《椭圆的参数方程》PPT课件
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椭圆的参数方程课件
∴|OQ|＝12－cossinφφ. ∴|OP|·|OQ|＝12＋cossinφφ×12－cossinφφ＝4. 即|OP|·|OQ|＝4 为定值．
5．对任意实数，直线
y＝x＋b
与椭圆xy＝＝42scions
θ θ
(0≤θ≤2π)，
恒有公共点，则 b 的取值范围是________．
解析：将(2cos θ，4sin θ)代入 y＝x＋b 得：
[证明] 设 M(2cos φ，sin φ)，φ 为参数，B1(0，－1)，B2(0,1)． 则 MB1 的方程：y＋1＝si2ncoφs＋φ1·x， 令 y＝0，则 x＝si2ncoφs＋φ1，即|OP|＝12＋cossinφφ. MB2 的方程：y－1＝si2ncoφs－φ1x， 令 y＝0，则 x＝12－cossinφφ.
若 0＜35a≤1，则当 cos θ＝35a 时， |PA|min＝ －45a2＋4＝1，得 a＝ 215(舍去)； 若 1＜35a＜95，则当 cos θ＝1 时， 由|PA|min＝ a2－6a＋9＝1， 得|a－3|＝1，∴a＝2，故满足要求的 a 值为 2.
[例 2] 已知 A，B 分别是椭圆3x62＋y92＝1 的右顶点和 上顶点，动点 C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心 G 的轨 迹方程．
代入目标函数得
z＝5cos φ－8sin φ＝ 52＋82cos(φ＋φ0) ＝ 89cos(φ＋φ0)(tan φ0＝85)．
所以目标函数 zmin＝－ 89，zmax＝ 89.
1．已知椭圆2x52＋1y62 ＝1，点 A 的坐标为(3,0)．在椭圆上找
一点 P，使点 P 与点 A 的距离最大．
4sin θ＝2cos θ＋b
∵恒有公共点，∴以上方程有解．
5．对任意实数，直线
y＝x＋b
与椭圆xy＝＝42scions
θ θ
(0≤θ≤2π)，
恒有公共点，则 b 的取值范围是________．
解析：将(2cos θ，4sin θ)代入 y＝x＋b 得：
[证明] 设 M(2cos φ，sin φ)，φ 为参数，B1(0，－1)，B2(0,1)． 则 MB1 的方程：y＋1＝si2ncoφs＋φ1·x， 令 y＝0，则 x＝si2ncoφs＋φ1，即|OP|＝12＋cossinφφ. MB2 的方程：y－1＝si2ncoφs－φ1x， 令 y＝0，则 x＝12－cossinφφ.
若 0＜35a≤1，则当 cos θ＝35a 时， |PA|min＝ －45a2＋4＝1，得 a＝ 215(舍去)； 若 1＜35a＜95，则当 cos θ＝1 时， 由|PA|min＝ a2－6a＋9＝1， 得|a－3|＝1，∴a＝2，故满足要求的 a 值为 2.
[例 2] 已知 A，B 分别是椭圆3x62＋y92＝1 的右顶点和 上顶点，动点 C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心 G 的轨 迹方程．
代入目标函数得
z＝5cos φ－8sin φ＝ 52＋82cos(φ＋φ0) ＝ 89cos(φ＋φ0)(tan φ0＝85)．
所以目标函数 zmin＝－ 89，zmax＝ 89.
1．已知椭圆2x52＋1y62 ＝1，点 A 的坐标为(3,0)．在椭圆上找
一点 P，使点 P 与点 A 的距离最大．
4sin θ＝2cos θ＋b
∵恒有公共点，∴以上方程有解．
【公开课课件】《椭圆的参数方程》课件
椭圆的参数方程
x a cos （ 为参数 ） 0,2 y b sin
练习
x 2 3 cos P是椭圆 （ 为参数）上一点， y 2 sin
OP的倾斜角为 4 ，则点P的坐标为（ (B) (A) ）
(A) ( 6 , 2 ) (C) (2 3, 3) (B) ( 3, 3 ) (D) (4,3)
y M B A
A，B，M三点固定，设 MBx |AM|=a，|BM|=b，
M 0
B A
x
设M(x,y)则x=acos ,y=bsin ,
。 所以M点的轨迹为椭圆。
例题与练习
例1、把下列参数方程化为普通方程
x 3cos , （1） y 5sin .
x 8cos , （2） y 6sin .
x2 例３ 点P在椭圆 y 2 1 上运动，直线x+2y4
2=0交椭圆于点A、B，问P处于何处时，P到直线
的距离最大？
y A P O B x
例3
已知椭圆 ，点P(x,y)是椭圆 上一点， ⑴求x2＋y2的最大值与最小值； ⑵求3x＋5y的范围；⑶若四边形ABCD内接于 椭圆，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4， 求四边形ABCD的最大面积。 ⑴方法一（参数法） 方法二（消元法）要注意元的范围22 ⑵参数法，化归法（转化为直线与椭圆有交 点，从而消元所得的一元二次方程的Δ≥0 ⑶ 关键：求出B、D到直线AC的最大距离.
说明：
⑴ 这里参数
叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
x2 y 2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 2 1与三角恒等式 2 a b 2 2
的实质是三角代换.
椭圆的参数方程ppt课件
课堂达标测练教材超级链接解以在以a为原点直线ab为为x轴的直角坐标系中弹道方程是??????????xv0tcosyv0tsin12gt2t为参数它经过最高点30001200和点b60000的时间分别为t0和和2t0代入参数方程得??????????????3000v0t0cos1200v0t0sin12gt2002v0t0sin2gt20去消去t0得??????????v20sincos3000gv20sin22400g
(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程； (2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标． 分析 这是物理学中的平抛运动，选择合理的参变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来．
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解 (1)如图所示，A为投弹点，坐标为 (0，588)，B为目标，坐标为(x0， 0)．记炸弹飞行的时间为t，在A点t＝0. 设M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它 对应时刻t，炸弹初速度v0＝150 m/s， 用物理学知识，分别计算水平、竖直 方向的路程，得
0＝2v0t0sin α －2gt20，
消去
t0，得vv2020ssiinn2αα
cos ＝2
α ＝3 400 g.
000
g，
解得：α ＝arctan45，v0＝7 1 230(米/秒)．
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1． 已知点P(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点，
(1)求2x＋y的取值范围；
∴a≥ 2－1.
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2．点 P 在椭圆1x62＋y92＝1 上，求点 P 到直线 3x－4y＝24 的最 大距离和最小距离．
解 设 P(4cos θ ，3sin θ )，
则 d＝|12cos
(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程； (2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标． 分析 这是物理学中的平抛运动，选择合理的参变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来．
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解 (1)如图所示，A为投弹点，坐标为 (0，588)，B为目标，坐标为(x0， 0)．记炸弹飞行的时间为t，在A点t＝0. 设M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它 对应时刻t，炸弹初速度v0＝150 m/s， 用物理学知识，分别计算水平、竖直 方向的路程，得
0＝2v0t0sin α －2gt20，
消去
t0，得vv2020ssiinn2αα
cos ＝2
α ＝3 400 g.
000
g，
解得：α ＝arctan45，v0＝7 1 230(米/秒)．
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1． 已知点P(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点，
(1)求2x＋y的取值范围；
∴a≥ 2－1.
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2．点 P 在椭圆1x62＋y92＝1 上，求点 P 到直线 3x－4y＝24 的最 大距离和最小距离．
解 设 P(4cos θ ，3sin θ )，
则 d＝|12cos
《椭圆的参数方程》课件
引入参数
引入参数化变量描 述椭圆
求解参数值
确定椭圆参数的具 体数值
应用坐标变换
将椭圆的标准方程 转化为参数方程
椭圆参数方程的性质
可变形
参数值影响椭圆形 状
对称性
某些参数下的椭圆 具有对称性
应用广泛
在物理学、工程学 等领域有广泛应用
多样性
不同参数组合形成 不同椭圆
椭圆参数方程的应用
天体轨道
描述行星绕太阳运 动轨迹
物理模型
描述摆线运动等现 象
数据分析
用参数方程拟合实 验数据
工程设计
绘制椭圆形状的设 计图
01 人工智能
应用于图像识别和处理
02 生物医学
模拟生物运动和疾病分析
03 材料科学
用于纳米结构和材料设计
感谢观看
感谢您观看本次关于椭圆参数方程的PPT课件。通过本课件， 您了解了椭圆参数方程的定义、推导、性质和应用，希望对 您理解椭圆和参数方程有所帮助。在未来，椭圆参数方程将 在更多领域展示其重要性和应用价值。谢谢！
参数方程的几何意义
曲线形状分析
通过参数方程了解 曲线的形状特点
几何问题解决
利用参数方程解决 具体的几何问题
动态变化观察
观察曲线随参数变 化的动态效果
01 运动规律分析
通过参数方程描述物体的运动规律
02 变化趋势预测
根据参数方程预测物体的变化趋势
03 控制参数优化
利用参数方程优化系统控制参数
参数方程的工程 应用
参数方程的物理应用
运动轨迹描述
描述物体在空间中 的运动轨迹
模拟实验
通过参数方程进行 物理实验的模拟
变化过程分析
分析物体随时间变 化的状态
高中数学2.2.1 椭圆的参数方程优秀课件
解：由于动点C 在该椭圆上运动，所以可设点C 的坐标为
(6cos,3sin)，点G 的坐标为( x , y ) 。则由题意可知A(6,0),B(0,3)
由重心坐标公式可知：
x606cos22cos
3
y033sin1sin
3 由此可得：(x2)2 (y1)2 1即为所求
4
例1：在椭圆 x 2 y 2 1 上求一点 M ，使点M 到直线x2y100的 94
x y
a b
c s
os in
（
为参数）中的参数
不是动点 M (x, y) 的旋转角，它是点 M 所对应的圆的半径 O A（或 O B ）的旋转角，称为离心角，不是O M 的旋转角。
2.通常规定[0,2) 。
3.当椭圆的普通方程不是标准形式时，也可以表示为参数方程的形
式。
如
(x a2 m)2(yb 2n)21(ab0)可表示为xymn
距离最小，并求出最小距离。
解：因为椭圆的参数方程为
x y
3 2
cos sin
（
为参数）
∴可设点 M 的坐标为 (3cos,2sin)
由点到直线的距离公式，得到点M 到直线的距离为：
d|3cos4sin10|
5
|5(cos•3sin•4)10|
5
5
5
15|5cos(0)10|
其中
0
满足cos0
解：由题意，设椭圆的方程为 x 2 y 2 1 a2 b2
则a3,c 5,b2
∴椭圆的普通方程为
x2 32
y2 22
1
化为参数方程得： xy
3 2
cos sin
（
为参数）
例3：已知P 标。
(6cos,3sin)，点G 的坐标为( x , y ) 。则由题意可知A(6,0),B(0,3)
由重心坐标公式可知：
x606cos22cos
3
y033sin1sin
3 由此可得：(x2)2 (y1)2 1即为所求
4
例1：在椭圆 x 2 y 2 1 上求一点 M ，使点M 到直线x2y100的 94
x y
a b
c s
os in
（
为参数）中的参数
不是动点 M (x, y) 的旋转角，它是点 M 所对应的圆的半径 O A（或 O B ）的旋转角，称为离心角，不是O M 的旋转角。
2.通常规定[0,2) 。
3.当椭圆的普通方程不是标准形式时，也可以表示为参数方程的形
式。
如
(x a2 m)2(yb 2n)21(ab0)可表示为xymn
距离最小，并求出最小距离。
解：因为椭圆的参数方程为
x y
3 2
cos sin
（
为参数）
∴可设点 M 的坐标为 (3cos,2sin)
由点到直线的距离公式，得到点M 到直线的距离为：
d|3cos4sin10|
5
|5(cos•3sin•4)10|
5
5
5
15|5cos(0)10|
其中
0
满足cos0
解：由题意，设椭圆的方程为 x 2 y 2 1 a2 b2
则a3,c 5,b2
∴椭圆的普通方程为
x2 32
y2 22
1
化为参数方程得： xy
3 2
cos sin
（
为参数）
例3：已知P 标。
最终椭圆的参数方程PPT课件
（
），离心率是 ）。
例1、如图，在椭圆
x2 y2 1 94
上求一点M，使M到直线 l：x+2y-10=0的距离最小.
分析1 平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求.
y
x 2y m 0 4x2 9 y2 36
O
x
消元，利用 0，
P
求出m, 及切点M(x0, y0 ) d x0 2 y0 10
y
5
sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x 8 cos
y
10 sin
(4)
x2 64
y2 100
1
练习2：已知椭圆的参数方程为
x 2cos
y
sin
(
是参数) ，则此椭圆的长4 轴长为
（2
），短轴长为(（ 3 , 0)），焦点坐标是
（3 2
焦点在Y轴xy
b cos, a sin .
如下图，以原点O为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为 半径作两个同心圆，设A为大圆上的任意一点，连接OA, 与小圆交于点B ，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作 BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参 数方程.
分析：
a b
cos sin
(为 参 数)
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
圆的参数方程:
x y
r cos r sin
(为 参 数)
），离心率是 ）。
例1、如图，在椭圆
x2 y2 1 94
上求一点M，使M到直线 l：x+2y-10=0的距离最小.
分析1 平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求.
y
x 2y m 0 4x2 9 y2 36
O
x
消元，利用 0，
P
求出m, 及切点M(x0, y0 ) d x0 2 y0 10
y
5
sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x 8 cos
y
10 sin
(4)
x2 64
y2 100
1
练习2：已知椭圆的参数方程为
x 2cos
y
sin
(
是参数) ，则此椭圆的长4 轴长为
（2
），短轴长为(（ 3 , 0)），焦点坐标是
（3 2
焦点在Y轴xy
b cos, a sin .
如下图，以原点O为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为 半径作两个同心圆，设A为大圆上的任意一点，连接OA, 与小圆交于点B ，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作 BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参 数方程.
分析：
a b
cos sin
(为 参 数)
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
圆的参数方程:
x y
r cos r sin
(为 参 数)
1[1][1]椭圆的参数方程(第一课时).ppt
![1[1][1]椭圆的参数方程(第一课时).ppt](https://img.taocdn.com/s3/m/99c60bcb0b4e767f5bcfce6d.png)
x2 b2
y2 a2
1 的参数方程吗？
x2 b2
y2 a2
1
x
2
y
2
1
b a
x
令
b y
c os sin
xy
b cos(为参数) a sin
a
是焦点在Y轴的椭圆的参数方程
第二章 参数方程
练习1：把下列普通方程化为参数方程.
(1)
x2 y2 1 49
(2)
x2 y2 1 16
x
大值和最小最值大值6 2,最小值 6 2.
2、θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,
6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 B
.
A. 圆 B. 椭圆 C. 直线
设中点M (x, y)
x=2sinθ-2cosθ
x2 y2 2 y=3cosθ+3sinθ 49
D. 线段
设∠XOA=φ
B
O
A
M
Nx
第二章 参数方程
知识点小结
1.在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆
的长半轴长 和短半轴长 . （其中a>b）
2. 称为 离心角 ,规定参数 的取值范围
是 0,2
3.
当焦点在X轴时
x y
a b
cos sin
(为参数)
x b cos 当焦点在Y轴时 y a sin
S 2016sin cos 160sin 2
A1 F1
所以, 矩形ABCD最大面积为160
C
O F2
B
B1
A2 XX
第二章 参数方程
练习3:已知A,B两点是椭圆
2.1 椭圆的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
所以, 矩形ABCD最大面积为 160
y x 练习3:已知A,B两点是椭圆 9 4 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) SABC 面积一定, 需求 SABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
椭圆的参数方程
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
A
B O N
M
设∠XOA=φ
x
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. y 解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A A: (acosφ, a sinφ), B B: (bcosφ, bsinφ), M
y A
B O M N
φ
x
a b x a cos (为参数) 椭圆的参数方程: y b sin
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
y
P θ
x r cos 圆的参数方程: (为参数) y r sin θ的几何意义是 ∠AOP=θ
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
所以, 矩形ABCD最大面积为 160
y x 练习3:已知A,B两点是椭圆 9 4 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) SABC 面积一定, 需求 SABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
椭圆的参数方程
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
A
B O N
M
设∠XOA=φ
x
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. y 解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A A: (acosφ, a sinφ), B B: (bcosφ, bsinφ), M
y A
B O M N
φ
x
a b x a cos (为参数) 椭圆的参数方程: y b sin
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
y
P θ
x r cos 圆的参数方程: (为参数) y r sin θ的几何意义是 ∠AOP=θ
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椭圆的参数方程
精选ppt
1
椭圆的参数方程
一、知识回顾
问题： 圆(x a)2 ( y b)2 r2的参数方程是什么？ 是怎样推导出来的？
xa2
yb2
1
r r
令
x a
:
y
r
b
r
cos sin
得:xy ab rrscions (为参) 数
精选ppt
2
问题2:你能仿此推导出椭圆
13
三、课堂小结
（1）椭圆的参数方程与应用
x2
a2
y2 b2
1
xyabcsions (为参数 )
注意：椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意义不同。
（2）椭圆与直线相交问题
精选ppt
14
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
xyabcsions(为参数)
——此即为椭圆的参
数方程,其中 的几何
意义为——离心角.
精选ppt
y
B
O
A M Nx
5
圆的参数方程与椭圆的参数方程中参数的几何意义
Y
M (x,y)
Y
A
B M(x,y)
ON
X
ON
X
xyaacsoins(为参数 )
xyabcsions(为参数 )
为OX轴逆时针旋转到与 OM重合时所转过的角度
并非为OX轴逆时针旋转到 精选ppt 与OM重合时所转过的角度6
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
x2 y2
(1)
1 49
(2)
x2 y2 1 16
(1)
x 2cos y 3sin
(2)
x cos y 4sin
把下列参数方程化为普通方程
(3)
x
y
3 cos 5 sin
(3)
x2 9
x2 a2
y2 b2
1的参数方程吗？
x2
a2
y2 b2
1
x 2 y 2 1 a b
令
x
a y
cos sin
b
xyabcsions (为参数 )
这就是椭圆的参数方程
精选ppt
3
椭圆参数方程的推导
从几何变换的角度看，
通过伸缩变换
x 1 x
{ y
a 1
则椭圆的方程 y
b
x 2 y 2 1可以变成 a2 b2
x 2＋ y 2 1 .利用圆的参数方程
x {
cos
( 为参数
) 可以得到椭圆的参数
y sin
方程为
x a cos {
y b sin
精选ppt
4
如图,以原点为圆心,分别以a,b（a>b>0）为半径 作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作 AN⊥Ox,垂足为N,过点B作BM ⊥ AN,垂足为M,当半 径OA绕点O旋转时点M的轨迹为椭圆.
当 k 2 4 (k Z )时 ， S 矩 形 2 a b 最 大 。
所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab.
精选ppt
12
练与坐习标3:已轴知正A半,B轴两的点两是个椭交圆点,x在92 第一y4象2 限的1椭
圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
解:椭圆参数方程
设点P(3cos,2sin)
y2 25
1
(4)
x 8 cos
y
10 sin
1 (4) x2
64 精选ppt
y2 100
7
例1、如图，在椭圆x2／9+y2／4=1上求一点M，使M
到直线 l：x+2y-10=0的距离最小.
y
分析1
O
x
P
平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求.
精选ppt
8
分析2
设 M (3co,2 ssin ),
则 d|3cos4sin-10 |
5
小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意 一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解 决。
精选ppt
9
思考： 与简单的线性规划问进题行类比，你能在实数
x, y满足x2 y2 1的前提下，求出 z x 2y的 25 16
最大值和最小值吗？
精选ppt
10
设M(5cos,4sin)是椭圆上的一点，则
z 5cos 8sin 89cos( 0) cos( 0)[1,1]
z[ 89, 89]
精选ppt
11
例2.已知椭圆
x2 a2
by22
1(ab0),求椭圆内接矩形面积
的最大值.
解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为(acos,bsin)
S 矩 形 4 a c o sb s i n 2 a b s i n 2 2 a b
SABC面积一定,需求SABP最大即可 即 求 点 P到 线 AB的 距 离 最 大 值
线 AB的 方 程 为
x 3
y 2
1
2x
3y
6
0
d | 6 cos 6 sin 6 | 6 2 sin( )
22 32
13
4
所以当Fra bibliotek=4
时
,
d
有
最
大
值
,
面
积
最
大
这
时
点
P的
坐
标
为
(
3
2 2
,
2)
精选ppt
精选ppt
1
椭圆的参数方程
一、知识回顾
问题： 圆(x a)2 ( y b)2 r2的参数方程是什么？ 是怎样推导出来的？
xa2
yb2
1
r r
令
x a
:
y
r
b
r
cos sin
得:xy ab rrscions (为参) 数
精选ppt
2
问题2:你能仿此推导出椭圆
13
三、课堂小结
（1）椭圆的参数方程与应用
x2
a2
y2 b2
1
xyabcsions (为参数 )
注意：椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意义不同。
（2）椭圆与直线相交问题
精选ppt
14
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xyabcsions(为参数)
——此即为椭圆的参
数方程,其中 的几何
意义为——离心角.
精选ppt
y
B
O
A M Nx
5
圆的参数方程与椭圆的参数方程中参数的几何意义
Y
M (x,y)
Y
A
B M(x,y)
ON
X
ON
X
xyaacsoins(为参数 )
xyabcsions(为参数 )
为OX轴逆时针旋转到与 OM重合时所转过的角度
并非为OX轴逆时针旋转到 精选ppt 与OM重合时所转过的角度6
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
x2 y2
(1)
1 49
(2)
x2 y2 1 16
(1)
x 2cos y 3sin
(2)
x cos y 4sin
把下列参数方程化为普通方程
(3)
x
y
3 cos 5 sin
(3)
x2 9
x2 a2
y2 b2
1的参数方程吗？
x2
a2
y2 b2
1
x 2 y 2 1 a b
令
x
a y
cos sin
b
xyabcsions (为参数 )
这就是椭圆的参数方程
精选ppt
3
椭圆参数方程的推导
从几何变换的角度看，
通过伸缩变换
x 1 x
{ y
a 1
则椭圆的方程 y
b
x 2 y 2 1可以变成 a2 b2
x 2＋ y 2 1 .利用圆的参数方程
x {
cos
( 为参数
) 可以得到椭圆的参数
y sin
方程为
x a cos {
y b sin
精选ppt
4
如图,以原点为圆心,分别以a,b（a>b>0）为半径 作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作 AN⊥Ox,垂足为N,过点B作BM ⊥ AN,垂足为M,当半 径OA绕点O旋转时点M的轨迹为椭圆.
当 k 2 4 (k Z )时 ， S 矩 形 2 a b 最 大 。
所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab.
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练与坐习标3:已轴知正A半,B轴两的点两是个椭交圆点,x在92 第一y4象2 限的1椭
圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
解:椭圆参数方程
设点P(3cos,2sin)
y2 25
1
(4)
x 8 cos
y
10 sin
1 (4) x2
64 精选ppt
y2 100
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例1、如图，在椭圆x2／9+y2／4=1上求一点M，使M
到直线 l：x+2y-10=0的距离最小.
y
分析1
O
x
P
平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求.
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分析2
设 M (3co,2 ssin ),
则 d|3cos4sin-10 |
5
小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意 一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解 决。
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思考： 与简单的线性规划问进题行类比，你能在实数
x, y满足x2 y2 1的前提下，求出 z x 2y的 25 16
最大值和最小值吗？
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设M(5cos,4sin)是椭圆上的一点，则
z 5cos 8sin 89cos( 0) cos( 0)[1,1]
z[ 89, 89]
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例2.已知椭圆
x2 a2
by22
1(ab0),求椭圆内接矩形面积
的最大值.
解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为(acos,bsin)
S 矩 形 4 a c o sb s i n 2 a b s i n 2 2 a b
SABC面积一定,需求SABP最大即可 即 求 点 P到 线 AB的 距 离 最 大 值
线 AB的 方 程 为
x 3
y 2
1
2x
3y
6
0
d | 6 cos 6 sin 6 | 6 2 sin( )
22 32
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所以当Fra bibliotek=4
时
,
d
有
最
大
值
,
面
积
最
大
这
时
点
P的
坐
标
为
(
3
2 2
,
2)
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