2019年北京各区理科数学分类汇编---数列(含答案)

2019年北京各区一模理科数学分类汇编---数列（含答案）一、选择、填空题1、（朝阳区2019届高三一模）天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 ．2、（东城区2019届高三一模）已知数列{}n a 满足：1a a =，11()2n n na a n a *+=+∈N ，则下列关于{}n a 的判断正确的是（A ）0,2,a n ∀>∃≥使得2n a < （B ）0,2,a n ∃>∃≥使得1n n a a +<（C ）0,,a m *∀>∃∈N 总有()m n a a m n <≠ （D ）0,,a m *∃>∃∈N 总有m n n a a +=3、（丰台区2019届高三一模）已知数列{}n a 对任意的*n ∈N ，都有*n a ∈N ，且131,,2n n n n n a aa a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数为偶数.①当18a =时，2019a =____；②若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p =____．4、（海淀区2019届高三一模）已知等差数列{}n a 满足324=3a a ，则{}n a 中一定为零的项是(A) 6a (B) 8a (C) 10a (D)12a5、（怀柔区2019届高三一模）若{}n a 是等比数列，且公比4=q ,12321++=a a a ，则n a =__________．6、（门头沟区2019届高三一模）等比数列{}n a 中，32321,2S a a ==则数列{}n a 的通项公式n a = .7、（石景山区2019届高三一模）等比数列{}n a 的首项12a =，416a =，则其前n 项和n S =_______． 8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））在等比数列{}n a 中，若112a =，44a =-，则7a = A ．32B ．16C ．8D ．1169、（西城区2019届高三一模）在等比数列{}n a 中，21a =，58a =，则数列{}n a 的前n 项和n S =____． 10、（延庆区2019届高三一模）已知等比数列{}n a 的公比为2，若134a a +=，则2a =_____. 11、（房山区2019届高三一模）《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（结果精确到0.1．参考数据:lg20.3010lg30.4771==，.） (A) 2.2天(B) 2.4天(C) 2.6天(D)2.8天12、（海淀区2019届高三一模）已知,4,a c 成等比数列，且0a >，则22log log a c +=____． 13、（平谷区2019届高三一模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：“某人从距离关口三百七十八里处出发，第一天走得轻快有力，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，共走了六天到达关口……” 那么该人第一天走的路程为______________ 参考答案1、243 34022、D3、2；14、A5、14-n6、132n n a -=⨯ 7、122n +- 8、A 9、1122n --10、8511、B 12、4 13、192二、解答题1、（朝阳区2019届高三一模）在无穷数列{}n a 中，12,a a 是给定的正整数，21n n n a a a ++=-，N n ∈*． （Ⅰ）若123,1a a ==，写出910100,,a a a 的值； （Ⅱ）证明：数列{}n a 中存在值为0的项；（Ⅲ）证明：若12,a a 互质，则数列{}n a 中必有无穷多项为1．2、（东城区2019届高三一模）已知L *∈N ，数列12:n A a a a L ，，，中的项均为不大于L 的正整数. k c 表示12,,,n a a a L 中k 的个数(1)k L =L ，2，，. 定义变换T ，T 将数列A 变成数列()T A 12:(),(),,()n t a t a t a 其中12()kc c c t k L n+++=⋅L .（Ⅰ）若4L =，对数列A ：1，1，2，3，3，4，写出i c 4)i ≤≤(1的值； （Ⅱ）已知对任意的(1,2,,)k k n =，存在A 中的项m a ，使得m a k =.求证： i i t a a =（）(1,2,,)i n =L 的充分必要条件为(12)i j c c i j L ==，，，，；L （Ⅲ）若l n =，对于数列12:,,,n A a a a L ，令12(()):,,,n T T A b b b L ，求证：()i i b t a =(1,2,,).i n =3、（丰台区2019届高三一模）设*n ∈N 且2n ≥，集合1211{(,,,)||1,||2||(1,2,,1)}n n i i S x x x x x x i n +====-.（Ⅰ）写出集合2S 中的所有元素； （Ⅱ）设12(,,,)n a a a ，12(,,,)n b b b ∈n S ，证明：“11n niii i a b ===∑∑”的充要条件是“(1,2,3,,)i i a b i n ==”； （Ⅲ）设集合121{|(,,,)}nn i n n i T x x x x S ==∈∑，求n T 中所有正数之和.4、（海淀区2019届高三一模） 首项为O 的无穷数列{}n a 同时满足下面两个条件： ①1n n a a n +-=；②12n n a -≤(Ⅱ)请直接写出4a 的所有可能值；(Ⅱ)记2n n b a =，若1n n b b +<对任意*n N ∈成立，求{}n b 的通项公式；(Ⅲ)对于给定的正整数k ，求12...k a a a +++的最大值．5、（怀柔区2019届高三一模）设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成： ①212n n n a a a +++<；②存在实数M ，使M a n ≤（ n 为正整数）. （Ⅰ）在只有5项的有限数列{}n a 、 {}n b 中，其中1231,2,a a a ===3，44a =，55a =；123451,4,5,4,1b b b b b =====，试判断数列{}n a 、{}n b 是否为集合W 中的元素；（Ⅱ）设{}n c 是等差数列，n S 是其前n 项和，334,18c S ==，证明数列{}W S n ∈；并写出M 的取值范围；（Ⅲ）设数列{}n d W ∈，且对满足条件的常数M ，存在正整数k ，使k d M =．求证：123k k k d d d +++>>.6、（门头沟区2019届高三一模）给定数列{}n a ，若满足1(01)a a a a =>≠且，对于任意的*,n m N ∈，都有m n n m a a a +=，则称数列{}n a 为“指数型数列”.（Ⅰ）已知数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为153,4n nn n a b -=⨯=，试判断数列{}n a ，{}n b 是不是“指数型数列”；（Ⅱ）已知数列{}n a 满足*1111,23()2n n n n a a a a a n N ++==+∈，判断数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由； （Ⅲ）若数列{}n a 是“指数型数列”，且*11()2a a a N a +=∈+，证明数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列.7、（石景山区2019届高三一模）若项数为n 的单调递增数列{}n a 满足：①11a =；②对任意k （*k ∈N ，2k n ≤≤），存在,i j （**,i j ∈∈N N ，1i j n ≤≤≤）使得k i j a a a =+，则称数列{}n a 具有性质P .（Ⅰ）分别判断数列1,3,4,7和1,2,3,5是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅱ）若数列{}n a 具有性质P ，且36n a =， （ⅰ）证明数列{}n a 的项数7n ≥； （ⅱ）求数列{}n a 中所有项的和的最小值．8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））在数列{}n a 中，若221n n a a D --=（2n ≥，n N *∈，D 为常数），则称{}n a 为“平方等差数列”． （Ⅰ）若数列{}n b 是“平方等差数列”，121,2b b ==，写出34,b b 的值； （Ⅱ）如果一个公比为q 的等比数列为“平方等差数列”，求证：1q =±；（Ⅲ）若一个“平方等差数列”{}n c 满足122,22,0n c c c ==>，设数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．是否存在正整数,p k ，使不等式1n T pn k >+-对一切n N *∈都成立？若存在，求出,p k 的值；若不存在，说明理由．9、（西城区2019届高三一模）如图，设A 是由n n ⨯(2)n ≥个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.11a 12a 1n a 21a22a2n a1n a2n ann a定义1122st s t s t sn tn p a a a a a a =+++(,1,2,,)s t n =为第s 行与第t 行的积. 若对于任意,s t （s t ¹），都有0st p =，则称数表A 为完美数表.（Ⅰ）当2n =时，试写出一个符合条件的完美数表； （Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）设A 为n 行n 列的完美数表，且对于任意的1,2,,i l =L 和1,2,,j k =L ，都有1ij a =，证明：kl n ≤.10、（房山区2019届高三一模）若数列{}n a 满足：{0,1},n a n *∈∈N ，且11a =，则称{}n a 为一个X数列. 对于一个X 数列{}n a ，若数列{}n b 满足：11b =，且11||,2n n n n a b a b n *++=-∈N ，则称{}n b 为{}n a 的伴随数列.（Ⅰ）若X 数列{}n a 中2341,0,1a a a ===，写出其伴随数列{}n b 中234,,b b b 的值； （Ⅱ）若{}n a 为一个X 数列， {}n b 为{}n a 的伴随数列.①证明：“{}n a 为常数列”是“{}n b 为等比数列”的充要条件； ②求2019b 的最大值. 参考答案1、解：(I)9101000,1,1a a a ===．.………………………………………………………….3分 (II)反证法：假设i ∀,0.i a ≠由于21n n n a a a ++=-， 记1,2max{}M a a =.则12,a M a M ≤≤.则32101a a a M <=-≤-，43201a a a M <=-≤-,54302a a a M <=-≤-，65402a a a M <=-≤-，，依次递推，有76503a a a M <=-≤-，87603a a a M <=-≤-…，则由数学归纳法易得21,.k a M k k *+≤-∈N当k M >时，210,k a +<与210k a +>矛盾. 故存在i ，使=0.i a所以，数列{}n a 必在有限项后出现值为0的项．………………………………………….8分 (III)首先证明：数列{}n a 中必有“1”项．用反证法，假设数列{}n a 中没有“1”项，由(II)知，数列{}n a 中必有“0”项，设第一个“0”项是m a (3)m ≥，令1m a p -=，1,p p >∈N *，则必有2m a p -=，于是，由1233||||m m m m p a a a p a ----==-=-，则32m a p -=，因此p 是3m a -的因数， 由2344|||2|m m m m p a a a p a ----==-=-，则4m a p -=或3p ，因此p 是4m a -的因数.依次递推，可得p 是12,a a 的因数，因为1p >，所以这与12,a a 互质矛盾．所以，数列{}n a 中必有“1”项．其次证明数列{}n a 中必有无穷多项为“1”.假设数列{}n a 中的第一个“1”项是k a ，令1k a q -=，1,q q >∈N *， 则111k k k a a a q +-=-=-，若1k a +=11q -=，则数列中的项从k a 开始，依次为“1，1，0”的无限循环， 故有无穷多项为1；若111k a q +=->，则213212,1k k k k k k a a a q a a a +++++=-=-=-=， 若221k a q +=-=，则进入“1，1，0”的无限循环，有无穷多项为1；若221k a q +=->，则从k a 开始的项依次为1,1,2,1,3,4,1q q q q ----，……， 必出现连续两个“1”项，从而进入“1，1，0”的无限循环，故必有无穷多项为1．……13分 2、解：（Ⅰ）1=2c2=1c3=2c4=1.c ............................3分（Ⅱ）由于对任意的正整数(1)k k L ≤≤，存在A 中的项m a ，使得m a k =. 所以12L c c c L ，，，均不为零.必要性：若()i i t a a =(1)i n ≤≤，由于12()kc c c t k L n+++=⋅L ，所以有1(1)1c t L n =⋅=；12(2)2c c t L n +=⋅=；123(3)3c c c t L n ++=⋅=；L ；12()Lc c c t L L n+++=⋅L . 通过解此方程组，可得(12)i j c c i j L ==L ，，，，成立.充分性：若(12)i j c c i j L ==L ，，，，成立，不妨设(12)i j h c c i j L ===L ，，，，，可以得到h L n ⋅=. 所以有：(1)1h t L n =⋅=；2(2)2h t L n =⋅=；3(3)3h t L n =⋅=；L ；()Lht L L L n=⋅=.所以()i it a a =(i n ≤≤成立. ............................9分（Ⅲ）设12:n A a a a L ，，，的所有不同取值为12m u u u L ，，，，且满足：12m u u u <<<L .不妨设12111212122212:,mr r m m mr A u u u u u u u u u L L L L ，，，，，，，，，，，，其中111121r u u u ==L =；221222r u u u ===L ；L ；12mm m mr u u u ==L =.又因为L n =，根据变换T 有：111112111()()()()u r c t u t u t u t u L r n=====⋅=L ；12221222212()()()()u u r c c t u t u t u t u L r r n+=====⋅=+L ；;L121212()()()()mm u u u m m mr m m c c c t u t u t u t u L r r r L n+++=====⋅=+++=L L L ；所以12111222():(),(),,()(),(),,()(),(),,().m m m m r r r T A t u t u t u t u t u t u t u t u t u 个个个，，即12111121212():,,,,,,,,,.m r r r T A r r r r r r r r r L L L +++个个个，，，所以12111121212(()):(),(),,(),(),(),,()(),(),,().m r r r T T A t r t r t r t r r t r r t r r t L t L t L +++个个个，，因为11212,m r r r r r r <+<<+++所以有11121212(),(),,()m t r r t r r r r t r r r L =+=++++=.因此，112121211112,,,r r r r r b b b r b b b r r +++========+1211211212m m r r r r r r n m b b b r r r L --++++++++====+++=即(()):T T A 12111121212,,,,,,,,,.m r r r r r r r r r r r r L L L +++个个个，，，从而()(1,2,,)i i b t a i n ==.因此结论成立. ...........................14分 3、解：（Ⅰ）因为1||1x =，所以2||2x =，所以2S 中的元素有(1,2),(1,2),(1,2),(1,2)----. （Ⅱ）先证充分性因为对于任意的{1,2,3,,}i n ∈，都有i i a b =，所以11n ni i i i a b ===∑∑．再证必要性因为11||1,||2||i i x x x +==，所以数列{||}i x 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以1||2i i x -=．假设存在{2,3,,}j n ∈，使得||||j j a b =．所以j j a b =或j j a b =-．若j j a b =-，不妨设0j a >，则0j b <，因为11||||1a b ==，111-111112||21||212j j j j j i i j i i x x x ----==-==-<=-∑∑≤． 所以10jii a=>∑，10ji i b =<∑，这与11j ji i i i a b ===∑∑矛盾．所以j j a b =．当2j =时，必有11a b =． 所以 对于任意{1,2,3,,}i n ∈，都有i i a b =．综上所述， “11nni i i i a b ===∑∑”的充要条件是“i i a b =(1,2,3,,)i n =” ．（Ⅲ）因为 111-111112||21||212n n n n n i i n i i x x x ----==-==-<=-∑∑≤， 所以1ni i x =∑为正数，当且仅当0n x >．因为 对于任意的正整数k n <，12k k x -=或12k --，所以集合n T 中，元素为正数的个数为111122212n n C C C --=个，所以 所有的正数元素的和为11112224n n n n n x ----=⋅=.4、解：（Ⅰ）4a 的值可以取2,0,6-- （Ⅱ）因为2n n b a =，因为1n n b b +<对任意n *∈N 成立，所以{}n b 为单调递增数列， 即数列{}n a 的偶数项2462,,,...,...n a a a a 是单调递增数列 根据条件21a =-，40a =所以当20n a ≥对2n ≥成立 下面我们证明“数列{}n a 中相邻两项不可能同时为非负数”假设数列{}n a 中存在1,i i a a +同时为非负数 因为1|i i |a a i +-=，若1,i i a a i +-= 则有1(1)12i i i a a i i ++-=+≥>，与条件矛盾 若1,i i a a i +-=-则有112i i i a a i i +-=+≥>， 与条件矛盾 所以假设错误，即数列{}n a 中相邻两项不可能同时为非负数 此时20n a ≥对2n ≥成立，所以当2n ≥时，21210,0n n a a -+≤≤，即212212,n n n n a a a a -+<< 所以 22121n n a a n --=-，2122(22)n n a a n ---=--所以2212122()()1n n n n a a a a ----+-=即2221n n a a --=，其中2n ≥ 即11n n b b --=，其中2n ≥ 又121b a ==-，240b a ==所以{}n b 是以11b =-，公差为1的等差数列，所以1(1)2n b n n =-+-=- （Ⅲ） 记1231k k k S a a a a a -=+++++由（Ⅱ）的证明知，1,n n a a +不能都为非负数 当0n a ≥，则10n a +<，根据1||n n a a n +-=，得到1n n a a n +=-，所以112212n n n n a a a n n +-+=-≤-≤- 当10n a +≥，则0n a <根据1||n n a a n +-=，得到+1n n a a n =-，所以11112202n n n n a a a n n +++-+=-≤-≤ 所以，总有10n n a a ++≤成立当n 为奇数时，1||n n a a n +-=，故1,n n a a -的奇偶性不同，则1n n a a ++1≤- 当n 为偶数时，10n n a a ++≤ 当k 为奇数时，1231()()0k k k S a a a a a -=+++++≤考虑数列：01,1,2,2,--，，12k --，12k -⋯ 可以验证，所给的数列满足条件，且0k S = 所以k S 的最大值为0当k 为偶数时，121()()2k k k k S a a a a -=++++≤-考虑数列：01,1,2,2--，，，-22k -，22k -，2k -可以验证，所给的数列满足条件，且2k kS =-所以k S 的最大值为2k-5、解：(Ⅰ)对于数列{n a }，当n=1时， 1322a a +==2a ，显然不满足集合W 的条件①，故{}n a 不是集合W 中的元素。