第七章 微元法

微元法求体积
一、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体， 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直 于一定轴的各个截面面积，那么， 于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积 也可用定积分来计算. 也可用定积分来计算
o
a
b
x
设立体介于x=a,x=b之间 之间, 设立体介于 之间 A( x ) 表示过点
0
x
i =1
的弧长. 曲线弧 AB 的弧长
二、直角坐标情形 设曲线弧为 y = f ( x ) ( a ≤ x ≤ b )，其中 f ( x ) 在[a , b]上有一阶连续导数 取积分变量为 x ，在[a , b] 上任取小区间[ x , x + dx ]，
以对应小切线段的长代替小弧段的长
y
}
d y
a
b
x 且ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ直于 x 轴
A 的截面面积， 的截面面积， ( x ) 为 x 的已知连续函数 为积分变量,其变化范围为 取x为积分变量 其变化范围为 为积分变量 其变化范围为[a,b].
[ x , x + dx ]
立体体积
体微元 dV = A( x )dx ,
x
V =
∫
b a
A ( x ) dx .
例 7 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中 心，并与底面交成角α ，计算这平面截圆柱体所 得立体的体积. 得立体的体积
3 2 = πa . 2
r 2 = a 2 cos 2 θ 所围平面图形的面积 所围平面图形的面积. 例 6 求双纽线
解 由对称性知总面积 倍第 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积
A = 4A1
A = 4 ∫0
2
π
4
y= x
A1
=a .
1 2 a cos 2θ d θ 2
cosθ 例 求r=1与r=1+cosθ所围公共面积 与 cos 所围公共面积. 如图,曲线交点为 解 如图 曲线交点为
r =r ( ) 2 θ
∫
求阿基米德螺线r=aθ(a>0)上 例4 求阿基米德螺线 θ 上 相应于θ 所围图形的面积. 相应于θ从 0到2π的一段弧与极轴所围图形的面积 到 π的一段弧与极轴所围图形的面积 如图,可视为 可视为θ 解 如图 可视为θ=0, θ= 2π及r=aθ π θ 围成的曲边扇形.则其面积为 围成的曲边扇形 则其面积为
2 2
(α ≤ θ ≤ β )
∴ ds = (dx ) + ( dy ) = ρ 2 (θ ) + ρ '2 (θ )dθ ,
弧长 s =
∫α
β
ρ 2 (θ ) + ρ '2 (θ )dθ .
例求
y=
∫
x
−
π
2
cos t dt
[−
的全弧长. 的全弧长 ,故弧长为 故弧长为: 故弧长为
解 y=y(x)的定义域为 的定义域为
例8
的圆为底、 求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底圆
直径的线段为顶、 的正劈锥体的体积. 直径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积
解 取坐标系如图 底圆方程为
x +y =R , 垂直于 x 轴的截面为等腰三角形
2 2 2
y
底边长为2y,高为 因此 底边长为 高为h.因此 高为 截面面积
o
x
R
的近似值. 求出相应于这个小区间的部分量 ∆U 的近似值. 能近似地表示为[a,b] [a,b]上的一个连续函数 如果 ∆U 能近似地表示为[a,b]上的一个连续函数 在
x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积, 的乘积,
即 du= f ( x)dx
称为量U 就把 f ( x )dx 称为量U的微元且记作 du,
解 取坐标系如图 底圆方程为 − R
x +y =R
2 2
2
o
α
x
R
y
垂直于 x 轴的截面为直角三角形
边长分别为y和ytan α.因此 边长分别为 和 因此
x
1 2 截面面积 A( x ) = ( R − x 2 ) tanα , 2 立体体积
2 3 1 R 2 2 V = ∫ (R − x ) tanαdx = R tanα . 3 2 −R
二、用定积分表示量U的基本步骤: 用定积分表示量U的基本步骤: (1)根据问题的具体情况, (1)根据问题的具体情况,选取一个变量 根据问题的具体情况 例如x为积分变量,并确定其变化区间[a,b]; 例如x为积分变量,并确定其变化区间[a,b];
[ ] 在区间[a,b] [a,b]内任取一个小区间 (2) 在区间[a,b]内任取一个小区间 x, x +dx ,
x
A( x ) = h ⋅ y = h R 2 − x 2
r=r(θ)
θ
∫
2. 一般图形 由曲线 r = r1 (θ ), r = r2 (θ ) 及射线θ α 及射线θ=α, θ =β所围图形的面积微元 β
r =r ( ) 1 2 1θ 2 为 dA = [ r2 (θ ) − r1 (θ )]dθ 2 o β 1 则面积为 A = [r22 (θ ) − r12 (θ )]dθ α 2
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． 由对称性知总面积等于 倍第一象限部分面积． 倍第一象限部分面积
π 2
A = 4 ∫0
a
= 4 ∫π b sin td ( a cos t ) = 4ab ∫ sin 2 tdt ydx
2
0
0
= πab.
摆线
x = a (t – sint) y = a (1– cost)
π
M
A1 A2
则 A1 =
3π M (1, ), N (1, ) 2 2 1 π
2
o
2
∫π (1 + cos θ ) 2
dθ
N
3π = −1 8
而 A2 =
π
4
3π π 5π 由对称性 A = 2( A1 + A2 ) = 2( − 1 + ) = −2 8 4 4
微元法求曲线的弧长
一、平面曲线弧长的概念 设 A 、 B 是曲线弧上的两
3）以所求量U 的微元 f ( x )dx 为被积表达式，在 ） 为被积表达式， 上作定积分， 区间[a , b]上作定积分，得U = 的积分表达式. 即为所求量U 的积分表达式
∫a f ( x )dx ，
b
这个方法通常叫做微元法． 这个方法通常叫做微元法． 微元法 应用方向： 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 水压力；引力和平均值等． 功；水压力；引力和平均值等．
2 = 6a sin2 t |0 = 6a
求阿基米德螺线r=aθ(a>0)上 例 求阿基米德螺线 θ 上 相应于θ从0到2π的一段弧长. 相应于θ 到 π的一段弧长 解 s=
∫α
β
r (θ ) + r ′ (θ )dθ = a
2 2
∫
2π
0
1 + θ 2 dθ
a 2 2 = [2π 1 + 4π + ln( 2π + 1 + 4π )] 2
解 由对称性及公式
s=4
∫
π
2
=4
∫
π
2
π
2
0
ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) dt
0
[3a cos2 t ⋅ (−sint )]2 + (3a sin2 t ⋅ cost )2 dt
3 a [cos t ⋅ sin t ] 2 dt
=4
∫
0 π
= 12a
∫
π
0
2 cos t ⋅ sin tdt
y2 = 2 x
解 两曲线的交点
y 2 = 2 x ⇒ ( 2,−2), (8,4). y = x−4 y = x−4 − 选 y 为积分变量 y ∈ [−2, 4] 2 4 y dA = y + 4 − dy A = ∫ dA = 18. −2 2
x2 y2 的面积. 例 3 求椭圆 2 + 2 = 1的面积 a b x = a cos t 解 椭圆的参数方程 y = b sin t
′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t )](dt )2 ds = (dx ) + (dy ) = [ϕ
弧长
s=∫
β
′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t )dt = ϕ
α
′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t )dt . ϕ
四、极坐标情形
曲线弧为 ρ = ρ (θ )
上具有连续导数. 其中 ρ (θ ) 在[α , β ]上具有连续导数 x = ρ (θ ) cosθ (α ≤ θ ≤ β ) ∵ y = ρ (θ ) sin θ
解
两曲线的交点 (0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x ∈ [0,1] 面积元素 dA = ( x − x )dx
2
x= y2 =
y = x2
2 3 x 1 A = ∫0 ( x − x )dx = x 2 − = . 3 0 3 3
1
3
1
2
例 2 计算由曲线 y 2 = 2 x 和直线 y = x − 4 所围 成的图形的面积. 成的图形的面积
一、直角坐标系情形
y
微元法求面积
y
y = f ( x)
y = f2 ( x) y = f1 ( x )
o