高中数学选择性必修三 8 1 成对数据的相关关系-A基础练(含答案)

8.1 成对数据的相关关系 ---A 基础练
一、选择题
1．下列现象中线性相关程度最强的是( )
A ．商店的职工人数与商品销售额之间的线性相关系数为0.87
B ．流通费用率与商业利润率之间的线性相关系数为－0.94
C ．商品销售额与商业利润率之间的线性相关系数为0.51
D ．商品销售额与流通费用率之间的线性相关系数为0.70 【答案】B
【详解】线性相关系数r 的绝对值越接近于1，两个变量间的线性相关程度越强，故选B.
2．（2021·福建三明一中高二月考）变量x ，y 的散点图如图所示，那么x ，y 之间的样本相关系数r 最接近的值为( )
A ．1
B ．－0.5
C ．0
D ．0.5 【答案】C
【详解】根据变量x ，y 的散点图，得：x ，y 之间的样本相关关系非常不明显，所以相关系数r 最接近的值应为0.故选C.
3．（2021·山东泰安实验高中高二月考）一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝1
2 x ＋1上，则这组样本
数据的样本相关系数为( )
A ．－1
B ．0
C ．0.5
D ．1 【答案】D
【详解】因为所有的点都在直线上，所以它就是确定的函数关系，所以相关系数为1. 4．甲、乙、丙、丁四位同学各自对x ，y 两变量的线性相关性作试验，求得相关系数r 如表：
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁 【答案】D
【详解】根据题意知，丁同学的相关系数|r |＝0.87为最大，所以丁同学的试验结果体现两变量有 更强的线性相关性．故选D.
5．（多选题）（2021·全国高二课时练）以下两个变量成正相关的是( )
A．学生的学籍号与学生的数学成绩
B．坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数
C．气温与冷饮销售量
D．电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量
【答案】CD
【详解】对于A，学生的学籍号与学生的数学成绩没有相关关系；对于B，一般情况下，坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数成负相关关系；对于C，一般情况下，气温与冷饮销售量成正相关关系；对于D，一般情况下，电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量成正相关关系．综上所述，其中两个变量成正相关的是CD.
6．（多选题）（2021·山东德州市高二期末）对相关系数r来说，下列说法错误的有()
A．|r|≤1，|r|越接近0，相关程度越大；|r|越接近1，相关程度越小
B．|r|≥1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越大，相关程度越小
C．|r|≤1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越接近0，相关程度越小
D．|r|≥1，|r|越接近1，相关程度越小；|r|越大，相关程度越大
【答案】ABD
【详解】用相关系数r可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱，r的绝对值越接近于1，表示两个变量的线性相关性越强，r的绝对值接近于0时，表示两个变量之间几乎不存在相关关系，故“对于相关系数r来说，|r|≤1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越接近0，相关程度越小”，C正确，故选ABD.
二、填空题
7．下列两个变量之间的关系是函数关系的是________．
①角度和它的余弦值；②正方形的边长和面积
③正n边形的边数和内角和；④人的年龄和身高
【答案】①②③
【详解】函数关系是变量之间的一种确定性的关系．①②③中的两个变量之间都是函数关系，可以写出它们的函数关系式，分别为f(θ)＝cos θ，g(a)＝a2，h(n)＝(n－2)×180°.而④中的两个变量之间不是函数关系，对于年龄相同的人来说，可以有不同的身高．
8．（2021·江西上饶市高二期末）某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示．
其散点图如下；
则y 与x （填：是或否）具有线性相关关系． 【答案】是
【详解】由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y 与x 有线性相关关系．
9．已知变量x 和变量y 的3对随机观测数据(2，2)，(3，－1)，(5，－7)，则成对样本数据的样本相关系数是________． 【答案】－20
21
【详解】x － ＝103 ，y － ＝－2，有相关系数公式得∴r ＝－20
21
10．（2021·全国高二专题练习）已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩 60 65 70 75 80 85 90 95 物理成绩
72
77
80
84
88
90
93
95
给出散点图如下：
根据以上信息，判断下列结论：
①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高． 其中正确的个数为________． 【答案】1
【详解】由散点图知，各点都分布在一条直线附近，故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关
关系，但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系，故①正确，②错误；
若甲同学的数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高，故③错误．综上，正确的个数为1. 三、解答题
11．（2021·河南高二期中）5名学生的数学和物理成绩如下表：
画出散点图，并判断它们是否具有相关关系．
【详解】把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标，在直角坐标系中描点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，5)，作出散点图如图．
从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有相关关系，且当数学成绩增大时，物理成绩也在由小变大，即它们正相关．
12．（2021·浙江丽水高级中学高二期中）下图是我国2014年至2021年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
注：年份代码1～7分别对应年份2014～2021.
由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请求出相关系数r ，并用相关系数的大小说明y 与t 相关性的强弱．
参考数据：∑i ＝1
7
y i ＝10.97，∑i ＝1
7
t i y i ＝47.36，
∑i ＝1
7
（y i －y －
）2 ＝0.664，7 ≈2.646.
参考公式：
相关系数r ＝
∑i ＝1
n
（t i －t －）（y i －y －
）
∑i ＝1
n （t i －t －）2∑i ＝1
n （y i －y －
）2
＝
∑i ＝1
n
t i y i －t －∑i ＝1
n
y i
∑i ＝1
n
（t i －t －）2∑i ＝1
n （y i －y －
）2
【详解】由折线图中数据和参考数据得t － ＝4，∑i ＝1
7 (t i －t －
)2＝28,
∑i ＝1
7 （y i －y －）2
＝0.664，∑i ＝1
7 (t i －t － )(y i －y － )＝∑i ＝1
7t i y i －t － ∑i ＝1
7
y i ＝47.36－4×10.97＝3.48， ∴r ≈ 3.48
0.664×2×2.646
≈0.99.
∵y 与t 的相关系数近似为0.99，∴y 与t 的线性相关程度比较高．。