2+6x+5（2）∵二次函数的关系式为：y=x2+6x+5∴y=（x+3）2﹣4，∴二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，﹣4）、对称轴为：直线x=﹣3．【点评】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，利用二次函数的性质求抛物线的顶点坐标和对称轴的运用．解答本题求出抛物线的解析式是关键．12．（2015•宁夏）已知点A（，3）在抛物线y=﹣x的图象上，设点A关于抛物线对称轴对称的点为B．（1）求点B的坐标；（2）求∠AOB度数．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质．【分析】（1）首先求得抛物线的对称轴，然后确定点A关于对称轴的交点坐标即可；（2）根据确定的两点的坐标确定∠AOC和∠BOC的度数，从而确定∠AOB的度数．【解答】解：（1）∵y=﹣x=﹣（x﹣2）2+4，∴对称轴为x=2，∴点A（，3）关于x=2的对称点的坐标为（3，3）；（2）如图：∵A（，3）、B（3，3），∴BC=3，AC=，OC=3，∴tan∠AOC==，tan∠BOC===，∴∠AOC=30°，∠BOC=60°，∴∠AOB=30°．【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标及二次函数的性质，能够确定抛物线的对称轴是解答本题的关键，难度不大．二、拓展创新答案1．（2016•滕州市校级模拟）若二次函数y=（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m=3 B．m＞3 C．m≥3D．m≤3【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间．【解答】解：∵二次函数的解析式y=（x﹣m）2﹣1的二次项系数是1，∴该二次函数的开口方向是向上；又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，﹣1），∴该二次函数图象在[﹣∞，m]上是减函数，即y随x的增大而减小；而已知中当x≤3时，y随x的增大而减小，∴x≤3，∴x﹣m≤0，∴m≥3．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象的性质．解答该题时，须熟知二次函数的系数与图象的关系、二次函数的顶点式方程y=（k﹣h）x2﹣b中的h，b的意义．2．（2015•湖北）二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x=﹣＞0，∴b＞0，∵与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y=图象在第一三象限，只有C选项图象符合．故选C．【点评】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．3．（2015•益阳）若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（）A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组．【解答】解：由y=（x﹣m）2+（m+1）=x2﹣2mx+（m2+m+1），根据题意，，解不等式（1），得m＞0，解不等式（2），得m＞﹣1；所以不等式组的解集为m＞0．故选B．【点评】本题考查顶点坐标的公式和点所在象限的取值范围，同时考查了不等式组的解法，难度较大．4．（2016春•淮安校级月考）如图是抛物线y=ax2+bx+c的大致图象，则一元二次方程ax2+bx+c=0（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，即ax2+bx+c=0时，有两个不相等的实数根，从而可以得到本题答案．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点问题；关键是明确抛物线与x轴相交时函数值为0，即ax2+bx+c=0，从而转化为一元二次方程，根据交点个数，可以判断ax2+bx+c=0根的情况．5．（2011•花都区一模）已知关于x的方程有一个正的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＞0 C．k≤0D．k≥0【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】首先由，可得：k=x3+x，然后由关于x的方程有一个正的实数根，可得k的取值范围．【解答】解：∵，∴k=x3+x，∵关于x的方程有一个正的实数根，∴x＞0，∴k＞0．故选B．【点评】此题考查了方程根与方程的关系．注意用x表示出k的值是解此题的关键．6．（2014秋•龙口市校级期中）某产品进货单价为90元，按100元一件出售时，能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为（）A．5000元B．8000元C．9000元D．10000元【考点】二次函数的应用．【分析】设售价为每个x元，则每个利润为（x﹣90），销售量为500﹣10（x﹣100），根据：每个利润×销售量=总利润，可得出W关于x的二次函数，利用配方法求最值即可．【解答】解：设单价定为x，总利润为W，则可得销量为：500﹣10（x﹣100），单件利润为：（x﹣90），由题意得，W=（x﹣90）[500﹣10（x﹣100）]=﹣10x2+2400x﹣135000=﹣10（x﹣120）2+9000，故可得当x=120时，W取得最大，为9000元，故选C．【点评】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是表示出销量及单件利润，得出W关于x的函数解析式，注意掌握配方法求二次函数最值的应用．7．（2015•泗洪县校级模拟）抛物线y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=﹣1，则b的值为﹣4．【考点】二次函数的性质．【分析】根据对称轴方程，列出关于b的方程即可解答．【解答】解：∵﹣=﹣1，∴b=﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟悉对称轴公式是解题的关键．8．（2014•义乌市校级模拟）一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y=﹣2x2相同，试写出这个函数解析式y=﹣2（x﹣2）2+1或y=2（x﹣2）2+1．．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】已知顶点坐标利用顶点式求解比较简单．【解答】解：图象顶点坐标为（2，1）可以设函数解析式是y=a（x﹣2）2+1又∵形状与抛物线y=﹣2x2相同即二次项系数绝对值相同则|a|=2因而解析式是：y=﹣2（x﹣2）2+1或y=2（x﹣2）2+1，故这个函数解析式y=﹣2（x﹣2）2+1或y=2（x﹣2）2+1．【点评】利用待定系数法求二次函数解析式，如果已知三点坐标可以利用一般式求解；若已知对称轴或顶点坐标利用顶点式求解比较简单．9．（2012•贺兰县校级一模）把二次函数y=﹣2x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式是y=﹣2（x﹣1）2+5．【考点】二次函数的三种形式．【专题】配方法．【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y=﹣2x2+4x+3=﹣2（x2﹣2x+1）+2+3=﹣2（x﹣1）2+5．故答案为y=﹣2（x﹣1）2+5．【点评】本题考查了将二次函数的一般式化成顶点式的方法．属于基础题型，比较简单．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．10．（2015•阜宁县一模）二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为3．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，∴a＞0．﹣=﹣3，即b2=12a，∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，∴△=b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3，∴m的最大值为3，故答案为3．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．六A专练答案1．（2015秋•点军区期中）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，请求出这个二次函数的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a（x+）（x﹣），然后把（0，1）代入求出a的值即可．【解答】解：设二次函数解析式为y=a（x+）（x﹣），把（0，1）代入得a••（﹣）=1，解得a=﹣，所以抛物线解析式为y=﹣（x+）（x﹣），即y=﹣x2+x+1．【点评】本用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．2．（2015•黑龙江）如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称-最短路线问题．【分析】（1）根据抛物线经过点A（1，0），对称轴是x=2列出方程组，解方程组求出b、c的值即可；（2）因为点A与点C关于x=2对称，根据轴对称的性质，连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，求出直线BC与x=2的交点即可．【解答】解：（1）由题意得，，解得b=4，c=3，∴抛物线的解析式为．y=x2﹣4x+3；（2）∵点A与点C关于x=2对称，∴连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），y=x2﹣4x+3与y轴的交点为（0，3），∴设直线BC的解析式为：y=kx+b，，解得，k=﹣1，b=3，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，则直线BC与x=2的交点坐标为：（2，1）∴点P的坐标为：（2，1）．【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键．第二讲复习课：因式分解及解一元二次方程例题答案1．（2017•曲靖一模）下列关于x的方程有实数根的是（）A．x2﹣x+1=0 B．x2+2x+2=0 C．（x﹣1）2+1=0 D．（x﹣1）（x+2）=0【解答】解：A、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数解，所以A选项错误；B、△=22﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数解，所以B选项错误；C、（x﹣1）2≥0，则（x﹣1）2+1＞0，方程没有实数解，所以C选项错误；D、x﹣1=0或x+2=0，解得x1=1，x2=﹣2，所以D选项正确．故选D．2．（2016秋•常熟市校级月考）分解因式（1）2x3﹣4x2+2x（2）﹣x2y+6xy﹣8y（3）（x2+y2）2﹣4x2y2．【解答】解：（1）原式=2x（x2﹣2x+1）=2x（x﹣1）2；（2）原式=﹣y（x2﹣6x+8）=﹣y（x﹣2）（x﹣4）；（3）原式=（x2+y2﹣2xy）（x2+y2+2xy）=（x+y）2（x﹣y）2．3．（2016春•南京校级期末）因式分解：（1）4x2﹣64（2）81a4﹣72a2b2+16b4（3）（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3．【解答】解：（1）原式=4（x2﹣16）=4（x+4）（x﹣4）；（2）原式=（9a2﹣4b2）2=（3a+2b）2（3a﹣2b）2；（3）原式=（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）=（x﹣1）2（x﹣3）（x+1）．4．（2017春•上虞区校级月考）用适当的方法解下列方程：（1）x2=3x（2）2x2﹣x﹣6=0．（3）y2+3=2y；（4）x2+2x﹣120=0．【解答】解：（1）∵x2﹣3x=0，∴x（x﹣3）=0，则x=0或x﹣3=0，解得：x=0或x=3；（2）∵（x﹣2）（2x+3）=0，∴x﹣2=0或2x+3=0，解得：x=2或x=﹣；（3）∵y2﹣2y+3=0，∴（y﹣）2=0，则y=；（4）∵（x﹣10）（x+12）=0，∴x﹣10=0或x+12=0，解得：x=10或x=﹣12．5．（2017春•嵊州市月考）用合适的方法解方程（1）x2﹣3x=0（2）（2x﹣1）2=9（3）（x﹣5）（3x﹣2）=10（4）x2+6x=1（5）（2x﹣3）（x+1）=x+1（6）6x2﹣x﹣12=0．【解答】解：（1）∵x（x﹣3）=0，∴x=0或x﹣3=0，解得：x=0或x=3；（2）∵2x﹣1=3或2x﹣1=﹣3，解得：x=2或x=﹣1；（3）整理得3x2﹣17x=0，∵x（3x﹣17）=0，∴x=0或3x﹣17=0，解得：x=0或x=；（4）∵x2+6x=1，∴x2+6x+9=1+9，即（x+3）2=10，则x+3=，∴x=﹣3；（5）∵（x+1）（2x﹣3﹣1）=0，即2（x+1）（x﹣2）=0，∴x+1=0或x﹣2=0，解得：x=﹣1或x=2；（6）∵（2x﹣3）（3x+4）=0，∴2x﹣3=0或3x+4=0，解得：x=或x=﹣．一、基础闯关答案1．（2017•南雄市校级模拟）分解因式：y3﹣4y2+4y=（）A．y（y2﹣4y+4）B．y（y﹣2）2C．y（y+2）2D．y（y+2）（y﹣2）【解答】解：原式=y（y2﹣4y+4）=y（y﹣2）2，故选B2．（2016•柳州模拟）（﹣3）100×（）101等于（）A．﹣1 B．1 C．D．【解答】解：原式=[（﹣3）×（﹣）]100×（﹣）=﹣．故选C．3．（2016•怀化）下列计算正确的是（）A．（x+y）2=x2+y2B．（x﹣y）2=x2﹣2xy﹣y2C．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1 D．（x﹣1）2=x2﹣1【解答】解：A、（x+y）2=x2+y2+2xy，故此选项错误；B、（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，故此选项错误；C、（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，正确；D、（x﹣1）2=x2﹣2x+1，故此选项错误；故选：C．4．（2016•宁德）下列分解因式正确的是（）A．﹣ma﹣m=﹣m（a﹣1）B．a2﹣1=（a﹣1）2C．a2﹣6a+9=（a﹣3）2D．a2+3a+9=（a+3）2【解答】解：（A）原式=﹣m（a+1），故A错误；（B）原式=（a+1）（a﹣1），故B错误；（C）原式=（a﹣3）2，故C正确；（D）该多项式不能因式分解，故D错误，故选（C）5．（2017•商河县一模）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤﹣B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣D．k≥﹣且k≠0【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，∴△=b2﹣4ac≥0，即：9+4k≥0，解得：k≥﹣，∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0中k≠0，则k的取值范围是k≥﹣且k≠0．故选D．6．（2016•德州校级自主招生）如果方程（m﹣3）﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对【解答】解：由一元二次方程的定义可知，解得m=﹣3．故选C．7．（2017•长安区一模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m+3=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是（）A．﹣9 B．﹣8 C．﹣7 D．﹣6【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m+3=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4（m+3）=﹣m﹣8＞0，解得：m＜﹣8，∴m的最大整数值是﹣9．故选A．8．（2017•曲靖一模）若方程x2﹣4x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值为（）A．6 B．﹣6 C．18 D．﹣18【解答】解：∵方程x2﹣4x﹣1=0的两根分别是x1，x2，∴x1+x2=4，x1•x2=﹣1，∴x12+x22=﹣2x1•x2=42﹣2×（﹣1）=18．故选C．9．（2017•南岗区一模）把多项式ax2﹣2ax+a分解因式的结果是a（x﹣1）2．【解答】解：原式=a（x2﹣2x+1）=a（x﹣1）2．故答案为：a（x﹣1）210．（2017•诸城市模拟）因式分解：﹣2x2y+12xy﹣16y=﹣2y（x﹣2）（x﹣4）．【解答】解：原式=﹣2y（x2﹣6x+8）=﹣2y（x﹣2）（x﹣4），故答案为：﹣2y（x﹣2）（x﹣4）11．（2017•新野县模拟）已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等实数根，则k的取值范围为0≤k＜1且k≠．【解答】解：∵关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等实数根，∴△=（2）2﹣4×（1﹣2k）×（﹣1）=4k﹣8k+4＞0，解得：0＜k＜1且1﹣2k≠0，k≥0，∴k的取值范围为0＜k＜1且k≠．故答案为：0≤k＜1且k≠．12．（2016•青岛）已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为．【解答】解：将正比例函数y=4x代入到二次函数y=3x2+c中，得：4x=3x2+c，即3x2﹣4x+c=0．∵两函数图象只有一个交点，∴方程3x2﹣4x+c=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣4）2﹣4×3c=0，解得：c=．故答案为：．13．（2016春•岱岳区期末）因式分解（1）3a2﹣12；（2）x3y﹣2x2y2+xy3；（3）（x+1）（x+3）+1．【解答】解：（1）原式=3（a2﹣4）=3（a+2）（a﹣2）；（2）原式=xy（x2﹣2xy+y2）=xy（x﹣y）2；（3）原式=x2+4x+3+1=x2+4x+4=（x+2）2．14．（2016•绥化）关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，解得：m＜．∴m的取值范围为m＜．（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，∴x1+x2=﹣2，x1•x2=2m，∴x12+x22=﹣2x1•x2=4﹣4m=8，解得：m=﹣1．当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0．∴m的值为﹣1．二、拓展创新答案1．（2017•静安区一模）下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣4【解答】解：A、原式不能分解；B、原式=（x+y）2﹣2=（x+y+）（x+y﹣）；C、原式=（x+y）（x﹣y）+4（x+y）=（x+y）（x﹣y+4）；D、原式=x2﹣（y﹣2）2=（x+y﹣2）（x﹣y+2），故选A2．（2016•昆山市一模）已知二次三项式x2﹣kx﹣15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数k 的取值范围有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：根据题意得：﹣15=﹣1×15=1×（﹣15）=﹣3×5=3×（﹣5），可得﹣k=14，﹣14，2，﹣2，解得：k=﹣14，14，﹣2，2，共4个，故选D3．（2016秋•孟津县期末）分解因式x2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x﹣1），乙看错了b的值，分解结果为（x﹣2）（x+1），那么x2+ax+b分解因式的正确结果为（）A．（x﹣2）（x+3）B．（x+2）（x﹣3）C．（x﹣2）（x﹣3）D．（x+2）（x+3）【解答】解：因为（x+6）（x﹣1）=x2+5x﹣6，（x﹣2）（x+1）=x2﹣x﹣2，由于甲看错了a的值没有看错b的值，所以b=6，乙看错了b的值而没有看错a的值，所以a=﹣1，所以多项式x2+ax+b为x2﹣x+6=（x﹣3）（x+2）故选B．4．（2016•宜昌）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．宜昌游C．爱我宜昌 D．美我宜昌【解答】解：∵（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），∵x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故选C．5．（2017•沭阳县一模）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞1 B．k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0【解答】解：∵方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣6）2﹣4×k×9＞0，解得：k＜1，又∵k≠0，∴k＜1且k≠0，故选：D．6．（2017•新野县模拟）两个不等的实数a、b满足a2+a﹣1=0，b2+b﹣1=0，则ab的值为（）A．1 B．﹣1 C． D．【解答】解：∵两个不等的实数a、b满足a2+a﹣1=0，b2+b﹣1=0，∴a、b可看做方程x2+x﹣1=0的两个不相等的实数根，∴ab=﹣1，故选：B．7．（2017•曲靖一模）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（）A．100（1﹣x）2=81 B．81（1﹣x）2=100 C．100（1﹣2x）=81 D．81（1﹣2x）=100【解答】解：由题意得：100（1﹣x）2=81，故选：A．8．（2017•鄂城区校级二模）已知a、b为实数，则a2+ab+b2﹣a﹣2b的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：a2+ab+b2﹣a﹣2b=a2+（b﹣1）a+b2﹣2b=a2+（b﹣1）a++b2﹣2b﹣=（a+）2+（b﹣1）2﹣1≥﹣1，当a+=0，b﹣1=0，即a=0，b=1时，上式不等式中等号成立，则所求式子的最小值为﹣1．故选B9．（2016•黔南州）若ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于﹣2．【解答】解：∵ab=2，a﹣b=﹣1，∴a2b﹣ab2=ab（a﹣b）=2×（﹣1）=﹣2．故答案为：﹣2．10．（2016•株洲）分解因式：（x﹣8）（x+2）+6x=（x+4）（x﹣4）．【解答】解：原式=x2+2x﹣8x﹣16+6x=x2﹣16=（x+4）（x﹣4），故答案为：（x+4）（x﹣4）．11．（2017•沭阳县一模）在Rt△ABC中，斜边AB=5厘米，BC=a厘米，AC=b厘米，a＞b，且a、b是方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两根，Rt△ABC的面积为6平方厘米．【解答】解：∵斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b，∴a2+b2=25，又∵a2+b2=（a+b）2﹣2ab，∴（a+b）2﹣2ab=25，①∵a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，∴a+b=m﹣1，②ab=m+4，③由①②③，解得m=﹣4，或m=8；当m=﹣4时，ab=0，∴a=0或b=0，（不合题意）∴m=8；则Rt△ABC的面积为ab=×（8+4）=6，故答案为：6．12．（2017春•金牛区校级月考）已知方程x2﹣2x﹣5=0的两个根是m和n，则2m+4n﹣n2的值为﹣1．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣5=0的两个根是m和n，∴m+n=2，n2﹣2n﹣5=0，即n2﹣2n=5，则2m+4n﹣n2=2m+2n﹣（n2﹣2n）=2（m+n）﹣（n2﹣2n）=2×2﹣5=﹣1，故答案为：﹣1．六A专练答案1．（2016春•靖江市期末）因式分解：（1）﹣3x3+6x2y﹣3xy2（2）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2（3）15x3y﹣25x2y2﹣10xy3．【解答】解：（1）原式=﹣3x（x2﹣2xy+y2）=﹣3x（x﹣y）2；（2）原式=[5（a+b）+3（a﹣b）][5（a+b）﹣3（a﹣b）=4（4a+b）（a+4b）；（3）原式=5xy（3x2﹣5xy﹣2y2）=5xy（x﹣2y）（3x+y）．2．（2016•十堰）已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0．（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22=3x1x2，求实数p的值．【解答】证明：（1）（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0，x2﹣5x+6﹣p2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=25﹣24+4p2=1+4p2，∵无论p取何值时，总有4p2≥0，∴1+4p2＞0，∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）x1+x2=5，x1x2=6﹣p2，∵x12+x22=3x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=3x1x2，∴52=5（6﹣p2），∴p=±1．第三讲复习课：解一元二次不等式一、基础闯关答案1．（2017•河北一模）不等式2x2﹣x﹣3＞0解集为（）A．{x|﹣1＜x＜} B．{x|x＞或x＜﹣1} C．{x|﹣＜x＜1} D．{x|x＞1或x＜﹣} 【解答】解：不等式2x2﹣x﹣3＞0因式分解为（x+1）（2x﹣3）＞0解得：x或x＜﹣1．∴不等式2x2﹣x﹣3＞0的解集为{x|x＞或x＜﹣1}故选：B．2．（2016•长沙模拟）不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|x≥2或x≤﹣1} D．{x|x＞2或x＜﹣1} 【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．3．（2016春•海口校级期末）不等式2x+3﹣x2＞0的解集是（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|x＞3或x＜﹣1} C．{x|﹣3＜x＜1} D．{x|x＞1或x＜﹣3} 【解答】解：∵不等式2x+3﹣x2＞0可化为x2﹣2x﹣3＜0，即（x+1）（x﹣3）＜0；解得﹣1＜x＜3，∴不等式的解集是{x|﹣1＜x＜3}．故选：A．4．（2016春•哈密地区校级期末）不等式﹣6x2﹣x+2≤0的解集是（）A．{} B．{} C．{} D．{} 【解答】解：不等式﹣6x2﹣x+2≤0可化为6x2+x﹣2≥0，即（2x﹣1）（3x+2）≥0，解得或x故选B5．（2016春•武汉校级期末）不等式x（1﹣2x）＞0的解集（）A．{x|0} B．{x|x} C．{x|x或x＜0} D．{x|x＜0或0＜x} 【解答】解：不等式x（1﹣2x）＞0变为：x（2x﹣1）＜0，解得，，则不等式的解集为{x|}故选A．6．（2016春•郫县期末）不等式x2﹣3x+2＜0的解集是（）A．{x|x＜﹣2或x＞﹣1} B．{x|x＜1或x＞2} C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|1＜x＜2} 【解答】解：不等式对应的方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣2）（x﹣1）=0，解得方程的根为x=2或x=1，∴不等式x2﹣3x+2＜0的解为1＜x＜2，即不等式的解集为{x|1＜x＜2}．故选：D．7．（2016春•西安校级期末）不等式（﹣x）（x﹣）＞0的解集为（）A．{x|＜x＜} B．{x|x＞} C．{x|x＜} D．{x|x＜或x＞}【解答】解：不等式（﹣x）（x﹣）＞0可化为（x﹣）（x﹣）＜0；解得＜x＜；∴原不等式的解集为{x|＜x＜}．故选：A．8．（2016春•湖北校级期末）不等式6x2+x﹣2≤0的解集是（）A． B．C．，或D．，或【解答】解：∵6x2+x﹣2≤0，∴（2x﹣1）（3x+2）≤0，∴﹣≤x≤，∴不等式6x2+x﹣2≤0的解集是{x|﹣≤x≤}．故选A．9．（2016•马鞍山）不等式x2﹣2x＜0的解集为{x|0＜x＜2}．【解答】解：不等式x2﹣2x＜0可化为x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2；∴不等式的解集为{x|0＜x＜2}．故答案为：{x|0＜x＜2}．10．（2016•岳阳校级三模）不等式的解集为{x|}．【解答】解：不等式的解集可转化成即等价于解得：故不等式的解集为{x|}故答案为：{x|}11．（2016•广西模拟）不等式﹣x2+2x+3≥0的解集为[﹣1，3]．【解答】解：不等式﹣x2+2x+3≥0可化为x2﹣2x﹣3≤0，即（x﹣3）（x+1）≤0，解得﹣1≤x≤3，∴不等式的解集为[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．12．（2016•福建模拟）若不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则a+b=﹣1．【解答】解：由题意不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，故3，2是方程x2﹣ax﹣b=0的两个根，∴3+2=a，3×2=﹣b∴a=5，b=﹣6∴a+b=5﹣6=﹣1故答案为：﹣113．（2014秋•科尔沁区期末）解下列不等式：（1）x（7﹣x）≥12；（2）x2＞2（x﹣1）．【解答】解：（1）不等式x（7﹣x）≥12可化为x2﹣7x+12≤0，即（x﹣3）（x﹣4）≤0；解得3≤x≤4，∴不等式的解集为[3，4]；（2）不等式x2＞2（x﹣1）可化为，即x2﹣2x+2＞0；∵△=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，∴不等式的解集为R．14．解下列不等式．（1）﹣x2﹣2x+3＞0；（2）≥1．【解答】解：（1））﹣x2﹣2x+3＞0化为x2+2x﹣3＜0，解得﹣3＜x＜1，∴不等式的解集为（﹣3，1）；（2）≥1化为≥0⇔，解得x≥2或x＜﹣1．∴不等式的解集为{x|x≥2或x＜﹣1|}．二、拓展创新答案1．（2016春•邻水县期末）二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，则ab的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6【解答】解：∵不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，∴a＜0，∴原不等式等价于﹣ax2﹣bx﹣1＜0，由韦达定理知﹣1+=﹣，﹣1×3=，∴a=﹣3，b=﹣2，∴ab=6．故选D2．（2016春•邻水县期末）不等式ax2+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜}，则a，c的值为（）A．a=6，c=1 B．a=﹣6，c=﹣1 C．a=1，c=6 D．a=﹣1，c=﹣6【解答】解：∵不等式ax2+5x+c＞0解集为，∴方程ax2+5x+c=0的两个实数根为，，且a＜0．∴，解得故选B．3．（2016春•龙海市期末）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是（）A．10 B．﹣14 C．14 D．﹣10【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），∴﹣，是方程ax2+bx+2=0的两个实数根，且a＜0，∴﹣=﹣+，=﹣×，解得a=﹣12，b=﹣2，∴a+b=﹣14故选：B4．（2016春•华蓥市期末）不等式﹣x2﹣2x+3≥0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤3} B．{x|x≥3或x≤﹣1} C．{x|﹣3≤x≤1} D．{x|x≤﹣3或x≥1}【解答】解：∵﹣x2﹣2x+3≥0，∴x2+2x﹣3≤0，即（x+3）（x﹣1）≤0，解得﹣3≤x≤1．∴不等式﹣x2﹣2x+3≥0的解集为{x|﹣3≤x≤1}．故选：C．5．（2016春•湖北期末）不等式x2﹣3x﹣4＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞4} B．{x|x≤﹣1或x≥4} C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|﹣1≤x≤4} 【解答】解：解方程x2﹣3x﹣4=0得：x=﹣1，或x=4，故不等式x2﹣3x﹣4＞0的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），故选：A．6．（2016春•文昌校级期末）不等式x（x﹣1）＞2的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|x＜﹣2或x＞1} D．{x|x＜﹣1或x＞2} 【解答】解：不等式x（x﹣1）＞2等价于x2﹣x﹣2＞0，即为（x﹣2）（x+1）＞0，解得x＞2或x＜﹣1，故不等式的解集为：{x|x＜﹣1或x＞2}，故选：D．7．（2016秋•临淄区校级期末）一元二次不等式x2＜x+6的解集为（﹣2，3）．【解答】解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．8．（2016春•南沙区期末）不等式﹣x2﹣2x+3＞0的解集为（﹣3，1）；【解答】解：不等式﹣x2﹣2x+3＞0可化为x2+2x﹣3＜0，即（x+3）（x﹣1）＜0，解得﹣3＜x＜1，所以该不等式的解集为（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．。
高一预科数学
3．1 相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l （如图3.1-1），直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b 交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2.''3A B AB B C BC == 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图3.1-2，123////l l l ，有AB DEBC EF=.当然，也可以得出AB DEAC DF=.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.例1 如图3.1-2， 123////l l l ， 且2,3,4,AB BC DF ===求,DE EF . 解 1232////,,3A B D E l l l B C E F \==Q 28312,.235235DE DF EF DF ====++例2 在ABC 中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ，求证：AD AE DEAB AC BC==. 证明（1） //,,,DE BC ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠ADE ∴ ∽ABC ，.AD AE DEAB AC BC∴== 证明（2） 如图3.1-3，过A 作直线//l BC ，////,l DE BC AD AEAB AC∴=. 图3.1-1 图3.1-2过E作//EF AB交AB于D，得BDEF，因而.DE BF=//,.AE BF DEEF ABAC BC BC∴==.AD AE DEAB AC BC∴==从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例3 已知ABC，D在AC上，:2:1AD DC=，能否在AB上找到一点E，使得线段EC的中点在BD上.解假设能找到，如图 3.1-4，设EC交BD于F，则F为EC的中点，作//EG AC交BD于G.//,EG AC EF FC=，∴EGF CDF≅，且EG DC=，1//,2EG AD BEG BAD∴ ，且1,2BE EGBA AD==E∴为AB的中点.可见，当E为AB的中点时，EC的中点在BD上.我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.例4 在ABCV中，AD为BACÐ的平分线，求证：AB BDAC DC=.证明过C作CE//AD，交BA延长线于E，//,.BA BDAD CEAE DC\=QQ AD平分,,BAC BAD DAC衆?由//AD CE知,,BAD E DAC ACE?行=,,E ACE AE AC\??即AB BDAC DC\=.例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.练习11．如图3.1-6，123////l l l，下列比例式正确的是（）图3.1-3图3.1-4图3.1-5A ．ADCE DF BC = B ．ADBCBE AF = C ．CEAD DFBC = D.AFBEDF CE=2．如图3.1-7，//,//,DE BC EF AB 5,AD cm =3,2,DB cm FC cm ==求BF .3．如图，在ABC V 中，AD 是角BAC 的平分线，AB =5cm,AC =4cm,BC =7cm,求BD 的长.4．如图，在ABC V 中，BAC Ð的外角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，求证：AB BDAC DC=.（三角形外角平分线定理）5．如图，在ABC V 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使BD =CE ，DE 延长线交BC 的延长线于F .求证：DF ACEF AB=.图3.1-6图3.1-7图3.1-8图3.1-9 图3.1-103.12．相似形我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？例 5 如图 3.1-11，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，BAC CDB ? ，求证：DAC CBD ? .证明 在OAB V 与ODC V 中，,,AOB DOC OAB ODC ?行=\OAB V ∽ODC V ， OA OB OD OC \=，即OA OD OB OC=. 又OAD V 与OBC V 中，AOD BOC ? ，\OAD V ∽OBC V ， \DAC CBD ? .例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC 中，BAC Ð为直角，AD BC D ^于.求证：（1）2AB BD BC = ，2AC CD CB = ； （2）2AD BD CD =证明 （1）在Rt BAC V 与Rt BDA V 中，BB ? ，BAC \V ∽BDA V ，2,.BA BCAB BD BC BD BA\== 即 同理可证得2AC CD CB = .（2）在Rt ABD V 与Rt CAD V 中，90o CCADBAD ?-? ，Rt ABD \V ∽Rt CAD V ，2,.AD DCAD BD DC BD AD\== 即 我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.例7 在ABC V 中，,,AD BC D DE AB E DF AC F ^^^于于于，求证：A E AB A F A ? . 证明 A D BC ^Q ，\ADB V 为直角三角形，又DE AB ^，由射影定理，知2AD AE AB = .图3.1-11图3.1-12图3.1-13同理可得2AD AF AC = .AE ABAF AC \? .例8 如图3.1-14，在ABC V 中，D 为边BC 的中点，E 为边AC 上的任意一点，BE 交AD 于点O .某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1） 当11211AE AC ==+时，有22321AO AD ==+.（如图3.1-14a ） （2） 当11312AE AC ==+时，有22422AO AD ==+.（如图3.1-14b ） （3） 当11413AE AC ==+时，有22523AO AD ==+.（如图3.1-14c ） 在图3.1-14d 中，当11AE AC n=+时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AO AD 的一般结论，并给出证明（其中n 为正整数）. 解：依题意可以猜想：当11AE AC n =+时，有22AO AD n=+成立. 证明 过点D 作DF //BE 交AC 于点F ，Q D 是BC 的中点，\F 是EC 的中点， 由11AE AC n =+可知1AE EC n =，22,.2AE AE EF n AF n\==+. 2.2AO AE AD AF n\==+ 想一想，图3.1-14d 中，若1AO AD n =，则?AEAC= 本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断探索的历史.练习2 1．如图3.1-15，D 是ABC V 的边AB 上的一点，过D 点作DE //BC 交AC 于E .已知AD ：图3.1-14DB =2：3，则:ADE BCDE S S V 四边形等于（ ）A ．2:3B ．4:9C ．4:5D ．4:21 2．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是__________.3．已知：ABC V 的三边长分别是3，4，5，与其相似的'''A B C V 的最大边长是15，求'''A B C 的面积'''A B C S V .4．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.（1） 请判断四边形EFGH 是什么四边形，试说明理由；（2） 若四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 满足什么条件时，EFGH 是菱形？是正方形？5．如图3.1-17,点C 、D 在线段AB 上，PCD V 是等边三角形， （1） 当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系时，ACP V ∽PDB V ？ （2） 当ACP V ∽PDB V 时，求APB Ð的度数.习题3.1 A 组1． 如图3.1-18，ABC V 中，AD =DF =FB ，AE =EG =GC ，FG =4，则（ ） A ．DE =1，BC =7 B ．DE =2，BC =6 C ．DE =3，BC =5 D ．DE =2，BC =8图3.1-15图3.1-16图3.1-172． 如图3.1-19，BD 、CE 是ABC V 的中线，P 、Q 分别是BD 、CE 的中点，则:PQ BC 等于（ ）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：63． 如图3.1-20，ABCD Y 中，E 是A B 延长线上一点，DE 交BC 于点F ，已知BE ：AB =2：3，4BEF S =V ，求CDF S V .4． 如图3.1-21，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE AC ^交AC 于F ，过F 作FG //AB交AE 于G ，求证：2AG AF FC = .B 组1． 如图3.1-22，已知ABC V 中，AE ：EB =1：3，BD ：DC =2：1，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD +的值为（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．22． 如图3.1-23，已知ABC V 周长为1，连结ABC V 三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（ ） A ．12002 B ．12003 C ．200212 D ．2003123． 如图3.1-24，已知M 为ABCD Y 的边AB 的中点，CM 交BD 于点E ，则图中阴影部分的面积与ABCD Y 面积的比是（ ）图3.1-18图3.1-19图3.1-20图3.1-22图3.1-23 图3.1-24图3.1-21A ．13 B ．14 C ．16 D ．5124． 如图3.1-25，梯形ABCD 中，AD //BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF //AD . （1） 求证：OE =OF ；（2） 求OE OEAD BC+的值； （3） 求证：112AD BC EF+=.C 组1． 如图3.1-26，ABC V 中，P 是边AB 上一点，连结CP .（1） 要使ACP V ∽ABC V ，还要补充的一个条件是____________. （2） 若ACP V ∽ABC V ，且:2:1A P P B =，则:B C P C =_____.2． 如图 3.1-27，点E 是四边形ABCD 的对角线BD 上一点，且BAC BDC DAE ?? .（1） 求证：BE AD CD AE ? ； （2） 根据图形的特点，猜想BCDE可能等于那两条线段的比（只须写出图中已有线段的一组比即可）？并证明你的猜想.3． 如图3.1-28，在Rt ABC V 中，AB =AC ，90o A?，点D 为BC 上任一点，DF AB ^于F ，DE AC ^于E ，M 为BC 的中点，试判断MEF V 是什么形状的三角形，并证明你的结论.4． 如图3.1-29a ，,,AB BD CD BD ^^垂足分别为B 、D ，AD 和BC 相交于E ，EF BD^于F ，我们可以证明111AB CD EF+=成立. 图3.1-25图3.1-26 图3.1-27图3.1-28若将图3.1-29a 中的垂直改为斜交，如图3.1-29 b ，//,AB CD AD BC 、相交于E ，EF//AB交BD 于F ，则：（1）111AB CD EF+=还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（2） 请找出,ABD BCD S S V V 和EBD S V 之间的关系，并给出证明.3.2三角形 3.2.1三角形的“五心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图3.2-1 ，在三角形△ABC 中，有三条边,,AB BC CA ，三个顶点,,A B C ，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知 D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点， 求证 AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2：1. 证明 连结DE ，设AD 、BE 交于点G ，Q D 、E 分别为BC 、AE 的中点，则DE //AB ，且12DE AB =， 图3.1-29图3.2-1图3.2-2图3.2-3GDE \V ∽GAB V ，且相似比为1：2，2,2AG GD BG GE \==.设AD 、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AG G D CG G F == 则G 与'G 重合，\ AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）例2 已知ABC V 的三边长分别为,,BC a AC b AB c ===，I 为ABC V 的内心，且I 在ABC V 的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c aAE AF +-==. 证明 作ABC V 的内切圆，则D E F 、、分别为内切圆在三边上的切点，,AE AF Q 为圆的从同一点作的两条切线，AE AF \=，同理，BD =BF ，CD =CE .22b c a AF BF AE CE BD CD AF AE AF AE\+-=+++--=+==即2b c aAE AF +-==. 例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形. 已知 O 为三角形ABC 的重心和内心. 求证 三角形ABC 为等边三角形.证明 如图，连AO 并延长交BC 于D .Q O 为三角形的内心，故AD 平分BAC Ð，AB BDAC DC\=（角平分线性质定理） Q O 为三角形的重心，D 为BC 的中点，即BD =DC . 1AB AC\=，即AB AC =. 同理可得，AB =BC .ABC \V 为等边三角形.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）图 3.2-4图 3.2-6图3.2-7 图3.2-5例4 求证：三角形的三条高交于一点. 已知 ABC V 中，,AD BC D BE AC E ^^于于，AD 与BE 交于H 点.求证 C H A B ^.证明 以CH 为直径作圆，,,90,o AD BC BE AC HDCHEC ^^\??QD E \、在以CH 为直径的圆上，FCB DEH \? . 同理，E 、D 在以AB 为直径的圆上，可得BEDBAD ? . BCH BAD \? ，又ABD V 与CBF V 有公共角B Ð，90oCFB ADB \??，即CH AB ^.过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.练习11．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2． （1） 若三角形ABC 的面积为S ，且三边长分别为a b c 、、，则三角形的内切圆的半径是___________;（2）若直角三角形的三边长分别为a b c 、、（其中c 为斜边长），则三角形的内切圆的半径是___________. 并请说明理由.图3.2-8 图 3.2-93.2.2解斜三角形一、回顾直角三角形的四个锐角三角函数的概念；1正弦、余弦、正切、余切 2、特殊角的三角函数值二、直角三角形的边角公式：平方和关系、商的关系、倒数关系sin 2a+cos 2a=1 tga=a cos sina ctga=asin cosa tg 2a ·ctg 2a=1 分别写出变形式：三、讲授在坐标系内的钝角三角函数。
高一预科数学知识点
高一预科数学知识点一、代数与函数1.1. 整式与分式在高中预科数学中，我们首先需要了解整式和分式的概念。
整式是由常数或变量通过加、减、乘、乘方等运算连接而成的式子，例如2x^2+3xy-5。
分式是由整式的一部分（分子）除以另一部分（分母）得到的表达式，例如(2x^2+3xy-5)/(x+1)。
1.2. 方程与不等式方程是等号连接两个整式的数学关系式，例如2x+3=7。
不等式是不等号连接两个整式的数学关系式，例如2x+3<7。
1.3. 函数与图像函数是一种特殊的关系，它将一个自变量映射到一个因变量上。
函数通常用f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数的图像是由函数的各个取值所组成的点在坐标系上的表示。
二、几何与三角学2.1. 点、线、面点是几何的基本概念，它没有大小和方向，用字母表示，例如A、B、C。
线是由无穷多个点连接而成的路径，用字母表示或用两点之间的符号表示，例如AB、BC。
面是由无穷多个点和连续的线连接而成的平面，用字母表示，例如ABC。
2.2. 直角三角形与三角函数直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个内角为90度（直角）。
三角函数是描述三角形各边之间关系的函数，例如正弦函数、余弦函数和正切函数。
2.3. 圆与圆周率圆是由平面上距离圆心相等的点组成的图形。
圆周率是一个无理数，通常用希腊字母π表示，其值约等于3.14159。
三、概率与统计学3.1. 概率概率是描述事件发生可能性的数值，其取值范围在0到1之间。
概率可以通过实验、频率和古典概型等方法进行计算。
3.2. 统计学统计学是对数据进行收集、整理、分析和解释的科学。
统计学包括描述统计和推断统计两个方面，用于总结和分析数据。
四、解析几何4.1. 直线与曲线直线是连续的无限延伸的路径，可以用斜率截距式等表达。
曲线是一种弯曲的路径，可以用方程、坐标等表示。
4.2. 向量与坐标向量表示有大小和方向的量，可以通过坐标表示，也可以进行运算。
高一预科课程设计
高一预科课程设计一、教学目标本课程旨在为高一新生提供预科数学知识的学习，通过本课程的学习，学生应达到以下教学目标：1.知识目标：–掌握函数、导数、积分等基本概念；–理解函数的图像和性质，能够运用函数解决实际问题；–掌握三角函数的基本性质和公式，能够解决三角函数相关问题；–掌握指数函数、对数函数的基本性质和公式，能够解决相关问题；–掌握数列的基本性质和求和公式，能够解决数列相关问题。
2.技能目标：–能够运用数学符号和语言表达数学概念和问题；–能够运用数学方法解决实际问题，具备一定的数学建模能力；–能够运用数学软件或工具进行数学计算和作图。
3.情感态度价值观目标：–培养学生对数学的兴趣和好奇心，激发学生的学习动力；–培养学生的团队合作意识和沟通能力；–培养学生的批判性思维和创新能力。
二、教学内容根据教学目标，本课程的教学内容主要包括以下几个方面：1.函数与极限：介绍函数的基本概念和性质，理解函数的图像，掌握函数的求导和积分方法，解决函数相关问题。
2.三角函数：掌握三角函数的基本性质和公式，能够解决三角函数相关问题，如解三角形、三角恒等式等。
3.指数函数与对数函数：掌握指数函数和对数函数的基本性质和公式，能够解决相关问题，如增长率和对数方程等。
4.数列：掌握数列的基本性质和求和公式，能够解决数列相关问题，如等差数列、等比数列等。
三、教学方法为了实现教学目标，本课程将采用多种教学方法，包括：1.讲授法：教师通过讲解和解释数学概念和公式，帮助学生理解和掌握相关知识。
2.案例分析法：通过分析和解决实际问题，培养学生的数学应用能力和解决问题的能力。
3.小组讨论法：通过小组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
4.实验法：利用数学软件或工具进行数学计算和作图，培养学生的实验操作能力和数学思维能力。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本课程将使用以下教学资源：1.教材：选用适合高一新生预科水平的数学教材，如《高中数学预科教程》等。
高一预科的数学知识点重点
高一预科的数学知识点重点在高一阶段，数学是一个重要而且基础的学科，对于学生打好数学基础非常关键。
本文将总结高一预科的数学知识点的重点，并给出相关解析。
1. 代数与函数代数是高中数学的基础，重要的代数知识点主要包括方程与不等式、函数与方程组等内容。
1.1 方程与不等式方程与不等式是解决数学问题的重要工具。
在高一预科阶段，主要学习一元二次方程和一次不等式。
需要掌握如何利用因式分解、配方法等解决方程问题，并能熟练使用“二次平方差公式”，便于快速求解一元二次方程。
1.2 函数函数是数学中重要的概念，它用于描述数值之间的关系。
在高一预科阶段，主要学习一元函数和常见函数的性质。
一元函数的定义包括函数的自变量和因变量的关系，函数的图像等。
需要掌握线性函数、二次函数和反比例函数等函数的定义和性质。
除了一元函数，还需要了解常见的函数类型，如绝对值函数、指数函数和对数函数。
了解这些函数的定义、性质和图像变化规律，对于理解更高级的数学内容非常重要。
2. 几何与三角函数几何是学习数学的重要部分，涉及到点、线、面等基本的几何概念。
2.1 平面几何平面几何主要包括点、直线、面的基本性质，以及与它们相关的角、三角形、四边形等形状的性质。
需要掌握的知识点包括平行线与垂直线的判定、角的度量、三角形和四边形的边长与角度关系等。
2.2 空间几何空间几何主要研究三维几何图形及其性质。
高一预科阶段主要学习的是直线和平面的位置关系、平行与垂直、角的类别与度量等。
此外，还需了解球的表面积和体积的计算方法，以及空间中点、线、面和体之间的关系。
2.3 三角函数三角函数是几何与代数的结合，是高中数学中重要的内容。
需要掌握常见三角函数（正弦、余弦、正切等）的定义、性质和图像，能够应用三角函数解决实际问题。
3. 概率与统计概率与统计是高中数学的另一个重要内容，常常与实际问题相结合。
3.1 概率概率是描述随机事件发生可能性的工具。
在高一预科阶段，需要掌握基本事件、样本空间、概率的计算方法等。
河北新高一数学预科知识点
河北新高一数学预科知识点在河北省的新高一数学预科教育中，学生们需要掌握一定的数学知识点。
这些知识点旨在培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
本文将主要介绍一些重要的数学知识点。
一、方程与不等式方程与不等式是数学中重要的概念，它们是解决各种数学问题的基础。
方程是由等号连接的代数式，而不等式则是由大于号或小于号等连接的代数式。
在解方程与不等式的过程中，学生需要具备良好的代数运算能力和逻辑思维能力。
二、函数函数是数学中的关键概念之一。
它描述了输入与输出之间的关系。
函数可以表示为f(x) = y的形式，其中x为自变量，y为因变量。
学生需要理解函数的性质，并能够对函数进行图像分析、求导等操作。
三、数列与数列极限数列是一组按照一定规律排列的数。
数列极限是数列最接近的数值。
通过对数列的研究，可以了解数列的趋势和发展规律。
学生需要学会判断数列的有界性、单调性和极限值。
四、三角函数三角函数是数学中常见的函数之一。
它们描述了三角形内角与边之间的关系。
学生需要学会使用正弦、余弦和正切等三角函数求解各种问题，并能够理解其在几何和物理中的应用。
五、导数与微分导数与微分是微积分的重要内容。
导数表示了函数在某一点的变化率，微分则是对函数的微小变化的近似表示。
通过学习导数与微分，学生可以了解函数的变化趋势、函数的增减性质以及函数的极值等。
六、数理统计数理统计是描述和分析随机现象的数学方法之一。
学生需要学会收集数据、整理数据，并能够进行数据的分析和概率的计算。
通过数理统计的学习，可以培养学生的数据分析和问题解决能力。
七、向量与矩阵向量与矩阵是线性代数中的重要概念。
向量表示了具有大小和方向的物理量，矩阵则表示了多个线性方程的组合。
学生需要学会进行向量与矩阵的运算，并能够应用向量与矩阵解决实际问题。
综上所述，河北新高一数学预科教育中的知识点包括方程与不等式、函数、数列与数列极限、三角函数、导数与微分、数理统计以及向量与矩阵等。
这些知识点旨在培养学生的数学思维和解决问题的能力，在学生未来的学习和职业生涯中发挥重要的作用。
「新高一预科」2024版数学必修第一册必刷题
「新高一预科」2024版数学必修第一册必刷题新高一预科数学必修第一册是高中数学学习的重要一册，为了巩固学生对于基础数学知识的掌握，也为了让学生逐渐适应高中数学的学习方法和思维方式，这本教材中的题目往往涵盖了各个知识点的应用和拓展。
本文将会介绍一些必刷题，帮助学生全面、系统地掌握这本教材中的知识。
1.关于集合的题目集合是高中数学中的基础概念之一，学生在初中已经接触过集合的概念，这里的题目能够帮助学生巩固对于集合的理解和运用。
例如，集合的定义、集合的基本运算、集合的关系等等。
通过大量的练习，学生能够更加熟悉集合的运算规律和性质。
2.关于函数的题目函数是高中数学中的另一个重要概念，学生需要理解函数的定义、函数的性质、函数的图像等等。
这里的题目可以帮助学生掌握函数的基本性质，以及函数的应用。
例如，求函数的定义域、判断函数的奇偶性、求函数的极值、用函数解决实际问题等等。
通过这些题目的练习，学生可以更好地理解函数的基本概念和运用方法。
3.关于数列的题目数列是高中数学中重要的内容之一，学生需要掌握数列的基本性质、数列的通项公式、数列的求和公式等等。
这里的题目可以帮助学生更加全面地掌握数列的知识。
例如，求等差数列的通项公式、求等比数列的通项公式、求等差数列的和、求等比数列的和等等。
通过大量的题目练习，学生可以更加熟练地掌握数列的相关知识和运用。
4.关于平面几何的题目平面几何是高中数学中需要掌握的重要内容之一，这里的题目可以帮助学生巩固平面几何的基本知识和运用。
例如，平面几何的基本概念、平面几何的性质、平面几何的判定等等。
通过这些题目的练习，学生可以更加深入地理解平面几何的相关知识，并且能够更好地运用到实际问题中。
总之，新高一预科数学必修第一册中的题目是学生逐步过渡到高中数学学习的桥梁，通过用大量的题目进行练习，学生能够全面地掌握这本教材中的知识，并且能够更好地适应高中数学的学习方式和思维方式。
希望学生们能够充分利用这本教材，通过不断地练习和思考，提高自己的数学素养和解题能力。
高一数学预科班前言
高一数学预科班前言摘要：1.高一数学预科班的重要性2.预科班的内容概述3.为何选择参加预科班4.如何更好地应对高中数学学习5.结语正文：尊敬的读者，您好！欢迎您来到高一数学预科班的前言部分。
在这里，我们将简要介绍高一数学预科班的重要性、内容概述以及为何选择参加预科班。
我们希望这些信息能帮助您更好地应对高中数学学习，为未来的学业打下坚实基础。
一、高一数学预科班的重要性作为高中阶段的起始年级，高一数学对于学生来说具有举足轻重的地位。
一方面，数学是其他学科的基础，尤其是物理、化学、生物等理工科专业；另一方面，数学成绩在高考中占据较大比重，直接影响学生的综合素质评价。
因此，提前预习高一数学课程，打牢基础，对于提高学生整体学业水平具有重要意义。
二、预科班内容概述高一数学预科班将带领同学们提前熟悉新学期的课程内容，主要包括以下几个方面：1.初高中数学知识的衔接：回顾初中数学基础知识，为高中数学学习做好铺垫。
2.高中数学基本概念和方法的介绍：使同学们对高中数学有一个整体的认识。
3.高中数学重点难点的讲解：帮助同学们提前掌握关键知识点，减轻学习压力。
4.高中数学题型和解题技巧的训练：提高同学们的解题能力和应试水平。
三、为何选择参加预科班1.提高学习效率：预科班可以帮助同学们提前了解新学期课程，让正式上课时能更快地进入学习状态，提高课堂吸收率。
2.巩固基础知识：预科班对初中数学知识进行回顾，有助于同学们查漏补缺，为高中学习打下坚实基础。
3.增强自信心：通过预科班的学习，同学们可以提前了解高中数学的难度和特点，从而做好心理准备，增强学习信心。
4.培养良好的学习习惯：预科班课程安排紧凑，有助于同学们养成良好的学习习惯，为高中阶段的学习奠定基础。
四、如何更好地应对高中数学学习1.调整心态：正视高中数学的难度，保持积极的学习态度。
2.培养数学思维：多做练习，善于思考，培养解题思路。
3.制定学习计划：合理安排学习时间，确保学习效果。
高一数学预科必上知识点
高一数学预科必上知识点一、函数与方程数学中的函数和方程是高一预科数学学习的重点之一。
函数是一种数学工具，用来描述两个变量之间的关系。
通常我们用字母表示函数，比如y = f(x)。
方程则是一个由等号连接的两个表达式，其中至少包含一个未知数。
高一数学预科中需要学习的函数与方程的知识点包括但不限于以下几个方面：1.函数的定义与性质：包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。
2.函数的图像：通过函数的图像可以更直观地理解函数的性质。
3.一次函数和二次函数：一次函数是一种最简单的函数，可以用 y = kx + b 表示；二次函数则是一种常见的函数类型，可以用 y = ax^2 + bx + c 表示。
4.指数函数和对数函数：指数函数是以常数 e 为底数的函数，可以用 y = a^x 表示；对数函数则是指数函数的反函数。
5.三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
二、数列与数列的极限数列是一系列按照一定规律排列的数，数列中的每一个数叫做该数列的项。
高一数学预科中需要学习的数列与数列的极限的知识点包括但不限于以下几个方面：1.数列的性质：包括等差数列、等比数列等的定义与性质。
2.数列的通项公式：可以通过数列的通项公式来计算数列中任意一项的值。
3.数列的极限：当数列的项数逐渐趋向于无穷大时，数列可能会逐渐趋于某一个值，这个值叫做数列的极限。
三、几何的初步认识几何是一个研究图形、形状、大小等概念的数学分支，也是高一数学预科的重要内容。
几何的基本概念和初步认识包括但不限于以下几个方面：1.点、线、面：几何学中最基本的概念。
2.几何图形的性质：几何图形有不同的性质，比如圆的半径、面积，三角形的角度、边长等。
3.立体图形的认识：包括正方体、长方体、球体等。
四、数学证明高一数学预科中除了基础的知识点之外，还需要学习数学证明的方法与技巧。
数学证明是数学研究中的重要环节，可以培养学生的逻辑思维和分析思考能力。
数学证明的主要内容包括但不限于以下几个方面：1.直接证明法：通过直接推导和推理，证明所要的结论。