二重积分积分区域的对称性
二重积分积分区域的对称性
情形一：积分区域关于坐标轴对称定理4设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则1)当(即就是关于得奇函数）时，有、2)当（即就是关于得偶函数）时，有、其中就是由轴分割所得到得一半区域.例5 计算,其中为由与围成得区域。
解:如图所示，积分区域关于轴对称，且即就是关于得奇函数，由定理１有、类似地，有:定理5设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则其中就是由轴分割所得到得一半区域。
例6 计算其中为由所围。
解：如图所示,关于轴对称，并且,即被积分函数就是关于轴得偶函数，由对称性定理结论有：、定理6设二元函数在平面区域连续,且关于轴与轴都对称，则(１）当或时,有、（２)当时，有其中为由轴与轴分割所得到得1/4区域。
9例7 计算二重积分，其中: 、解：如图所示，关于轴与轴均对称，且被积分函数关于与就是偶函数,即有,由定理2，得其中就是得第一象限部分，由对称性知,，故、情形二、积分区域关于原点对称定理7 设平面区域，且关于原点对称,则当上连续函数满足１）时,有2）时，有、例8 计算二重积分，为与所围区域、解:如图所示，区域关于原点对称，对于被积函数，有,有定理7，得、情形三、积分区域关于直线对称定理8 设二元函数在平面区域连续，且,关于直线对称，则1）；、2)当时，有、3）当时,有、例9 求，为所围、解：积分区域关于直线对称，由定理8,得，故、类似地，可得:定理９设二元函数在平面区域连续,且，关于直线对称,则(１）当，则有；（2)当，则有、例10 计算,其中为区域：, 、解：如图所示，积分区域关于直线对称,且满足，由以上性质,得:、注:在进行二重积分计算时，善于观察被积函数得积分区域得特点，注意兼顾被积函数得奇偶性与积分区域得对称性，恰当地利用对称方法解题，可以避免繁琐计算,使二重积分得解答大大简化。
二重积分积分区域关于原点对称的结论
二重积分积分区域关于原点对称的结论1. 引言嘿，朋友们，今天咱们来聊聊二重积分中的一个有趣话题，听上去可能有点严肃，但其实特别简单，就是积分区域关于原点对称的那些事儿。
你说，二重积分到底是什么呢？简单来说，就是在一个区域内对某个函数进行“加法”，像是在数糖果，数得越多越开心！而原点对称的意思呢，就是像一对情侣一样，双方都一样对称，左边和右边就像镜子一样，听起来是不是很有趣？2. 理论背景2.1 二重积分的基本概念说到二重积分，咱们得先搞清楚积分区域的样子。
想象一下，咱们在纸上画一个大大的蛋糕，那就是我们的积分区域。
这个区域可以是任何形状的，比如圆形、矩形，甚至是个复杂的花花草草。
然后，我们在这个区域内的每一个点上，去计算函数值，就像在每一块蛋糕上撒糖霜，越撒越好吃！所以说，二重积分就是在这块区域内对函数进行的全方位“撒糖霜”！2.2 对称性的魅力接下来，让我们聊聊对称性。
原点对称的意思就是如果把区域翻转180度，依然保持不变。
就好比你的影子，如果你站在灯光下转身，影子还是那个影子，完全没变！而在数学中，这样的区域其实特别好处理，因为它们的性质让我们的计算变得轻松许多。
3. 具体例子3.1 圆形区域的美妙来，咱们举个简单的例子，假如我们有一个圆形的区域，中心就在原点。
想象一下这个圆，就像一个完美的披萨！在这个圆里面，每个点都和原点一样远，如果我们在这个圆里做二重积分，哎呀，那简直就像是把披萨分成一片一片的，吃起来特别过瘾！而且，圆的对称性让我们在计算的时候可以省去不少麻烦，哼哼，谁不喜欢简单明了的事儿呢？3.2 矩形区域的乐趣再比如说一个以原点为中心的矩形区域，虽然它的形状不是那么圆润，但同样是对称的。
就像个四四方方的豆腐，不管你怎么切，都是一块块的！在这种情况下，我们可以利用对称性，把积分变得更简单。
这就像是在做数学游戏，玩得不亦乐乎！4. 结论总之，二重积分的积分区域如果关于原点对称，简直就是给我们数学小白们送来了“福音”。
积分的对称性问题
例 1：求积分 ∫（∫ 2x + y）2dxdy x2 + y 2 ≤1
分析： ∫（∫ 2x + y）2dxdy = ∫∫ （4x2 + y2 + 4xy）dxdy = 4 ∫∫ x2 + ∫∫ y2 + 4 ∫∫ xy 。
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y2 ≤1
43
L
分析：xy 关于 x 为奇函数，曲线 L 关于 Oyz 面对称。
∫ ∫ ∫ ∴ 2xyds = 0 ，原积分 = 12 （ x2 + y2 ）ds = 12 ds = 12a。
L
L4 3
L
上面的结论还可推广到第二型曲面积分，但第二型曲面积分的奇偶对称性定理与第一型积分及重积分的奇偶对称性定理
相反。
D1UD2
D3UD4
D
∫∫ 而在 D3∪D4 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 y 的奇函数，所以 sin ye−x2−y2dxdy = 0 。
D3UD4
∫∫ ∫∫ 在 D1∪D2 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 x 的偶函数，所以 sin ye−x2−y2 dxdy = 2 sin ye−x2−y2dxdy 。因此选 A。
x2+ y2≤1
x2 + y2≤1
（－1，1）
y
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 所以：原积分 = 5 y2dσ = 5 （x2 + y2）dσ = 5 2π dθ 1r3dr = 5π 。
D
2D
20
0
4
积分对称性定理
关于积分对称性定理1、定积分：设 f ( x) 在 a,a 上连续，则2、 二重积分：若函数f(x,y)在平面闭区域D 上连续，则(1) 如果积分区域D 关于x 轴对称，f(x,y)为y 的奇(或偶)函数, 即 f(x, y) f(x, y)(或 f(x, y) f (x, y))，则二重积分0,f x,y 为y 的奇函数f x, y dxdy2 f x, y dxdy, f x,y 为y 的偶函数DD 1其中：D i 为D 满足y 0上半平面区域。
(2) 如果积分区域D 关于y 轴对称，f(x,y)为x 的奇(或偶)函数， 即 f x, y f x, y (或 f x, y f x, y )，则二重积分0, f x, y 为x 的奇函数,fx,ydxdy 2 f x,ydxdy, f x, y 为)的偶函数.DD 2其中：D 2为D 满足x 0的右半平面区域。
(3) 如果积分区域D 关于原点对称，f(x,y)为x,y 的奇(或偶)函a -ax dx0,a2 f x dx,0 x 为X 的奇函数, X 为X 的偶数，即卩f ( x, y) f (x,y)(或 f ( x, y) f(x,y))则二重积分0, f x,y为x,y的奇函数f x,ydx：y2 f xydxy，f x,y 为Xy的偶函数DD2其中：D1为D在y 0上半平面的部分区域。
(4)如果积分区域D关于直线y x对称,则二重积分f x, ydxdy f y,x dxdy .(二重积分的轮换对称性)D D(5)如果积分区域D关于直线y x对称,则有0, 当f( y, x) f(x,y)时f(x,y)dxdy 2 f(x,y)dxdy 当仁y, x) f(x,y)时D D利用上述性质定理化简二重积分计算时，应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D对称及被积函数fx,y具有奇偶性两个特性。
3、三重积分：(1)若f X, y,z为闭区域上的连续函数，空间有界闭区域关于xoy坐标面对称，1为位于xoy坐标面上侧z 0的部分区域，贝卩有0, f x, y, z为z的奇函数f儿y，zcXdydz 2 f x,y,zdxdydz, f x,y,z 为z的偶函数1注：f (x, y,z)是z的奇函数：f(x, y z) f (x,y,z)f (x, y,z)是z的偶函数：f(x,y z) f(x, y,z)同样，对于空间闭区域关于xoz, yoz坐标面对称也有类似的性质。
积分区域关于原点对称二重积分
积分区域关于原点对称二重积分一、什么是积分区域关于原点对称二重积分？在数学中，积分是一种重要的运算工具，它可以用来计算函数在某个区域上的总量。
积分区域关于原点对称二重积分是一种特殊的积分形式，它要求被积函数关于原点对称。
在这种情况下，我们可以通过一些特殊的技巧来简化积分计算过程。
二、如何计算积分区域关于原点对称二重积分？要计算积分区域关于原点对称二重积分，我们可以按照以下步骤进行：1. 确定积分区域首先，我们需要确定被积函数的积分区域。
积分区域通常由一些特定的几何形状所构成，如圆、矩形、三角形等。
在确定积分区域时，我们需要考虑被积函数的定义域和对称性。
2. 利用对称性简化积分由于积分区域关于原点对称，我们可以利用对称性简化积分计算。
具体来说，如果被积函数关于原点对称，则可以将积分区域分为对称的两个部分，并只计算其中一个部分的积分，然后将结果乘以2。
3. 坐标变换在计算积分时，我们通常需要进行坐标变换，以便更方便地表示积分区域和被积函数。
常见的坐标变换方法包括极坐标变换和直角坐标变换。
4. 积分计算最后，我们可以根据坐标变换后的积分区域和被积函数，利用积分的定义进行计算。
根据具体情况，我们可以选择使用定积分、累次积分或其他积分方法。
三、积分区域关于原点对称二重积分的应用积分区域关于原点对称二重积分在数学和物理领域中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 几何体的体积计算积分区域关于原点对称二重积分可以用来计算几何体的体积。
例如，我们可以通过将几何体划分为对称的两个部分，并计算其中一个部分的体积，然后将结果乘以2来得到整个几何体的体积。
2. 质心的计算质心是一个几何体的重心或平均位置。
通过对积分区域关于原点对称二重积分进行计算，我们可以求得几何体的质心坐标。
3. 物理问题的建模积分区域关于原点对称二重积分在物理问题的建模中也有重要的应用。
例如，在电磁场中计算电荷分布的势能、计算质点在力场中的位能等问题中，我们可以利用积分区域关于原点对称二重积分来进行计算。
积分对称性定理
关于积分对称性定理1、 定积分：设)(x f 在[],a a -上连续，则()()()()-00,d 2d ,a aaf x x f x x f x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.2、 二重积分：若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续，则（1）如果积分区域D 关于x 轴对称，),(y x f 为y 的奇（或偶）函数，即 ),(),(y x f y x f -=-（或),(),(y x f y x f =-），则二重积分()()()()10,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数. 其中：1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。
（2） 如果积分区域D 关于y 轴对称，),(y x f 为x 的奇（或偶）函数，即()(),,f x y f x y -=-（或()(),,f x y f x y -=），则二重积分()()()()20,,,d d 2,d d ,,DD f x y x f x y x y f x y x y f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.其中：2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。
（3）如果积分区域D 关于原点对称，),(y x f 为y x ,的奇（或偶）函数，即),(),(y x f y x f -=--（或),(),(y x f y x f =--）则二重积分()()()()20,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。
（4）如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分()()y x x y f y x y x f DDd d ,d d ,⎰⎰⎰⎰=.（二重积分的轮换对称性）(5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有10,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-⎧⎪=⎨--=⎪⎩⎰⎰⎰⎰当时当时利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是（1）（2）（3）中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特性。
二重积分的对称性
在函数上的对称性
偶函数对称
如果函数满足f(-x) = f(x)，则它关于y轴对称。
奇函数对称
如果函数满足f(-x) = -f(x)，则它关于原点对称。
周期函数对称
如果函数满足f(x+T) = f(x)，其中T是一个常数，则它具有周期性对称。
通过对称性简化计算
1
步骤1: 判断对称性
观察被积函数的图像或表达式，判断是否存在对称性。
二重积分的对称性
在数学中，对称性是一个重要的概念。对称性可以帮助我们简化计算，并发 现隐藏在数学问题中的美。
对称性的定义
对称性是指一个对象或系统在某种变换下保持不变的性质。在数学中，我们 经常研究的是几何和函数的对称性。
二重积分的对称性定理
在二重积分中，我们可以利用图像的对称性来简化计算。对称性定理告诉我 们，如果被积函数具有一定的对称性，我们可以利用这种对称性来减少计算 量。
对称性在二重积分中的应用
通过利用图形的对称性，我们可以将复杂的积分问题转化为简单的计算。例如，如果图形具有轴对称性或中心 对称性，我们可以将积分范围缩小一半。
在平面图形上的对称性
圆形对称
圆形具有中心对称性，可以简化 计算。
矩形对称
矩形具有轴对称性，可以简化计 算。
六边形对称
六边形具有多条对称轴，可以利 用对称性将复杂图形划分为简单 部分。
2
步骤2: 将积分范围缩小
Байду номын сангаас
利用对称性将积分范围缩小至对称轴附近的部分。
3
步骤3: 简化被积函数
利用对称性简化被积函数，如利用偶函数的对称性将积分双倍。
结论和要点
1 利用对称性可以简化二重积分的计算。
积分区域关于原点对称二重积分
积分区域关于原点对称二重积分积分区域关于原点对称的二重积分是一种在平面上计算函数在某个区域上的积分值的方法。
在这种情况下，将积分区域分为两个对称部分，并利用对称性简化计算过程。
对于平面上的二重积分而言，我们可以将积分区域分成有限个子区域，然后对每个子区域进行积分后再求和得到最终的积分值。
在一些问题中，积分区域往往具有某种对称性，例如关于原点对称，这种对称性可以大大简化计算过程。
假设我们要计算一个关于原点对称的二重积分，即要计算的函数f(x, y)在关于原点对称的区域D上的积分。
为了利用对称性简化计算，我们可以将区域D分成两个关于x轴对称的子区域D1和D2，其中D1位于x轴的上方，D2位于x轴的下方。
我们可以利用对称性将D1和D2的积分值相加得到整个区域D上的积分值。
即∬Df(x, y)dA = ∬D1f(x, y)dA + ∬D2f(x, y)dA。
然后，我们可以进一步利用区域D1和D2的对称性来简化计算。
由于D1和D2是关于x轴对称的，所以在计算D1的积分时，我们可以先对x轴上方的一半区域D1'进行积分，然后将积分值乘以2。
同样地，在计算D2的积分时，我们可以先对x轴下方的一半区域D2'进行积分，然后将积分值乘以2。
即∬Df(x, y)dA = 2∬D1'f(x, y)dA + 2∬D2'f(x, y)dA =4∬D1'f(x, y)dA。
接下来，我们可以继续利用对称性简化D1'和D2'的计算过程。
由于D1'和D2'是关于y轴对称的，所以在计算D1'的积分时，我们可以先对y轴右侧的一半区域D1''进行积分，然后将积分值乘以2。
同样地，在计算D2'的积分时，我们可以先对y轴左侧的一半区域D2''进行积分，然后将积分值乘以2。
即∬Df(x, y)dA = 4∬D1'f(x, y)dA = 8∬D1''f(x, y)dA。
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情形一：积分区域D 关于坐标轴对称
定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴对称，则 1)当(,)(,)f x y f x y -=-（即(,)f x y 是关于y 的奇函数）时，有
(,)0D
f x y dxdy =⎰⎰ .
2)当(,)(,)f x y f x y -=（即(,)f x y 是关于y 的偶函数）时，有
1
(,)2(,)D
D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰
⎰⎰ .
其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。
例5 计算3()D
I xy y dxdy =
+⎰⎰，其中D 为由2
2y x =与2x =围成的区域。
解：如图所示，积分区域D 关于x 轴对称，且
3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=-
即(,)f x y 是关于y 的奇函数，由定理1有
3()0D
f xy y dxdy +=⎰⎰
.
类似地，有：
定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于y 轴对称，则
2
2(,),(,)(,).
(,)0,(,)(,).D D
f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy f x y f x y ⎧-=⎪=⎨⎪-=⎩
⎰⎰⎰⎰
当当
其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。
例 6 计算2,D
I x ydxdy =
⎰⎰其中D 为由22;-220y x y x y =+=+=及所围。
解：如图所示，D 关于y 轴对称，并且
2(,)(,)f x y x y f x y -==，即被积分函数是关于x 轴
的偶函数，由对称性定理结论有：
1
122
22
20
22215
x D
D I x ydxdy x ydxdy dx x ydxdy -+====
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
. 定理6 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴和y 轴都对称，则 （1）当(,)(,)f x y f x y -=-或(,)(,)f x y f x y -=-时，有
(,)0D
f x y dxdy =⎰⎰
.
（2）当(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=时,有
1
(,)4(,)D
D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰
⎰⎰
其中1D 为由x 轴和y 轴分割D 所的到的1/4区域。
9例7 计算二重积分()D
I x y dxdy =+
⎰⎰，其中D ：1x y +≤ .
解：如图所示，D 关于x 轴和y 轴均对称，且被积分函数关于x 和y 是偶函数，即有
(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=，由定理2，得
1
()4()D
D I x
y dxdy x y dxdy =
+=+⎰⎰⎰⎰
其中1D 是D 的第一象限部分，由对称性知,
1
1
D D x dxdy y dxdy =
⎰⎰
⎰⎰
，
故1
4
()D I x y dxdy =+⎰⎰1
4()D x x dxdy =+⎰⎰1
8D x dxdy =⎰⎰4
3
=
. 情形二、积分区域D 关于原点对称
定理7 设平面区域12D D D =+,且1,D 2D 关于原点对称,则当D 上连续函数满足 1)(,)(,)f x y f x y --=时,有
1
(,)2(,)D
D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰
2)(,)(,)f x y f x y --=-时,有
(,)0D
f x y dxdy =⎰⎰.
例8 计算二重积分
33()D
x y dxdy +⎰⎰,D 为3
y x =与y x =所围区域. 解:如图所示,区域D 关于原点对称,对于被积函数
33(,)f x y x y =+,有
3333(,)()()()(,)
f x y x y x y f x y --=-+-=-+=-,有定理7,得
33
()0D
x y dxdy +=⎰⎰. 情形三、积分区域D 关于直线y x =±对称
定理8 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且12D D D =+,1,2D D 关于直线y x =对称,则 1)
(,)(,)D
D f x y dxdy f y x dxdy =⎰⎰⎰⎰;
1
2
(,)(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰.
2)当(,)(,)f y x f x y =-时,有(,)0D
f x y dxdy =⎰⎰.
3)当(,)(,)f y x f x y =时,有
1
(,)2(,)D
D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰
⎰⎰.
例9 求2222()D
x y I dxdy a b =+⎰⎰,D 为222
x y R +≤所围.
解:积分区域D 关于直线y x =对称,由定理8,得
2222
2222()()D D
x y y x dxdy dxdy a b a b +=+⎰⎰⎰⎰, 故 2222()D x y I dxdy a b =+⎰⎰2222
22221[()()]2D D
x y y x dxdy dxdy a b a b =+++⎰⎰⎰⎰
2222111()()2D x y dxdy a b =
++⎰⎰222200111()2R d r rdr a b
π
θ=+⎰⎰
422
11
(
)4
R a b π
=
+. 类似地，可得：
定理9 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且12D D D =+,1,2D D 关于直线y x =对称,则 （1）当(,)(,)f y x f x y --=-,则有(,)0D
f x y dxdy =⎰⎰；
(2)当(,)(,)f y x f x y --=,则有
1
(,)2(,)D
D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰
⎰⎰.
例10 计算22()arcsin()D
I x y x y dxdy =
++⎰⎰,其中D 为区域:01x ≤≤,10y -≤≤ .
解:如图所示,积分区域D 关于直线y x =-对称,且满足
(,)(,)f y x f x y --=-,
由以上性质,得:
22()arcsin()0D
I x y x y dxdy =++=⎰⎰.
注：在进行二重积分计算时,善于观察被积函数的积分区域的特点,注意兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性,恰当地利用对称方法解题,可以避免繁琐计算,使二重积分的解答大大简化。