衍射图样的数值模拟_王晓峰

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图2
矩孔阵列及在近场产生的菲涅耳衍射条纹
第 32 卷第 1 期 2013 年 1 月
大 学 物 理 COLLEGE PHYSICS
Vol． 32 No． 1 Jan． 2013
《 — — — 值得推荐的好教材 热力学与统计物理简明教程 》
赵诗华
（ 中国矿业大学（ 北京） 理学院， 北京 100083 ）
参考文献：
［ 1］ 戴又善． 二维小孔的对称变换与夫琅禾费衍射光强分 J］ ． 大学物理， 2011 ， 30 （ 11 ） ： 2127． 布［ ［ 2］ 刘东州． 方孔夫琅禾费衍射的数值模拟［J］ ． 大学物 2011 ， 30 （ 4 ） ： 38-42． 理， ［ 3］ 陈聪， 李定国． 基于快速傅里叶变换的衍射现象的数值 J］ ． 大学物理， 2004 ， 23 （ 9 ） ： 46-49． 仿真［ ［ 4］ 谢嘉宁， 赵建林， 陈伟成， 等． 夫琅禾费衍射的计算机仿 J］ ． 大学物理， 2004 ， 23 （ 3 ） ： 5154． 真［ ［ 5］ 吕 乃 光． 傅 里 叶 光 学［M］ ． 北 京： 机 械 工 业 出 版 社， 2008 ， 8285． ［ 6］ TingChung Poon， Partha P Banerjee． Contemporary Optical Image Processing With MATLAB［M］ ． Oxford： Else vier， 2001 ， 63-67． ［ 7］ 羊国光， M］ ． 合肥： 中国科技大 宋菲君． 高等物理光学［ 2008 ， 126129． 学出版社，
dk x dk y
（ 8）
y， z， t） = Re｛ ψ p （ x， y， z ） e j ω0 t ｝ （ 2） ψ（ x， y， z ） 为复振幅， 其中 ψ p （ x， ω0 为频率． 将式 （ 2 ） 代入 式（ 1 ） 可得亥姆赫兹方程： ψp ψp ψp ω0 2 k0 = （ 3） 2 + 2 + 2 + k0 ψ p = 0 ， v x y z 考虑传播到 z 时 xy 平面的复振幅分布， 对式 （ 3 ） 作 二维傅里叶变换 d2 Ψ p k2 k2 x y 2 + k 1 － － Ψp = 0 0 2 d z2 k2 k 0 0
叶变换
收稿日期： 2012 － 08 － 08

经图片底部的光栅衍射（ 光栅位于 xOy 平面， 刻线方
作者简介： 王晓峰（ 1979 —） ， 男， 重庆涪陵人， 武汉大学物理科学与技术学院讲师， 博士， 主要从事光学实验教学和理论物理科研工作．
第1 期
王晓峰， 等： 衍射图样的数值模拟
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向平行于 y 轴， 光栅常数为 64 λ ） ， 在图片顶部距离 1 /2 倍 Tal光栅 1 倍 Talbot 长度处出现光栅自成像， bot 长度处出现相位反转的自成像， 正则分数倍 Talbot 长度处缩小的像清晰可见． 在分形研究中， 此图 被称为 Talbot 毯．
直接求解式 （ 4 ） 可得空间频率域的复振幅分布 （ 只 考虑前进波） ：
1 － k x / k0 － k y / k0 ky ； z） = Ψp （ kx ， ky ； 0） e － jk0z 槡 （ 5） Ψp （ kx ， 为得到空间域的复振幅分布， 对式 （ 5 ） 作反向傅里
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本文所采用方法的优点是原理清晰， 适合作为 光学教学的补充． 不足之处是用点阵处理衍射屏， 对 圆孔等存在近似； 另外， 标量衍射理论不能处理非常 接近屏的区域．
我们用 Matlab 计算了 15 × 15 矩孔阵列（ 单色平 行光沿 z 轴传播， 衍射屏位于 xOy 平面， 接收屏平行 于 xOy 平面， 单孔长宽 0 ． 001 cm， 孔间距 0． 003 cm， 波长 632． 8 nm， 对应 Talbot 长度约为 0． 29 cm ） 在近 场区域产生的衍射条纹， 结果见图 2 与图 3． 在 Talbot 长度整数倍处， 出现自成像 （ 图 2 （ c ） ， 图 2 （ f） ） ；
3 ） 加强了问题讨论． 一般教材习惯将概念和公 式详细地介绍和论证， 但很少对结果进行讨论． 该书 这对加深同学的物理 在这方面进行了有益的探索， 图像和判断很有好处． 4 ） 在教材正文中穿插了练习题、 设计了思考 题． 主要是针对一些数学方法和近似方法 ， 使得读者 给学生以启迪． 这加强了物理系本科生在 边学边练， 物理环境下用好数学的能力． 5 ） 在物理结果数值化和图像化方面很有特色 ． “热统” 课中有许多本科生不熟悉的概率与统计语 言和模型， 但很少给出实际的例子， 特别是缺乏数量 上的概念， 例如多低的温度可以看成“绝对零 度 ” 等． 该书加强了这方面的内容， 纠正了目前教材中的 ， 一些不正确的示意图 还绘出了便于学生理解概念 的示意图和结果图， 使讲解更生动、 言之有物． 6 ） 首次在热力学与统计学物理教材中增设了 “计算统计物理” 一章， 这是热力学与统计物理教学 现代化的一个尝试． 学生能用书中所介绍的模型和 算法， 给出一些分布律的图像、 实际气体系统、 量子 统计的化学势、 费米能级的计算． 这为本科生开展毕 业论文的研究提供了一个有效的方法 ． 总之， 该书语言精彩、 生动， 现代化气息浓厚， 定 能激发本科生学习本课程的兴趣 ． 这本书难度适中， 非常适合课时较少的、 广大师范和工科院校相关专 业作为教材使用．
《热力学与统计 高等教育出版社 2011 年出版了 《大学物理 》 物理简明教程》 一书， 是 副主编、 北京师 范大学物理系包景东教授历经十多年的教学科研编 作者博览了国内外热物理 写而成的． 在教学过程中， 学、 统计热力学、 平衡态统计物理、 量子统计物理学、 计算物理等教科书及科研论文， 根据教育部物理学 与天文学指导委员会颁布的高等学校物理本科指导 作者希望能编写 性专业规范编写了此书． 长期以来， 出一本教师好教、 学生好学的教材， 经过多年的不懈 努力得以实现． 该书具有如下特色： 1 ） 全书用易懂的语言将深奥的理论表述得准 确清晰， 易于教与学， 作者在每章开头有内容提要、 正文力求编排有序和逻辑严密； 每章均有一些表格， 将重要的公式加以总结， 配备了较典型的例题， 便于 学生举一反三； 每章尾部和课程结束后有内容总结 及学习要求， 有利于学生从热力学与统计物理学的 整体高度掌握好该课程． 2 ） 按照热力学与统计物理学理论建立发展脉 络， 穿插了大量的科学史料． 该书用脚注的形式对一 些重要概念的历史由来加以介绍， 激发学生对物理 有利于培养学生科学思想和科学 思想来源的追踪， 方法． 例如“熵 ” 一词的中文来历、 与热力学与统计 物理有关的诺贝尔物理学奖、 吉布斯佯谬、 获得低温 的方式等等． 这些将课程与现代物理学进展结合了 起来．
第 32 卷第 1 期 2013 年 1 月
大 学 物 理 COLLEGE PHYSICS
Vol． 32 No． 1 Jan． 2013
衍射图样的数值模拟
王晓峰， 于国萍
（ 武汉大学 物理科学与技术学院， 湖北 武汉 430072 ）
摘要： 介绍了平面波角谱理论中得到衍射积分公式的方法 ． 用 Matlab 计算了 15 × 15 矩孔阵列近场区域的衍射图样， 在距 离周期衍射屏特定距离处出现衍射屏的自成像 ． 关键词： 衍射积分； 傅里叶变换； Talbot 效应 中图分类号： O 436． 1 文献标识码： A 文章编号： 1000-0712 （ 2013 ） 01-0050-02
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The numerical simulation of diffraction
WANG Xiaofeng，YU Guoping
（ School of Physics and Technology，Wuhan University，Wuhan，Hubei 430072 ，China）
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上式为本文模拟计算所采用公式 ． 在 Matlab 模拟中， 首先将 xy 平面的二维点阵和矩阵对应， 再运用内置 的对矩 阵 进 行 二 维 傅 里 叶 变 换 （ fft2 ） 和 反 变 换 （ ifft2 ） 的函数， 即可求得传播到 z 时 xy 平面的复振 ［6 ］ 幅分布 ． 由式 （ 8 ） 结合卷积定理可直接得到菲涅 耳衍射积分公式．
Abstract： The method in angular spectrum theory to get the diffraction formula with solving the Helmholtz equation directly is introduced． The neaifield diffraction of a 15 × 15 array of square apertures is calculated， and the Talbot images of the periodic diffraction screen is arisen at specific distances． Key words： diffraction integration； Fourier transformation； Tablot effect
在 1 /2 倍 Talbot 长度处， 出现相位反转的自成像 （ 图 3 （ a） ） ； 在 1 /4 倍 Talbot 长度处出现的副像周期减半 （ 图 3 （ b） ） ．
图 3 矩孔阵列在分数倍 Talbot 长度处得到的菲涅耳衍射条纹
图1
Henry Fox Talbot 和 Talbot 效应
在光学教学中， 对光经特定形状衍射屏的衍射 条纹的数值模拟可以作为常规教学的良好补充． 数 值模拟方法通常分为以下几种： 1 ） 对简单形状衍射 屏， 由菲涅尔 － 基尔霍夫积分推导出结果再用软件 绘出衍射条纹 ； 2 ） 数值计算菲涅尔 － 基尔霍夫积 ［2 ］ 分 ； 3 ） 将屏函数直接作傅里叶变换得到夫琅禾费 衍射条纹的相对强度分布