第十四章整式乘除与因式分解导学案
新人教版八年级数学上册《第14章整式的乘除与因式分解第1节整式的乘除(第6课时)》导学案
新人教版八年级数学上册《第14章整式的乘除与因式分解第1节整式的乘除（第6课时）》导学案学习目标⒈让学生理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算.⒉经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程，培养学生计算能力.⒊发展有条理的思考，逐步形成主动探索的习惯.学习重点：多项式与多项式的乘法法则的理解及应用.学习难点：多项式与多项式的乘法法则的应用.学习过程：-一.自主学习：⑴叙述单项式乘以单项式的法则？⑵ 计算;①()12+-x x x ②()y x xy xy 225351+⎪⎭⎫ ⎝⎛-（3）果把矩形剪成四块，如图所示，则：图①的面积是 n ① ② 图②的面积是图③的面积是 a ③ ④图④的面积是 m b四部分面积的和是观察上面的计算结果：原图形的面积；第一次分割后面积之和；第二次分割后面积之和相等吗?用式子表示？你能发现什么规律吗?试一试 （观察等式左边是什么形式？观察等式的右边有什么特点？）多项式乘以多项式的法则:()()a n m b ++=二.合作探究：⑴计算;①()()32-+x x ②()()1213+-x x⑵计算：① ()()y x y x 73+- ②()()y x y x 2352-+⑶先化简，再求值：()()()()y x y x y x y x 4232---+-其中：1-=x ；2=y三.随堂练习：课本P 102练习第1，2题四.盘点提升:1.计算()()1225-+x x 的结果是（ ）A.2102-xB.2102--x xC.24102-+x xD.25102--x x2.以下等式中正确的是（ ）A.()()32232y xy x y x y x +-=--B.()()24412121x x x x +-=-+ C.()()22943232b a b a b a -=+- D.()()2293232y xy x y x y x +-=-+ 3.先化简，再求值：()()()()22225533b a b a b a b a -++-++-其中8-=a ；6-=b ；五．达标检测1.判断下列各题是否正确,并说出理由 .(1).2(31)(2)36x x x x x +-=-+ ( )(2).2(2)(5)710x x x x +-=++ ( )(3).22(25)(32)641510a b a b a ab ba b +-=-+- ( )2. 选择题:下列计算结果为 x 2－5x －6的是（ ）A.（x －2)（x －3)B. （x －6)（x ＋1)C. （x －2)（x ＋3)D. （x ＋2)（x －3)3.如果ax 2＋bx ＋c ＝（2x ＋1)（x －2)，则a = b = c =4.一个三角形底边长是（5m －4n),底边上的高是（2m ＋3n) ，则这个三角形的面积是5.有一道题计算（2x ＋3)（3x ＋2)－6x （x ＋3)＋5x ＋16的值，其中x ＝－666 ，小明把x ＝－666错抄成x ＝666，但他的结果也正确，这是为什么?6. 王老汉承包的长方形鱼塘，原长 2x 米，宽 x 米，现在要把四周向外扩展 y 米，问这个鱼塘的面积增加多少？六.小结与反思答案：二．合作探究(1)①x 2-x-6 ②6x 2+x-1 (2)①x 2+4xy-21y 2 ②6x 2+11xy-10y 2(3)原式=x 2+xy-6y 2当x=-1，y=2时原式=-25四．1.B 2.C 3.10a 2+10b 2-20ab ，40五．1.××× 2.B 3.a=2 b=-3 c=-2 4.227562m mn n +- 5.16 6.3xy-y 2。
《整式的乘法与因式分解复习》导学案
第14章整式的乘法与因式分解复习导学案【学习目标】1、复习整式乘除的基本运算规律和法则，因式分解的概念、方法以及两者之间的关系.2、通过练习，熟悉常规题型的运算，并能灵活运用.【重点难点】重点：整式的乘除运算与因式分解难点：灵活进行整式的乘除运算和多项式的因式分解.一、知识梳理1. 有关法则⑴幂的四个运算性质：(2)单项式乘以单项式的法则：把系数、同底数幂分别相乘后，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式．⑶单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.⑷多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.⑸单项式除以单项式的法则：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．⑹多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．2. 有关公式：⑴平方差公式：两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差，用字母表示为：(a+b)(a－b)= a2- b2.⑵完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的再加上（或减去）这两数的平方，即：(a±b)2=a2±2 a b+ b2.3. 有关概念 ⑴因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.⑵提公因式法：把多项式各项的公因式提出来，这种分解因式的方法叫做提公因式法，即am bm cm ++=m (a ＋b ＋c ).提公因式法的实质是逆用乘法分配律.⑶公式法：把乘法公式()()a b a b +-= a 2- b 2、2()a b ±= a 2±2 a b + b 2逆用，就得到分解因式的公式22a b -=(a +b )(a －b )，222a ab b ±+=(a ±b )2，这种运用公式分解因式的方法叫做公式法.（4）十字相乘法：pq x q p x +++)(2=(x +p )(x +q )。
第14章整式的乘除和因式分解-(教案)
在今天的教学过程中，我发现学生们对于整式的乘除和因式分解这一章节的内容普遍感到有些吃力。在讲解整式的乘法法则时，我注意到有的学生在进行多项式乘多项式的运算时，容易混淆同类项和如何正确合并它们。这让我意识到，需要通过更多的例题和练习来加强他们的这部分能力。
在因式分解的教学中，我发现十字相乘法对学生来说是一个难点。他们往往在寻找能够相乘得到多项式系数的两个数时遇到困难。我尝试通过一些具体的例题和分解步骤来引导学生，但感觉效果并不如预期。这可能是因为我需要在课堂上提供更多的时间和机会，让学生自己尝试和探索，而不仅仅是观看我的演示。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式的乘除和因式分解的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际代数问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够理解和运用整式的乘除法则，以及因式分解的各种方法；
2.提升学生的数学运算能力，熟练掌握整式乘除和因式分解的运算技巧；
3.增强学生的数学抽象思维，通过解决实际问题，体会数学在现实生活中的应用；
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论和合作，共同解决复杂的整式乘除和因式分解问题；
第14章整式的乘除和因式分解-（教案）
一、教学内容
第14章整式的乘除和因式分解：
1.单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式；
2.乘法公式：平方差公式、完全平方公式；
3.整式的除法：整式除以单项式、整式除以多项式；
八年级上册第14章整式的乘法与因式分解导学案(60页)
情感与体验：
____________________________________________________________；__
反思与困惑：
______________________________________________________________.
七、达标检测，体验成功 （时间 6 分钟，满分 100 分）
例 1.计算：（ 1） 103×104； （ 2）a ? a3 （3）a ? a3?a5
(4) xm×x 3m+1
例 2.计算： (1)(-5) (-5)2 (-5)3
(2)(a+b)3 (a&（ 4） -a3 ·(-a)2
（5）(a-b)2·(a-b)3
（6）(ａ+1)2·(1+ａ ) ·(ａ+1)5
2.
逆用法则
mn
a
m
(a n)
(
a
m
n
)
：
（1） a (a ) (a ) a ( a ) 12
(___)
3
(____)
2
( 4 (_____)
(_____)
6
（2） = = a ( a ) (a ) ( a ) (a ) mn
(______)
m
(_____)
n
m
(__)
n
(___)
五、深入学习，巩固提高
③底数是和差或其它形式的幂相乘，应把它们看作一个整体．
9.判断以下的计算是否正确 ,如果有错误 ,请你改正 .
(1) a3·a2=a6
(2)b4·b4=2b4
(3) x5+x5=x10
(4)y7·y=y7
八年级数学上册《第14章 整式的乘除与因式分解总复习》 精品导学案 新人教版
一．知识网络图二．知识回顾1.同底数幂的乘法法则：，即。
2.幂的乘方法则：，即。
3.积的乘方的法则：，即4.多项式乘法法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘，再把所得的积5.单项式与多项式相来的乘法法则单项式与多项式相乘，就是用去乘多项式的每一项，再把所得的积 . 6.添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都 .7.同底数幂的除法法则：8.单项式除法法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则。
9.多项式除以单项式的除法法则多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商 .10、因式分解常见的方法（1）提公因式法.（2）公式法.（3）式子x2+(p+q)x+pq的因式分解：x2+(p+q)x+pq= .三．练一练1．把下列各式分解因式.(1)x2-4(x-1)； (2)(a m+bn)2+(a n-bm)2；(3)a2-2a b+b2-c2； (4)x2-2xy+y2-x+y-2；（5）（x+y）2－14（x+y）+49；（6）(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120。
四．精选典例（一）方程思想例1：已知（a m+1·b n+2）·(a2n-1·b2m)= a5·b3，求m+n的值。
（二）整体思想例2：已知（x －1）(x+3)(x －4)(x －8)+m 是完全平方式，求m 的值。
例3：若3x 3-x=1，则9x 4+12x 3-3x 2-7x+2004的值等于多少？（三）换元法 例4：已知b a b a +-2=6，求代数式()()ba b a b a b a -+++-2322的值.（四）偶次方的非负性与因式分解的综合例5：试说明无论m，n为任何有理数，多项式4m2+12m+25+9n2-24n的值为非负数.（五）规律探索例6：(1)计算.①(a-1)(a+1)= ②(a-1)(a2+a+1)=③(a-1)(a3+a2+a+1)= ④(a-1)( a4+a3+a2+a+1)=(2)根据(1)中的计算，你发现了什么规律？用字母表示出来；(3)根据(2)中的结论，直接写出下题的结果.①(a-1)(a9+a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1)= ；②若(a-1)·M=a15-1，求M；③(a-b)(a5+a4b+a3b2+a2b3+a b4+b5)= ；④(2x-1)(16x4+8x3+4x2+2x+1)= .【自测自结文】1．已知x2+(m+1)x+9是完全平方式，求m的值。
14章整式的乘法与因式分解导学案
第十四章整式的的乘法与因式分解导学案【复习目标】1、回顾本章知识点，构建知识网络2、理解整式乘法和因式分解的关系3、总结易错点，了解解题技巧、解题步骤(展示一张幻灯片)【复习过程】一、基础知识回顾（一）乘法公式1、平方差公式：（a+b）(a-b) =2、完全平方公式：（a+b）2 = (a-b)2 =3、计算（1）（a-b）(b+a) (2) (-a-b)(-a+b) (3) (a-b)(-a-b)(4) (-a-b)(a+b) (5) (-a+b)2 (6) (a-b)2 (7) (-a-b)2(8)(a-1)(a+1)(a2+1) (9) (-2m+5n)2 (10) (5n-2m)2(二) 因式分解方法1、提公因式法：ma+mb+mc=2、公式法平方差公式：a2-b2= 完全平方公式：a2±2ab+b2=3、将下列各式进行因式分解（1）5x-10y+25z -6a2+2a 4ab-2a2b(2) 25x2-16y2 x2-6x+9 4a2+4ab+b2(三)总结1、使用乘法公式计算的关键是什么？2、使用完全平方公式时需要注意什么？3、因式分解和乘法公式有什么关系？4、因式分解的步骤？进行因式分解时需要注意什么？5、通过复习，你还有什么收获和疑问（要求学生课前完成并展示，课上展示第二、三章幻灯片）二、知识与方法提升：1、转化思想利用乘法公式计算：（1）1998×2002 （2） 992利用因式分解计算：（1） 99992-1 （2）试说明：3200-4×3199+10×3198是7的倍数2、整体思想：（1）已知a+b=5,ab=3,求代数式a3b+2a2b2+ab3-3的值（2）化简： (3)(x+y)2-2(x+y)+1三、复习检测1. 下列各式中，能用公式法进行因式分解的是（） A. x2-xy B. x2+xy C .x2-y2 D .x2+y22. 下列二次三项式是完全平方式的是：( )Ａ .x2-8x-16 Ｂ.x2+8x+16 Ｃ.x2-4x-16 Ｄ.x2+4x+163. 若，则( ).A.12 B.13 C.14 D.154. 将加上下列单项式后，不能构成完全平方式的是（）A.4x4 B，4x C.-4x D.2x5. 分解因式：_______ _____6. 分解因式：x2－9y2＝7.分解因式：=8. 若，且，则9.计算(2+1)(22+1)(24+1) (28+1)(216+1)【收获和疑问】【课后提升】1. 将多项式分解因式2. 因式分解3.分解因式x(x-1)-3x+44. 已知，求代数式的值5.若6、已知：a2+b2+4a-6b+13=0求a b的值。
第14章_整式的乘除与因式分解全章导学案_人教版_八年级上
14.1.1 同底数幂的乘法项目内容纠错反思学习目标1、探究同底数幂的乘法法则。
2、会用式子和文字正确描述同底数幂的乘法法则。
3、熟练运用同底数幂的乘法法则进行计算。
诱思导学一、温故知新：问题：世界排名第五、亚洲第一的巨型计算机——“天河一号”上个月在我国武汉研制成功，“天河一号”每秒钟可进行104运算，问：它工作102秒共运算多少次？（列式并猜测计算结果）二、自主探究，合作展示：探究：先根据幂的意义独立填空，再与同桌讨论计算结果有什么规律？１．２３×２４＝(２×２×２)(２×２×２×２) ＝2( )a2×a6=______________________________=a( )2.根据1中的规律,以幂的形式写出结果:102×104=____ 32×33=____ (-10)2×(-10)4=____ a2×a3=____3.猜一猜:a m· a n=_________ (m、n都是正整数）你能证明吗？4.通过以上的计算，观察等式左、右两边的底数、指数怎样变化的？你能用自己的话来概括这一性质吗？同底数幂相乘，___________________,______________________。
5.a m∙a n∙a p=___________________。
思考：三个以上同底数幂相乘，上述性质还成立吗？三新知应用：例：计算：(1)(-5) (-5)2(-5)3 (2)(a+b)3 (a+b)5例题反思：展示讨论1、10×10×10×10×10可以写成形式？2.26表示？3.什么叫作乘方？4、a n表示的意义是什么？其中a、n、a n分别叫做什么？5．认真读课本95页，结合导学案你能自己总结出同底数幂的乘法法则吗？尝试一下，一定行！6.用你找到的规律解决下面的问题，你能做到吗？课堂检测1、判断正误：⑪222743=+（）⑫222743=∙（）⑬xxx1262=∙（）⑭x2xx666=∙（）2、选择：⑪x2m2+可写成（）A 、x1m2+ B、xx2m2+ C、xx1m2+∙ D、xx2m2∙⑫在等式()aaa1142=∙∙中，括号里面的代数式应当是（）A、a7 B、a6 C、a5 D、a4⑬若3x a=，5x b=，则x b a+的值为（）A、8B、15C、35D、53作业布置与目标反思14.1.2幂的乘方项目内容纠错反思学习目标1.能用语言表达幂的性质及表达式。
新人教版数学八年级上册第十四章整式的乘除与因式分解导学案
新人教版八年级数学上册14.1整式的乘法导学案学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握幂的运算公式（同底数幂的乘法法则，幂的乘方，积的乘方）；2、单项式的乘法法则；3、单项式乘多项式法则；4、多项式乘多项式法则；【重点难点】1、幂的运算公式（同底数幂的乘法法则，幂的乘方，积的乘方）；2、单项式的乘法法则；3、单项式乘多项式法则；4、多项式乘多项式法则；知识概览图新课导引著名诺贝尔奖获得者法国科学家居里夫人发现了“镭”，据测算：1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3．75×l05千克煤放出的热量．估计地壳里含有l×l0 10 千克镭．这些镭蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量?【问题探究】1千克镭蜕变放出的热量相当于3.75×10 5千克煤放出的热量，故l×l0 10千克镭放出的热量相当于3．75×10 5×1×10 10千克煤放出的热量，那么如何计算3．75×10 5×1×10 10呢?解析3．75×10 5×l× 10 10=3．75×(10 5× 10 10)＝3．75×10 15．教材精华知识点１同底数幂的乘法法则a m·a n=a m＋n(m,n，都是正整数)．同底数幂相乘，底数不变，指数相加．a m a n＝a m＋n(a为任意实数，m，n为正整数)，推导如下：a m·a n＝(a·a·a·a·．．．·a)(a·a·a·a·a·．．．·a)=a m＋n．m个a相乘n个a相乘拓展同底数幂的乘法，运算时，底数不变，指数相加，而不是指数相乘，例如a2·a3 ≠a2×3．规律方法小结a m·a n＝a m＋n(m ，n都是正整数)可逆用为a m＋n =a m·a n(m，n都是正整数)，可灵活变形，进行简便运算．知识点2幂的乘方(a m)n＝a mn(m，n都是正整数)．幂的乘方，底数不变，指数相乘．拓展(1)幂的乘方法则是由同底数幂的乘法法则和乘方的意义推导的．(2)(a m)n与n m a的区别：(a m)n表示n个a m相乘，而a mn表示m n个a相乘，例如：(52)3=52×3＝56，325＝58．因此，(a m)n≠n m a，要仔细区别．规律方法小结(a m)n＝a mn(m，n都是正整数)可逆用为a mn＝(a m)n(m，n都是正整数)，可灵活变形，进行简便运算．知识点3 积的乘方(ab)n=a n b n(n为正整数)．积的乘方，等于把积的每－个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．知识点4 单项式的乘法法则单项式乘法是指单项式乘单项式．单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在－个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的－个因式．柘展(1)运算顺序是先乘方，后乘法，最后加减．(2)做每－步运算时都要自觉地注意有理有据，也就是避免知识上的混淆及符号等错误．规律方法小结对于三个或三个以上的单项式相乘，上述法则同样适合，例如：3a·4b·7c=(3×4×7)abc＝84abc；另外，单项式中，幂的底数既可以是－个字母，也可以是－个单项式或多项式．知识点5单项式与多项式相乘的乘法法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每－项，再把所得的积相加．a(m＋n＋p)=am＋an＋ap．拓展(1)单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用．(2)在应用乘法分配律时，要注意单项式分别与多项式的每－项相乘．拓展(1)法则中“每－项”的含义是无重无漏．在运算时，要按照－定的顺序进行，否则容易造成漏项或增项的错误，应特别注意多项式中的常数项．(2)在运算过程中，要注意各项的符号．尤其是含负号的情形．(3)非零单项式与多项式相乘的结果仍是－个多项式，积的项数与多项式的项数相同．规律方法小结单项式与多项式相乘可以用公式表示为：a(m＋n＋p)=am＋an＋ap，其本质就是应用乘法的分配律，把单项式与多项式相乘的问题转化为单式与单项式相乘的问题．知识点6 多项式相乘的乘法法则多项式与多项式相乘，先用－个多项式的每－项乘另－个多项式的每－项，再把所得的积相加．拓展(1)多项式相乘的问题是通过把它转化为单项式与多项式相乘的问题来解决的，渗透了转化的数学思想．(a＋b)(m＋n)=(a＋b)m＋(a＋b)n＝am＋bm＋an＋bn．计算时首先把a＋b看做－个整体，作为单项式，利用单项式与多项式相乘的乘法法则计算．(2)要防止两个多项式相乘，直接写出结果时漏项．检查的办法是：两个多项式相乘，在没有合并之前，积的项数应该是这两个多项式项数的积．(3)多项式是单项式的和，每－项都包括前面的符号，在计算时－定要注意确定积中各项的符号．规律方法小结转化思想：将复杂的、不熟悉的知识转化为简单的、熟悉的知识进行研究．探究交流你能解决“生活链接”中的问题吗?解析由题意可知，地壳里l×l0 10千克镭完全蜕变后放出的热量相当于3.75×105)×(1×1010)千克煤放出的热量，所以由乘法的交换律和结合律可进行如下计算：(3．75×105)×(1×10l0)＝3.75×105×1×1010=(3．75×1)×(105×1010)＝3．75×(105×1010)＝3．75×105＋10＝3.75× 1015．课堂检测基础知识应用题1、计算．(1)①103×104；②a·a3; ③a·a3·a5；④(m＋n)2·(m＋n)3．(2)①(103)5；②(b3)4；③(－4)3×(－14)3．(3)①(2b)3；②(2a3)2；③(－a)3；④(－3x)4．2、计算．(1)2 a2 (3 a2－5b)：(2)(－2a2)·(3a b2－5a b3)．综合应用题3、解方程(3x－2)(2x－3)＝(6x＋5)(x－1)．4、解不等式(3x＋4)(3x－4)>9(x－2)(x＋3)．探索创新题5、已知m a＋b·m a-b=m12，求a的值．体验中考1、下列运算中，正确的是( )A．a＋a＝a2B．a·a2=a2 C．(2a)2＝4a2D．(a3)2=a52、阅读下列材料：1×2=13(1×2×3－0×l×2)，2× 3＝13(2× 3×4－1×2×3)，3×4＝13(3×4×5－2×3×4)，由以上三个等式相加，可得：1× 2＋2×3＋3×4＝13×3×4× 5＝20．读完以上材料，请你计算下列各式：(1)l×2＋2× 3＋3×4＋…＋10×1l(写出过程)；(2)l× 2＋2×3＋3×4＋...＋n×(n＋1)；(3)l× 2× 3＋2×3×4＋3×4× 5＋...＋7×8×9．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题主要考查三个公式：a m·a n＝a m＋n，(a m)n＝a mn，(ab)n＝a n b n,其中，m，n均为正整数．解：(1)①103×104=103＋4＝107．②a·a3=a l＋3=a4．③a·a3·a5=a1＋3＋5=a9. ④(m＋n)2·(m＋n)3＝(m＋n)2＋3＝(m＋n)5．(2)①(103)5＝103×5＝1015. ②(b3)4＝b3×4=b12．③(－4)3×(－14)3=[(－4)×(－14)]3=13=1．(3)①(2b)3＝23b3=8b3．②(2a3)2=22(a3)2＝4a6．③(－a)3＝(－1)3a3=－a3．④(－3x)4＝(－3)4x4＝81x4．【解题策略】在应用公式时要准确，尤其是公式(a m)n＝a mn，不要写成(a m)n＝n m a，这是不正确的．2、分析本题考查的是单项式与多项式的乘法法则．单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用．解：(1) 2 a2 (3 a2－5b)=2a2·3 a2－2 a2·5 b＝6a４－10 a2 b.解法1：(2)(－2 a2)·(3a b2－5a b3)=(－2 a2)·3a b2－(－2 a2)·5a b3=－6 a3 b2＋10 a3 b3解法2：(2)(－2 a2)·(3 ab2－5a b3)=-(2 a2·3a b2－2 a2·5a b3)=－(6 a3 b2－l0a3b3)＝－6a3b2＋l0a3b3．规律·方法多项式相乘时，要注意两个问题：(1)要用单项式与多项式的每－项相乘，避免漏乘；(2)单项式带有负号时，如第(2)小题，乘的时候容易弄错符号，为了避免这－错误出现，可以用第(2)小题的第二种解法．3、分析本题考查的是利用整式乘法解方程．解方程时，有括号的先去括号．解：(3x－2)(2x－3)=(6x＋5)(x－1)，6x2－13x＋6=6x2－x－5，6x2－13x-6x2＋x=－5－6，－12x＝－11，∴x=11 12.【解题策略】在解存在整式乘法的方程时，依照先乘法、后加减的顺序化简，其他步骤没有变化．4、分析本题考查利用整式乘法解不等式．解：(3x＋4)(3x－4)>9(x－2)(x＋3)，9x2－16>9(x2＋x－6)，9x2－16>9x2＋9x－54，9x2－9x2－9x>16－54，－9x>－38，∴x<38 9.【解题策略】解不等式，系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向.5、分析本题考查的是同底数幂的乘法法则．由同底数幂乘法法则可把原式变形为m(a+b)+(a-b)=m12，由此得到(a＋b)＋(a－b)＝12，进而求出a的值．解：∵m a＋b·m a－b=m12，∴m(a＋b)＋(a－b)=m12．∴(a＋b)＋(a－b)=12，∴2a＝12．∴a=6．【解题策略】本题运用了“同底数幂相等，则指数相等”这－知识．体验中考1、分析本题考查幂的运算法则．选项A错，a＋a＝2a；选项B错，a·a2＝a3；选项C正确；选项D错，(a3)2＝a6．故选C2、分析本题属于探究题，难度较大，通过例子探究出规律，注意类比思想和整体思想的运用．解：(1)1× 2＋2× 3＋3×4＋…＋10×11＝13(1×2×3－0×l×2)＋13(2× 3×4－l× 2× 3)＋…＋13(10×11×12－9×10×11)＝13×l0×11×l2＝440．(2)l×2＋2× 3＋3×4＋...＋n×(n＋1)＝13n(n＋1)(n＋2)．(3)因为1×2×3=14(1×2× 3×4－0×l×2×3)，2×3×4＝14(2×3×4× 5－l×2× 3×4)，3×4×5＝14(3×4×5× 6－2× 3×4× 5)，…7×8×9＝14(7×8× 9×l0－6× 7×8× 9)．所以把以上各式相加，可得l× 2× 3＋2× 3× 4＋3× 4× 5＋…＋7× 8× 9＝14× 7×8×9×l0＝1260．14.2乘法公式学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握相关公式（平方差公式，完全平方公式）及其推导2、掌握添括号法则【重点难点】1、相关公式（平方差公式，完全平方公式）及其推导2、添括号法则知识概览图新课导引如下图(1)所示，边长为a的大正方形中有－个边长为b的小正方形．(1)请表示图中阴影部分的面积；(2)某同学将阴影部分拼成－个长方形，如下图(2)所示，这个长方形的长和宽分别是多少?请你表示出它的面积；(3)比较(1)(2)的结果，你能发现什么?【问题探究】(1)阴影部分的面积即为大正方形面积减去小正方形面积；(2)中长方形的长与宽分别为a＋b和a－b(3)由两个图中阴影部分面积相等可得结论．解析(1)a2－b2．(2)a＋b为长，a－b为宽，(a＋b)(a－b)为面积．(3)(a＋b) ·(a－b)＝a2－b2．教材精华知识点１平方差公式及其推导－般地，我们有(a＋b)(a－b)＝a2－b2．即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做(乘法的)平方差公式．拓展(1)平方差公式适用于两个二项式相乘，且这两个二项式中有－项完全相同，另－项只有符号相反．计算的结果是相同项的平方减去相反项的平方．(2)利用此公式进行乘法运算时，要看清公式的特点，不符合平方差公式特点的，不能用此公式．比如(a＋b)(a－2b)等．(3)运用平方差公式时，关键是确定公式中的a和b，完全相同的项是a，符号相反的项是b，确定a和b后套用公式即可．(4)平方差公式可以逆用为a2－b2＝(a＋b)(a－b)，此变形把二项的平方差写成了两数和与两数差的积，这是后面要学的因式分解．知识点2完全平方公式及其推导两个数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数乘积的2倍．－般地，我们有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2．即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍．这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式．在记忆公式(a±b)2＝a2 2ab＋b2时，要在理解和比较的基础上记忆，两个公式的相同之处在于两个数的平方和，不同之处在于中间项的符号不同，计算时要注意．完全平方公式可以用多项式乘法进行推导：(a＋b)(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2ab ＋b2．同时，也可以用观察情境来推导，如下图所示，由图(1)可知，大正方形的面积为：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，由图(2)可知，左下角正方形的面积为：(a－b)2＝a2－2ab＋b2．拓展(1)运用完全平方公式的关键在于明确公式的特征：公式的左边是两数和(或差)的平方，公式的右边是－个三项式，是左边两数的平方和加上(或减去)左边两数积的2倍．(2)①公式中字母的含义：公式中字母a和b可以是具体的数，也可以是整式(单项式或多项式)．②利用完全平方公式做多项式的乘法，最容易漏写2ab项，实际运算中要特别注意．③完全平方公式与平方差公式联合使用，要严格分清公式的各自特点，以防混淆．(3)逆用完全平方公式为：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2，把三项式写成了积的形式，这是后面要学习的因式分解．知识点3 添括号法则添括号时；如果括号前面是正号，括号里的各项都不孪符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．拓展(1)添括号法则与去括号法则是－致的，添括号正确与否，可去括号进行检验．(2)添括号时，如果括号前面是负号，那么括号里的各项都改变符号，不能只改变部分项的符号．知识点4 公式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab．公式(x＋a)(x＋b)=x2＋(a＋b)x＋ab可以用多项式乘法公式推导．(x＋a)(x＋b)＝x2＋bx＋ax＋ab＝x2＋(a＋b)x＋ab.例如：(x＋2)(x＋3)＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝x2＋5x＋6，(x＋2)(x－3)＝x2＋(2－3)x＋2x(－3)＝x2－x－6．拓展注意a与b的值，该公式在多项式乘法中应用广泛．课堂检测基础知识应用题1、运用平方差公式计算．(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)(b＋2a)(2a－b)；(3)(－x＋2y)(－x－2y)．2、运用乘法公式计算．(1)102× 98；(2)102 2；(3)99 2．综合应用题3、计算．(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)；(2)(a＋b＋c)2；(3)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)．4、先化简，再求值：(3m2＋5)(－3m2＋5)－m2(7m＋8)(7m－8)＋(2m＋1) ﹒(－2m－1)．其中m＝－1探索创新题5、已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4，求a2＋b2，ab的值．6、观察下列各式：(x－1)(x＋1)＝x2－l，(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1，(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1．根据前面各式的规律可得：(x－1)(x n＋x n－1＋x n－2＋…＋x＋1)＝．(其中n为正整数)体验中考1、下列运算正确的是( )A. 2a＋3b=5abB. 2(2a－b)=4a－bC. (a＋b)(a－b)＝a2－b2D. (a＋b)2＝a2＋b22、先化简，再求值：(x＋1)2－2x＋1，其中x2学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题考查的是平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2．(1)中，把3x看做a，2看做b；(2)中，把2a看做a，b看做b；(3)中，把－x看做a，2y看做b．解：(1)(3x＋2)(3x－2)=(3x)2－22=9x2－4．(2)(b＋2a)(2a－b)＝(2a)2－b2＝4a2－b2．(3)(－x＋2y)(－x－2y)＝(－x)2－(2y)2＝x2－4y2．规律·方法利用公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2时应该弄清哪－个是a，哪－个是b，例如(3)中，a＝－x，b＝2y，切记不要将x看成a．2、分析本题主要考查的是灵活应用乘法公式计算．(1)中，102×98＝(100+2)×(100—2)；(2)中，102 2＝(100+2) 2；(3)中，992＝(100—1)2．然后利用公式计算即可．解：(1)102×98—(100+2)(100—2)=1002—22=10000—4=9996．(2)1022＝(100+2)2＝1002+2×100×2+22＝10000+400+4＝10404．(3)99 2=(100－1) 2=1002－2×100×1＋12=10000－200＋1=9801．【解题策略】解此类题目的关键在于将所给题目化成符合公式的形式，而且计算较简便．3、分析本题主要考查灵活应用整式乘法公式进行计算．(1)把x看成公式中的a，2y－3看成公式中的b;(2)把a＋b看成公式中的a,c看成公式中的b；(3)运用公式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x ＋ab和平方差公式．解：(1)(x＋2y－3)( x－2y＋3)＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]＝x2－(2y－3]2=x2－(4y2－12y＋9)＝x2－4y2＋12y－9．(2)(a＋b＋c)2＝[(a＋b)＋c]2＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2．(3)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)＝(y2－4)－(y2＋4y－5)＝y2－4－y2－4y＋5＝－4y＋1．【解题策略】(1)对于含有三项(或三项以上)的两个多项式相乘，要想运用公式，可以通过添括号法则，把它变成符合公式的形式，括号内的多项式看做是－个整体，用完公式之后，再去括号．(2)最后结果要化简．4、分析先观察各项的结构特征，确定能利用公式计算的项，对不能利用公式的乘法，则用多项式的乘法法则计算．解：原式＝(5＋3m2)(5－3m2)－m2(7m＋8)(7m－8)－(2m＋1)2＝(25－9m4)－m2(49m2－64)－(4m2＋4m＋1)＝25－9m4－49m4＋64m2－4m2－4m－1＝－58m4＋60m2－4m＋24．当m＝－1时，原式＝－58＋60＋4＋24＝30．【解题策略】本题中(2m＋1)(－2m－1)不能用平方差公式，将(－2m－1)提出－1后可以转化为－(2m＋1)2来计算，注意本题中负号的位置．5、分析本题主要考查完全平方公式的应用．由已知(a＋b)2=7 ，(a－b)2=4,就目前的知识水平，具体求出a和b的值是比较困难的，但由整式的乘法公式可以将已知化成：a2＋2ab＋b2＝7，①a2－2ab＋b2＝4，②由①＋②可以求出a2＋b2，由①－②可以求出aba2＋2ab＋b2=7，①解：由题意可知a2－2ab＋b2＝4，②由①＋②得2(a2＋b2)＝11，∴a2＋b2＝11 2由①－②得4ab＝3，∴ab＝3 4规律．方法(1)由两数和的平方和两数差的平方，可以通过两式的加减求出两数的平方和与两数的积．同理，已知两数和的平方或两数差的平方，以及两数的平方和，可以求出两数的积．(2)由平方差公式，也可以进行变形．例如：已知a2－b2＝14，a＋b＝7，那么a－b=2．(3)本题体现了整体思想在数学中的应用．6、分析本题主要考查观察和归纳能力，通过对特例的深入分析、大胆探索，得出－般规律．由已知各式可以发现：(x－1)(x n＋x n－1＋x n－2＋…＋x＋1)＝x n＋1-1故填x n＋1－1．规律·方法与上例类似的有：由(a－b)(a＋b)=a2－b2得(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)=a4－b4，...，可以得出(a－b)(a n＋a n－1b＋a n－2b2＋...＋b n)＝a n＋1－b n＋1．体验中考1、分析本题综合考查乘法公式以及乘法运算．选项A错，2a与3b不能合并；选项B错，2(2a－b)＝4a－2b；选项C对；选项D错，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．故选C.2、分析本题考查整式的化简．解：(x＋1)2－2x＋1＝x2＋2x＋1－2x＋1=x2＋2，当x2时，原式＝2)2＋2＝4．14.3整式的除法学习目标、重点、难点【学习目标】1、同底数幂的除法法则（零指数幂的意义）；2、单项式除以单项式；3、多项式除以单项式；【重点难点】1、同底数幂的除法法则（零指数幂的意义）；2、单项式除以单项式；3、多项式除以单项式；知识概览图新课导引 －种数码照片的文件大小是28K ，－个存储量为26M(1 M ＝210K)的移动存储器，即容量为26×210＝216K ，那么它能存储多少张这样的数码照片?【问题探究】 要求可存储多少张大小为28K 的照片，实际是求216÷28的值，那么216÷28应该如何去算呢?解析 216÷28＝216－8＝28．教材精华知识点１同底数幂的除法法则－般地，我们有：a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0，m ，n 都是正整数，并且，m ＞n )．同底数幂相除，底数不变，指数相减．整式的除法 同底数幂的除法 a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0，m ，n 都是正整数，且m ＞n ) a 0＝1(a ≠0) 整式的除法 单项式除以单项式：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除 作为商的因式，对于只在被除式里含有的 字母，则连同它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式：先把这个多项式里的每一项除以这个单项 式，再把所得的商相加规律方法小结同底数幂乘除法比较如下表所示．同底数幂的运算公式底数指数相乘a m·a n=a m＋n(m，n都是正整数) 不变相加相除a m÷a n＝a m-n(a≠0,m，n，n都是正整数，且m＞n)不变相减拓展(1)因为零不能作为除数．所以底数不能为0，所以应用公式的条件是a≠0；m,n都是正整数，并且m＞n．(2)底数相同．如－53÷(－5)2是除法运算但不是同底数幂相除，不能运用此法则．(3)运算法则是底数不变，指数相减，如x8÷x2=x8－2=x6，不能认为是x8÷x2=x8÷2=x4．知识点2零指数幂的意义a0＝1(a≠0)．任何不等于0的数的0次幂都等于1．拓展(1)a0＝l强调了a≠0，如果没有a≠0这个条件，这个结论不成立．(2)a0=1是依据除法的意义推导得出的．∵a m÷a m=1，且a m÷a m=a m－m＝a0．∴a0=1(a≠0)．(3)底数a可以是不等于0的数或式子，如2)0=1，(－3)0＝l，(x－y)0＝l(x≠y)等．(4)00无意义．常利用此规定，确定底数中所含字母的取值范围．如(2a－1)0=1，则a的取值范围是a≠12．知识点3 单项式相除的除法法则单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的－个因式．例如：12a3b2x3÷3xb2=(12÷3)(a3÷a)(b2÷b2)x3＝4a2x3．(x－y)5÷(x－y)3＝(x－y)2＝x2－2xy＋y2．规律方法小结(1)运用单项式除法的法则进行计算的－般步骤：①把系数相除，所得结果作为商的系数；②把同底数幂分别相除，所得的结果作为商的因式；③把只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的－个因式．(2)从单项式除法法则看出，单项式除法转化为同底数幂相除体现了数学的－个重要思想——转化思想．(3)应用法则时应注意：①运算过程中，应注意单项式的系数包括它前面的符号．②被除式单独含有的字母及其指数作为商的－个因式，不要遗漏．③注意运算顺序．知识点4多项式除以单项式的法则多项式除以单项式，先把这个多项式的每－项除以这个单项式，再把所得的商相加．拓展 多项式除以单项式时，应注意逐项运算，要留心各项的符号．规律方法小结 (1)把多项式除以单项式问题转化成单项式除以单项式问题来解决．具体可以这样去理解：(a ＋b ＋c )÷m ＝(a ＋b ＋c )×m1 ＝a ×m 1＋b ×m 1＋c ×m 1 ＝a ÷m ＋b ÷m ＋c ÷m ．(2)多项式除以单项式的一般步骤：①用多项式的每一项去除单项式；②把每一项除得的商相加．(3)应用法则时应注意：①不要漏项；②熟练掌握幂的运算性质，它是准确进行多项式除以单项式运算的基础．课堂检测基础知识应用题1、计算．(1)x 8÷x 2； (2)a 4÷a ； (3)(ab )5÷(ab )2．2、计算．(1)28x 4y 2÷7x 3y ； (2)－5a 5b 3c ÷15a 4b ．综合应用题3、先化简，再求值：)(434222423324x a x a x a x a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-，其中21=x ，x ＝－4．4、某农科所要在长1．2×105cm ，宽2．4×104cm 的试验基地上培育新品种粮食，现培育每种新品种要一块边长为1．2×104cm 的正方形试验田，那么这块试验基地最多能培育几种新品种粮食?探索创新题5、已知2a ＝3，4b ＝6，8c ＝12，求a ，b ，c 的关系．体验中考1、下列运算正确的是 ( )A ．(a 3)2＝a 5B ．a 3＋a 2＝a 5C ．(a 3－a )÷a ＝a 2D ．a 3÷a 3＝12、若022=++-y y x ，求代数式[(x －y )2＋(x ＋y )(x －y )]÷2x 的值．学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 利用同底数幂的除法法则计算．解：(1)x 8÷x 2＝x 8－2＝x 6．(2)a 4÷a ＝a 4－1＝a 3． (3)(ab )5÷(ab )2＝(ab )5－2＝(ab )3＝a 3b 3．【解题策略】本题解题的关键在于正确运用同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减(注意：不是指数相除)．2、分析 本题主要考查单项式除法．解：(1)28x 4y 2÷7x 3y ＝(28÷7)(x 4÷x 3)(y 2÷y )＝4xy ．(2)－5a 5b 3c ÷15a 4b ＝(－5÷15)(a 5÷a 4)(b 3÷b )c ＝－31ab 2c ． 3、分析 本题主要考查多项式除以单项式的有关计算．先进行多项式除以单项式的运算，然后求代数式的值．解：)(434222423324x a x a x a x a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+- ＝)(43)(4)()2(224222332224x a x a x a x a x a x a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷+-÷- ＝224342x ax a +-． 当a ＝21，x ＝－4时， 原式＝22)4(43)4(214212-⨯+-⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ ＝212012821=++． 4、分析 本题的实质是探究在大长方形中能找到多少个符合要求的小正方形．解：[(1．2×105)×(2．4×104)]÷(1．2×104)2＝(2．88×109)÷(1．44×108)＝2×10＝20，所以最多能培育20种新品种粮食．5、分析 本题逆用幂的运算规律、同底数幂乘除的规律，巧妙地将3用2a 代替，将6用22b 代替，化成2的幂，从而找出a ，b ，c 之间的关系．解：因为8c ＝12，所以(23)c ＝2×6，又因为4b ＝6，所以23c ＝2×22b ＝22b +1，所以3c ＝2b ＋1．因为4b ＝6，所以22b ＝2×3，又因为2a ＝3，所以22b ＝2×2a ＝2a ＋1，所以2b ＝a ＋1，所以3c －1＝a ＋1＝2b ．体验中考1、分析 本题考查幂的运算法则．选项A 错，(a 3)2＝a 6；选项B 错，a 3与a 2不能合并；选项C 错，(a 3－a )÷a ＝a 2－1．故选D ．2、分析 本题综合考查非负数的意义和整式的混合运算．解：∵022=++-y y x ，∴⎩⎨⎧=+=-,02,02y y x ∴⎩⎨⎧-=-=.2,1y x [(x －y )2＋(x ＋y )(x －y )]÷2x＝(x 2－2xy ＋y 2＋x 2－y 2)÷2x＝(2x 2－2xy )÷2x＝x －y ＝－1－(－2)＝1．14.4因式分解学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握因式分解的定义；2、掌握因式分解的方法（提公因式法，公式法等）【重点难点】1、因式分解的定义；2、因式分解的方法（提公因式法，公式法等）知识概览图新课导引在一条宽阔的马路上，整齐地排列着十个花坛，每个花坛都栽种了丁香树和各种颜色的花卉，每个花坛的形状都像操场上的跑道一样，两端呈半圆形，半圆的半径均为3 m ，连接两个半圆的边缘部分是直的，已知每个花坛边缘直的部分的长分别为36 m ．25 m ，30 m ，28 m ，25 m ，32 m ，24 m ，24 m ，22 m ，32 m ，你能求出这些花坛的总面积吗?【问题探究】要求花坛总面积，就是求每个花坛中两个半圆及中间长方形的面积，再把这十个花坛面积相加即可，即10×π×32＋6×36＋6×25＋6×30＋6×28＋6×25＋6×32＋6×24＋6×24＋6×22＋6×32的结果为所求，那么这个式子怎样算能简单些呢?(π≈3．14)【解析】10π×32＋6×36＋6×25＋6×30＋6×28＋6×25＋6×32＋6×24＋6×24＋6×22＋6×32定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解 方法 因式分解 公式法 提公因式法：ma ＋mb ＋mc ＝m (a ＋b ＋c )x 2＋(p ＋q )x ＋pq ＝(x ＋p )(x ＋q ) 完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝90π＋6×(36＋25＋30＋28＋25＋32＋24＋24＋22＋32)＝90π＋6×278≈1950．6(m2)．教材精华知识点１因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．拓展(1)①因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算．例如：x2－1因式分解(x＋1)(x－1)．②因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．(2)①因式分解的结果必须是积的形式．②因式分解的结果中，每个因式必须是整式．③在因式分解的过程中注意防止分解不彻底或走回头路．知识点2 提公因式法多项式ma＋mb＋mc中的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)就是把ma＋mb＋mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式a＋b＋c是ma＋mb＋mc除以m所得的商．像这种分解因式的方法叫做提公因式法．例如：x2－x＝x(x－1)，8a2b－4ab＋2a＝2a(4ab－2b＋1)．拓展在运用提公因式法分解因式时，注意防止公因式确定错误，从而造成因式分解不彻底．知识点3 公式法(1)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．(2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2．即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．拓展(1)用来因式分解的平方差公式的特点：①左边是二项式，两项都能写成平方的形式，并且符号相反．②右边分解的结果是左边两个平方项中两底数的和与这两底数差的积．(2)用来因式分解的完全平方公式的特点：①左边是三项式，首末两项是两个数(或两个式子)的平方，且符号都为正，中间一项是这两个数(或两个式子)的积的2倍，符号正负均可．②右边是两个数(或两个式子)的和(或差)的平方，和还是差，与积的2倍的符号保持一致．(3)要想用公式分解因式，必须通过添括号法则把它化成符合公式的形式．(4)分解因式的最后结果是因式乘积的形式，每个因式都最简因式，不能再分解，而且不舍括号．(5)分解因式的步骤：①首先观察有无公因式，若有公因式则应先把公因式提出来．②对没有公因式的多项式考虑用公式法分解，如果是二项式，那么考虑用平方差公式，写成平方差公式的形式；如果是三项式，那么考虑用完全平方公式，写成完全平方公式的形式，四项或四项以上则通过添括号把它们分组化成两项或三项，然后再考虑用提公因式法或用公式法分解．知识点4 完全平方式形如a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的代数式叫做完全平方式．拓展(1)完全平方式是三项式，这个三项式可以写成两数和(或差)的平方的形式．(2)注意：－a2－2ab－b2不是完全平方式，它提出“－”后，才是完全平方式，是完全平方式的相反数．(3)完全平方式的两个平方项的系数必须为正，积的2倍项的符号可正可负．探究交流下列变形是不是因式分解?为什么?(1)3x2y－xy＋y＝y(3x2－x)；(2)x2－2x＋3＝(x－1)2＋2；(3)x2y2＋2xy－1＝(xy＋1)(xy－1)；(4)x n(x2－x＋1)＝x n＋2－x n＋1＋x n．解析(1)不是因式分解，提公因式错误，可以用整式乘法检验其正误．(2)不是因式分解，不满足因式分解的含义．(3)不是因式分解，因为因式分解是恒等变形，而本题不恒等．(4)不是因式分解，是整式乘法．规律方法小结利用提公因式法分解因式的关键是确定公因式和提取公因式．其中确定公因式按两个标准进行：一是取多项式各项系数最大的公约数作为系数，二是取相同字母(或因式)的最低次幂作为字母因式．提取公因式就是用多项式的每一项除以公因式，然后分解成两个因式的积，其中一个因式是多项式各项的公因式，另一个是多项式除以公因式的商．课堂检测基础知识应用题1、用提公因式法将下列各式分解因式．(1)ax－ay；(2)6xyz－3xz2；(3)－x3z＋x4y；(4)36aby－12abx＋6ab；(5)3x(a－b)＋2y(b－a)；(6)x(m－x)(m－y)－m(x－m)(y－m)．2、已知多项式2x3－x2＋m有一个因式是2x＋1，求m的值．综合应用题3、若a ，b ，c 是三角形的三边，且满足关系式a 2－2bc ＝c 2－2ab ，试判断这个三角形的形状．探索创新题4、计算200420032004200365654343212122222222+-+++-++-++- ．体验中考1、若多项式x 2＋mx ＋4能用完全平方公式分解因式，则m 的值可以是 ( )A．4 B．－4 C．±2 D．±42、给出三个单项式：a2，b2，2ab．(1)在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解；(2)当a＝2010，b＝2009时，求代数式a2＋b2－2ab的值．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题主要考查利用提取公因式法进行因式分解．(1)～(4)题直接提取公因式分解即可，(5)题和(6)题首先要适当地变形，其中(5)题把b－a化成－(a－b)，(6)题把(x－m)(y－m)化成(m－x)(m －y)，然后再提取公因式．解：(1)ax－ay＝a(x－y)．(2)6xyz－3xz2＝3xz(2y－z)．(3)－x3z＋x4y＝x3(－z＋xy)．(4)36aby－12abx＋6ab＝6ab(6y－2x＋1)．(5)3x(a－b)＋2y(b－a)＝3x(a－b)－2y(a－b)＝(a－b)(3x－2y)．(6)x(m－x)(m－y)－m(x－m)(y－m)＝x (m －x )(m －y )－m (m －x )(m －y )＝(m －x )(m －y )(x －m )＝－(m －x )2(m －y )．规律·方法 运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题：(1)因式分解的结果是每个括号内没有同类项要合并，而且每个括号不能再分解．例如：(7m －8n )(x ＋y )－(3m －2n )(x ＋y )＝(x ＋y )[(7m －8n )－(3m －2n )]＝(x ＋y )(4m －6n )＝2(x ＋y )(2m －3n )．(2)如果出现像(5)(6)小题需统一时，首先要统一，尽可能使统一的个数少，减少统一计算出现误差的几率，这时注意到(a －b )n ＝(b －a )n (n 为偶数)．例如：分解因式a (x －y )2＋b (y －x )3＋c (y －x )2．本题既可以把x －y 统一成y －x ，也可以把y －x 统一成x －y ，但比较而言，把x －y 化成y －x 比较简便，因为(x －y )2＝(y －x )2．则a (x －y )2＋b (y －x )3＋c (y －x )2＝a (y －x )2＋b (y －x )3＋c (y －x )2＝(y －x )2[a ＋b (y －x )＋c ]＝(y －x )2(a ＋by －bx ＋c )．(3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成积的形式．例如：(7a －8b )(a －2b )＋(a －8b )(a －2b )＝(a －2b )[(7a －8b )＋(a －8b )]＝(a －2b )(8a －16b )＝8(a －2b )(a －2b )＝8(a －2b )2．2、分析 直接将2x 3－x 2＋m 分解因式不可能，我们可以逆向思考．由2x ＋1是2x 3－x 2＋m 的因式知2x 3－x 2＋m 能写成2x ＋1与另一个因式乘积的形式，所以当2x ＋1＝0时，2x 3－x 2＋m ＝0．即当x ＝21-时．2x 3－x 2＋m ＝0，从而求出m 的值． 解：由2x ＋1＝0知x ＝21-， 当x ＝21-时，2x 3－x 2＋m ＝0， ∴02121223=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯m ，∴21=m ．3、解：∵a 2－2bc ＝c 2－2ab ，∴(a 2－c 2)＋2ab －2bc ＝0，(a ＋c )(a －c )＋2b (a －c )＝0，∴(a －c )(a ＋c ＋2b )＝0．∵a ＋c ＋2b ≠0，∴a －c ＝0．。
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第十四章整式乘除与因式分解导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第十四章整式的乘法与因式分解§14.1.1 同底数幂的乘法班级：姓名：一、学习目标1．理解同底数幂的乘法法则。
2.运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题.3.通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，•使学生理解特殊到般再到特殊的认知规律。
二、重点难点重点：正确理解同底数幂的乘法法则以及适用范围难点：正确理解和应用同底数幂的乘法法则．。
三、导学过程问题：1．a n表示的意义是什么？其中a、n、a n分别叫做什么2.① 25表示什么？②10×10×10×10×10 可以写成______形式3．思考：式子103×102的意义是什么？这个式子中的两个因式有何特点？请同学们先根据自己的理解，解答下列各题.103×102 =（10×10×10）×（10×10）= _____________=10（）23×22 = =_____________ =2（）a3×a2 = = _____________=a（）思考：请同学们观察下面各题左右两边，底数、指数有什么关系？103×102 =10（） 23×22 = 2（） a3× a2 =a（）猜想：a m · a n= (m、n都是正整数)4．分组讨论，并尝试证明你的猜想是否正确.同底数幂的乘法性质：a m · a n = a m+n (m、n都是正整数)同底数幂相乘，底数，指数。
运算形式：（同底、乘法）运算方法：（底不变、指加法）想一想：当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？怎样用公式表示？ a m·a n·a p = （m、n、p都是正整数）四、学以致用1D、计算：（1）x7·x3（2）a·a82D 、计算（3）2×22×24 （4）x m+2·x 3m3D 、计算：（1）32)()a a --（ （2）25)()a b a b --（ （3）35)b b -（4D 、计算：（1）23)()a b b a --（ （2）351010⨯⨯10 （3）35510⨯⨯⨯3105D 、下面的计算对不对如果不对，怎样改正（1）b 5 · b 5= 2b 5 （ ） （2）b 5 + b 5 = b 10 （ ）（3）x 5 ·x 5 = x 25 ( ) （4）y 5 · y 5 = 2y 10 ( )（5）c · c 3 = c 3 ( ) （6）m + m 3 = m 4 ( )6D 、填空：（1）x 5 ·（ ）= x 8 （2）a ·（ ）= a 6（3）x · x 3（ ）= x 7 （4）x m ·（ ）＝ｘ3m7D 、填空：（1） 8 = 2x ，则 x = ；（2） 8 × 4 = 2x ，则 x = ；（3） 3×27×9 = 3x ，则 x = .8D 、计算（1）35(－3)3(－3)2 ( 2) －a(－a)4(－a)3(3 ) x p (－x)2p (－x)2p+1 (p 为正整数) （4）32×（－2）2n (－2)（n 为正整数）9C 、a m · a n = a m+n (m 、n 都是正整数) 反过来得10C 、若3m a =，5n a =，求m n a +的值。
11B 、已知23a =，25b =，230c =，求,,a b c 之间的关系。
§14.1.2 幂的乘方班级： 姓名：一、学习目标1．经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程；2．进一步体会幂的意义，培养推理能力和有条理的表达能力；3．了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.二、重点难点重点：会进行幂的乘方的运算，幂的乘方法则的总结及运用。
难点：幂的乘方的运算的法则。
三、导学过程1．回顾同底数幂的乘法a m ·a n =a m+n （m 、n 都是正整数）2．自主探索，感知新知64表示_________个___________相乘. (62)4表示_________个___________相乘.a 3表示_________个___________相乘. (a 2)3表示_________个___________相乘.3．推广形式，得到结论（a m ）n 表示_______个________相乘=________×________×…×_______×_______=__________即 （a m ）n = ______________(其中m 、n 都是正整数)4．通过上面的探索活动,发现了什么?幂的乘方,底数__________,指数__________.四、学以致用１D 、计算：（1）、（102）7 （2）、[（32）3]4（3）、[（－6）3]4 （4）、（x 2）52D 、计算：（5）、－（a 2）7 （6）、－（a s ）3（7）、（x 3）4·x 2 （8）、2（x 2）n －（x n ）23D 、判断题，错误的予以改正。
（1）a 5+a 5=2a 10 （ ）（2）（s 3）3=x 6 （ ）（3）（－3）2·（－3）4=（－3）6=－36 （ ）（4）x 3+y 3=（x+y ）3 （ ）4D、填空：若（x2）m=x8，则m=______5D、填空：若[（x3）m]2=x12，则m=_______6B、计算 5（P3）4·（－P2）3+2[（－P）2]4·（－P5）27B、计算[（－1）m]2n+1m-1+02002―（―1）19908C、若x m·x2m=2，求x9m的值。
9C、若a2n=3，求（a3n）4的值。
10B、已知a m=2,a n=3,求a2m+3n的值.11A、已知a=255，b=344，c=533，d=622，那么a,b,c,d从小到大的顺序是（）A.a<b<c<dB.a<b<d<cC.b<a<c<dD.a<d<b<c§14.1.3 积的乘方班级：姓名：一、学习目标1．经历探索积的乘方的运发展推理能力和有条理的表达能力；2．学习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力；3．进一步体会幂的意义．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．二、重点难点重点：积的乘方运算法则及其应用．难点：幂的运算法则的灵活运用。
三、导学过程1．同底数幂的乘法：。
2．幂的乘方：。
创设情境，引入新课1．问题：已知一个正方体的棱长为2×103c m，•你能计算出它的体积是多少吗？2．提问：体积应是V=（2×103）3cm3 ，结果是幂的乘方形式吗？底数是2和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，它是积的乘方。
积的乘方如何运算呢能不能找到一个运算法则•有前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥秒．【课堂探究】1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？（1）（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a( )b( )（2）（ab ）3=______=_______=a ( )b ( )（3）（ab ）n =______=______=a ( )b ( )（n 是正整数）2．分析过程：（1）（ab ）2 =（ab ）·（ab ）= （a·a ）·（b·b ）= a 2b 2，（2）（ab ）3=（ab ）·（ab ）·（ab ）=（a·a·a ）·（b·b·b ）=a 3b 3；（3）（ab ）n =()()()ab ab ab n 个ab =()a a a n 个a ·()b b b n 个b =a n b n3．得到结论： 积的乘方：（ab ）n = （n 是正整数）把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．4．积的乘方法则可以进行逆运算．即：a n ·b n =（ab ）n （n 为正整数）a n ·b n =()a a a n 个a ·()b b b n 个b ──幂的意义=()()()a b a b a b n 个(a b)──乘法交换律、结合律＝（a·b ）n ──乘方的意义同指数幂相乘，底数 ，指数 ．四、学以致用1D 、计算下列各题：（1）666(__)(__))(⋅=ab （2）_______(__)(__))2(333=⋅=m（3）_____(___)(__)(__))52(2222=⋅⋅=-pq （4）____(__)(__))(5552=⋅=-y x2D 、计算下列各题：（1）_______)(3=ab （2）_______)(5=-xy（3）_____________)43(2==ab （4）_______________)23(32==-b a （5）____________)102(22==⨯ （6）____________)102(32==⨯-3D 、计算下列各题：（1）223)21(z xy - （2）3)32(m n b a -（3）n b a )4(32 （4）2242)(32ab b a -⋅4C 、计算下列各题：（1）32332)(3)2(b a b a - （2）222)2()3()2(x x x ---+（3）232324)3()(9n m n m -+ （4）422432)(3)3(a ab b a ⋅-⋅5B 、计算：21)1(5.022*********--⨯⨯-6B 、已知32=m ，42=n 求n m 232+的值§14.1.4 整式乘法—单项式乘以单项式班级： 姓名：一、学习目标1．探索并了解单项式与单项式相乘的法则，并运用它们进行运算．2．让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力二、重点难点重点：单项式与单项式相乘的法则和计算。
难点：灵活运用单项式与单项式相乘的法则解决一些简单的实际问题。