【尖子生】圆的切点弦方程的求法探究

【尖子生】圆的切点弦方程的解法探究
在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。

本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。

一、预备知识：
1、在标准方程2
22)()r b y a x =-+-（下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：2
00))(())r b y b y a x a x =--+--（（ ；
在一般方程022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ） 下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：
02
2
0000=++++++F y y E x x D yy xx 。

2、两相交圆011122=++++F y E x D y x （0412
121>-+F E D ）与
02222
2
=++++F y E x D y x （0422
22
2>-+F E D ） 的公共弦所在的直线
方程为：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 。

3、过圆022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点),11y x P （作圆的切线，其切线长公式为：F Ey Dx y x PA ++++=
112
12
1||。

4、过圆022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点),11y x P （作圆的切线，切点弦AB 所在直线的方程为：
2
11))(())r b y b y a x a x =--+--（（（在圆的标准方程下的形式）
； 0
2
2
1
1
11=++++++F y y E
x x D
yy xx （在圆的一般方程下的形式）。

二、题目 已知圆04422
2
=---+y x y x 外一点P （-4，-1），过点P 作圆
的切线PA 、PB ，求过切点A 、B 的直线方程。

三、解法
解法一：用判别式法求切线的斜率
如图示1，设要求的切线的斜率为k （当切线的斜率存在时），那么过点P （-4，-1）的切线
方程为：)]4([)1(--=--x k y
即 014=-+-k y kx 由 ⎩
⎨⎧
=---+=-+-04420142
2y x y x k y kx 消去y 并整理得
0)12416()268()1(2
2
2
2
=+-+--++k k
x k k
x k ①
令 0)12416)(1(4)268(2
2
2
2
=+-+---=∆k k k k k ② 解②得 0=k 或8
15=
k
将0=k 或815=k 分别代入①解得 1=x 、17
28-=x
从而可得 A(17
28-
,
17
58)、B(1,-1)，
再根据两点式方程得直线AB 的方程为：0235=-+y x 。

解法二：用圆心到切线的距离等于圆的半径求切线的斜率 如图示1，设要求的切线的斜率为k （当切线的斜率存在时），那么过点P （-4，-1）的切线方程为： )]4([)1(--=--x k y
即 014=-+-k y kx
由圆心C(1,2)到切线014=-+-k y kx 的距离等于圆的半径3，得
3)
1(|
1421|2
2
=-+-+-∙k
k k ③
解③得 0=k 或8
15=
k
所以切线PA 、PB 的方程分别为：052815=+-y x 和1-=y 从而可得切点 A(17
28-
,
17
58)、B(1,-1)，
再根据两点式方程得直线AB 的方程为：0235=-+y x 。

解法三：用夹角公式求切线的斜率
如图示1，设要求的切线的斜率为k ，根据已知条件可得
|PC|=34)]1(2[)]4(1[22=--+-- ，3=r ，53
)4(1)1(2=----=PC k
在PAC Rt ∆中，|PA|=5，5
3=
∠CPA tg
由夹角公式，得
5
353153=+
-
k k ④
解④得 0=k 或8
15=k
所以切线PA 、PB 的方程分别为：052815=+-y x 和1-=y 从而可得切点 A(17
28-
,
17
58)、B(1,-1)，
再根据两点式方程得直线AB 的方程为：0235=-+y x 。

解法四：用定比分点坐标公式求切点弦与连心线的交点 如图示1，根据已知条件可得
|PC|=34)]1(2[)]4(1[2
2=--+-- ，3=r ，5
3)4(1)1(2=----=PC k
在PAC Rt ∆中，|PA|=5，AH ⊥PC ，从而可得 9
25=
=HC
PH λ
由定比分点公式，得 H(34
11-,
34
41)
又因为 3
51-
=-
=PC
AB k k
再根据点斜式方程得直线AB 的方程为：0235=-+y x 。

解法五：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之一
如图示2，因为|PA|=|PB|，所以直线AB 就是经过以P
圆C`与圆044222=---+y x y x 的交点的直线，由切线长公式得
|PA|=54)1(4)4(2)1()422
=--∙--∙--+-（
所以圆C`的方程为 082822=-+++y x y x
根据两圆的公共弦所在的直线方程，得 0235=-+y x 即 直线AB 的方程为：0235=-+y x 。

解法六：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之二
如图示3，因为PA ⊥CA ，PB ⊥CB ，所以P 、A 、C 、B 四点共圆，根据圆的直径
式方程，以P （-4，-1）、C （1，2）为直径端点的圆的方
程为
0)2()]1([)1()]4([=-∙--+-∙--y y x x 即 06322=--++y x y x
根据两圆的公共弦所在的直线方程，得 0235=-+y x 即 直线AB 的方程为：0235=-+y x 。

解法七：运用圆的切线公式及直线方程的意义 设切点A 、B 的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，根据过圆上一点的切线方程，得切线PA 、PB 的方程分别为 0
42
42
21111=-+-+∙
-+y y x x yy xx 和 0
42
4
2
22
2
2
2=-+-+∙-+y y x x yy
xx
因为P （-4，-1）是以上两条切线的交点，将点P 的坐标代入并整理，得
⎩⎨
⎧=-+=-+0
2350
2352211y x y x ⑤ 由式⑤知，直线 0235=-+y x 经过两点A ),(11y x 、B ),(22y x ， 所以，直线AB 的方程为：0235=-+y x 。

解法八：直接运用圆的切点弦方程
因为P （-4，-1）是圆04422
2
=---+y x y x 外一点，根据切点弦所在直线的方程0
2
2
1
1
11=++++++F y y E
x x D
yy xx 得
42
1424214=--+∙--+∙
-∙-+∙-）
（）（）（y x y x
整理得，直线AB 的方程为：0235=-+y x 。

解法九：运用参数方程的有关知识
如图4，将圆的普通方程044222=---+y x y x 化为参数方程：
⎩
⎨
⎧+=+=θθ
sin 32cos 31y x （其中θ为参数） 设切点A 的坐标为（θcos 31+，θsin 32+），由PA ⊥CA 得 11
)cos 31(2
)sin 32()4()cos 31()1()sin 32(-=-+-+∙--+--+θθθθ化简，整理得
3sin 3cos 5=
++θθ ⑥
又因为5
3)
4(1)1(2=
----=
PC k
3
51-
=-
=PC
AB k k
可设直线AB 的方程为035=++c y x ，将点A （θcos 31+，θsin 32+）代入并整理，得
03
11sin 3cos 5=+++c θθ
⑦
由式⑥和⑦知，
33
11=+c ，从而得 2-=c 所以，直线AB 的方程为：0235=-+y x。