陕西省西安市蓝田县2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题含解析

2019-2020学年西安市蓝田县高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）1. 复数13ii=+（ ） A.311010i - B.311010i + C.131010i - D.131010i + 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可. 【详解】因为复数()()()13131313i i i i i i -=++- 331101010i i +==+. 故选：B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，属于基础题. 2. 设函数f(x)在x=1处存在导数为2,则()()11lim3x f x f x→+-=( )A. 2B. 1C.23D. 6【答案】C 【解析】 【分析】利用导数概念直接求解．【详解】解：∵函数f （x ）在x ＝1处存在导数， ∴()()()()00111111333x x f x f f x f limlim xx →→+-+-==f ′（1）=23．故选C ．【点睛】本题考查导数的概念，是基础题，解题时要认真审题，注意导数定义的合理运用． 3. 在一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y （2n ≥，12,,,n x x x 不全相等）的散点图中，若所有样本点()(),1,2,,i i x y i n =都在直线115y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ） A. 1- B. 1C. 15-D.15【答案】B 【解析】 【分析】根据样本数据的所有样本点都在一条直线上，得出这组样本数据完全相关，再根据直线的斜率得出是正相关还是负相关即可. 【详解】解：这组样本数据的所有样本点()(),1,2,,i i x y i n =都在直线115y x =+上，∴这组样本数据完全相关，即说明这组数据的样本完全正相关，其相关系数是1. 故选：B.【点睛】本题考查变量的正负相减，一般在散点图中，所有点都在一条斜率为正的直线，则这两个变量正相关，如果所有点在一条斜率为负的直线附近，则这两个变量呈负相关． 4. 袋中装有形状和大小完全相同的4个黑球，3个白球，从中不放回地依次随机摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是( ) A47B. 27C.12D.13【答案】C 【解析】 【分析】首先求出第一次摸到黑球的概率，再求出第二次摸到白球的概率，利用条件概率的求法公式即可求解.【详解】设第一次摸到黑球为事件A ，则()47P A =， 第二次摸到白球为事件B ，则()4376P AB =⨯， 设第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到球的概率为()()()43176427|P AB P B A P A ⨯===. 故选：C.【点睛】本题考查了条件概率的求法，属于基础题. 5. 下列求导运算正确的是( ) A. 2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ B. 21(log )ln 2x x '=C. 3(3)3log x xe '=D. (sin 2)cos2x x '=【答案】B 【解析】 【分析】由导数公式，导数的运算法则以及复合函数求导的法则，进行判断即可.【详解】()1211()1x x x x x -'⎛⎫''+=+=- ⎪⎝⎭ ()21log ln 2x x '=()33ln 3xx'=函数sin 2y x =可看作函数sin y u =和2u x =的复合函数，根据复合函数的求导法则有sin()(2)2cos 2cos 2x u x y y u u x u x '''''=⋅=⋅==故选：B【点睛】本题主要考查了导数公式，导数的运算法则以及复合函数求导的法则的应用，属于基础题.6. 若()6671*n n n C C C n +-=∈Ν，则n 等于（ ）A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合组合数的性质，可得6711n n C C ++=，再结合组合数的性质，从而得到关于n 的方程，解方程即可.【详解】解：根据题意，6671n n n C C C +-=变形可得，6671n n n C C C +=+； 由组合性质可得，6771n n n C C C ++=，即6711n n C C ++=，则可得到16712n n +=+⇒=. 故选：B.【点睛】本题考查组合数的性质，掌握组合数性质是解题关键．组合数的两个性质：（1）m n m n n C C -=；（2）11m m m n n n C C C -+=+．7. 曲线sin cos 1y x x =⋅+在点0,1处的切线方程为（ ）A. 220x yB.220x y +-= C.10x y +-= D.10x y -+= 【答案】D 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在 0x =处的导数，再由直线方程的斜截式得答案. 【详解】由sin cos 1y x x =⋅+，得22cos sin cos 2y x x x '=-=，0|cos 01x y ='∴==，∴曲线sin cos 1y x x =⋅+在点()0,1处的切线方程为 1y x =+.即10x y -+=. 故选：D.【点睛】本题考查利用导数求曲线上在某点切线方程的斜率，考查直线的斜率、导数的几何意义等基础知识，属于基础题．8. 将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务，不同的分配方案有（ ） A. 12种 B. 9种C. 8种D. 6种【答案】C 【解析】 【分析】根据分步计数原理求得不同的分配方案总数.【详解】每名防控新冠疫情志愿者都有两种不同的分配方法，根据分步计数原理可知，不同的分配方案总数为328=种. 故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理，属于基础题.9. 已知在最小二乘法原理下，具有相关关系的变量x ，y 之间的线性回归方程为ˆ0.710.3yx =-+，且变量x ，y 之间的相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ）A. 变量x ，y 之间呈现正相关关系B. 可以预测，当 20x =时，ˆ 3.7y= C. 可求得表中 4.7m =D. 由表格数据知，该回归直线必过点()9,4【答案】D 【解析】【分析】由x 与y 的线性回归方程中x 系数的正负可判断选项A ；把 20x =代入回归直线方程算出ˆy 的值可判断选项B ；先根据表格中的数据求出样本中心点(),x y ，再将其代入线性回归方程，解之即可得m 的值，从而判断C ，D ． 【详解】解：由x 与y 的线性回归方程可知，0.70-<，∴变量x ，y 之间呈现负相关关系，即A 错误；当20x时，ˆ0.72010.3 3.7y=-⨯+=-，即B 错误； 由表中数据可知，68101294x +++==，6321144m my ++++==，根据样本中心点必在线性回归方程上， 有110.7910.34m+=-⨯+，解得5m =，即C 错误； 5m =，1144my +∴==，∴ 样本中心点为()9,4，即D 正确.故选：D.【点睛】本题考查结尾回归直线方程，线性回归直线必定数据的中心点(,)x y ，用回归直线方程可对结论进行预测，要注意预测值不是确定的结果．10. 函数32()27f x x x mx =+++是R 上的单调函数．．．．，则m 的取值范围是（ ） A. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导，得到2()34f x x x m '=++，根据函数特征，以及题中条件，得到2()340f x x x m '=++≥在R 上恒成立，再由判别式，即可得出结果.【详解】因为32()27f x x x mx =+++，所以2()34f x x x m '=++， 由于二次函数开口向上，所以二次函数在R 上不可能恒小于等于零， 所以函数()f x 不可能单调递减，所以函数()f x 是R 上的单调递增函数， 即2()340f x x x m '=++≥在R 上恒成立， 所以16120m ∆=-≤，43m ∴≥. 故选：A【点睛】本题主要考查由函数单调求参数的问题，灵活运用导数的方法求解即可，属于常考题型.11. 李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数是（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15【答案】B 【解析】【分析】由题意将剩余天数编号，转化条件得李明每逢编号为3、4、6、7的倍数时要去配送，利用分类加法即可得解.【详解】将5月剩余的30天依次编号为1，2，3⋅⋅⋅30，因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次，且5月1日李明分别去了这四家超市配送，所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送，则李明去甲超市的天数编号为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天； 李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：4、8、16、20、28，共5天； 李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天； 李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：7、14，共2天； 所以李明需要配送的天数为1050217+++=， 所以整个5月李明不用去配送的天数是301713-=. 故选：B.【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了逻辑推理能力、转化化归思想与分类讨论思想，关键是对于题目条件的转化与合理分类，属于中档题. 12. 已知函数()xx f x e e ax -=-+（a 为常数）有两个不同极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A. [)1,+∞ B. [)2,+∞C. ()2,+∞D. ()1,+∞【答案】C 【解析】 【分析】由导数与极值的关系知可转化为方程()0f x '=在R 上有两个不等根，结合函数的性质可求. 【详解】函数有两个不同极值点，()0x x f x e e a -'∴=--+=有2个不等的实数根,即x x a e e -=+有2个不等的实数根，令()x xg x e e-=+，则()xxg x e e '-=-在R 上单调递增且(0)0g '=，当0?x <时 ()0,()g x g x '<单调递减，当0 x >时，()0,()'>g x g x 单调递增， 所以函数有极小值也是最小值(0)2g =，又当x →-∞时，()g x →+∞，x →+∞，()g x →+∞， 所以2a >即可， 故选：C【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，转化思想，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 某同学从4本不同的科普杂志、3本不同的文摘杂志、2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有_______________种 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意，由分类加法原理完成选书这件事.即可得．【详解】解：根据题意，选取的杂志可分三类：科普，文摘，娱乐新闻． 共 4329?++=种不同选法． 故答案为：9.【点睛】本题考查计数原理，解题关键是确定完成事件的方法，本题可用分类加法原理． 14. 已知随机变量()2~1,N ξσ，若(3)0.2ξ>=P ，则(1)ξ≥-=P __________．【答案】0.8 【解析】分析：根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是x=1，且(3)0.2,P ξ>=依据正态分布对称性，即可求得答案. 详解：随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，∴曲线关于x=1对称，(3)0.2P ξ>=，(1)(3),P P ξξ∴≤-=>(1)1(3)10.20.8.P P ξξ∴≥-=->=-=故答案为0.8.点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，要熟练应用正态分布曲线的轴对称性解决问题.15. 2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲，乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法共有_______________种. 【答案】90 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①将6人平均分成3组，②将分好的三组对应甲乙丙三个贫困县由分步计算原理计算可得答案.【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①将6人平均分成3组，有2226423315C C C A =种分组方法， ②将分好的三组对应甲乙丙三个贫困县，有336A =种情况，则有15690⨯=种派出方法， 故答案为：90. 【点睛】本题考查排列组合的应用，考查分步计数原理和分组分配问题，解题关键是确定完成事件的方法． 16. 已知函数()f x 是定义在R 上连续的奇函数，f x 为()f x 的导函数，且当 0x >时，()()20xf x f x '+>成立，则函数()()2g x x f x =的零点个数是_______________.【答案】1 【解析】 【分析】分析可得g （x ）为R 上连续的奇函数，且在R 上为增函数，说明函数()2()g x x f x =只有1个零点，可得选项.【详解】()()2g x x f x =，函数()f x 是定义在R 上连续的奇函数， 则函数()()2g x x f x =，其定义域为R ，则()()()()2g x x f x g x -=--=-，则()g x 为R 上连续的奇函数，()()2g x x f x =，则()()()()()222g x xf x x f x x xf x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，又由当 0x >时，()()20xf x f x '+>，则有()0g x '>，即函数() g x 为()0,∞+上的增函数， 又由()g x 为R 上连续的奇函数，且()00g =， 则()g x 为R 上的增函数，故函数()()2g x x f x =只有1个零点，故答案为：1.【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性、以及函数的零点个数的判断，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知函数321()3f x x x bx =-+，且(2)3f '=-. （Ⅰ）求b ；（Ⅱ）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）3b =-；（Ⅱ）单调递增区间为(,1)-∞-，(3,)+∞，单调递减区间为(1,3)-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求导代入求解；（Ⅱ）根据导函数的正负与函数单调性的关系求解.【详解】解：（Ⅰ）由已知()22f x x x b =-+'，所以 ()2443f b =-+=-'，所以 3b =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()223f x x x =--'，解()0f x '>，得1x <-或3x >，解()0f x '<，得13x -<<.所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，()3,+∞，单调递减区间为()1,3-.【点睛】本题主要考察导函数与原函数单调性的关系，考查函数单调性的判断，属于基础题. 18. 已知0m ≠，复数()()229z m m i =-+-.（Ⅰ）若z 在复平面内对应的点在第一象限，求m 的取值范围； （Ⅱ）若z 的共轭复数z 与复数85i m+相等，求m 的值. 【答案】（Ⅰ）3m >；（Ⅱ）2m =-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由实部与虚部均大于0联立不等式组求解； （Ⅱ）写出z ，再由复数相等的条件列方程组求解. 【详解】解：（Ⅰ）由题意，22090m m ->⎧⎨->⎩， 解得3m >；（Ⅱ）由()()229z m m i =-+-，得()()229z m m i =---，又z 与复数85i m+相等， 28295m m m ⎧=-⎪∴⎨⎪-=⎩，解得2m =-.【点睛】本题考查复数的概念，复数的相等与共轭复数的定义，属于基础题． 19. 在()102x +的展开式中，求： （Ⅰ）8x 的系数；（Ⅱ）如果第4r 项和第2r +项的二项式系数相等，求r 的值. 【答案】（Ⅰ）180；（Ⅱ）2. 【解析】【分析】先求出展开式的通项.（Ⅰ）令通项中x 的指数为8，求出k 的值即可； （Ⅱ）写出该两项的二项式系数，令其相等，求出r 的值.【详解】解：（Ⅰ）二项式展开式的通项如下：101102x r r r T C x -+=⋅⋅，由已知令108r -=，所以2r.所以含8x 项的系数为21022180C ⋅=.（Ⅱ）第4r 项与第2r +项的二项式系数相等， 则4111010r x C C -+=，即411r r -=+或41110r r -++=.解得2r ，（23r =舍）. 故r 的值为2.【点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式通项公式．20. 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患有某种传染病的患者的相关信息，得到如表：该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.（Ⅰ）请将列联表补充完整；（Ⅱ）根据列联表判断是否有95%把握认为潜伏期与患者年龄有关？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（Ⅰ）列联表见解析；（Ⅱ）没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关.【解析】【分析】（Ⅰ）1000名患者中潜伏期不超过6天的人数为600人，于是200名患者中潜伏期不超过6天的人数为120人，进而得50岁以上（含50岁）且潜伏期不超过6天的人数为65人，再补充完整22⨯列联表即可；（Ⅱ）根据2K的参考公式计算出其观测值，并与附录中的数据进行对比即可得解.【详解】解：（Ⅰ）1000名患者中潜伏期不超过6天的人数为852********++=人，∴200名患者中潜伏期不超过6天的人数为2006001201000⨯=人，∴50岁以上（含50岁）且潜伏期不超过6天的人数为1205565-=人. 补充完整的22⨯列联表如下：（Ⅱ）()222006545355525 2.083 3.84110010012080012K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 故没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关.【点睛】本题考查列联表，考查独立性检验，解题关键是计算出2K ． 21. 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为23和34，且各次射击互相独立. （1）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率；（2）若甲连续射击3次，设命中目标次数为ξ，求命中目标次数ξ的分布列及数学期望. 【答案】（1）1112（2）分布列见详解；()2E ξ= 【解析】 【分析】（1）方法一：设“至少有一人命中目标”为事件A ，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解；方法二：设“两人都没命中目标”为事件B ，利用概率乘法公式求出都不命中的概率，然后再利用间接法即可求解.（2）ξ的取值情况可能为0，1，2，3，利用独立重复试验的概率求法公式求出分布列，进而求出期望.【详解】（1）方法一：设“至少有一人命中目标”为事件A ，231321()343434P A =⨯+⨯+⨯1112=.方法二：（或设“两人都没命中目标”为事件B ，111()3412P B =⨯=. “至少有一人命中目标”为事件A ，111()11212P A =-=. （2）ξ的取值情况可能为0，1，2，3，1111(0)33327P ξ==⨯⨯=132116(1)33327P C ξ==⨯⨯=⋅ ()2322112233327P C ξ==⨯⨯=⋅()2228333327P ξ==⨯⨯=.ξ的分布列为以()61281232272727E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式、独立重复试验的分布列、期望，属于基础题.22. 已知函数()ln f x x ax =-，()2g x x =，a R ∈.（1）求函数()f x 的极值点；（2）若()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）[)1,-+∞. 【解析】 【分析】（1）对实数a 分情况讨论，求导得到导函数的正负，进而得到函数的单调性和极值； （2）由条件可得()2ln 00x x ax x --≤>恒成立，则当0x >时，ln xa x x≥-恒成立，令()()ln 0xh x x x x=->，对此函数求导得到函数的单调性和最值即可得到结果. 【详解】（1）函数()ln f x x ax =-的定义域为()0,∞+，()1f x a x'=-. 当0a ≤时，()10f x a x'=->，所以()y f x =在()0,∞+上单调递增，无极值点； 当0a >时，解()10f x a x '=->得10x a <<；解()10f x a x '=-<得1x a>. 所以()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以函数()y f x =有极大值点是1a，无极小值点； （2）由条件可得()2ln 00x x ax x --≤>恒成立，则当0x >时，ln xa x x≥-恒成立，令()()ln 0x h x x x x =->，则()221ln x x h x x--'=，令()()21ln 0k x x x x =-->， 则当0x >时，()120k x x x'=--<，所以()y k x =在()0,∞+上为减函数. 又(1)0k =，所以，当()0,1x ∈时，()0h x '>；当()1,x ∈+∞上，()0h x '<. 所以()y h x =在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数. 所以()()max 11h x h ==-，所以1a ≥-. 因此，实数a 的取值范围是[)1,-+∞.【点睛】对于函数不等式恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.。