2004年高考.全国卷Ⅲ.文科数学试题及答案(内蒙、海南、西藏、陕西、广西等地区)
2004年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷
参考公式：
三角函数的和差化积公式
)]sin()[sin(2
1
cos sin βαβαβα-++=
)]sin()[sin(2
1
sin cos βαβαβα--+= )]cos()[cos(2
1cos cos βαβαβα-++= )]cos()[cos(2
1
sin sin βαβαβα--+-=
一、选择题 （1）设集合(){}
2
2,1,,M x y x
y x R y R =+=∈∈，(){}
2
,0,,N x y x
y x R y R =
-=∈∈，
则集合M
N 中元素的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
（2）函数sin
2
x
y =的最小正周期是（ ） A ．
2
π
B ．π
C ．2π
D ．4π
(3) 记函数13x
y -=+的反函数为()y g x =，则(10)g =（ ） A ． 2
B ． 2-
C ． 3
D ． 1-
(4) 等比数列{}n a 中，29,a = 5243a =，则{}n a 的前4项和为（ ）
A ． 81
B ． 120
C ．168
D ． 192
(5) 圆2
2
40x y x +-=
在点(P 处的切线方程是（ ）
A ．
20x -=
B ．
40x +-=
正棱台、圆台的侧面积公式
l c c S )(21+'=台侧
其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示 斜高或母线长 台体的体积公式
3
34R V π=球 其中R 表示球的半径
C ． 40x +=
D ． 20x -+=
(6) 6
1x ???展开式中的常数项为（ ）
A ． 15
B ． 15-
C ．
20
D ． 20-
(7) 设复数z 的幅角的主值为
23
π
，则2z =（ ）
A ． 2--
B ． 2i -
C ． 2+
D ． 2i
(8) 设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为1
2
y x =±
，则双曲线的离心率e =（ ）
A ． 5
B ．
C ．
D ． 54
(9) 不等式113x <+<的解集为（ ）
A ． ()0,2
B ． ()()2,02,4-
C ． ()4,0-
D ． ()
()4,20,2--
(10) 正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
3
D ．
(11) 在ABC 中，3,4AB BC AC ===，则边AC 上的高为（ ）
A ．
B ．
C ．
3
2
D ．(12) 4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）
A ． 12 种
B ． 24 种
C 36 种
D ． 48 种
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上. (13) 函数)1(log 2
1-=
x y 的定义域是 .
(14) 用平面α截半径为R 的球，如果球心到平面α的距离为
2
R
，那么截得小圆的面积与球 的表面积的比值为 . (15) 函数)(cos 2
1
sin R x x x y ∈-
=的最大值为 . (16) 设P 为圆12
2
=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)（本小题满分12分）
解方程.0122
42
=--+x x
(18) （本小题满分12分）
已知α为锐角，且α
αα
ααα2cos 2sin sin cos 2sin ,21tan -=求
的值.
(19) （本上题满分12分）
设数列}{n a 是公差不为零的等差数列，S n 是数列}{n a 的前n 项和，且,922
1S S =
244S S =，求数列}{n a 的通项公式.
20．（本小题满分12分）
某村计划建造一个室内面积为800m 2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
(21) （本小题满分12分）
三棱锥P —ABC 中，侧面PAC 与底面ABC 垂直，PA=PB=PC=3. (1) 求证AB ⊥BC ；
(2) 如果AB=BC=32，求侧面PBC 与侧面PAC 所成二面角的大小.
P
C
A
(22)（本小题满分14分）
设椭圆
11
22
=++y m x 的两个焦点是)0,(1c F -与)0)(0,(2>c c F ，且椭圆上存在点P ， 使得直线PF 2与直线PF 2垂直. （1）求实数m 的取值范围；
（2）设L 是相应于焦点F 2的准线，直线PF 2与L 相交于点Q. 若
32|
||
|22-=PF QF ，
求直线PF 2的方程.
2004年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）参考答案
1—12 BCBBD AACDC BC 13．}21|{≤ 16 3 15．25 16．1 三、解答题 17．本小题主要考查指数和对数的性质以及解方程的有关知识. 满分12分. 解：.012)2(4)2(2 =--x x .0)22)(62(=+-x x 22.62-==x x （无解）. 所以.6log 2=x 18．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等基础知识以及三角恒等变形 的能力. 满分12分. 解：原式.2cos cos sin 22cos sin αααα α= 因为 ,02cos ,0sin ,21 tan ≠≠=ααα时 所以 原式α cos 21 =. 因为α为锐角，由5 2cos ,21tan == αα得. 所以 原式.4 5 = 因为α为锐角，由.5 2cos 21tan == αα得 所以 原式.4 5 = 19．本小题主要考查等差数列的通项公式，前n 项和公式等基础知识，根据已知条件列方程 以及运算能力.满分12分. 解：设等差数列}{n a 的公差为d ，由d n n na S n 2 ) 1(1-+ =及已知条件得 )2(9)33(121d a d a +=+， ① ),2(46411d a d a +=+ ② 由②得12a d =，代入①有12 19 4a a = 解得 .94 011= =a a 或 当,0,01==d a 时舍去. 因此 .9 8 ,941==d a 故数列}{n a 的通项公式98)1(94?-+=n a n ).12(9 4 -=n 20．本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题的 能力. 满分12分. 解：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则 .800=ab 蔬菜的种植面积 )2)(4(--=b a S ). 2(2808824b a a b ab +-=+--= 所以).(648248082 m ab S =-≤ 当).(648,)(20),(40,22 m S m b m a b a ==--最大值时即 答：当矩形温室的左侧边长为40m ，后侧边长为20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m 2. 21．本小题主要考查两个平面垂直的性质、二面角等有关知识，以有逻辑思维能力和空间想 象能力. 满分12分. （1）证明：如果，取AC 中点D ，连结PD 、BD. 因为PA=PC ，所以PD ⊥AC ， 又已知面PAC ⊥面ABC ， 所以PD ⊥面ABC ，D 为垂足. 因为PA=PB=PC ， 所以DA=DB=DC ，可知AC 为△ABC 外接圆直径， 因此AB ⊥BC. （2）解：因为AB=BC ，D 为AC 中点，所以BD ⊥AC. 又面PAC ⊥面ABC ， 所以BD ⊥平面PAC ，D 为垂足. 作BE ⊥PC 于E ，连结DE ， 因为DE 为BE 在平面PAC 内的射影， 所以DE ⊥PC ，∠BED 为所求二面角的平面角. 在Rt △ABC 中，AB=BC=32，所以BD=6. 在Rt △PDC 中，PC=3，DC=6，PD=3， P C A B E D 所以.23 6 3=?=?= PC DC PD DE 因此，在Rt △BDE 中，32 6tan == ∠BED ， ?=∠60BED ， 所以侧面PBC 与侧面PAC 所成的二面角为60°. 22．本小题主要考查直线和椭圆的基本知识，以及综合分析和解题能力. 满分14分. 解：（1）由题设有.,0m c m = > 设点P 的坐标为（00,y x ），由21PF PF ⊥，得 100 00-=+?-c x y c x y ， 化简得 .2 020m y x =+ ① 将①与 11 2 020=++y m x 联立，解得 .1,120220m y m m x =-= 由.1,01 ,0220 ≥≥-=>m m m x m 得 所以m 的取值范围是1≥m . （2）准线L 的方程为.1m m x += 设点Q 的坐标为),(11y x ，则.11m m x += .1 ||||0 122x m m m m x c c x PF QF --+=--- ② 将m m x 1 20-= 代入②，化简得.111||||2222-+=--=m m m m PF QF 由题设 32| || |22-=PF QF ，得 3212-=-+m m ，无解. 将m m x 1 20--=代入②，化简得 .11 1 ||||2222--=-+=m m m m PF QF 由题设 32| || |22-=PF QF ，得 .3212-=--m m 解得m=2. 从而,2,2 2,2300=±=- =c y x 得到PF 2的方程 ).2)(23(--±=x y