重庆市普通高中学生学业水平考试数学模拟试卷(一)
重庆市主城区2024届高三上学期第一次学业质量检测试题 数学含解析
高2024届学业质量调研抽测（第一次）数学试卷（答案在最后）（数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z 满足(1i)2i z ⋅+=-，其中i 为虚数单位，则z z +等于（）A.iB.i- C.1D.1-2.已知集合{}22530A x x x =-++≥，{}2B x x =∈≤N ，则A B ⋂的真子集个数为（）A.3B.4C.7D.83.2023年10月31日，神州十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x ，众数为y ，则（）A.88,90x y ==B.83,90x y ==C.83,85x y == D.88,85x y ==4.英国著名数学家布鲁克·泰勒（Taylor Brook ）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+⋯，其中!123n n =⨯⨯⨯⨯ ．根据该展开式可知，与35722223!5!7!-+-+ 的值最接近的是（）A.sin 2︒B.sin 24.6︒C.cos 24.6︒D.cos 65.4︒5.已知某社区居民每周运动总时间为随机变量X （单位：小时），且()25.5,X N σ~，(6)0.2P x >=．现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（）A.0.642B.0.648C.0.722D.0.7486.已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()1212f x x f x f x +=+，且0x >时，()0f x <，则关于x 的不等式()()220f x f x +≥的解集为（）A.[]2,0-B.[]0,2C.(][),20,-∞-+∞ D.(][),02,-∞⋃+∞7.过点P 作圆22:4150C x y x +--+=的两条切线，切点分别为,A B ，若PAB 为直角三角形，O 为坐标原点，则OP 的取值范围为（）A.(22+ B.(44-+C.22⎡-+⎣D.44⎡-+⎣8.2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（）A.50B.36C.26D.14二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知3515a b ==，则下列结论正确的是（）A.lg lg a b> B.a b ab+=C.1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.4a b +>10.已知函数()32e 2xf x x x ax =+--，则()f x 在()0,∞+有两个不同零点的充分不必要条件可以是（）A .e 2e 1a -<<- B.e 1e a -<<C.e e 1a <<+ D.e 1e 2a +<<+11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为,F O 为坐标原点，其准线与x 轴交于点M ，经过点M 的直线l 与抛物线交于不同两点()()1122,,,A x y B x y ，则下列说法正确的是（）A.5OA OB ⋅=B.存在50AMF ∠=︒C.不存在以AB 为直径且经过焦点F 的圆D.当ABF △的面积为时，直线l 的倾斜角为π6或5π612.如图，在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11C D 的中点，M 是线段1A E 上的一点，则下列说法正确的是（）A .当M 点与1A 点重合时，直线1AC ⊂平面ACMB.当点M 移动时，点D 到平面ACM 的距离为定值C.当M 点与E 点重合时，平面ACM 与平面11CC D D 夹角的正弦值为3D.当M 点为线段1A E 中点时，平面ACM 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面面积为32三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量,a b 满足2,3,25a b a b ==-= ，则⋅=a b ________．14.已知()()2sin cos cos20,0,0f x a x x b x a b ωωωω=⋅+>>>的部分图象如图所示，当3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值为________．15.已知点F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，过坐标原点作一条倾斜角为3π的直线交椭圆于,P Q两点，FP FQ FP FQ +=-，则该椭圆的离心率为________．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，记2222123n n T a a a a =++++ ，则n T =________；若数列{}n b 满足3203n n b T n =--，则123n b b b b ++++L 的最小值是________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在梯形ABCD 中，//,AB CD ABC ∠为钝角，2,4AB BC CD ===，sin 4BCD ∠=．（1）求cos BDC ∠；（2）设点E 为AD 的中点，求BE 的长．18.已知首项为正数的等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，满足412S S S =⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()114cos πn n n n b n a a ++=⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近6年产值情况，数据如下表所示：年份201820192020202120222023编号x 123456产值y /百万辆91830515980（1）若用模型e bx y a =⋅拟合y 与x 的关系，根据提供的数据，求出y 与x 的经验回归方程（精确到0.01）；（2）为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S 店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望，参考数据：661120.88,80.58ii i i i ux u ====∑∑，其中ln i i u y =．参考公式：对于一组数据(),(1,2,3,,)i i x y i n = ，其经验回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率截距的最小二乘估计分别为1221ˆˆ,niii nii x ynx y b ay bx xnx ==-⋅==--∑∑．20.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB AP =，,6,45AB AD AB AD CD CDA ⊥+==∠=︒．（1）若E 为PB 的中点，求证：平面PBC ⊥平面ADE ；（2）若平面PAB 与平面PCD所成的角的余弦值为6．（ⅰ）求线段AB 的长；（ⅱ）设G 为PAD 内（含边界）的一点，且2GB GA =，求满足条件的所有点G 组成的轨迹的长度．21.已知点M 为圆22:(2)4C x y -+=上任意一点，()2,0B -，线段MB 的垂直平分线交直线MC 于点Q ．（1）求Q 点的轨迹方程；（2）设过点C 的直线l 与Q 点的轨迹交于点P ，且点P 在第一象限内．已知()1,0A -，请问是否存在常数λ，使得PCA PAC λ∠=∠恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由．22.（1）已知函数()()e xn f x x n =+，（,e n +∈N 为自然对数的底数），记()n f x 的最小值为n a ，求证：211e e ni i a =>-∑；（2）若对()()11,,e 12ln 0axx a x x x ∞⎛⎫∀∈++-+≥ ⎪⎝⎭恒成立，求a 的取值范围．高2024届学业质量调研抽测（第一次）数学试卷（数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z 满足(1i)2i z ⋅+=-，其中i 为虚数单位，则z z +等于（）A.iB.i- C.1D.1-【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求出z ，再结合共轭复数的意义求解即得.【详解】依题意，2i (2i)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222z ----====-++-，则13i 22z =+，所以1z z +=.故选：C2.已知集合{}22530A x x x =-++≥，{}2B x x =∈≤N ，则A B ⋂的真子集个数为（）A.3B.4C.7D.8【答案】C 【解析】【分析】求出集合A 、B ，可求出集合A B ⋂，可得出集合A B ⋂的元素个数，即可得出A B ⋂的真子集个数.【详解】因为{}{}2212530253032A x x x x x x x x ⎧⎫=-++≥=--≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，{}{}{}2220,1,2B x x x x =∈≤=∈-≤≤=N N ，则{}0,1,2A B = ，所以，A B ⋂的真子集个数为3217-=.故选：C.3.2023年10月31日，神州十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x ，众数为y ，则（）A.88,90x y ==B.83,90x y ==C.83,85x y ==D.88,85x y ==【答案】D 【解析】【分析】首先0.05a =，再根据百分位数和众数的计算方法即可.【详解】由题意得()0.0050.030.015101a +++⨯=，解得0.05a =，因为0.050.30.35+=，0.050.30.50.85++=，则0.350.750.85<<，则样本数据的75%分位数位于[)80,90，则()0.35800.050.75x +-⨯=，解得88x =，因为样本数据中位于成绩[)80,90之间最多，则众数为8090852y +==，故选：D .4.英国著名数学家布鲁克·泰勒（Taylor Brook ）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+⋯，其中!123n n =⨯⨯⨯⨯ ．根据该展开式可知，与35722223!5!7!-+-+ 的值最接近的是（）A.sin 2︒B.sin 24.6︒C.cos 24.6︒D.cos 65.4︒【答案】C【解析】【分析】观察题目将其转化为三角函数值，再将弧度制与角度制互化，结合诱导公式判断即可.【详解】原式()()sin 2sin 257.3sin 9024.6cos 24.6=≈⨯=+=，故选：C .5.已知某社区居民每周运动总时间为随机变量X （单位：小时），且()25.5,X N σ~，(6)0.2P x >=．现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（）A.0.642B.0.648C.0.722D.0.748【答案】B 【解析】【分析】根据正态分布的对称性结合概率的乘法公式即可.【详解】由题意得( 5.5)0.5P x >=，则(5.56)0.50.20.3P x <<=-=，则(56)0.320.6P x <<=⨯=，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为223333C 0.60.4C 0.60.648⨯+=,故选：B .6.已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()1212f x x f x f x +=+，且0x >时，()0f x <，则关于x 的不等式()()220f x f x +≥的解集为（）A.[]2,0-B.[]0,2C.(][),20,-∞-+∞ D.(][),02,-∞⋃+∞【答案】A 【解析】【分析】根据函数单调性和奇偶性则得到不等式，解出即可.【详解】任取12t t <，则210t t ->，而0x >时，()0f x <，则()210f t t -<，()()()()()22112111f t t t t f t t f t f t ⎡⎤=-+=-+<⎣⎦，所以()f x 在R 上单调递减，12,x x ∀∈R ，()()()1212f x x f x f x +=+，取120x x ==，则(0)0f =，令21x x =-，得()()()1100f f x f x =+-=，所以()f x 为R 上的奇函数，()()220f x f x +≥，即()()22f x f x ≥-，则22x x ≤-，解得[]2,0x ∈-故选：A.7.过点P 作圆22:4150C x y x +--+=的两条切线，切点分别为,A B ，若PAB 为直角三角形，O 为坐标原点，则OP 的取值范围为（）A.(22+ B.(44-+C.22⎡-+⎣D.44⎡-+⎣【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，求出点P 的轨迹，再利用圆的几何性质求解即得.【详解】圆22:(2)(1C x y -+-=的圆心C ，半径1r =，由,PA PB 切圆C 于点,A B ，且PAB 为直角三角形，得90,||||APB PA PB ∠== ，连接,AC BC ，则90CAP CBP ∠=∠= ，即四边形APBC 是正方形，||PC =，因此点P 在以点C 为半径的圆上，而||4OC ==，于是max min ||4|4OP OP =+=-，所以OP 的取值范围为44⎡+⎣.故选：D8.2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（）A.50B.36C.26D.14【答案】A 【解析】【分析】按照2,2,1和3,1,1分组讨论安排.【详解】（1）按照2,2,1分3组安装，①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有24C 6=种，②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有122432C C A 24=种，（2）按照3,1,1分3组安装，①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有3242C A 8⋅=种，②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有2242C A 12=种，故共有62481250+++=种，故选：A .二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知3515a b ==，则下列结论正确的是（）A.lg lg a b> B.a b ab+=C.1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.4a b +>【答案】ABD 【解析】【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC ，利用基本不等式即可判断D.【详解】由题意得33log 15log 10a =>>，55log 15log 10b =>=，1510log 3a <=，1510log 5b<=，则110a b <<，则0a b >>，对A ，根据对数函数lg y x =在()0,∞+上单调递增，则lg lg a b >，故A 正确；对B ，因为151511log 3log 51a b+=+=，即1a b ab +=，则a b ab +=，故B 正确；对C ，因为0a b >>，根据指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，则1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对D ，因为0a b >>，111a b+=，()11224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时等号成立，而显然a b ¹，则4a b +>，故D 正确；故选：ABD.10.已知函数()32e 2xf x x x ax =+--，则()f x 在()0,∞+有两个不同零点的充分不必要条件可以是（）A.e 2e 1a -<<-B.e 1e a -<<C.e e 1a <<+D.e 1e 2a +<<+【答案】BCD 【解析】【分析】将问题转化为2e 2x a x x x =+-，令2e ()2(0)x g x x x x x=+->，利用导数讨论()g x 的单调性，求出min ()g x ，由()f x 在()0,∞+有2个不同零点的充要条件为e 1a >-，从而作出判断.【详解】因为32()e 2(0)x f x x x ax x =+-->，令()0f x =，则2e2xa x x x=+-，令2e ()2(0)xg x x x x x=+->，则22223e e 22()(1e ())2x x x x x x x g x x x x-+-+'-==，注意到2e 20x x +>，令()0g x '=，解得1x =，所以当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，则min ()(1)e 1g x g ==-，且当x 趋近于0或∞+时，()g x 都趋近于+∞，若()f x 在()0,∞+有2个不同零点的充要条件为函数()y g x =与y a =图象在第一象限有2个交点，所以e 1a >-，即()f x 有2个零点的充要条件为e 1a >-，若符合题意，则对应的取值范围为()e 1,∞-+的真子集，结合选项可知：A 错误，BCD 正确；故选：BCD.11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为,F O 为坐标原点，其准线与x 轴交于点M ，经过点M 的直线l 与抛物线交于不同两点()()1122,,,A x y B x y ，则下列说法正确的是（）A.5OA OB ⋅=B.存在50AMF ∠=︒C.不存在以AB 为直径且经过焦点F 的圆D.当ABF △的面积为时，直线l 的倾斜角为π6或5π6【答案】AD 【解析】【分析】设直线AB 的方程为1x my +=，将其与抛物线方程联立，得到韦达定理式，将其整体代入即可判断ACD ，求解直线与抛物线相切时的情况即可判断B.【详解】对A ，由题意得()1,0F ，准线方程为=1x -，则()1,0M -，显然当直线AB 的斜率为0，即直线AB 的方程为0y =，此时不合题意，设直线AB 的方程为1x my +=，联立抛物线方程24y x =，得2440y my -+=，216160m ∆=->，解得1m >或1m <-，124y y m +=，124y y ⋅=，2114y x =，2224y x =，则()2121216y y x x =，121616x x =，则121=x x ，()11,OA x y = ，()22,OB x y =，则1212145OA OB x x y y ⋅=+=+=，A 正确；对B ，当直线AB 与抛物线相切时，AMF ∠最大，则216160m ∆=-=，解得1m =±，根据抛物线对称性取1m =分析：此时直线方程为1y x =+，此时直线斜率为1，则45AMF ∠=︒，因此不存在50AMF ∠=︒，B 错误；对C ，假设存在以AB 为直径且经过焦点F 的圆，则0FA FB ⋅=，()()11221,,1,FA x y FB x y =-=- ，则()()1212110FA FB x x y y ⋅=--+=，即()12121210x x x x y y -+++=，()212121211242x x my my m y y m +=-+-=+-=-,即()121220x x y y -++=，即()224240m --+=，m =，满足1m >或1m <-，即存在以AB 为直径且经过焦点F 的圆，C 错误；对D ，211122ABF S MF y y =-=⨯== ，m =此时直线斜率为3±，则直线l 的倾斜角为π6或5π6，故D 正确.故选：AD.12.如图，在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11C D 的中点，M 是线段1A E 上的一点，则下列说法正确的是（）A.当M 点与1A 点重合时，直线1AC ⊂平面ACMB.当点M 移动时，点D 到平面ACM 的距离为定值C.当M 点与E 点重合时，平面ACM 与平面11CC D D 夹角的正弦值为3D.当M 点为线段1A E 中点时，平面ACM 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面面积为32【答案】ACD【解析】【分析】对A ，根据平行线确定一个平面即可判断，对BC 建立空间坐标系进行判断，对D 作出截面图形，并求出相关长度，利用面积公式即可求出.【详解】对A ，因为11//AA CC ，所以点11,,,A A C C 四点共面，当M 点与1A 点重合时，直线1AC ⊂平面ACM ，故A 正确；对B ，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，因为E 为11C D 中点，则设()12,,1M t t -，10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1,0,0A ，()0,1,0C ，则()1,1,0AC =- ，()2,,1AM t t =- ，()1,0,0DA =，设平面ACM 的方向量为(),,m x y z = ，则0AC m AM m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y tx ty z -+=⎧⎨-++=⎩，令1y =，则1,x z t ==，所以()1,1,m t =，则点D 到平面ACM的距离DA m d m ⋅== B 错误；对C ，当M 点与E 点重合时，由B 知此时12t =，11,1,2m ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，平面11CC D D 的法向量()1,0,0n = ，设平面ACM 与平面11CC D D 夹角为θ，2cos 3m nm n θ⋅===，则sin 3θ==，故C 正确；对D ，连接11A C ，并在上底面内将直线11A C 沿着11B D的方向平移，直至该直线经过点M ，交11D A 于点P ，交11C D 于点N ，因为11//AA CC ，11AA CC =，所以四边形11AA C C 为平行四边形，所以11//A C AC ，因为11//PN A C ，所以//AC PN ，因为点M PN ∈，所以平面ACM 截正方体1111ABCD A B C D -所得的图形为四边形APNC ，不妨以1D 为坐标原点，在上底面内建立如图所示平面直角坐标系，则()110,1,,02A E ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为M 为线段1A E 中点，则11,42M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据直线11//PN A C ，则1PN k =，设直线PN 的方程为y x b =+，代入点M 坐标得1124b -=+，解得34b =-，则34y x =-，则点P 位于线段11A D 的四分之一等分点处，且靠近点1A ，点N 位于线段11C D 的四分之一等分点处，且靠近点1C ，则174AP CN ===，AC =，PN =//AC PN ，则四边形APNC8=,则12832APNC S =⨯=梯形，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题BC 选项的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式和面面角的空间向量求法进行计算判断，对D 选项的关键是作出截面图形，并求出相关长度，得出其截面为等腰梯形，最后计算面积即可.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量,a b 满足2,3,25a b a b ==-= ，则⋅= a b ________．【答案】154【解析】【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算即得.【详解】由25a b -= ，得224425a b a b +-⋅= ，而2,3a b == ，则4494·25a b +⨯-= ，所以154a b ⋅= .故答案为：15414.已知()()2sin cos cos20,0,0f x a x x b x a b ωωωω=⋅+>>>的部分图象如图所示，当3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值为________．【解析】【分析】由图象求出函数()f x 的解析式，然后利用正弦型函数的基本性质可求得函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【详解】因为()()2sin cos cos2sin 2cos20,0,0f x a x x b x a x b x a b ωωωωωω=⋅+=+>>>，设()()()sin 20,0f x A x A ωϕω=+>>，由图可知，函数()f x 的最小正周期为ππ4π612T ⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭，则2π2π22πT ω===，又因为()()max min22222f x f x A -+===，则()()2sin 2f x x ϕ=+，因为ππ2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得πsin 16ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以，()ππ2π62k k ϕ-=+∈Z ，则()2π2π3k k ϕ=+∈Z ，则()2π2π2sin 22π2sin 233f x x k x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3π04x ≤≤时，2π2π13π2336x ≤+≤，故()max 2π2sin 232f x ==⨯=.15.已知点F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，过坐标原点作一条倾斜角为3π的直线交椭圆于,P Q两点，FP FQ FP FQ +=-，则该椭圆的离心率为________．【答案】1-##1-【解析】【分析】分析得四边形FPF Q '为矩形，则得到OFP △为正三角形，再利用椭圆定义和离心率定义即可.【详解】令椭圆的左焦点为F '，半焦距为c ，分别连接F P '，F Q '，由FP FQ FP FQ +=-，得四边形FPF Q '为矩形，而π3FOP ∠=，则OFP △为正三角形，所以||FP c =，F P '=，2|1)a PF PF c ∴=+'=∣，则椭圆离心率为1ce a==-，1.16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，记2222123n n T a a a a =++++ ，则n T =________；若数列{}n b 满足3203n n b T n =--，则123n b b b b ++++L 的最小值是________．【答案】①.413n -②.48-【解析】【分析】由n a 与n S 的关系推导出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式，利用等比数列求和公式可求得n T 的表达式，分析数列{}n b 的单调性，找出数列{}n b 所有非正数项，即可求得123n b b b b ++++L 的最小值.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，当1n =时，则11121a S a ==-，解得11a =，当2n ≥时，由21n n S a =-可得1121n n S a --=-，上述两个等式作差可得122n n n a a a -=-，则12n n a a -=，所以，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，则11122n n n a --=⨯=，所以，214n na -=，则2121444n n n n a a +-==，且211a =，所以，()222212311441143nnn nT a a a a ⋅--=++++==- ，32034204n n n b T n n =--=--，则()()114201442043420n n nn n b b n n ++⎡⎤-=-+----=⋅-⎣⎦，当1n =时，210b b -<，即12b b >，当2n ≥时，134200nn n b b +-=⋅->，则1n n b b +<，故数列{}n b 从第二项开始单调递增，因为1200b =-<，且340b b =<，所以，123n b b b b ++++L 的最小值为1232028048b b b ++=--+=-.故答案为：413n -；48-.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在梯形ABCD 中，//,AB CD ABC ∠为钝角，2,4AB BC CD ===，sin 4BCD ∠=．（1）求cos BDC ∠；（2）设点E 为AD 的中点，求BE 的长．【答案】（1）78；（2）2【解析】【分析】（1）在BCD △中利用余弦定理求出BD ，再利用二倍角的余弦公式计算即得.（2）利用（1）的结论，借助向量数量积求出BE 的长.【小问1详解】在梯形ABCD 中，由//,AB CD ABC ∠为钝角，得BCD ∠是锐角，在BCD △中，sin 4BCD ∠=，则1cos 4BCD ∠==，由余弦定理得4BD ==，即BCD △为等腰三角形，所以27cos cos(π2)cos 212cos 8BDC BCD BCD BCD ∠=-∠=-∠=-∠=.【小问2详解】由//AB CD ，得ABD BDC ∠=∠，由点E 为AD 的中点，得1()2BE BA BD =+，所以||2BE = .18.已知首项为正数的等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，满足412S S S =⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()114cos πn n n n b n a a ++=⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =+（2）当n 为偶数时，11233n T n =-+，当n 为奇数时，11233n T n =--+.【解析】【分析】（1）根据等差数列前n 和公式即可求出1a ，则得到其通项公式；（2）分n 为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可.【小问1详解】由题意得{}n a 是公差为2的等差数列，且412S S S =⋅，即()11141222a a a +=+，又因为10a >，所以13a =，所以数列{}n a 的通项公式1(1)21n a a n d n =+-=+.【小问2详解】由（1）知()()()()()2123214111cos πc 23os πn n b n n n n n n +⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⋅⎝+++⎭+，当n 为偶数时，11111111113557792123233n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，当n 为奇数时，1111111,(3)2132123233n n n T T b n n n n n -=+=---=--≥++++，经检验，1n =时，满足11233n T n =--+，综上，当n 为偶数时，11233n T n =-+，当n 为奇数时，11233n T n =--+.19.实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近6年产值情况，数据如下表所示：年份201820192020202120222023编号x 123456产值y /百万辆91830515980（1）若用模型e bx y a =⋅拟合y 与x 的关系，根据提供的数据，求出y 与x 的经验回归方程（精确到0.01）；（2）为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S 店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望，参考数据：661120.88,80.58ii i i i ux u ====∑∑，其中ln i i u y =．参考公式：对于一组数据(),(1,2,3,,)i i x y i n = ，其经验回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率截距的最小二乘估计分别为1221ˆˆ,niii nii x ynx y b ay bx xnx ==-⋅==--∑∑．【答案】（1） 1.980.43e x y +=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）令ln ln e ln bx u y a bx a ===+，利用最小二乘法求出，即可得解；（2）分析可知，利用超几何分布()4,5,8X H ~可得出随机变量的分布列，利用超几何分布的期望公式可求【小问1详解】令ln ln e ln bx u y a bx a===+123456 3.56x +++++==，20.883.486u ==，则12222222622618ˆ0.586 3.5 3.480.431234566 3.5i i i ii x unx xbunx ==-⋅-⨯⨯==+++++-⨯-=∑∑，ˆln 3.480.43 3.5 1.98a=-⨯=，所以 1.98ˆe a =，所以 1.980.43 1.980.43e e e e x x bx y a +⋅=⨯==【小问2详解】由题意得1,2,3,4X =，()135348C C 511C 7014P x ====，()225348C C 3032C 707P x ====，()315348C C 3033C 707P x ====，()405348C C 514C 7014P x ====，分布列为：X1234P1143737114数学期望()452.58E X ⨯==20.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB AP =，,6,45AB AD AB AD CD CDA ⊥+==∠=︒．（1）若E 为PB 的中点，求证：平面PBC ⊥平面ADE ；（2）若平面PAB 与平面PCD 所成的角的余弦值为66．（ⅰ）求线段AB 的长；（ⅱ）设G 为PAD 内（含边界）的一点，且2GB GA =，求满足条件的所有点G 组成的轨迹的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）（ⅰ）2；（ⅱ）π3.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，再结合面面垂直的判定推理即得.（2）以点A 为原点，建立空间直角坐标系，设AB t =，利用面面角的向量求法结合已知求出t ，再求出AG 并确定轨迹求解即得.【小问1详解】在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，则PA AD ⊥，而,,,AB AD AB PA A AB PA ⊥=⊂ 平面PAB ，于是AD ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，则AD PB ⊥，由AB AP =，E 为PB 的中点，得,,,AE PB AE AD A AE AD ⊥=⊂ 平面ADE ，因此PB ⊥平面ADE ，而PB ⊂平面PBC ，所以平面PBC⊥平面ADE .【小问2详解】（ⅰ）由（1）知，直线,,AB AD AP 两两垂直，以点A 为原点，直线,,AB AD AP 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，过C 作CF AD ⊥于F，由45CD CDA =∠=︒，得1CF DF ==，令(05)AB t t =<<，则(0,0,),(0,6,0),(1,5,0)P t D t C t --，(0,6,),(1,1,0)PD t t CD =--=-，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z = ，则(6)00n PD t y tz n CD x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令y t =，得(,,6)n t t t =- ，由AD ⊥平面PAB ，得平面PAB 的一个法向量(0,1,0)m =，依题意，|||cos ,|||||m n m n m n ⋅〈〉==24120t t +-=，而0t >，解得2t =，所以线段AB 的长为2.（ⅱ）显然AB ⊥平面PAD ，而AG ⊂平面PAD ，则AB AG ⊥，又2BG AG =，于是222(2)2AG AG =+，解得3AG =，因此点G 的轨迹是以点A为圆心，3为半径的圆的14，所以点G 的轨迹的长度为1233ππ233⋅=.21.已知点M 为圆22:(2)4C x y -+=上任意一点，()2,0B -，线段MB 的垂直平分线交直线MC 于点Q ．（1）求Q 点的轨迹方程；（2）设过点C 的直线l 与Q 点的轨迹交于点P ，且点P 在第一象限内．已知()1,0A -，请问是否存在常数λ，使得PCA PAC λ∠=∠恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2213y x -=（2）2λ=，证明见解析.【解析】【分析】（1）利用双曲线定义即可得到其方程；（2）先得到特殊情况时2λ=，再证明其对一般情况也适用.【小问1详解】连接QB ，则||||||2(||42)QB QC QM QC CM BC -=-===>‖‖‖‖，Q ∴点的轨迹是以点C ，B 为焦点的双曲线，Q ∴点的轨迹方程为:2213y x -=.【小问2详解】因为Q 点的轨迹方程为:2213yx -=，则1,2a c ==.当直线l 的方程为2x =时，则22213y -=，解得3y =（负舍，）则(2,3)P ，而3AC a c =+=，易知此时ACP △为等腰直角三角形，其中,24ACP PAC ππ∠=∠=，即2ACP PAC ∠=∠，即:2λ=，下证：2ACP PAC ∠=∠对直线l 斜率存在的情形也成立，设()11,P x y ，其中11x ≥，且12x ≠，因为()1,0A -，则111PA y k x =+，且221113y x -=，即()221131y x =-，()()()1111222221111221212tan tan 21tan 1111PA PAy x y k x PACPAC PAC k x y y x ⋅++∠∠====-∠-+-⎛⎫- ⎪+⎝⎭，()()()()()()1111122111112121tan 22122131x y x y y PAC x x x x x ++-∴∠===-+--+--，11tan tan 22PC y ACP k PAC x -∴∠=-==∠-，∴结合正切函数在ππ0,,π22⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的图象可知，2ACP PAC ∠=∠.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用先猜后证的思想，先得到直线斜率不存在时2λ=，然后通过二倍角得正切公式证明一般情况即可.22.（1）已知函数()()e xn f x x n =+，（,e n +∈N 为自然对数的底数），记()n f x 的最小值为n a ，求证：211e e ni i a =>-∑；（2）若对()()11,,e 12ln 0axx a x x x ∞⎛⎫∀∈++-+≥ ⎪⎝⎭恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）对()n f x 求导，利用导数求出()n f x 最小值，即n a ，然后得到1ini a =∑，进而证明不等式；（2）将()1e12ln 0axa x x x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭变形为()()22e 11ln ax ax x x +≥+，构造函数()()ln 1g x x x =-，利用导数求单调性和最值，证明恒成立，求出a 的取值范围.【详解】（1）证明：因为()()e xn f x x n =+，()()()e e 1e xxxn f x x n x n =+'=+++，因为x +∈N ，()()1e xn f x x n =++'，当()()1e 0xn f x x n +'=+=时，即1x n =--，当1x n >--时，()0n f x '>，()n f x 在()1,n ∞--+，x +∈N 上单调递增，当1x n <--时，()0n f x '<，()n f x 在(),1n ∞---，x +∈N 上单调递减，当1x n =--时，()()1min 1e n n n f x f n --=--=-所以1en n a --=-，()211234112121e e e 1e e e e +e1e e e n n nn in i aa a a -----------=-⨯-=+++=-+++=-=--∑ 因为210e e <-，所以221e 1e e e e n -->--，即211e e ni i a =>-∑.综上，211e e ni i a =>-∑.（2）()()11,,e 12ln 0axx a x x x ∞⎛⎫∀∈++-+≥ ⎪⎝⎭，即()21e 12ln 0axx a x x ⎛⎫++-≥ ⎪⎝⎭，所以()()2e 121ln 0axax x x +-+≥，即()()22e 11ln axax x x +≥+，令()()ln 1g x x x =-，()()ln 11x g x x x =-+-'，()()()22112111x g x x x x -=-=---''，当12x <<时，()0g x ''<，当2x >时，()0g x ''>，所以()g x '在()1,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，所以()()22g x g ''≥=，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，因为()()22e 11ln axax x x +≥+，所以()()2e 11axg g x +≥+，即2e 111ax x +≥+>，即2e ax x ≥，即2ln ax x ≥，即2ln xa x≥，令()2ln x h x x =，()21ln 2xh x x -'=⨯，当()0h x '=时，e x =，当1e x <<时，()0h x '>，即()h x 在()1,e 上单调递增，当e x >时，()0h x '<，即()h x 在()e,∞+上单调递减，，所以()()max 2ln e 2e e eh x h ===，所以()max 2 ea h x≥=，所以a的取值范围为2,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：将原不等式进行构造，利用函数的单调性转化为2ln xax≥在()1,+∞上恒成立，利用分离参数思想再求最值即可.。
2020年7月重庆市普通高中学业水平合格性模拟考试数学试卷附答案
2020年7月重庆市普通高中学业水平合格性模拟考试数学试卷附答案一、单项选择题（共28小题 ，每小题3分，共84分）从每个小题的三个备选项中，选出一个最符合题目要求的答案。
1.已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={0，1，2}，B={5}，那么（∁UA ）∪B=（ ）A.{0，1，2}B.{3，4，5}C.{1，4，5}2.对于实数a ，b ，c ，“ac2＞bc2”是“a ＞b ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件3.已知实数x ，y 满足xy-2=x+y ，且x ＞1，则y （x+11）的最小值为A.21B.24C.274.不等式-x2+2x-4＞0的解集为（ ）A.RB.∅C.{x|x ＞0，x ∈R ）5.已知实数a 满足：a2-1≤0．命题P ：函数y=x2-4ax-1在[-1，1]上单调递减．则命题P 为真命题的概率为（ ）A. 14B. 13C. 12 6.已知三个函数y=x3，y=3x ，y=log3x ，则A.定义域都为RB.值域都为RC.在其定义域上都是增函数 7.已知函数f (x )=2x cosx 4x +a 是偶函数，则函数f （x ）的最大值为） A.1B.2C. 12 8.函数f （x ）=cos x 2-√3sin x 2，若要得到奇函数的图象，可以将函数f （x ）的图象A.向左平移π3个单位B.向左平移2π3个单位C.向右平移π3个单位 9.已知sinβ+cosβ=−√2，β∈（0，2π），则tan β=( )A.1B.-1C.±110.化简AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. BA ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AC⃗⃗⃗⃗⃗ 11.已知数列{an}的前n 项和Sn=n2，则数列{1an a n+1}的前2020项和为( ) A. 20194039 B. 40384039 C. 2020404112.将一个球的半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的( )A.2倍B.4倍C.8倍13.已知正方体的体积是8，则这个正方体的外接球的体积是( )A. 2√3πB. 4√3πC. 4√3π314.已知直线l1：3x+（a-2）y+a=0与直线l2：ax+y+3=0平行，则实数a=( )A.-1或3B.3C.-115.如果A （1，3）关于直线l 的对称点为B （-5，1），则直线l 的方程是( )A. x-3y+8=0B.3x+y+4=0C.x+3y-4=016.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R如下，其中拟合效果最好的模型是( )A.模型1的相关指数R=0.2B.模型2的相关指数R=0.8C.模型3的相关指数R=0.917.某平台为一次活动设计了“a”、“b”、“c”三种红包，活动规定：每人可以获得4个红包，若集齐至少三个相同的红包（如：“aaab”），或者集齐两组两个相同的红包（如：“aabb”），即可获奖．已知小赵收集了4个红包，则他能够获奖的不同情形数为( )A.9B.10C.1218.国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为( )A.378B.306C.19819.已知集合A={x|x2-x-2＜0}，B={x|a＜x＜a+3}．若A∩B={x|0＜x＜2），则A∪B=( )A.{x|-2＜x＜3}B.{x|-1＜x＜3}C.{x|0＜x＜3}20.下列选项中，说法正确的是( )A.“∃x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“∃x0∈R，x02-x＞0”B.若向量满足，则与的夹角为钝角C.“x∈A∪B”是“x∈A∩B”的必要条件21.已知函数f（x）=e x−1e x+1，a=f（20.3），b=f（0.20.3），c=f（log0.32），则a，b，c的大小关系为( ) A.b＜a＜c B.c＜b＜a C.b＜c＜a22.设f（x）={elnxx,x>02020x,x≤0（其中e为自然对数的底数），g（x）=f2（x）-（2m-1）f（x）-2，若函数g（x）恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为( )A.m＜0B.m＜1C.m＞223.下列函数中，在区间（-1，1）上为减函数的是( )A.y=cosxB.y=ln（x+1）C.y=cos(π2+x)24.已知向量=（-2，3），=（3，m），且⊥，则m =( )A. 92B.-2C.225.数列{an}中，若a1=2,a n+1=2a na n+2，则a7=( )A. 18B.17C.2726.等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=a2+2a3，S2是S1与mS3的等比中项，则m的值为A.1B.17C.6727.在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P-ABC的三视图的面积之和最大值为( )A.6B.7C.828.若a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则a 和c 的位置关系是( )A.异面或平行B.异面或相交C.相交、平行或异面二、判断题（本大题共 8小题，每小题 2 分，共 16分）判断下列各小题的正误，正确的填涂“√”，错误的填涂“×”。
重庆市七校联盟2022-2023学年高一上数学期末学业水平测试模拟试题含解析
f
(x)
x
，将点 (4, 2) 代入得 4
=2
，解得
1 2
，则
f
x
1
x2 ，
1
所以
f
1 4
1 2 4
1 2
，答案
B.
【点睛】主要考查幂函数解析式的求解以及函数值求解，属于基础题.
9、B 【解析】首先根据题中所给的三视图，得到点 M 和点 N 在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点 M、N 在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果. 【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征， 将圆柱的侧面展开图平铺, 可以确定点 M 和点 N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，
【详解】弧长为 π cm 的弧所对的圆心角为 π ，则 r r 4 44
S 1 r2 1 16 2
2
24
故选 C
【点睛】本题考查了扇形 面积，求出半径是解题的关键.
6、B 【解析】根据零点存在性定理即可判断出零点所在的区间.
【详解】因为 f 2 lg 2 4 5 lg 2 1 0 ， f 3 lg3 6 5 lg31 0 ， 所以函数 f x lg x 2x 5 在区间 2,3内有零点，所以 n 3 .
15．142(5) ______ (2) .
16．函数 y log0.5 4x 3 的定义域为_________.
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知函数 f x sin x 3 cos x
（1）求不等式 f x ≤1的解集；
重庆市(新版)2024高考数学人教版模拟(预测卷)完整试卷
重庆市（新版）2024高考数学人教版模拟(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（）A．B．C．D．1第(2)题已知为复数单位，，则的模为（）A．B．1C．2D．4第(3)题“是第二象限角”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件第(4)题已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（）A．B．C．D．第(5)题在的二项展开式中，二项式系数的和为（）A．8B．16C．27D．81第(6)题已知命题p：若，则；命题q：若方程只有一个实根，则.下列命题中是真命题的是（）A．B．C．D．第(7)题已知命题，，则p的否定是（）A．，B．，C．，D．，第(8)题已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，下列说法正确的有（）A．曲线在处的切线方程为B．的单调递减区间为C．的极大值为D．方程有两个不同的解第(2)题a，b为两条直线，，为两个平面，则以下命题不正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，，，则D．若，，则第(3)题红黄蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色．已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有红黄蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，两人分别进行等量调配，A表示事件“甲调配出红色”；B表示事件“甲调配出绿色”；C表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是（）．A．事件A与事件C是独立事件B．事件A与事件B是互斥事件C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知向量，，点为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标是___________.第(2)题一个盒子里有2个黑球和3个白球，现从盒子里随机每次取出1个球，每个球被取出的可能性相等，取出后不放回，直到某种颜色的球全部取出．设取出黑球的个数，则__________，__________．第(3)题已知向量，，，且，则实数_______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题设椭圆E：经过点，且离心率，直线垂直x轴交x轴于T，过T的直线l 1交椭圆E于，两点，连接，，．(1)求椭圆E的方程；(2)设直线PA，PB的斜率分别为，．（ⅰ）求的值；（ⅱ）如图：过P作x轴的垂线l，过A作PT的平行线分别交PB，l于M，N，求的值．第(2)题已知数列是首项为9，公比为的等比数列．(1)求的值；(2)设数列的前项和为，求的最大值，并指出取最大值时的取值．第(3)题在直角坐标系中，直线的参数方程为，以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）若直线与曲线有且仅有一个公共点，求点的直角坐标；（2）若直线与曲线相交于两点，线段的中点横坐标为，求直线的普通方程.第(4)题某小区有块绿地，绿地的平面图大致如下图所示，并铺设了部分人行通道．为了简单起见，现作如下假设：假设1：绿地是由线段，，，和弧围成的，其中是以点为圆心，圆心角为的扇形的弧，见图1；假设2：线段，，，所在的路行人是可通行的，圆弧暂时未修路；假设3：路的宽度在这里暂时不考虑；假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示．图1-图3中的相关边、角满足以下条件：直线与的交点是，，．米．小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭．根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米．(1)假设休息亭建在弧的中点，记为，沿和线段修路，如图2所示．求的长；(2)假设休息亭建在弧上的某个位置，记为，作交于，作交于．沿、线段和线段修路，如图3所示．求修建的总路长的最小值；(3)请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价．第(5)题如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将沿EF翻折至，得到四棱锥，P为的中点．(1)证明：平面；(2)若平面平面EFCB，求直线与平面BFP所成的角的正弦值．。
2023-2024学年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟试题(一)数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟试题（一）数学模拟试题一、单项选择题（共28小题，每小题3分，共84分）在每小题给出的三个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2,3,4M =，{}3,4,5N =，则M N ⋂＝（）A.{}2 B.{3,4}C.{2,3,4,5}【正确答案】B【分析】根据交集运算法则即可计算得出M N ⋂.【详解】由{}2,3,4M =，{}3,4,5N =，利用交集运算可得{}3,4M N ⋂=.故选：B2.已知函数3()23f x x x =-+，那么(2)f 的值（）A.3B.5C.7【正确答案】C【分析】把2x =代入解析式即可求解.【详解】3(2)22237f =-⨯+=.故选：C3.下列函数是奇函数的是（）A.sin y x =B.cos y x= C.ln y x=【正确答案】A【分析】根据函数奇偶性定义判断.【详解】对()sin ,R f x x x =∈，()()sin f x x f x -=-=-，故()sin f x x =为奇函数，故A 正确；对()cos ,R g x x x =∈，()()cos g x x g x -==，故()cos g x x =为偶函数，故B 错误；对()()ln ,0,h x x x =∈+∞，因为定义域没有对称性，故()ln h x x =既不是奇函数也不是偶函数，故C 错误.故选：A4.22log l 00og 81-=（）A.70B.2log 70C.3【正确答案】C【分析】根据对数运算公式求解.【详解】2322228080108231log log log log 0log ====-.故选：C5.若实数a ，b ，c 满足a b >，0c <，则（）A.ac bc >B.ac bc< C.a c b c+<+【正确答案】B【分析】根据不等式性质判断.【详解】因为a b >，0c <，所以ac bc <，故A 错误，B 正确；根据不等式可加性知a c b c +>+，故C 错误.故选：B6.下列值域是[)0,∞+的是（）A.y x= B.1y x=C.y =【正确答案】C【分析】分别求出各函数的值域.【详解】对A ：y x =值域为R ，故A 错误；对B ：1y x=值域为(),0(0,)-∞⋃+∞，故B 错误；对C ：y =的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭－，在定义域上为增函数，故值域为[)0,∞+，故C 正确.故选：C.7.圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（）A.1:1B.1:2C.2:1【正确答案】A【分析】按圆柱侧面积和球的表面积公式计算即可.【详解】设球的半径的r ，依题意圆柱的底面半径也是r ，高是2r ，圆柱的侧面积=22π24πr r r ⋅=，球的表面积为24πr ，其比例为1:1，故选：A.8.已知圆锥的体积是3π，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径是（）A. B.C.3【正确答案】B【分析】设底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据圆锥的体积公式可得29h r =，根据圆锥的侧面积公式可得2l r =，再结合h =即可求解.【详解】设底面半径为r ，高为h ，母线为l ，如图所示：则圆锥的体积21π3π3V r h ==，所以29r h =，即29h r=，又212π2π2S rl r =⋅=侧，则2l r =，又h ==39=，故r =.故选：B9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB AD ==，12AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积是（）A.6B.9C.18【正确答案】A【分析】根据题意证得AC ⊥平面11BDD B ，得到四棱锥11A BB D D -的高为2h =，结合体积公式，即可求解.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB AD ==，连接AC 交BD 于点O ，可得AC BD ⊥，又由1BB ⊥平面ABCD ，且AC ⊂面ABCD ，所以1AC BB ⊥，因为1BD BB B ⋂=，且1,BD BB ⊂平面11BDD B ，可得AC ⊥平面11BDD B ，所以四棱锥11A BB D D -的高为322h AO ==，所以11A BB D D -的体积11113226332BB D D V S h =⋅=⨯⨯=.故选：A.10.若实数a ，b 满足i i(1i)a b +=-，则a b +=（）A.2B.2- C.1【正确答案】A【分析】利用复数相等求出,a b 即可.【详解】因为i i(1i)1i a b +=-=+，所以1,1a b ==，所以2a b +=，故选：A.11.点(1,1)到直线3420x y +-=的距离是（）A.1B.2C.【正确答案】A【分析】直接利用点到直线的距离公式得到答案.【详解】515d ===，故选：A12.已知圆C 的一条直径的两个端点是分别是(1,1)O 和(3,3)A ，则圆的标准方程是（）A.()222(2)1x y -+-=B.()222(2)2x y -++=C.()222(2)2x y -+-=【正确答案】C【分析】根据条件求出圆心与半径写出圆的方程.【详解】因为圆C 的一条直径的两个端点是分别是(1,1)O 和(3,3)A ，所以圆心为(2,2)M ，直径为2R ==，所以圆的标准方程是()222(2)2x y -+-=.故选：C.13.直线:20+-=l x y 被圆22:9C x y +=截的的弦长为（）A. B. C.【正确答案】B【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理求出弦长.【详解】22:9C x y +=的圆心为()0,0，半径为3，则圆心到直线:20+-=l x y 的距离为d ==则:20+-=l x y 被圆22:9C x y +=截的的弦长为=故选：B14.王老师对本班40名学生报名参与课外兴趣小组（每位学生限报一个项目）的情况进行了统计，列出如下的统计表，则本班报名参加科技小组的人数是（）组别数学小组写作小组体育小组音乐小组科技小组频率0.10.20.30.150.25A.10人B.9人C.8人【正确答案】A【分析】根据参加科技小组的频率，求出参加科技小组的人数.【详解】参加科技小组的频率0.25,则本班报名参加科技小组的人数是0.254010⨯=人.15.袋中有4个红球，5个白球，6个黄球，从中任取1个，则取出的球是白球的概率为（）A.13B.23C.12D.15【正确答案】A【分析】根据样本空间和样本点和古典概型的概率即可求解.【详解】在任取1个球的事件中，取记i A 为取的是第i 个红球，记i B 为取的是第i 个白球，记i C 为取的是第i 个黄球，记取出的球是白球的事件为M ，所以样本空间{}123412345123456Ω,,,,,,,,,,,,,,A A A A B B B B B C C C C C C =,取出的球是白球的事件{}12345,,,,M B B B B B =，则取出的球是白球的概率为51153=，故选：A.16.函数()cos 6f x x =的最小正周期是（）A.π2B.π3 C.π4【正确答案】B【分析】利用周期公式2πT ω=，即可得答案.【详解】∵函数()cos 6f x x =，∴2π2ππ63T ω===，故选：B.17.已知角α的终边位于第二象限，则点(sin ,cos )P αα位于（）A.第二象限B.第三象限C.第四象限【正确答案】C【分析】根据角的终边所在象限，确定其正弦值和余弦值的符号，即可得出结果.【详解】因为角α的终边在第二象限，则sin 0α>，cos 0α<，所以点P 在第四象限．18.在平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b =，则AC =（）A.a b +B.a b-C.2a b+【正确答案】A【分析】根据向量加法的平行四边形法则求解.【详解】平行四边形ABCD 中，AC AB AD a b =+=+.故选：A19.已知向量(1,2)a = ，(3,4)b = ，则32a b -=r r（）A.(3,4)B.(3,2)C.(3,2)--【正确答案】C【分析】根据向量的坐标运算，准确运算，即可求解.【详解】由向量(1,2)a = ，(3,4)b =，根据向量的坐标运算，可得32(3,2)a b -=--r r .故选：C.20.已知角α是第一象限角，3cos 5α=，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.310B.34310- C.310【正确答案】B【分析】利用两角和差公式和同角三角函数的基本关系即可【详解】3cos 5α=，且角α是第一象限角，4sin 5α∴==，πππ3143cos cos cos sin sin 333525210ααα-⎛⎫∴+=-=⨯-⨯=⎪⎝⎭.故选：B.21.若3cos210cos 1αα+=则cos2cos αα+=（）A.49-B.﹣1C.109【正确答案】A【分析】利用二倍角公式解出cos α即可.【详解】23cos210cos 6cos 310cos 1,αααα+==-+23cos 5cos ,20αα+-=∴cos ,576α-±=且11cos α≤≤-，,57163cos α∴-+==且2cos ,25cos 3αα-=2410cos 1741,cos cos2cos 23cos 1cos cos 39ααααααα∴-+--=+==-=-+故选：A.22.在ABC 中，若21,3cos 3,BC AC C ===，则sin B =（）A.6B.5C.6【正确答案】A【分析】根据余弦定理求得c =，再根据正弦定理即可求解.【详解】由题意可得1,3BC a AC b ====，AB c =，由余弦定理可得2222222cos 1321363c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，即c ，又2cos ,(0,π)3C C =∈，可得sin 3C =，利用正弦定理可知sin sin b cB C =,所以53sin 3sin 6b CB c⨯===.故选：A.23.下列数列中等差数列的是（）A.31n a n =+B.31nn a =+ C.2log 1n a n =+【正确答案】A【分析】根据等差数列的定义依次分析即可.【详解】对于A ，13n n a a +-=，相邻两项的差为常数，是等差数列；对于B ，113323n n nn n a a ++-=-=⨯，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；对于C ，()2221log log l 1og 1n n n a a n n n++-=+-=，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；故选：A24.已知等差数列{}n a 的公差为2，前5项之和为25，则2a =（）A.2B.3C.4【正确答案】B【分析】根据等差数列的性质求解.【详解】在等差数列{}n a 中，()155355252a a S a +==＝，所以35a =，所以23523a a d =-=-=.故选：B25.已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为3，则5S =（）A.162B.486C.242【正确答案】C【分析】根据等比数列求和公式求解即可.【详解】依题意，知等比数列{}n a 的首项为2，公比为3，所以()5552133124213S ⨯-==-=-.故选：C.26.设a ，R b ∈，则“a b >”是“33a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件【正确答案】C【分析】根据()3f x x =单调性及充要条件的定义来判断即得．【详解】因为()3f x x =在R 上为增函数，则a b >可以推出33a b >，反之，若33a b >，则可推出a b >，所以“a b >”是“33a b >”的充分必要条件.故选：C.27.已知a ＞0，b ＞0，a +2b ＝4，则ab 的最大值是（）A.B.2C.4【正确答案】D【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】()211212422222a b ab a b +⎛⎫=⋅≤=⨯= ⎪⎝⎭，等号成立条件是2a b =，即244a b b +==时取等号，即当且仅当2,1a b ==时取等号，所以ab 的最大值是4.故选：D .28.已知0.12a =，0.20.5b =，0.5log 1.1c =，则（）A.c<a<bB.c b a<< C.b a c<<【正确答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的性质，将a ，b ，c 与0和1进行比较即可.【详解】由已知0.12a =，0.20.20.210.522b -⎛⎫=== ⎪⎝⎭∵指数函数()2xf x =在R 上单调递增，且值域为()0,∞+，∴()()()00.200.1f f f <-<<，∴0.200.102212-<<=<，即01b a<<<又∵对数函数()0.5log g x x =在区间()0,∞+单调递减，∴()()1.11g g <，即0.50.5log 1.1log 10<=，即0c <.综上所述，a ，b ，c 的大小关系为c b a <<.故选：B.二、判断题（共8个小题，每个题2分，共16分）判断下列各小题正误，正确的写正确，错误的写错误29.方向相同的两个向量是相等向量.（）【正确答案】×【分析】根据相等向量的定义即可判断.【详解】因为方向相同且大小相等的两个向量是相等向量，所以方向相同的两个向量是相等向量是错误的.故×30.已知直线l //平面α，则直线l 平行平面内任意一条直线.（）【正确答案】错误【分析】根据线面的位置关系以及直线与平面平行的性质定理判定.【详解】已知直线l //平面α，根据线面平行的性质定理，直线l 平行于过直线l 的平面与平面α的形成的交线.故错误.31.已知点(1,3),(2,9)A B ，则直线AB 的斜率为6.（）【正确答案】正确【分析】根据直线的斜率公式，即可求解.【详解】由(1,3),(2,9)A B ，根据斜率公式，可得93621AB k -==-，所以是正确的.故正确32.方差反应了一组数据的离散程度.（）【正确答案】√【分析】根据方差的意义即可判断.【详解】根据方差的意义可知，方差反应了一组数据的离散程度，所以方差反应了一组数据的离散程度是正确的.故√33.掷一枚骰子，事件“双数朝上”的概率为12，则掷100次，刚好有50次双数朝上.（）【正确答案】错误【分析】根据概率的意义判断.【详解】掷一枚骰子，事件“双数朝上”的概率为12，当此试验重复多次后双数朝上”的概率稳定在12附近，它是一个随机事件，所以不能确定掷100次中双数朝上的次数.故错误34.对于函数1ln 1y x x =+-的定义域为{|1}x x ≠.（）【正确答案】×【分析】根据对数函数和分式函数的定义域即可求解.【详解】因为1ln 1y x x =+-而ln x 中的真数0x >，分式11x -中的1x ≠，所以1ln 1y x x =+-的定义域为{|0x x >且1}x ≠，故×.35.圆锥是以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周而成的曲面所围成的几何体.（）【正确答案】正确【分析】根据圆锥的定义判断.【详解】以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥，故以上说法正确.故正确.36.函数y x =与函数2y =表示同一个函数.（）【正确答案】×【分析】利用函数的定义进行判断即可【详解】因为y x =的定义域为R ，而2y =的定义域为[)0+∞，，所以函数y x =与函数2y =不是同一个函数.故×。
2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟(一)数学试题(高频考点版)
一、单选题1. 中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式，例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解．右图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图．对应的是正四棱台中间位置的长方体，、、、对应四个三棱柱，、、、对应四个四棱锥．若这四个三棱柱的体积之和等于长方体的体积，则四棱锥与三棱柱的体积之比为（）A ．3:1B ．1:3C ．2:3D ．1:62. 中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数，若，则在区间上可以用二次函数来近似代替，其中，，若令，请依据上述算法，估算的近似值是（ ）A．B．C．D．3.单位圆上有两定点，及两动点，且.则的最大值是（ ）A．B．C．D．4. 已知球的半径为5，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为2，若其中一个圆的半径为4，则另一个圆的半径为( )A ．3B．C．D ．25. 在的展开式中，的系数为（ ）A．B ．21C ．189D．6. 函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象A．向左平移个单位长度B ．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D ．向右平移个单位长度7. 某车间加工某种机器的零件数（单位：个）与加工这些零件所花费的时间（单位：min）之间的对应数据如下表所示：个102030405062687581892023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟（一）数学试题(高频考点版)2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟（一）数学试题(高频考点版)二、多选题三、填空题四、解答题由表中的数据可得回归直线方程，则加工70个零件比加工60个零件大约多用（ ）A．B．C．D．8.如图，四棱锥中，，和都是等边三角形，则异面直线与所成角的大小为（）A．B．C．D．9.已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）．A．B．C．D．10. 已知为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则下列说法正确的是（ ）A．B．⊥平面C ．在圆锥侧面上，点A到中点的最短距离为3D．圆锥内切球的表面积为11. 已知函数的图象上，对称中心与对称轴的最小距离为，则下列结论正确的是（ ）A．函数的一个对称点为B ．当时，函数的最小值为C．若，则的值为D．要得到函数的图象，只需要将的图象向右平移个单位12.若函数是定义域为的单调函数，且对任意的，都有，且方程在区间上有两个不同解，则实数的取值可能为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．313. 曲线在点处的切线方程为__________.14.一个圆锥的表面积为，其侧面展开图为半圆，当此圆锥的内接圆柱（圆柱的下底面与圆锥的底面在同一个平面内）的侧面积达到最大值时，该内接圆柱的底面半径为__________.15. 已知向量，，则向量与的夹角为__________．16. 某电视节目为选拔出现场录制嘉宾，在众多候选人中随机抽取名选手，按选手身高分组，得到的频率分布表如图所示.(1)请补充频率分布表中空白位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；(2)为选拔出舞台嘉宾，决定在第、、组中用分层抽样抽取人上台，求第、、组每组各抽取多少人？(3)在（2）的前提下，电视节目主持人会在上台人中随机抽取人表演节目，求第组至少有一人被抽取的概率？组号分组频数频率第1组第2组第3组第4组第5组合计17. 已知函数．(1)如果1和是的两个极值点，且的极大值为3，求的极小值；(2)当时，讨论的单调性；(3)当时，且函数在区间上最大值为2，最小值为．求的值．18. 某中外合作办学学院为了统计学院往届毕业生薪酬情况，面向学院部分毕业生发放问卷统计了其薪资情况，共有200名毕业生进行了问卷填写．毕业生年薪（单位：万元），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示，年薪在的毕业生人数比年薪在的毕业生人数多22人．(1)求直方图中x，y的值；(2)①用样本估计总体，比较学院毕业生与同类型合作办学高校毕业生薪资水平，如果至少77%的毕业生年薪高于同类型合作办学高校毕业生平均薪资水平，则说明同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为多少；②若将频率视为概率，现从该学院毕业生中随机抽取4人，其中年薪高于50万的人数为，求的分布列及数学期望．19. 如图在长方体中，，，，点为的中点，点为的中点．（1）求长方体的体积；（2）求异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）．20. 各项均不为0的数列对任意正整数满足：．(1)若为等差数列，求；(2)若，求的前项和．21. 一机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：）服从正态分布，且.(1)求的概率；(2)若从该条生产线上随机选取2个零件，设X表示零件尺寸小于的零件个数，求X的分布列与数学期望.。
2024年重庆市中考模拟测试数学试卷(一)
2024年重庆市中考模拟测试数学试卷（一）一、单选题1．5-的绝对值是（ ） A ．5B ．15C ．15-D ．5-2．下列几何体中，主视图是三角形的为（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，某人沿路线A B C D →→→行走，AB 与CD 方向相同，1128∠=︒，则2∠=（ ）A ．52︒B ．118︒C ．128︒D ．138︒4．如图，D ，E 分别是ABC ∆的边AC ，AB 上的点，ADE ABC △△∽．如果:4:7AD AB =，则:DE BC 的值为（ ）A ．16:49B ．4:7C ．4:14D ．8:75．已知点()3,A m 和点(),2B n 关于x 轴对称，则下列各点不在反比例函数mny x=的图象上的点是（ ） A ．()3,2-B ．()3,2-C ．()1,6--D ．()1,6-6．用正三角形、正四边形和正六边形按如下规律镶嵌平面图案，第一个图案中有正三角形6个，第二个图案中有正三角形10个，…，则第12个图案中正三角形的个数为（ ）A ．48B ．50C ．52D ．547．估计） A ．3和4之间 B ．4和5之间 C ．5和6之间 D ．7和8之间8．如图，BC 是O e 的切线，切点为B ，A 是O e 上一点，连接OA ，OC 和AB ，OC 和AB 交于点D ，CD CB =，22BAO ∠=︒，则OCB ∠的度数为（ ）A ．42︒B ．43︒C ．44︒D ．45︒9．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，点E 为线段BC 的中点，连接OE ，若90BAC ∠=︒，3AE =，4AC =，则OE 的长为（ ）A B ．C ．5D ．5210．对于多项式a b c d e --++，在任意一个字母前加负号，称为“加负运算”，例如：对b 和d 进行“加负运算”，得到：()()a b c d e a b c d e ---+-+=+--+．规定甲同学每次对三个字母进行“加负运算”，乙同学每次对两个字母进行“加负运算”，下列说法正确的个数为（ ）①乙同学连续两次“加负运算”后可以得到a b c d e ----；②对于乙同学“加负运算”后得到的任何代数式，甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式；③乙同学通过“加负运算”后可以得到16个不同的代数式A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题11()04π-的结果是．12．甲袋中装有一个红球和两个黑球，乙袋中装有两个红球和一个黑球，两袋中的球除了颜色不同外其他都相同，如果从两袋中各随机摸出一个球，则摸出的两个球颜色不相同的概率是．13．图形的密铺（或称图形的镶嵌）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．图1所示的是一种五边形密铺的结构图，图2是从该密铺图案中抽象出的一个五边形，其中90C E ∠=∠=︒，A B D ∠=∠=∠，则A ∠的度数是．14．如图，在ABC V 中，过点A 作AD BC ⊥于D ，过点B 作BF AC ⊥于F 交AD 于E ，已知AC BE =，5BD =，2CD =，则AE 的长为．15．2023“全晋乐购”网上年货节活动期间，某商家购进一批进价为80元/盒的吕梁沙棘汁，按150元/盒的价格进行销售，每天可售出160盒．后经市场调查发现，当每盒价格降低1元时，每天可多售出8盒．若要每天盈利16000元，设每盒价格降低x 元，则可列方程为． 16．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAC ＝90°，BC ＝4，∠BCA ＝30°，E 为AD 上一点，以点A 为圆心，AE 长为半径画弧，交BC 于点F ，若BF ＝AB ，则图中阴影部分的面积为（结果保留��）．17．若数a 使关于x 的不等式组()362224x x x a x +⎧<+⎪⎨⎪-≤+⎩的解集为<2x -，且使关于y 的分式方程1311--=-++y ay y 的解为负数，则符合条件的所有整数a 的和为． 18．对于一个各位数字都不为零的四位正整数N ，若千位数字比十位数字大3，百位数字是个位数字的3倍，那么称这个数N 为“三生有幸数”，例如：5321N =，∵523=+，313=⨯，∴5321是个“三生有幸数”；又如8642N =，∵843≠+，∴8642不是一个“三生有幸数”．则最小的“三生有幸数”是．若将N 的千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到一个新的四位数，那么称这个新的数为数N 的“反序数”，记作N '，例如：5321N =，其“反序数”1235N '=．若一个“三生有幸数”N 的十位数字为x ，个位数字为y ，设()1881N N xP N '--=，若()P N 除以6余数是1，则所有满足题意的四位正整数N 的最大值与最小值的差是．三、解答题 19．化简：(1)()()2212x x x -+-；(2)221x x xy y y ⎛⎫++÷ ⎪⎝⎭． 20．在学习矩形时，小南思考怎么在矩形ABCD 里面剪出一个平行四边形，小南的思路是：连接AC ，作ADC ∠的平分线DF ，交AC 于点F ，作ABC ∠的平分线BE ，交AC 于点E ，连接DE ，BF ，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来证明四边形BEDF是平行四边形．(1)尺规作图：作ABC ∠的平分线BE ，交AC 于点E ，连接DE ，BF ．（不写作法，保留作图痕迹）(2)求证：四边形BEDF 是平行四边形． 解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD CD AB CDA ABC =∠=∠，∥，， ∵CD AB ∥， ∴BAE ∠= ，∵BE ，DF 分别平分ABC ∠，ADC ∠，∴12ABE ABC ∠=∠，12CDF CDA ∠=∠，∴ ，∴()ASA ABE CDF ≌△△， ∴BE DF AEB CFD =∠=∠，， ∵180AEB BEF ∠+∠=︒180CFD DFE ∠+∠=︒∴BEF ∠= ． ∴BE DF ∥，∴四边形BEDF 是平行四边形（ ）．21．四月，正是春暖花开、草长莺飞的时节．“时光花店”里各类鲜花的销量都逐步增长，其中大家最喜欢购买的品种是香槟玫瑰和铃兰这两种鲜花．店主对最近10天香槟玫瑰和铃兰这两种鲜花的销售额进行统计，记录下两种鲜花的销售额（单位：元），并作了整理、描述和分析（每天的销售额用x 表示，共分为三个等级，其中A ：400500x ≤<，B ：300400x ≤<，C ：200300x ≤<），下面给出了部分信息：10天里香槟玫瑰的销售额：500，430，370，290，300，360，260，280，360，450． 10天里铃兰的销售额中“B ”等级包含的所有数据为：360，370，370，370． 10天里香槟政瑰和铃兰销售额的统计表根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：a = ，b = ；(2)若四月除去休息日，共开店25天，估计“时光花店”本月的铃兰销售额达到“A ”等级的天数； (3)根据以上数据，你认为四月里香摈玫瑰和铃兰两种鲜花的销售情况哪种更好？请说明理由（写出一条理由即可）．22．如图，在矩形ABCD 中，28cm BC AB ==，点Q 是BC 边的中点，动点P 从点B 出发，沿着B A D C →→→运动，到达点C 后停止运动．已知速度2P v =cm/秒，令BPQ S y =△，运动时间为t 秒（08t <<）．请解答下列问题：(1)求出y 与t 之间的函数表达式，标明自变量的取值范围，并画出函数图象； (2)请写出该函数的一条性质； (3)当4BPQ S =△时，求出t 的值．23．绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A 、B 两种型号的颜料，若购买1盒A 种型号的颜料和2盒B 种型号的颜料需用56元；若购买2盒A 种型号的颜料和1盒B 种型号的颜料需用64元．(1)求每盒A 种型号的颜料和每盒B 种型号的颜料各多少元；(2)绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A 种型号的颜料？24．五一假期期间，小育和小才约定一同去某公园游玩，如图，该公园有A B 、两个门．经测量，东门A 在西门B 的正东方向，400AB ＝米．小育自公园东门A 处出发，沿北偏西45︒方向前往游乐场D 处；小才自西门B 处出发，沿正北方向行走一段距离到达C 处后，然后沿北偏东60︒方向行走200米到达游乐场D 处与小育汇合．(1)求公园东门A 与游乐场D 之间的距离（结果保留根号）；(2)若小育和小才两人分别从A B ，两门同时出发，假设两人前往游乐场D 的速度相同．请计算说明小育和小才谁先到达游乐场D 1.4 1.7 2.4≈） 25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线223y x bx c =-++与直线AB 交于点()()0,4,3,0A B ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线AB 上方抛物线上的一动点，连接OP 交AB 于点C ，求PCCO的最大值及此时点P 的坐标； (3)在（2）中PCCO取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后点P ，B 的对应点分别为E ，F ，点M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点E ，F ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．26．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 在直线AB 上，点E 在直线AC 上，连接BE ，DE ，且BE DE =，直线DE 交BC 于点F ．(1)如图①，当点D 在线段AB 上时，AD 4AC =，求BE 的长； (2)如图②，当D 是AB 的中点时，求证：CE CF BF +=；(3)如图③，连接CD ，将A D C △沿着CD 翻折，得到A CD '△，M 是AB 上一点，且37BM AB =，当A M '最短时，请直接写出DFBE的值．。
2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟(一)数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知，，那么是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 已知函数为奇函数，当时，，且，则（ ）A．B．C．D．3. 设函数，则使得成立的的取值范围为（ ）A．B．C．D．4.已知函数，，，的最小值为，且，则下列说法正确的是（ ）A ．的最小正周期为B．的对称中心为，C ．的单调增区间为，D ．当时，的值域为5. 已知抛物线的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A 、B两点，设直线的倾斜角为，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.的展开式中的系数是，则实数的值为（ ）A．B．C．D．7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．8. 已知，则等于（ ）A．B．C．D．9. 如图，棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，则（）A ．直线为异面直线2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟（一）数学试题2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟（一）数学试题三、填空题四、解答题B．平面C．过点的平面截正方体的截面面积为D．点是侧面内一点（含边界），平面，则的取值范围是10. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，将分别绕边，，所在的直线旋转一周，形成的几何体的体积分别记为，，，侧面积分别记为，，，则（ ）A．B．C．D．11. 设函数，则（ ）A ．是偶函数B ．在上单调递减C．的最大值为2D．的图象关于直线对称12. 已知，设，其中则（ ）A．B．C ．若，则D．13. 函数是定义在上的奇函数，且满足.当时，，则__________.14.在数列中，，，若对于任意的，恒成立，则实数的最小值为______．15.的展开式中二项式系数和为32，则展开式中项的系数为___________.16.已知，分别为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，.且点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程.(2)若过的直线与椭圆交于，两点，且与以为直径的圆交于，两点，试问是否存在常数，使为常数?若存在，求的值；若不存在，说明理由.17. 已知分别为三个内角的对边,．（1）求角A ； （2）若,的面积为,求的周长．18. 已知的三个内角分别为A ，B ，C ，其对边分别为a ，b ，c ，若．(1)求角A 的值；(2)若，求面积S 的最大值．19. 如图，在四棱锥中，（1）证明.（2）若平面平面，经过的平面将四棱锥分成的左､右两部分的体积之比为，求平面截四棱锥的截面面积20. 已知函数，.(1)求函数的单调区间；(2)若，是函数的两个极值点，且，求证：.21. 已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根，，求实数a的取值范围以及的值.。
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重庆市普通高中学生学业水平考试
数学模拟试卷（一）
（考试时间120分钟，满分100分）
本试卷分第I 卷和第II 卷两部分
第I 卷（选择题 共45分）
注意事项：第I 卷选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，则用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷和答题带上.
第I 卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题15小题，每小题3分，共45分）
以下每小题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的
1．已知集合{
}{}5,2,4,3,2,1==N M ，则=N M ( ) A ．∅ B ．{
}5,4,3,2,1 C ．{}2 D ．{}3,2 2．函数12+=
x y 的定义域是（ ） A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞-,21 3．函数⎩⎨⎧=x x f x 2log 2)( 0
0>≤x x ，则=)0(f （ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4．等差数列{}n a 的首项11=a ，公差1=d ，则=4a （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．=0015cos 15sin （ ）
A ．2
B ．1
C ．
21 D ．41 6．圆04422=+-+y x y x 的（ ）
A ．圆心为)2,2(
B ．圆心为)2,2(--
C ．直径为22
D ．直径为2
7．投一枚骰子一次，“出现2点或3点”是（ ）
A ．必然事件
B ．随机事件
C ．不可能事件
D ．无法确定
8．直线0=+-y x 的倾斜角为（ ）
A ．6π
B ．4π
C ．43π
D ．3
π 9．已知)2,0(,32)(2∈++=x x x x f 的值域为（ ）
A ．[]11,2
B ．[)11,2
C ．[]11,3
D ．)11,3(
10．已知向量(3,1),(2,5)==-a b ，那么2+a b 等于（ ）
A ．（－1,11）
B ．（4,7）
C ．（1,6）
D ．（5,－4）
11．要得到函数)42cos(π+
=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象（ ） A ．向右平移8π个长度单位 B ．向左平移8
π个长度单位 C ．向右平移4π个长度单位 D ．向左平移4
π个长度单位 12．=+0
00045sin 15cos 45cos 15sin （ ） A ．22 B ．23 C ．3
3 D ．3 13．如果2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间)4,(-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围为
（ ）
A ．{}3-
B ．[)+∞,5
C ．(]3,-∞-
D ．(]5,-∞-
14．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）
A ．3-
B ．12-
C ．13
D ．2
15．函数a x x x f +-=2)(2在(]2,1-∈x 上恒有意义，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．),1(+∞-
B ．[)+∞-,1
C ．),1(+∞
D ．[)+∞,1
第II 卷（非选择题 共55分）
注意事项：1．填空题的答案必须写在答题卷上，只填结果，不要过程.
2．解答题的解答必须写在答题卷上，并写出必要的文字说明、演算步骤或推理
过程.
3．用钢笔或圆珠笔直接写在答题卷上.
二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）
16．函数2)(2
+=x x f 的奇偶性是
17．函数)621cos()(π-=x x f 的图象相邻的两条对称轴间的距离是 18．若54cos =α，且)0,2(πα-∈，则)2
cos(πα+的值为 19．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，则出现偶数点的概率为
20．下列几何体各自的三视图中，有且仅有有两个视图是相同的是
三、解答题：（本大题5个小题，共40分）
21．（10分）已知函数)sin()2sin()(ππ
-+-=x x x f
（1）求函数)(x f 的最值和最小正周期
（2）求函数)(x f 的对称轴和单调增区间
22．（8分）统计某校1000名学生数学会考成绩，得到样本频率分布直方图（如图）
（1）规定不低于60分的为及格，求及格率
（2）规定80分以上为优秀，求该校优秀的学生人数
23．（8分）已知圆C 的圆心在直线,1+=x y 且过点)3,1(A ，与直线072=-+y x 相切.
（1）求圆C 的方程
（2）设圆C 上总存在两点B A 、关于直线02:=--ay x l 对称，求实数a 的值
24．（8分）如图所示，在四棱锥ABCD P -中，AB CD AD AB CD AB 2,,/=⊥，平面⊥PAD 平面AD PA ABCD ⊥,,E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：
（1）⊥PA 底面ABCD
（2）//BE 平面PAD
（3）平面⊥BEF 平面PCD
25．（6分）定义在R 上的单调函数)(x f 满足1)2(=f 且对任意R y x ∈、都有)()()(y f x f y x f +=+
（1）证明)(x f 为奇函数
（2）若0)242()2(2<--+⋅x x f k f 对任意R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围。