三角函数中“1”的妙用
高中数学中“1”的代换
高中数学中“1”的代换高中数学中有不少题目，如果能巧妙地利用1的代换，将大大地简化计算量和计算过程，能收到事半功倍的良效。
1．“1”在指数函数、对数函数中的应用例1：计算5lg 2lg 35lg 2lg 33++解法一：原式()()5lg 2lg 35lg 5lg 2lg 2lg 5lg 2lg 22++-+= 5lg 2lg 35lg 5lg 2lg 2lg 22++-=5lg 5lg 2lg 22lg 22++=()25lg 2lg +=1= 解法二：2lg 15lg 5lg 2lg 1-=⇒+=代入原式得()()2lg 12lg 32lg 12lg 33-+-+2lg 32lg 32lg 2lg 32lg 312lg 2323-+-+-+=1= 点评：解法一利用因式分解，解法二利用代入法。
注：5lg 2lg 1+=例2：已知01>>>b a 且11log >-）（x b a ，求x 的取值范围。
解：首先01>-x ，即1>x又 a a x b =>-11log ）（，而1>a1log 01log b b x =>-⇒）（，而10<<b211<⇒<-⇒x x综合知21<<x点评：本题充分利用1和0的代换把原式转化为与左边同底数的式子，利用函数的单调性解之。
注：()()101log 001≠>=≠=b b a a b 且2．“1”在三角函数中的应用例3：已知2tan =α，求αα2cos 2sin +的值。
分析：由2tan =α可求出552sin ±=α，55cos ±=α代入计算，有点麻烦，不妨借助1的代换来解题。
解：原式1cos cos sin 22ααα+=ααααα222cos sin cos cos sin 2++=（分子分母同除以α2cos ） 11t a n 1t a n 22=++=αα 点评：借助1的代换大大简化了计算量，做完后的心情肯定很爽。
浅议“1”在三角函数中的作用
浅议“1”在三角函数中的作用作者：赵春燕来源：《散文百家·下旬刊》2016年第01期在数学中，数字“1”可以说是无处不在，无时不有。
尽管它只是一个普通的小数字，但在解决某些数学问题中却起着不可忽视的大作用。
尤其是在三角函数问题中，如果能够巧妙、合理地使用“1”，那么在解题中就能化繁为简，化难为易。
当你在题海中“山重水复疑无路”时，它就可让你“柳暗花明又一村”，从而思路豁然开朗，效果事半功倍。
下面就结合我个人的教学实践，谈谈“1”在三角函数中的作用。
一、直接利用sin2α+cos2α=1进行解题在题中如果出现了sin2α+cos2α或1，可以根据需要互相替换，从而迅速解决问题。
例1：已知α是第一象限角，化简：1+2sinαcosα解析：对于根式的化简，思路主要是去根号，而对这个题目首先要考虑根号下是否能够配成完全平方式，沿着这个思路我们可以联想到把“1”化成“sin2α+cos2α”，根号下就成了完全平方式，然后再根据α是第一象限角，即sinα+cosα>0，从而得出结果。
解：1+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosα+cos2α=（sinα+cosα）2=sinα+cosαΘα是第一象限角∴sinα+cosα>0∴1+2sinαcosα=sinα+cosα例2：已知sinx=m-3[]m+5，cosx=4-2m[]m+5求m的值。
解析：本题要求的结果是m的值，而含有m的式子分别表示了sinx和cosx，利用sin2α+cos2α=1就可以把含有m的两个式子联系在一起，从而得到一个关于m的一元二次方程，解方程就可以得到m。
解：Θsin2α+cos2α=1 ∴（m-3[]m+5）2+（4-2m[]m+5）2=1即m（m-8）=0 ∴m=0或m=8二、利用特殊角的三角函数值为1进行解题在有些三角题中，1会直接出现在题目中，而1=tan45°=cos0°=sin90°=…，能否将1恰当地换成上述的这些量，将对我们的解题大有帮助。
浅谈三角函数中“1”的妙用
浅谈三角函数中“1”的妙用三角函数内容是新课程标准中删减、变化最大的内容之一，但是它仍然是高考的重点。
许多同学在学习三角函数的时候感到很吃力，认为计算量很大，公式很多。
下面笔者就从下面几道题为例，谈谈“1”在解某些三角函数问题时的妙用。
一 巧用sin 2a+cos 2a=12tan 3,2sin 3sin cos a a a a =-例1：已知求的值本题有多种解法，最常见的是根据tana 的值，求出sina 和cosa 的值，然后代入计算，但是这里要注意到a 所在的象限。
这里介绍如何巧用“1”来求值。
222222222sin 3sin cos 12sin 3sin cos sin cos 2tan 3tan tan 1233331910a a aa a aa a a aa -=-=+-=+⨯-⨯=+=解：原式这里用到了平方关系sin 2a+cos 2a=1，就不用考虑a 所在的象限，计算也比较简便。
221,1a b+=+=例2：已知求证22101011baa b -≥-≥≤≤由于，，得，，根究结构特点，可考虑利用三角代换来解答本题。
证明：由已知可得221010b a -≥-≥，，所以11a b ≤≤，， 设a=cos ,b=cos 00αβαπβπ≤≤≤≤，且，，由已知得22222222cos cos 1,cos sin cos sin 1,sin()10222cos cos cos cos sin cos 12a bαβαββααβππαβπαββαπαβαααα+=+=+=≤+≤+==-+=+=+-=+=即所以又，所以，即所以（）二 巧用tan450=1000003(1tan 1)(1tan 2)(1tan 3)...(1tan 44)(1tan 45)+++++例计算2345(1tan )(1tan )1tan tan tan tan 1tan 1tan tan tan tan 2[(1tan 1)(1tan 44)][(1tan 2)(1tan 43)]...[(1tan 22)(1tan 23)](1tan 45)2αβαβαβαβαβαβαβ=++=+++=++-+==+++++++=解：当+时，（）（）所以原式 三 巧用tanacota=14tan 6730'tan 2230'-例计算本题看似无从下手，但如果我们能够发现0006730'2230'45-=,解本题也就不难了。
三角函数中1的妙用
三角函数中“1”的妙用宁夏银川市高级中学 王波 750004在我们学习三角函数这一部分内容的时候，我们会发现经常会与“1”有些合作，下面我就自己在教学中，利用“1”进行解题的体会与大家共同探讨。
理论一：sin 2α+cos 2α=1应用举例例1． 已知α是第一象限角，化简下式ααcos sin 21+解析：对于根式的化简，思路主要是去根号，而对这个题目首先要考虑根式下的ααcos sin 21+是否能够配成完全平方式，沿着这个思路我们可以联想到221b a +=，自然会想到ααcos sin 21+=αα22cos sin ++ααcos sin 2，到此时解题思路豁然开朗 解：ααcos s in 21+=ααααcos sin 2cos sin 22++=2)cos (sin αα+=ααcos sin +∵α是第一象限角∴0cos ,0sin >>αα ∴ααcos sin 21+=ααcos sin +例2：已知3tan =α，求ααcossin 的值 解析：这道题目是一个齐次式，这类题目的特点是已知角α的正切值，求含有正弦和余弦的三角多项式的值，解题的方法是化弦为切，而这道题目要用化弦为切有困难，所以我们就要观察它的特点，没有分母是它无法直接利用传统方法解题。
我们发现ααcos sin 的分母是1，而1=αα22cos sin +，这样题目就迎刃而解了解：∵3tan =α∵ααcos sin =1cos sin αα=αααα22cos sin cos sin +=ααααcos sin cos sin 122+=ααtan 1tan 1+ ∴ααcos sin =3131+=103 理论二：14tan=π（145tan 0=）应用举例 例3：求值015tan 115tan 1-+ 解析：题目的形式是分式，联想到两角和的正切公式，而两角和的正切公式)tan(βα+=βαβαtan tan 1tan tan -+与题目给出的形式有区别，这时我们观察到公式中的αtan 与题目中1的位置相同，则自然会想到令1=tan450，后面的问题自然容易解决 解：0015tan 115tan 1-+=000015tan 45tan 115tan 45tan -+=)1545tan(00+=3 理论三：形如θθcos sin b a +的三角函数式的化简与求最值问题θθcos sin b a +=)cos sin (222222θθb a b ba ab a ++++ ∵1)()(222222=+++b a b b a a∴可以联想到1cos sin 22=+ϕϕ 则由此可设ϕcos 22=+b a a ，ϕsin 22=+b a b 或设ϕs in 22=+b a a ，ϕcos 22=+b a b此时可得θθcos sin b a +=)sin(ϕθ+ 或θθcos sin b a +=)cos(ϕθ- 应用举例 例4：化简x x cos sin 3+解析：化简x x c o s s i n 3+，就意味着将原式化成)s in (ϕ+xa 或)cos(ϕ+x a 的形式，由理论三我们可得解题方法 解：x x cos s in 3+=)cos 21sin 23(13x x ++ =2（x x cos 6sin sin 6cos ππ+） =2)6sin(π+x例5：求函数x x x x x f 22cos 3cos s in 2s in )(++=的最大值，并求出此时的x 的值解：x x x x y 22cos 3cos s in 2s in ++= =212cos 22sin cos sin 22++++x x x x =22cos 2sin ++x x =2)42sin(2++πx ， 当2242πππ+=+k x ， 即)(8Z k k x ∈+=ππ时，22m a x +=y理论四：单位圆中的三角函数线的应用单位圆中，令半径1=r ，给出了任意角的三角函数的几何形式，为后面推倒两角差的余弦公式做了很好的铺垫；同时三角函数线也是精确作出正弦函数，余弦函数，正切函数图象的理论依据，这为后面的学习打下了很好的基础。
“1”在三角函数中的灵活运用
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以上是作者关于 … ’ 三角函数计算中的一点想 法， … ’ １在 １ 起着 很 神奇的作用 ， “”的灵活运 用不仅能减少计算 量 ，而且使解题变 ｌ 伯剧 ’ ～ 眦～ 一 ’。 Ⅲ一 一 卫
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３ｏ ＝ ＣＳ ，然后根据 例１ ｃｓ － Ｏ 中解 法ｌ 的思 想就 可以解题 。
参考文献 【】 丁孝林． ｌ 高校优秀学生干部培养教育研 究． 新西部 ，２０ ，１ ０７ ２ ｆ 李鹏飞，陈露． ２ １ 高校学生干部培养探 究． 人教两。２ ０． ．７ ０８０ ０ ４ 【 李雪． ３ 】 论高校学生干部 的角色定位 与认 知… 培 养学生干部的 “ 己与 宽人 ”意 识． 宁行政 学 院学报 ，２０ ，０ 律 辽 ０９ ８ 【 王 敏 丽 ． 学生 干部 的 选拔 、 培养 与 管理初 探 ． ４ 】 高校 中国科 教创 新 导
解 ２￣Ｓ 她 ． ＳＣ ｉＯ １ １
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作者简介
翟会会 （ ９５ １８ 一），研究方向：体育教 育训练学。
浅谈数学中“1”的妙用
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２ 巧用 … 的代 换 ， 解 题 ， 基本 不等 式得 到应 用 ． １’ 妙 使 例 ９已知 ， ｙ∈Ｒ， Ｏ ｙ ０且 ＋ ： ， ＞ ，＞ １求
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例 ６ ｌ２ ｚ ５ ３ ２ ５的值 。 求 ｇ ＋￣ ＋ ｚ ｚ ｓ ｇｇ
分 析 ： 想 公 式 （＋ ） ａ ｂ ３ｂ ａｂ ， 联 ａ ｂ ３ ａ （＋ ） ＝＋ ＋ 利用 １ ｆ ＋ ＝ｇ ２
功倍 的效 果 ， 给 学 生惊 喜 ， 时 能激 发 学 生学 习 教 学 能 同 的兴 趣 ， 发 学 生 探 求 知识 的热 情 ， 而 提 高学 生 的解 引 从
１
方 程 ２１９ ｘ １９ ＝ ＋ ９４ 一９ ５ ０的较 小 根为 ， ｍ ｎ的 值 。 ５ ｌ ， — 求 （ 年 ９ 昆 明市 初 中数 学竞 赛 题）
“ ” 一 个 连 幼 儿 园小 朋 友 都认 识 的数 ， １是 在数 学 叶
若 能适 时巧 妙 地 用 上 “ ” １ 的一 些 代 换 ， 往 会 得 到 事 半 往
浅谈关于1的妙用
sin 2 α + cos 2 α + 2sin α cos α sin 2 α − cos 2 α 2 （sin α + cos α） ＝ （sin α + cos α）（sin α − cos α）
＝
（10 n − 1） ⎤ 1 ⎡10 − n⎥ = ⎢ 9 ⎣ 10 − 1 ⎦ 1 10n+1 − 10 − 9n） = （ 81
2007（1）
［3］李安民、赵斌.“1”在初数解题中的妙用.运城学院学报，
1996（04）
［4］ 王怀祥、 何祖焕“ . 1” 的妙用.时代数学学习 （七年级） .2000 （24）
－131－
浅谈关于"1"的妙用
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 杨帆 江苏省海门市麒麟中学 学园 XUEYUAN 2009，""(12) 0次
1 = ； 令 y = logsin x cos x ，得 log cos x sin x = log sin x cos x y 1
a +1 b +1 c +1 + + ＝3。 2 2 2
例 5，已知 a、b、c 都是正实数，且 a＋b＋c＝1，求证（1 －a） （1－b） （1－c）≥8abc。 证明：因为 a＋b＋c＝1，所以（1－a） （1－b） （1－c）＝（b ＋c） （a＋c） （a＋b） 。
2 同理： 2 + 22 + 222 + 222L 2 = （10n +1 − 10 − 9n） 81 3 10n+1 − 10 − 9n） 3 + 33 + 333 + 333L 3 = （ 81
三角变换中“1”的妙用
三角变换中“1”的妙用作者：陈秀娟来源：《中学教学参考·理科版》2010年第07期三角式的变形问题,包括三角式的简化、求三角式的值、证明恒等式、条件等式和三角不等式内容.特别是三角式的求值、化简是三角函数的重要内容.在三角函数中“1”的变换有--等等.在具体变换中根据题目的不同特征选择不同的变换,在三角函数的变形时,若能把常数“1”恰当处理,并灵活运用三角基本公式,变形起来就比较顺利.现举例说明.第一,三角函数式如含有1时可将1变换为【例1】已知-1=-1,求的值.分析:由已知可以求出再由同角三角函数关系式可以求得和进而求出关系式的值,但实际操作中,往往借助题目条件的特殊性来整体考虑使用条件.解析=135.评析:形如的式子称为关于、的二次齐次式,对涉及它们的三角式通常利用进行变换.【例2】若、是关于方程的两个实根,求k的值.解:由题意知-6k8=-3k4,∵-4×8×(2k+1)≥0,∴k≥8+2349或k≤8-2349.又∵---2×2k+18,∴-8k-20=0,解得k=-109或k=2(舍去),∴k=-109.第二,三角式中有1和、时,则利用-进行变换.【例3】化简-解--------第三,在含有根号的三角函数等式的变形中、时1可以不变,但为“脱”去根号常借助三角函数的平方关系.【例4】化简三角函数式--1--1--分析:利用同角三角函数平方关系式化简.原式-(1----1----1-4(当α在第一、三象限时-4(当α在第二、四象限时).评析:解该题时易犯的错误是缺少对、正负的讨论,直接“脱去”分母中的绝对值符号,或是不注意正、余函数的有界性,盲目对、的正负进行讨论.第四,三角式中有1和有时把1换成【例5】化简-解:原式-第五,三角式中含有则有时不宜变动1,而将化为将1-化为【例6】化简-解:原式-----又∵00.∴上式-=-第六的妙用.【例7】已知实数x,y满足-若对满足条件的任意x,y都有x+y-c≤0恒成立,求参数c的取值范围.解:设-即则x+y-c≤0恒成立转化为-c≤0恒成立,即恒成立.设则恒成立等价于下面我们求函数的最大值.由正弦函数的有界性知当时,函数取得最大值,即所以c≥2+1.即c取值范围是[2+1,+∞).评析:本题考查不等式的恒成立问题中参数范围的确定,集圆的参数方程、二元不等式、三角函数的性质等于一体,是一道好题,利用圆的参数方程(即是解决问题的关键.(责任编辑金铃)。
善于用“1”巧解题 学法指导 不分版本
善于用“1”巧解题许德智 杨玉兰在三角函数中，“1”真可谓变化多端。
巧妙利用“1”的不同表现形式，适当构造“1”的某种表达式，在解题时往往能产生神奇的作用。
本文列举几例来说明“1”的妙用。
例1 已知︒=+15βα，求βαβαβαβαtan tan tan tan 1tan tan tan tan 1-++---的值。
分析：根据分子和分母的结构特点，利用两角和的正切公式，把βαtan tan +表示为)tan tan 1)(tan(βαβα-+，接着在“1”的帮助下，问题将迎刃而解。
解：原式=βαβαβαβαβαβαtan tan )tan tan 1)(tan(1tan tan )tan tan 1)(tan(1--++--+- )tan(1)tan(1)]tan(1)[tan tan 1()]tan(1)[tan tan 1(βαβαβαβαβαβα+++-=++-+--=∵tan45°=1，α＋β=15°， ∴原式3330tan 15tan 45tan 115tan 45tan )tan(1)tan(1=︒=︒︒+︒-︒=+++-=βαβα注：在︒=+15βα条件下，0tan tan 1≠-βα。
例2 已知θθθθθ22cos 4cos sin 3sin 22tan --=，求的值。
分析：原式是关于sin θ与cos θ的齐次式，于是利用1cos sin 22=+θθ作为分母，可使问题轻松获解。
解：原式θθθθθθ2222cos sin cos 4cos sin 3sin 2+--=52144681tan 4tan 3tan 222-=+--=+--=θθθ例3 已知x>0，y>0，并且1y 9x 1=+，求x ＋y 的取值范围。
解法1：设θ2sin x 1=，θ2cos y 9=（20πθ<<），则θ2sin 1x =，θ2cos 9y =。
数字“1”的妙用
数字“1”的妙用作者：章立来源：《中学课程辅导·教学研究》2018年第36期摘要：数字“1”在我们学习过程中是我们接触最早的数字也是最简单的数字。
随着知识的积累，我们不难发现，“1”有不同的用处。
高中知识点繁多，题目灵活机动，而“1”是多功能的，扮演着重要的角色。
最常见的是在三角函数中的应用，不等式中的应用和多项式整除中的应用。
许多与“1”有关的关系式，在数学解题时，常常可以将“1”转化成不同形式的关系式，从而把问题简单化。
关键词：三角函数;不等式;妙用中图分类号：G633.6; ;文献标识码：A; ;文章编号：1992-7711（2018）12-0121一、数字“1”在三角函数中的妙用在这个例题中有个暗含的条件就是毕达哥拉斯定理1=sin2α+cos2α，在很多题中都不会直接给这个条件的。
从上例我们可以看出和数字“1”有关的一些关系式经常和其他知识点联系起来，就像三角函数在数学中属于做题工具。
有些题目借助这些关系可以让题目变得简单化。
二、数字“1”在不等式中的妙用在高中数学中，不等式是重要的内容之一，而平均值不等式和柯西不等式又是不等式中的重难点。
所以平均值不等式和柯西不等式是高中数学中的重中之重，而平均值不等式和柯西不等式与“1”有关的内容越来越多同样也越来越重要了。
从近几年全国各地的高考试题中或者数学竞赛中与数字“1”有关的平均值不等式和柯西不等式的题目成了热点，同时出现的种类越来越多、难度不等灵活性也高了很多。
应用的方法也越来越多，如：代换法又分成直接代换，变换条件再用代换法，还有创造条件再代换。
一般直接代换的题目比较简单，现在大家越来越重视后两种代换的方法了。
添项、拆项，添项的方法也有很多，有的是添加数字“1”，这有很多形式，加“1”再减“1”，减“1”再加“1”，乘“1”，除“1”等形式。
拆项的方法主要表现在把“1”拆成几个数的和，或把“1”拆成几个数的乘积。
在证明不等式时最常用的是放大缩小，在放缩的时要放缩适当，放得过大或缩的过小都很难使不等式成立。
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三角函数中“1”的妙用
宁夏银川市高级中学 王波 750004
在我们学习三角函数这一部分内容的时候，我们会发现经常会与“1”有些合作，下面我就自己在教学中，利用“1”进行解题的体会与大家共同探讨。
理论一：sin 2α+cos 2α=1
应用举例
例1． 已知α是第一象限角，化简下式
ααcos sin 21+
解析：对于根式的化简，思路主要是去根号，而对这个题目首先要考虑根式下的ααcos sin 21+是否能够配成完全平方式，沿着这个思路我们可以联想到221b a +=，自然会想到ααcos sin 21+=αα22cos sin ++ααcos sin 2，到此时解题思路豁然开朗 解：ααcos sin 21+=ααααcos sin 2cos sin 22++
=2)cos (sin αα+
=ααcos sin +
∵α是第一象限角∴0cos ,0sin >>αα ∴ααcos sin 21+=ααcos sin +
例2：已知3tan =α，求ααcos sin 的值
解析：这道题目是一个齐次式，这类题目的特点是已知角α的正切值，求含有正弦和余弦的三角多项式的值，解题的方法是化弦为切，而这道题目要用化弦为切有困难，所以我们就要观察它的特点，没有分母是它无法直接利用传统方法解题。
我们发现ααcos sin 的分母
是1，而1=αα22cos sin +，这样题目就迎刃而解了
解：∵3tan =α
∵
ααcos sin =1cos sin αα=αααα22cos sin cos sin +=α
αααcos sin cos sin 122+=ααtan 1tan 1+ ∴ααcos sin =3
131+=103 理论二：14tan
=π（145tan 0=）
应用举例 例3：求值0
15tan 115tan 1-+ 解析：题目的形式是分式，联想到两角和的正切公式，而两角和的正切公式)tan(βα+=β
αβαtan tan 1tan tan -+与题目给出的形式有区别，这时我们观察到公式中的αtan 与题目中1的位置相同，则自然会想到令1=tan450，后面的问题自然容易解决 解：0015tan 115tan 1-+=000
015
tan 45tan 115tan 45tan -+=)1545tan(00+=3 理论三：形如θθcos sin b a +的三角函数式的化简与求最值问题
θθcos sin b a +=)cos sin (222222θθb a b b
a a
b a ++++ ∵1)()(222222=+++b a b b a a
∴可以联想到1cos sin 22=+ϕϕ 则由此可设
ϕcos 22=+b a a ，ϕsin 22=+b a b 或设ϕsin 22=+b a a ，ϕcos 22=+b a b
此时可得θθ
cos sin b a +=)sin(ϕθ+ 或θθ
cos sin b a +=)cos(
ϕθ- 应用举例 例4：化简x x cos sin 3+
解析：化简x x cos sin 3+，就意味着将原式化成)sin(ϕ+x a 或)cos(ϕ+x a 的形式，由理论三我们可得解题方法 解：x x cos sin 3+=)cos 2
1sin 23(13x x ++ =2（x x cos 6
sin sin 6cos ππ+） =2)6sin(π
+x
例5：求函数x x x x x f 22cos 3cos sin 2sin )(++=的最大值，并求出
此时的x 的值
解：x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++= =2
12cos 22sin cos sin 22++++x x x x =22cos 2sin ++x x =2)42sin(2++
πx ， 当2242π
ππ
+=+k x ， 即)(8
Z k k x ∈+=ππ时，22max +=y
理论四：单位圆中的三角函数线的应用
单位圆中，令半径1=r ，给出了任意角的三角函数的几何形式，为后面推倒两角差的余弦公式做了很好的铺垫；同时三角函数线也是精确作出正弦函数，余弦函数，正切函数图象的理论依据，这为后面的学习打下了很好的基础。
它的具体应用就不在具体举例。
综上我们发现“1”在三角函数解题中扮演着不可替代的角色，当
我们在题海中“山重水复疑无路”时，“1”或许可以让你“柳岸花明又一村”找到解题的方法。