1.6-完全平方公式(2)
完全平方公式
复习回顾
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)(a+b)=? (a -b)(a -b)=?
是否也能用一个公式来表达呢？
自主探究1
请同学们先根据多项式的乘法法则，解答下题：
(1) (m+3)2=(m+3)(m+3) = m2+6m+9 . 2 (2) (2+3x)2=(2+3x)(2+3x)= 4+12x+9x. 2= (x+1) (3) (x+1) (x+1) = x2+2x+1 . 用多项式的乘法法则验证.
？
-
2 2ab+b
如何用语言描述？
（1）(x+y)2
（3）(2+m)2
（2）(x-1)2
（4）(m-n)2
想一想
用几何图形来解释和的完全平方公式.
2 (a+b)
b
ab a2
a
b2
= a2
2 +2ab+b
a
ab
b
自主探究2
请你设计一个几何图形解释全平方公式计算：
(1) (2x-3)2 ；
1 4 2 2 x3 4 2 xy + 9
y4
3. 1012 = (100+1)2 =10201
用和的完全平方式推导：
2 2 (a-b) =[a+(-b)]
= +2· a·(-b) 2 2 =a - 2ab+b
2 a
2 +(-b)
返回
巩固练习
利用完全平方公式计算：
1.6完全平方公式第2课时-2023-2024学年七年级数学下册同步课件(北师大版)
拿出糖果招待他们.如果来1个孩子,老人就给这个孩子1块糖果;如果来2
个孩子,老人就给每个孩子2块糖果;如果来3个孩子,老人就给每个孩子3
块糖果……
假如第一天有a个孩子一起去看老人，第二天有b个孩子一起去看老
人,第三天有(a+b)个孩子一起去看老人，那么第三天老人给出去的糖果
刀沿图中折痕剪开,把它分成四块完全相同的小长方形,然后按图②那样
拼成一个大正方形,则中间空白部分的面积是( C )
A.2m
B.(m+n)2
C.(m-n)2
D.m2-n2
四、当堂练习
6.化简:(x+2)2+4(1-x)= x2+8 .
7.一个正方形的边长增加3 cm,它的面积就增加45 cm2,则这个正方形的
思考：怎样计算1022，992更简便呢？
解:(1)1022=(100+2)2
(2)1972=(200-3)2
=1002+2×100×2+22
=2002-2×200×3+32
=10000+400+4
=40000-1200+9
=10404.
=38809.
你是怎样做的？与同伴进行交流.
二、新知探究
跟踪练习
方法二:逆用平方差公式
=a2+2ab+b2-9.
(x+3)2- x2
=(x+3+x)(x+3- x)
=(2x+3)·3=6x+9.
(3)(x+5)2-(x-2)(x-3).
(3)(x+5)2-(x-2)(x-3)
1.6完全平方公式课件数学北师大版七年级下册
2
30 +2×30× +
2
=
感悟新知
知1－练
2-1. 运用完全平方公式进行简便计算：
(1)1022；
解：原式＝(100＋2)2＝10 000＋400＋ 4＝10 404；
(2)99.82；
原式＝(100－0.2)2 ＝10 000－40＋ 0.04＝9 960.04；
感悟新知
知1－练
阴影部分面积的关系，可以验证的乘法公式是
②
_______.(填序号)
①(a+b)(a－b)=a2－b2；
② (a－b )2 = a2－2ab+b2；
③(a+b)2=a2+2ab+b2；
④(a+b)2=(a－b)2+4ab.
感悟新知
知识点 3 利用乘法公式进行整式的混合运算
知3－讲
1. 当两个三项式相乘时，先利用添括号使原式变成符合乘
感悟新知
知1－练
1-2. 计算：
(1)(2y－1)2；
解：原式＝4y2－4y＋1；
(2)(3a+2b)2；
原式＝9a2＋12ab＋4b2；
(3)(－x+2y)2；
原式＝x2－4xy＋4y2；
(4)(－2xy－1)2.
原式＝4x2y2＋4xy＋1.
感悟新知
知1－练
例2 计算：(1)9992；(2) 2.
=－(4x2+12xy+9y2)
若两项都相同或都相反，
=－4x2－12xy－9y2.
则用完全平方公式计算.
感悟新知
知1－练
1-1. [中考·怀化] 下列计算正确的是( C )
2024北师大版数学七年级下册1.6.2《完全平方公式》教案2
2024北师大版数学七年级下册1.6.2《完全平方公式》教案2一. 教材分析《完全平方公式》是北师大版数学七年级下册第1章第6节的内容，本节课主要让学生掌握完全平方公式的概念和运用。
完全平方公式是初中数学中的一个重要概念，也是解决二次方程和二次不等式问题的关键。
通过对完全平方公式的学习，学生可以更好地理解和运用二次方程和二次不等式，为后续的学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的乘法、完全平方数等知识，对于二次方程和二次不等式有一定的了解。
但学生对于完全平方公式的理解和运用还不够熟练，需要通过本节课的学习来进一步掌握。
三. 教学目标1.让学生理解完全平方公式的概念，掌握完全平方公式的运用。
2.培养学生解决二次方程和二次不等式的能力。
3.培养学生合作学习、积极思考的能力。
四. 教学重难点1.完全平方公式的概念和运用。
2.解决二次方程和二次不等式。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究完全平方公式。
2.采用案例分析法，让学生通过具体案例理解完全平方公式的运用。
3.采用小组合作学习，培养学生合作学习的能力。
六. 教学准备1.PPT课件2.相关案例和练习题3.笔记本和文具七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件，展示一些生活中的完全平方现象，如正方形的面积公式等，引导学生对完全平方公式产生兴趣，激发学生的学习热情。
2.呈现（10分钟）通过PPT课件，呈现完全平方公式的定义和公式，让学生初步了解完全平方公式的概念。
3.操练（10分钟）让学生通过PPT上的练习题，运用完全平方公式进行计算，巩固对完全平方公式的理解和运用。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，总结完全平方公式的运用方法和注意事项，加深对完全平方公式的理解和运用。
5.拓展（10分钟）通过PPT上的案例分析，让学生运用完全平方公式解决实际问题，提高学生解决二次方程和二次不等式的能力。
6.小结（5分钟）让学生对自己在本节课中学到的知识进行总结，提高学生的自我学习能力。
1.6第2课时完全平方公式的运用(教案)
在教学过程中，教师应针对教学难点和重点进行有针对性的讲解和训练，帮助学生理解核心知识，突破难点，确保学生对完全平方公式的理解和运用达到熟练程度。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
1.6第2课时完全平方公式的运用（教案）
一、教学内容
本节课为《数学八年级上册》1.6节的第2课时，主题为“完全平方公式的运用”。教学内容主要包括以下三个方面：
1.掌握完全平方公式的结构及特征，即(a±b)²=a²±2ab+b²。
2.学会运用完全平方公式进行因式分解，解决实际问题。
3.能够运用完全平方公式简化计算，提高解题效率。
此外，小组讨论环节中，学生们表现得积极主动，提出了很多有创意的想法。但在分享成果时，部分学生表达不够清晰，这可能是由于他们对完全平方公式的掌握还不够熟练。因此，在接下来的教学中，我要加强对学生表达能力的培养，让他们能够更好地展示自己的思考过程。
在讲授过程中，我也注意到要适时调整教学节奏，让学生有足够的时间消化吸收知识点。特别是在讲解难点时，要通过举例、对比等多种方式，帮助学生理解。同时，要关注每个学生的学习情况，对于掌握程度较差的学生，要给予个别辅导，确保他们能够跟上教学进度。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调完全平方公式的结构及其在因式分解中的应用。对于难点部分，如符号的判断和公式的灵活运用，我会通过具体例题和练习来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与完全平方公式相关的实际问题，如计算特定图形的面积。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，通过折叠纸张或模型来演示完全平方公式的几何意义。
北师大版数学七年级下册1.6《完全平方公式》说课稿2
北师大版数学七年级下册1.6《完全平方公式》说课稿2一. 教材分析《完全平方公式》是北师大版数学七年级下册第1.6节的内容。
这一节主要介绍了完全平方公式的定义和应用。
完全平方公式是初等数学中的一个重要概念，它对于学生理解和掌握二次方程的解法有着重要的作用。
在本节课中，学生将通过探究和发现完全平方公式的规律，培养观察、分析和归纳的能力。
二. 学情分析在七年级下册的学生已经具备了一定的代数基础，例如解一元一次方程、解二元一次方程组等。
他们对代数知识有一定的了解和掌握，但完全平方公式是一个新的概念，需要学生通过探究和发现来理解和掌握。
此外，学生在学习过程中可能存在对完全平方公式的理解不够深入，应用不够灵活的问题，因此需要在教学过程中加以引导和培养。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解和掌握完全平方公式的定义和应用。
2.过程与方法目标：学生通过观察、分析和归纳，发现完全平方公式的规律，培养观察、分析和归纳的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够在解决问题的过程中体验到数学的乐趣，培养对数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解和掌握完全平方公式的定义和应用。
2.教学难点：学生能够通过观察、分析和归纳，发现完全平方公式的规律。
五. 说教学方法与手段在本节课中，我将采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析和归纳来发现完全平方公式的规律。
同时，我将运用多媒体教学手段，如PPT、动画等，来辅助教学，使学生更加直观地理解和掌握完全平方公式。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对完全平方公式的思考，激发学生的学习兴趣。
2.探究：学生分组讨论，观察和分析完全平方公式的规律，归纳出完全平方公式的定义。
3.讲解：教师对完全平方公式的定义和应用进行讲解，引导学生理解和掌握。
4.练习：学生进行练习，巩固对完全平方公式的理解和掌握。
5.总结：教师引导学生总结本节课的主要内容和收获。
1.6_完全平方公式 (1)(2)
a，b怎样确定？
2 102
2 =(100+2)
2 2 =100 +2×100×2+2
=10000+400+4
=10404
2 197
2 =(200-3) 2 2 =200 -2×200×3+3
=40000-1200+9
=38809
随堂练习
1.利用整式乘法公式计算：
(1) (2)
2 96 2 203
例3计算:(2)(x+5)2–(x-2)(x-3)
解:
2 (2)(x+5) -(x-2)(x-3)
=(x2+10x+25)-(x2-5x+6) = x2+10x+25-x2+5x-6
=15x+19
温馨提示：1.注意运算的顺序。 2.(x−2)(x−3)展开后的结果要注意添括 号。
例3 计算：(3)(a+b+3)(a+b-3)
(a＋b)2=a2＋2ab＋b2 (a－b)2=a2－2ab＋b2
归纳
(a±b)2=a2±2ab＋b2
完全平方公式的结构特征：
公式的左边是两数的和（或差）的平方， 右边是这两个数的平方和加上（减去）这两个数 的积的2倍。
记忆口诀：
首平方，尾平方，2倍乘积在中央。 注意：公式中的字母 a，b 可以是单项式，多项式
； .
学一学
例3 计算：(1)
2 (x+3)
-
2 x
你能用几种方法进行计算?试一试。 解:方法一： 完全平方公式合并 同类项
2 2 (x+3) -x
2 2 =x ＋6x+9-x
七年级数学下册1.6.2完全平方公式教案
课题：1.6完全平方公式（2）教学目标：1．熟记完全平方公式，并能说出公式的结构特征，能够运用完全平方公式进行一些数的简便运算，通过添括号和公式变形进一步巩固掌握完全平方公式．2．掌握每一个乘法公式的结构特征及公式的含义；会正确地运用这些公式，感悟换元变换的思想方法，提高灵活应用乘法公式的能力．3．在学习中使学生体会学习数学的乐趣，培养学习数学的信心，感爱数学的内在美． 教学重点与难点：重点：正确地运用乘法公式（平方差公式、完全平方公式）.难点：灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算．课前准备：多媒体课件．教学过程:一．故事引入、 激发兴趣活动内容：回答下列问题.教师：很久很久以前,有一个国王的公主被妖怪抓到了森林里,两个农夫一起去森林打猎时打死了妖怪救出了公主。
国王要赏赐他们, 这两个农夫原来各有一块边长为a 米的正方形土地, 第一个农夫就对国王说：“您可不可以再给我一块边长为b 米的正方形土地呢？”国王答应了他，国王问第二个农夫：“你是不是要跟他一样啊?”第二个农夫说：“不，我只要您把我原来的那块地的边长增加b 米就好了。
国王想不通了，他说：“你们的要求不是一样的吗？” 你认为他们的要求一样吗？ 大臣们开始讨论这个问题，最后一个聪明的大臣完成了国王心愿！国王和大臣们…处理方式：1.引导学生：聪明的同学你能用上节课所学的数学知识帮助国王解开这个迷吗？2. 提示学生可以画图来进行分析.学生画完图形后，教师找比较好的进行投影展示.3. 画图表示如图第一个农民的土地扩大后土地面积为)(22b a ．4. 画图表示为第二个农民的土地扩大后土地面积为2)(b a +．5. 请同学们观察图1，图2能够发现什么？学生交流讨论后，2分钟找学生代表发言. 设计意图：利用学生感兴趣的故事引入新课，贴近学生的生活，培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣，同时也让聪明的学生进一步体会了)(22b a +与2)(b a + 的关系，这也为新课的学习做好铺垫．巩固训练2222)41()14)(2(14)14)(1(a a a a -=+-+=--明理由．下列等式是否成立？说二、探究学习，感悟新知 活动内容1：呢？＋与 有什么关系？与 相等吗？与 2222222)()3()()()2()()()1(b a b a a b b a b a b a -----+ 处理方式：同位之间相互合作，一个人负责计算(1)(2)小题的前一个式子，另一个人负责计算另一个式子，计算后相互比较结果，看看有什么新的发现？第(3)个小题共同计算． 比较结果后，然后观察两个式子，你认为它们表面不同，结果的变化为什么是这样？设计意图： 2)(b a +与2)(b a -- 相等，2)(b a - 与2)(a b -相等；以后的学习中，如果有需要，两个式子可以互相借用或相互转化，从而解决一些障碍问题．巩固训练．．．．．． ）．下列计算正确的是（)(_________4)2(244)2()2()2()2()2()(12222222222222++=-++-=+-+=--+=+-+=+b a ab b ab a b a D y x y x C n m n m B y x y x A活动内容2：简单？．样计算例22197,1021（多媒体出示） 处理方式： 学生自己看课本26页方框内的解题过程．提示学生用的是凑整法（为什么用凑整法？）．设计意图：本活动的设计通过自主学习，让学生直观的接触求解过程，比较符合形象思维占主导的年龄段学生的认知特点．授人以鱼不如授之以渔，授之以渔不如授之以欲．教师一句激励的话语，给学生自学的动力．活动内容3：完全平方公式的逆用 （多媒体出示）222)(16_______16 ，的值是则是一个完全平方公式，如果多项式=++++mx x m mx x处理方式： 学生思考并尝试解决问题4分钟，4分钟后留给学生2分钟的交流时间，然后学生整理思路后，展示结果，并把大概的想法和知识之间的联系讲出来．设计意图：可能部分学生毫无方向和目标，但是还得给它们思考的时间，然后通过交流，部分学生明白了，这里不仅可以增强善于思考学生的自信，而且提高了学生相互交流和学习的习惯和能力．巩固练习．则．若．．)(_________)1(,122)2(_______4122222=+=+-=++x x x y x y x三、例题解析，应用新知 活动内容1：．；； 计算：例)3)(2()5)(3()3)(3)(2()3)(1(2222---+-+++-+x x x b a b a x x处理方式：把例2抄在黑板上，先给学生30秒钟时间观察例2的各式子的特点，然后找有后进生来展示求解过程，其余学生在练习本完成最少一道题；展示的答案会出现各式的问题，这是正常情况，然后再让部分学生订正，让大部分的学生都有收获，在不断出问题、纠正问题中成长，最后看课本，学习课本过程的优点．设计意图：例2的设计主要是直接利用完全平方公式进行整式的乘法运算，使学生进一步熟悉乘法公式的运用同时进一步体会完全平方公式中字母a ，b 的含义是很广泛的，它可以是数，也可以是整式.，并且在解题过程中学会一题多解情况下的优化选择，并通过例题中的第三个题目体会整体思想，同时注意添加括号的思想. 学生还会出现运算顺序和符号的问题，我们不怕学生出错，出错学生可以改掉；就怕学生隐藏错误带来以后的运算隐患． 巩固练习． ； 计算：22)1()1()2()12)(12()1(--+-+++ab ab y x y x活动内容2：完成课本第27页做一做，请你用数学公式解释自己的结论．师：请同学们思考老人前三天各给了多少块糖果？生1：第一天有 a 个孩子一起去了老人，老人一共给了这些孩子a 2块糖。
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6
完全平方公式的几何意义
(a+b)22= a22++22aabb+b22 . ((aa−−bb))222== aaa222−−−22a2ababb+++bb22b.2
结构特征: 左边是 二项式 (两数和(差)) 的平方;
右边是 两数的平方和 加上(减去) 这两数乘积的两倍.
语言表述:
用自己的
两数和(差) 的平方
等于 这两数的平方和
语言叙述 上面的公
式
加(a上−16b:4)(02减=去a2) −这ab两−数b(a乘−b积) 的= 两a2−倍2a.b+b2 .
(a+b)2= a2+2ab+b2
几 b ab b2
何
解 a a2 ab
释:
a
b
(a−b)2 = a2−2ab+b2
a−b
b
a−b (a−b)2 b(a−b)
2.口诀：首平方，尾平方，2倍乘积放中央; 符号看前方。
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2
巩固练习
1.用完全平方公式计算：
(1) (2a-3)2 (2) (-x+4y)2
(3) (-a-2b)2 － (-a+2b)2
(4) 1022
(5) (-2a-b+C) 2
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3
2.想一想: 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当
10
例1.利用完全平方公式计算:
（1）102 2 ；（2）197 2 .
解:（1）1022=（100+2）2 =1002 +2×100×2+22 =10000+400+4 =10404
（2）1972=（200-3）2 =2002-2×200×3+32 =40000-1200+9 =38809
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怎样改正？ (1)(x+y)2=x2 +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 错 (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 错 (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
a
b
ab
7
a
完全平方公式的几何意义
(a+b)2 = a2+2ab+b2 . (a−b)2 = a2−2ab+b2 .
结构特征: (a−b)2 = a2−2ab+b2
左边是 二项式 (两数 (差) 的平方; 右边是 两数的平方差
(减去) 这两数乘积的两倍.
(a−b)2 = a2−2ab+b2
a−b
b
(a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?
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例题3. 1.若x2+2kx+9是一个完全平方公式,求k 2.若x2+8x+k2是一个完全平方公式,求k
3.若a b 5, ab 6, 求a2b2 ,a2ab b2的值.
4.计算 : 2008 2 2 2008 2009 2009 2
孩子多少块糖？
a2块糖
（2） 第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些
孩子多少块糖？
b2块糖
（3） 第三天着这（a+b)个孩子一起去看老人，老人一 共给了这些孩子多少块糖？ (a+b)2块糖16:40 Nhomakorabea9
（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前 两天他们得到的糖果总数哪个多？多多 少？为什么？
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以是单项式，还可以是多项式，所以要记得 添括号.
2. 解题技巧：
在解题之前应注意观察思考，选择不同的 方法会有不同的效果，要学会优化选择.
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18
填空：
(1) a2+2ab +b2=(a+b)2 (2) a2+(-2ab) +b2=(a - b)2 (3) 4a2+ 4ab +b2=(2a+b)2 (4) 4a2+(-4ab) +b2=(2a - b)2 (5) (2a )2+4ab+b2=( 2a +b)2 (6) a2-8ab+ 16b2 =( a-4b )2
北师大版七年级数学下册
第一章 整式的乘除
§1.6 完全平方公式(2)
—完全平方式的几何意义
一、复习
完全平方公式的结构特点：
(a+b)2= a2 +2ab+b2 1.特点:①等号左边:是两 (a-b)2= a2 - 2ab+b2 个数的和(或差)的平方;
②等号右边:结果有三项,其中两项为两数的平 方和；另一项是两数积的2倍，且与乘式中间 的符号相同。
几
何a−b (a−b)2 b(a−b)
解
a
释:
b
ab
a
(a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
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8
一位老人非常喜欢孩子.每当有孩子到他家做客时， 老人都要拿出糖果招待他们.来一个孩子,老人就给这个 孩子一块糖,来两个孩子,老人就给每个孩子两块糖,…
（1） 第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些
11
例2.计算:
(1)(x+3)2-x2 ;(2)(a+b+3)(a+b-3). (3)(x+5)2-(x-2)(x-3)
解： (1)原式=x2+6x+9-x2 =6x+9
(2)原式=[(a+b)+3][(a+b)-3] = (a+b)2 -32 =a2+2ab+b2-9
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12
(3)(x+5)2-(x-2)(x-3) 解：原式=x2+10x+25-(x2-5x+6)
=x2+10x+25-x2+5x-6 =15x+19
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13
1、运用完全平方公式计算：
(1) 962 （2）1982 ; （3）2012 . 解： 962 = (100 –4)2
=10000 -2× 100× 4+42 =9216
(4) (a-b-3)(a-b+3)
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14
2.思考 (a+b)2与(-a-b)2相等吗?
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4
新课：完全平方公式 的几何意义
1.和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(a b)2 a2+2ab+b2
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完全平方公式 的几何意义 2.差的完全平方公式：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
16:40
16
综合应用
巩固练习：
(1) (a－b+3)(a－b－3)
(2) (x－2)(x+2) －(x+1)(x－3) (3) (ab+1)2－ (ab－1)2
(4) (2x－y)2－4(x－y)(x+2y)
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17
课堂小结
1. 完全平方公式的使用：
在做题过程中一定要注意符号问题和正确
认识a、b表示的意义，它们可以是数、也可