数值分析资料报告课程设计

工业大学

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理学院学院（系、部） 2013-2014 学年第 2 学期

课程名称数值分析指导教师职称副教授

学生专业班级信计1102 学号 114111002

题目超松弛迭代法解线性方程组

成绩起止日期 2014 年 06 月 09 日～ 2014 年 06 月 13 日

目录清单

工业大学

课程设计任务书

2013-2014学年第 2 学期

理学院学院（系、部）信息与计算科学专业 1102 班级课程名称：数值分析

设计题目：超松弛迭代法解线性方程组

完成期限：自 2014 年 06 月 09 日至 2014 年 06 月 13 日共 1 周

指导教师（签字）：年月日

系（教研室）主任（签字）：年月日

数值分析课程设计说明书

超松弛迭代法求解线性方程组

起止日期： 2014 年 06月 09 日至 2014 年 06 月 13 日

学生

班级信息与计算科学11级

学号

成绩

指导教师(签字)

理学院

2014年06月 13 日

目录

第1章超松弛迭代法的论述 (4)

1.1 理论依据 (4)

1.2 收敛性判别条件 (5)

1.3 收敛速度的估计 (5)

第2章程序设计及结果 (6)

2.1 MATLAB程序 (6)

2.2 运行结果及分析 (7)

第三章对题目进行变化 (9)

3.1改进方法 (9)

3.2改进题目 (13)

第四章对算法进行展望 (13)

结论 (14)

参考文献 (15)

附录 (15)

应用SOR 方法（取5.1,2..1=ω）解 ??

?

??=+-=-+-=-8

102,7210,9103232121x x x x x x x

的方程组.要求3*10||||-∞<-x x k ，T x ]1,1,1[*=

第1章 超松弛迭代法的论述

1.1 理论依据

超松弛迭代法定义

[1]

超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法，简称SOR 迭代法，它是在Gauss-Seidel 法基础上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法.设解方程组的Gauss-Seidel 法记为

1(1)(1)()11

1(),1,2,,i n

k k k i

i ij j ij j j j i ii x

b a x a x i n

a -++==+=--=∑∑ （1）

再由()

k i x 与(1)

k i

x +加权平均得

(1)

(1)(1)()()()(1)(),1,2,

,k k k k k k i i i i i x x x x x x i n ωωω+++=-+=+-=

这里ω＞0称为松弛参数，将(1)代入则得

1

(1)

()

(1)

()1

1

(1)(),1,2,

,i n

k k k k i

i

i ij j

ij

j j j i ii

x x b a x a

x i n

a ω

ω-++==+=-+

--

=∑∑ （2）

称为SOR 迭代法，ω＞0称为松弛因子，当ω=1时(2)即为Gauss-Seidel 法，将

(2)写成矩阵形式，则得

(1)()(1)()(1)()k k k k Dx Dx b Lx Ux ωω++=-+++

于是得SOR 迭代的矩阵表示[3]

(1)()k k i x G x f ωω

+=+ (3)

其中

1()[(1)]

G D L D U ωωωω-=--+

1()f D L b ωωω-=-

1.2 收敛性判别条件

根据迭代法收敛性定理[2]，SOR 法收敛的充分必要条件为()1G ωρ<，但要计

算()G ωρ比较复杂，通常都不用此结论，而直接根据方程组的系数矩阵A 判断SOR 迭代收敛性，下面先给出收敛必要条件.

定理1]4[ 设(),0(1,2,...,)n n ij ii A a R a i n ?=∈≠=，则解方程Ax b =的SOR 迭代法收

敛的必要条件是0＜ω＜2.

定理2]5[ 若n n A R ?∈对称正定，且0＜ω＜2，则解Ax=b 的SOR 迭代法(3)对

n x R ?∈迭代收敛.

对于SOR 迭代法，松弛因子的选择对收敛速度影响较大，关于最优松弛因子研究较为复杂，且已有不少理论结果.下面只给出一种简单且便于使用的结论.

第2章 程序设计及结果

2.1 MATLAB 程序

2.1=ω时：

ω时：

=

5.1

2.2 运行结果及分析w = 1.2时：

w = 1.5时：

分析：当w=1.2时，原问题只需迭代9次就已经快收敛到正解，而当w=1.5时，原问题迭代了13次才趋于收敛到正解，而且收敛效果没有w=1.2时的效果好。

第三章 对题目进行变化 3.1寻找最优的ω

可以通过将设置围，(]2,0∈ω,并取步长1.0=h ，将原题进行迭代：

迭代代码如下： clear clc

a=[10 -1 0;-1 10 -2;0 -2 10]; b=[9;7;8];

x1(1)=0.5;x2(1)=0.5;x3(1)=0.5; eps=1e-3; h=0.1;

for j=1:20

w(j)=0+h*j;

for k=1:1000

x1(k+1)=w(j)*(b(1)-a(1,2)*x2(k)-a(1,3)*x3(k))/a(1,1)+(1-w(j))*x1(k);

x2(k+1)=w(j)*(b(2)-a(2,1)*x1(k+1)-a(2,3)*x3(k))/a(2,2)+(1-w(j))*x2(k) ;

x3(k+1)=w(j)*(b(3)-a(3,1)*x1(k+1)-a(3,2)*x2(k+1))/a(3,3)+(1-w(j))*x3( k);

%[x1',x2',x3']

if norm([(x1(k)'-1),(x2(k)'-1),(x3(k)'-1)],inf)

k

break

end

end

[x1',x2',x3']

end

运行结果如下：

取几个 的值迭代得到的结果展示：

ω=0.5

ω=0.7

=0.4

=0.6

3.2改进题目

题目：

-4x1+x2+x3+x4=1

x1-4x2+x3+x4=1

x1+x2-4x3+x4=1

x1+x2+x3-4x4=1

clear

clc

a=[-4 1 1 1;1 -4 1 1;1 1 -4 1;1 1 1 -4]; b=[1;1;1;1];

x1(1)=0;x2(1)=0;x3(1)=0;x4=0;

eps=1e-3;

w=1.5;

for k=1:20

x1(k+1)=w*(b(1)-a(1,2)*x2(k)-a(1,3)*x3(k)-a(1,4)*x4(k))/a(1,1)+(1-w)* x1(k);

x2(k+1)=w*(b(2)-a(2,1)*x1(k+1)-a(2,3)*x3(k)-a(2,4)*x4(k))/a(2,2)+(1-w )*x2(k);

x3(k+1)=w*(b(3)-a(3,1)*x1(k+1)-a(3,2)*x2(k+1)-a(3,4)*x4(k))/a(3,3)+(1 -w)*x3(k);

x4(k+1)=w*(b(4)-a(4,1)*x1(k+1)-a(4,2)*x2(k+1)-a(4,3)*x3(k+1))/a(4,4)+ (1-w)*x4(k);

if norm([(x1(k)'-1),(x2(k)'-1),(x3(k)'-1),(x4(k)'-1)])

break

end

end

[x1',x2',x3',x4']

运行结果：

第四章对算法进行展望

逐次超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法，简称SSOR迭代法，它是在GS法基础上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法，设解方程(7.1.3)的GS法记为

(7.3.1)

再由与加权平均得

这里ω＞0称为松弛参数，将(7.3.1)代入则得

(7.3.2)

称为SOR迭代法，[WTBX]ω＞0称为松弛因子，当ω=1时(7.3.2)即为GS法，将(7.3.2)写成矩阵形式，则得

即

于是得SOR迭代的矩阵表示

(7.3.3)

其中

(7.3.4)

按(7.1.7)分解，有

结论

超松弛迭代法（SOR）是在高斯-赛德尔方法和Jacobi迭代法的基础上运用加权得到的，它相对于其他两种方法具有更快的收敛速度，但是ω得值不同，它的收敛速度也会不同，所以这个方法需要求出一个收敛速度最快的ω的值。

参考文献

[1]黄云清等.2009.数值计算方法.：科学.

[2]何道坤等.1985.实用线性规划及计算机程序.:清华大学.

[3]威尔金森J H.2001.代数特征值问题.石钟慈，邓键译.：科学.

附录

w = 1.2或1.5时：

clear

clc

a=[10 -1 0;-1 10 -2;0 -2 10];

b=[9;7;8];

x1(1)=0.5;x2(1)=0.5;x3(1)=0.5;

eps=1e-3;

w=1.2(1.5);

for k=1:20

x1(k+1)=w*(b(1)-a(1,2)*x2(k)-a(1,3)*x3(k))/a(1,1)+(1-w)*x1(k);

x2(k+1)=w*(b(2)-a(2,1)*x1(k+1)-a(2,3)*x3(k))/a(2,2)+(1-w)*x2(k); x3(k+1)=w*(b(3)-a(3,1)*x1(k+1)-a(3,2)*x2(k+1))/a(3,3)+(1-w)*x3(k); if norm([(x1(k)'-1),(x2(k)'-1),(x3(k)'-1)])

break

end

end

[x1',x2',x3']

w需要循环时：

clear

clc

a=[10 -1 0;-1 10 -2;0 -2 10];

b=[9;7;8];

x1(1)=0.5;x2(1)=0.5;x3(1)=0.5;

eps=1e-3;

h=0.1;

for j=1:20

w(j)=0+h*j;

for k=1:1000

x1(k+1)=w(j)*(b(1)-a(1,2)*x2(k)-a(1,3)*x3(k))/a(1,1)+(1-w(j))*x1(k); x2(k+1)=w(j)*(b(2)-a(2,1)*x1(k+1)-a(2,3)*x3(k))/a(2,2)+(1-w(j))*x2(k); x3(k+1)=w(j)*(b(3)-a(3,1)*x1(k+1)-a(3,2)*x2(k+1))/a(3,3)+(1-w(j))*x3(k);

%[x1',x2',x3']

if norm([(x1(k)'-1),(x2(k)'-1),(x3(k)'-1)],inf)

k

break

end

end

[x1',x2',x3']

end