高中数学 2.2《直接证明与间接证明》课件1 新人教A版选修1-2
ab 证明 : 要证 ab , 2
只需证
a b 2 ab
2
只需证
a+b-2 ab 0
思考：这种证 明的方法有什 么特点？
只需证
( a b) 0
上式显然成立,因此原不等式成立.
2 分析法 (逆推证法、执果索因法)
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求 使它成立的充分条件，直至最后，把要证 明的结论归结为判定一个明显成立的条件 （已知条件、定理、定义、公理等）。
例.已知a、b、c 为不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证求 ： a + b + c < + + . a b c
1 1 1 ∴ + + = bc + ca + ab a b c
证 法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ，且abc = 1，
bc + ca ca + ab ab + bc = + + 2 2 2
综合法和分析法 , 是直接证明中最基本的 两种方 法, 也是解决数学问题时常 用的思维方式 .
1 综合法
在数证明中 , 我们经常从已知条件和 某些数学定 义、公理、定理等出发 , 通过推理推导出所要的 结论, 例如 :
已知a, b 0, 求证a b c b c a 4abc. 2 2 证明 因为b c 2bc, a 0, 所以ab2 c 2 2abc. 又c 2 a2 2ac,b 0, 所以bc 2 a2 2abc.
小结：
1.分析法的概念； 2.分析法的基本思路：执果索因；
3.注意分析法的格式.
＋
[证明]
1 1 1 ∵a－1b－1c －1
(b＋c)(a＋c)(a＋b) ＝ abc 2 bc· 2 ac· 2 ab 8abc ≥ ＝ abc ＝8， abc 当且仅当 a＝b＝c 时等号成立，∴不等式成立.
引例
ab 证明基本不等式 ab (其中 a, b R ) 2
2 2 2
π . 3
再由④,得a c ac ac,即 a c 0,
因此 a c.从而有 A C.
⑤
π 由② ③ ⑤ 得, A B C .所以 ΔABC是等边三角形 . 3
解决数学问题时 , 往往先作语言转换 , 如把文字语言 转换成符号语言 , 或把符号语言转换成图 形语言等 . 还要通过细致的分析 , 把其中的隐含条件明显 表示 出来.
S F
EF SC
A
E C B
AE SB BC AB
思考 请对综合法与分析法进 行比较, 说出 它们各自的特点 .回顾以往的数学学习 , 说说 你对这两种证明方法的 新认识 . 1.由于分析是执果索因，立足于寻找欲证结论的合适 的充分条件，利于思考；而综合法是由因导果，立足 于寻找已知条件合适的必要条件，适宜于表述．因此， 对于一个新的问题，多半采取先用分析法寻求解法， 后用综合法有条理地表述．
2 a＋b ( a ＋ b ) 2 2 2 ≥ ab ， a ＋ b ≥ . 2 2
a＋b b ③若 a、b∈(0，＋∞)，则 ≥ ab，特别是a＋ 2 a ≥ 2. b ④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a、b、c∈R)．
已知 a、b、c∈R 且 a＋b＋c＝1，
1 1 1 －1· －1≥8. 求证：a－1· b c
件,明确表示出来是 A B C π;
证明 由A,B, C成等差数列 ,有2B A C.
① ② ③ ④
因为A,B, C为ΔABC的内角, 所以A B C π.
由 ① ②, 得B
由a,b, c成等比数列 ,有b2 ac.
由余弦定理及 ③ ,可得 b2 a2 c 2 2ac cosB a2 c 2 ac.
用P表示已知条件、已有的 定义、公理、定理 等, Q 表示所要证明的结论, 则综合法可用框图 表示为:
条件
P Q1 条件 定义 定理 公理 推理论证 Q1 Q2 Q2 Q3
结论
… Qn Q
例1 在ΔABC中, 三个内角A,B, C对应的边分别为 a, b, c, 且A,B, C成等差数列 , a, b, c成等比数列 , 求证 ΔABC为等边三角形 .
2.2直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法(1)
我们知道, 合情推理所得结论的正 确性 是需要证明的 , 这正是数学区别于其他 科学的显著特点.数学结论的正确性必 须通过逻辑推理的方式加以证明.本节 我们将学习两类基本的 证明方法 : 直接 证明与间接证明 .
直接证明：直接证明包括两种最基本证明方 法——综合法与分析法
分析：利用向量的代数运算性质：a· b=|a||b|cosC 1 以及三角形面积公式：S =－|a||b|sinC
2a b 1 S ABC | a || b | sin C , cosC 证明： 2 | a ||b | 1 2 S ABC | a |2 | b |2 sin 2 C 4 1 | a |2 | b |2 (1 cos2 C ) 4 1 a b 2 2 2 | a | | b | [1 ( ) ] 1 2 2 2 4 | a || b | S (| a | | b | ( ab ) ABC 2 1 2 2 2 [| a | | b | ( a b) ] 4
>
abc +
2
a bc +
2
ab c =
2
a + b + c.
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质 和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：
①a2≥0(a∈R)． ②(a－b)2≥0(a、b∈R)，其变形有 a2＋b2≥2ab，
a ＋b 即证 ab ≥a＋b. 也就是证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b)成立． 即 a2－2ab＋b2≥0，也就是证(a－b)2≥0 成立． a b ∵(a－b) ≥0 恒成立，∴ ＋ ≥ a＋ b. b a
2
例3、已知SA 平面ABC, AB BC, 过A作SB的垂线， 垂足为E, 过E作SC的垂线，垂足为F .求证：AF SC.
例2如图所示，△ABC在平面α外，AB∩α＝P， BC∩α＝Q，AC∩α＝R， 求证：P、Q、R∈平面ABC 则P、Q、R是两平面的交线
例3 在△ABC中，设AB=a,CA＝b求证：
S ABC
1 2 2 2 (| a | | b | (ab ) 2
分析 将A,B, C成等差数列 ,转化为符号语言就是 2B A C; A,B, C为ΔABC的内角 , 这是个隐含条
a,b, c成等比数列 ,转化为符号语言就是 b2 ac. 此时, 如果能把角和边统一起来, 那么就可以进一
步寻找角和边之间的关系 , 进而判断三角形的形 状, 余弦定理正好满足要求.于是, 可以用余弦定理 为工具进行证明.
P→Q1→Q2→...→Qn→Q
分析法
由果索因 不要条件
Q←P1←P2←...←Pn←P
解答个一般方式
解法的探讨
实际证题过程，分析与综合是统一运用的
P→Q1→Q2→...→Qn→ Q←Pn←... ←P2 ←P1←P
例3.已知 , k
2 sin cos 2 sin , sin cos sin
2 2
(k z ),且
1 t an 1 t an 求证： ＝ 2 2 1 t an 2(1 t an )
2
分析：证明式中没有θ，因此我们要将θ消掉， 如何消掉θ？而且在条件中只有弦，而在证明 结果里面只有切，因此我们要弦化切
1.综合法： ∵(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ＝1 ∴(2sinα)2-2sin2β＝1 ∴4sin2α-2sin2β＝1 （二倍角公式） ∴2(cos2α－sin2α)＝cos2β-sin2β 即：
2 2
cos2α+sin2α
＝
cos2β+sin2β
只要证： 2(cos2α－sin2α)＝cos2β-sin2β
只要证： 4sin2α-2sin2β＝1
只要证： (sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ＝1 这是三角函数的基本性质
∴
1 tan2 1 tan2 ＝ 2 1 tan 2(1 tan2 )
2.实际证题过程，分析与综合是统一运用的，把分析和综 合孤立起来运用是脱离实的．没有分析就没有综合；没有 综合也没有析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时， 有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚好相 反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它
综合法
特点 条件 格式 关系 由因索果 充分条件
用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表 示为：
Q P1 P1 P2 P2 P3 … 得到一个明显 成立的条件
【分析法】
要证 只需证
格 式
只需证
显然成立
所以 结论成立
证 例：已知a > 5，求
：
a - 5 - a - 3 < a - 2 - a.
证明:要证 a - 5 - a - 3 < a - 2 - a 只需证 a -5 a < a - 2 + a -3 只需证 a(a -5)< (a - 2)(a -3) a(a - 5)<(a - 2)(a - 3) 只需证 0<6 只需证 因为 0<6 成立. 所以 a - 5 - a - 3 < a - 2 - a 成立.
只需证
a b 2 ab
2
只需证
a+b-2 ab 0
思考：这种证 明的方法有什 么特点？
只需证
( a b) 0
上式显然成立,因此原不等式成立.
2 分析法 (逆推证法、执果索因法)
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求 使它成立的充分条件，直至最后，把要证 明的结论归结为判定一个明显成立的条件 （已知条件、定理、定义、公理等）。
例.已知a、b、c 为不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证求 ： a + b + c < + + . a b c
1 1 1 ∴ + + = bc + ca + ab a b c
证 法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ，且abc = 1，
bc + ca ca + ab ab + bc = + + 2 2 2
综合法和分析法 , 是直接证明中最基本的 两种方 法, 也是解决数学问题时常 用的思维方式 .
1 综合法
在数证明中 , 我们经常从已知条件和 某些数学定 义、公理、定理等出发 , 通过推理推导出所要的 结论, 例如 :
已知a, b 0, 求证a b c b c a 4abc. 2 2 证明 因为b c 2bc, a 0, 所以ab2 c 2 2abc. 又c 2 a2 2ac,b 0, 所以bc 2 a2 2abc.
小结：
1.分析法的概念； 2.分析法的基本思路：执果索因；
3.注意分析法的格式.
＋
[证明]
1 1 1 ∵a－1b－1c －1
(b＋c)(a＋c)(a＋b) ＝ abc 2 bc· 2 ac· 2 ab 8abc ≥ ＝ abc ＝8， abc 当且仅当 a＝b＝c 时等号成立，∴不等式成立.
引例
ab 证明基本不等式 ab (其中 a, b R ) 2
2 2 2
π . 3
再由④,得a c ac ac,即 a c 0,
因此 a c.从而有 A C.
⑤
π 由② ③ ⑤ 得, A B C .所以 ΔABC是等边三角形 . 3
解决数学问题时 , 往往先作语言转换 , 如把文字语言 转换成符号语言 , 或把符号语言转换成图 形语言等 . 还要通过细致的分析 , 把其中的隐含条件明显 表示 出来.
S F
EF SC
A
E C B
AE SB BC AB
思考 请对综合法与分析法进 行比较, 说出 它们各自的特点 .回顾以往的数学学习 , 说说 你对这两种证明方法的 新认识 . 1.由于分析是执果索因，立足于寻找欲证结论的合适 的充分条件，利于思考；而综合法是由因导果，立足 于寻找已知条件合适的必要条件，适宜于表述．因此， 对于一个新的问题，多半采取先用分析法寻求解法， 后用综合法有条理地表述．
2 a＋b ( a ＋ b ) 2 2 2 ≥ ab ， a ＋ b ≥ . 2 2
a＋b b ③若 a、b∈(0，＋∞)，则 ≥ ab，特别是a＋ 2 a ≥ 2. b ④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a、b、c∈R)．
已知 a、b、c∈R 且 a＋b＋c＝1，
1 1 1 －1· －1≥8. 求证：a－1· b c
件,明确表示出来是 A B C π;
证明 由A,B, C成等差数列 ,有2B A C.
① ② ③ ④
因为A,B, C为ΔABC的内角, 所以A B C π.
由 ① ②, 得B
由a,b, c成等比数列 ,有b2 ac.
由余弦定理及 ③ ,可得 b2 a2 c 2 2ac cosB a2 c 2 ac.
用P表示已知条件、已有的 定义、公理、定理 等, Q 表示所要证明的结论, 则综合法可用框图 表示为:
条件
P Q1 条件 定义 定理 公理 推理论证 Q1 Q2 Q2 Q3
结论
… Qn Q
例1 在ΔABC中, 三个内角A,B, C对应的边分别为 a, b, c, 且A,B, C成等差数列 , a, b, c成等比数列 , 求证 ΔABC为等边三角形 .
2.2直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法(1)
我们知道, 合情推理所得结论的正 确性 是需要证明的 , 这正是数学区别于其他 科学的显著特点.数学结论的正确性必 须通过逻辑推理的方式加以证明.本节 我们将学习两类基本的 证明方法 : 直接 证明与间接证明 .
直接证明：直接证明包括两种最基本证明方 法——综合法与分析法
分析：利用向量的代数运算性质：a· b=|a||b|cosC 1 以及三角形面积公式：S =－|a||b|sinC
2a b 1 S ABC | a || b | sin C , cosC 证明： 2 | a ||b | 1 2 S ABC | a |2 | b |2 sin 2 C 4 1 | a |2 | b |2 (1 cos2 C ) 4 1 a b 2 2 2 | a | | b | [1 ( ) ] 1 2 2 2 4 | a || b | S (| a | | b | ( ab ) ABC 2 1 2 2 2 [| a | | b | ( a b) ] 4
>
abc +
2
a bc +
2
ab c =
2
a + b + c.
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质 和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：
①a2≥0(a∈R)． ②(a－b)2≥0(a、b∈R)，其变形有 a2＋b2≥2ab，
a ＋b 即证 ab ≥a＋b. 也就是证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b)成立． 即 a2－2ab＋b2≥0，也就是证(a－b)2≥0 成立． a b ∵(a－b) ≥0 恒成立，∴ ＋ ≥ a＋ b. b a
2
例3、已知SA 平面ABC, AB BC, 过A作SB的垂线， 垂足为E, 过E作SC的垂线，垂足为F .求证：AF SC.
例2如图所示，△ABC在平面α外，AB∩α＝P， BC∩α＝Q，AC∩α＝R， 求证：P、Q、R∈平面ABC 则P、Q、R是两平面的交线
例3 在△ABC中，设AB=a,CA＝b求证：
S ABC
1 2 2 2 (| a | | b | (ab ) 2
分析 将A,B, C成等差数列 ,转化为符号语言就是 2B A C; A,B, C为ΔABC的内角 , 这是个隐含条
a,b, c成等比数列 ,转化为符号语言就是 b2 ac. 此时, 如果能把角和边统一起来, 那么就可以进一
步寻找角和边之间的关系 , 进而判断三角形的形 状, 余弦定理正好满足要求.于是, 可以用余弦定理 为工具进行证明.
P→Q1→Q2→...→Qn→Q
分析法
由果索因 不要条件
Q←P1←P2←...←Pn←P
解答个一般方式
解法的探讨
实际证题过程，分析与综合是统一运用的
P→Q1→Q2→...→Qn→ Q←Pn←... ←P2 ←P1←P
例3.已知 , k
2 sin cos 2 sin , sin cos sin
2 2
(k z ),且
1 t an 1 t an 求证： ＝ 2 2 1 t an 2(1 t an )
2
分析：证明式中没有θ，因此我们要将θ消掉， 如何消掉θ？而且在条件中只有弦，而在证明 结果里面只有切，因此我们要弦化切
1.综合法： ∵(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ＝1 ∴(2sinα)2-2sin2β＝1 ∴4sin2α-2sin2β＝1 （二倍角公式） ∴2(cos2α－sin2α)＝cos2β-sin2β 即：
2 2
cos2α+sin2α
＝
cos2β+sin2β
只要证： 2(cos2α－sin2α)＝cos2β-sin2β
只要证： 4sin2α-2sin2β＝1
只要证： (sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ＝1 这是三角函数的基本性质
∴
1 tan2 1 tan2 ＝ 2 1 tan 2(1 tan2 )
2.实际证题过程，分析与综合是统一运用的，把分析和综 合孤立起来运用是脱离实的．没有分析就没有综合；没有 综合也没有析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时， 有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚好相 反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它
综合法
特点 条件 格式 关系 由因索果 充分条件
用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表 示为：
Q P1 P1 P2 P2 P3 … 得到一个明显 成立的条件
【分析法】
要证 只需证
格 式
只需证
显然成立
所以 结论成立
证 例：已知a > 5，求
：
a - 5 - a - 3 < a - 2 - a.
证明:要证 a - 5 - a - 3 < a - 2 - a 只需证 a -5 a < a - 2 + a -3 只需证 a(a -5)< (a - 2)(a -3) a(a - 5)<(a - 2)(a - 3) 只需证 0<6 只需证 因为 0<6 成立. 所以 a - 5 - a - 3 < a - 2 - a 成立.
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人教A版高中数学选修1-2课件2.2《直接证明》(新必修1—2)
a2 1 0, b2 1 0
只需证明 a b2 (1 ab)2 因此 (a2 1)(b2 1) 0
只需证明 (a2 1)(b2 1) 0 所以原命题成立.
直接证明
3.△ABC三边长a, b, c的倒数成等差数列，求证：B 90
证明：
综合法 条理清晰，易Hale Waihona Puke 表述。为了证明 CO DO
通常以分析法寻求
只需 ACO BDO
思路，再用综合法有条理地
为了证明 EO FO
表述解题过程
只需证明 AO BO（因为已知AE BF）
也只需 ACO BDO（已知）
因为 EOC与FOD是对顶角，所以它们相等，从而
EOC FOD 成立，因此命题成立.
直接证明（数学理论）
上述两种证法有什么异同？
相同 都是直接证明
不同 证法1从已知条件出发，以已知的定义、公理、 定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论
为止综合法
证法2从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条
件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条
件吻合为止
分析法
直接证明
综合法和分析法的推证过程如下： 综合法
已知条件 结论
分析法
结论 已知条件
直接证明（例题）
例1 如图，已知AB，CD交于点O，ACO BDO， AE BF，求证：CE DF.
直接证明
证 （综合法） 因为
ACO BDO 所以 CO DO AO BO
因为
AE BF（已知）
所以
EO FO
又因为 EOC FOD（对顶角相等）
所以 EOC FOD
只需证明 a b2 (1 ab)2 因此 (a2 1)(b2 1) 0
只需证明 (a2 1)(b2 1) 0 所以原命题成立.
直接证明
3.△ABC三边长a, b, c的倒数成等差数列，求证：B 90
证明：
综合法 条理清晰，易Hale Waihona Puke 表述。为了证明 CO DO
通常以分析法寻求
只需 ACO BDO
思路，再用综合法有条理地
为了证明 EO FO
表述解题过程
只需证明 AO BO（因为已知AE BF）
也只需 ACO BDO（已知）
因为 EOC与FOD是对顶角，所以它们相等，从而
EOC FOD 成立，因此命题成立.
直接证明（数学理论）
上述两种证法有什么异同？
相同 都是直接证明
不同 证法1从已知条件出发，以已知的定义、公理、 定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论
为止综合法
证法2从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条
件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条
件吻合为止
分析法
直接证明
综合法和分析法的推证过程如下： 综合法
已知条件 结论
分析法
结论 已知条件
直接证明（例题）
例1 如图，已知AB，CD交于点O，ACO BDO， AE BF，求证：CE DF.
直接证明
证 （综合法） 因为
ACO BDO 所以 CO DO AO BO
因为
AE BF（已知）
所以
EO FO
又因为 EOC FOD（对顶角相等）
所以 EOC FOD
详细版2[1][1].2_直接证明与间接证明(人教A选修1-2).ppt
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只需证明21<25，因为21<25成立，
所以不等式 3 7 2 5 成立。
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12
例5:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作 SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂 足为F,求证 AF⊥SC S
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC
所以
S2 ΔABC
1 4
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
2
b sin 2C
1 4
2
a
2
b (1 cos2C)
2
1 4
a
2
b
2
[1
a• b
a b
]
1
[
a
2
b
2
(a•
b)2 ]
4
于是SΔABC
1 2
2 2
a b (a• b)2
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7
例3：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分 别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成 等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．
证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C，---------------------------------------① 因为A,B,C是三角形的内角，所以A+B+C=180o，----------------------② 所以B=60o。---------------------------------------------------------------------③ 由a,b,c成等比数列，有b2=ac, -----------------------------------------------④ 则b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac, 再有④得a2+c2-ac=ac，即(a-c)2=0 因此a=c。从而有A=C----------------------------------------------------------⑤ 则由② ③ ⑤得A=B=C=60o。 所以三角形ABC是等边三角形。
所以不等式 3 7 2 5 成立。
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12
例5:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作 SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂 足为F,求证 AF⊥SC S
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC
所以
S2 ΔABC
1 4
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
2
b sin 2C
1 4
2
a
2
b (1 cos2C)
2
1 4
a
2
b
2
[1
a• b
a b
]
1
[
a
2
b
2
(a•
b)2 ]
4
于是SΔABC
1 2
2 2
a b (a• b)2
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7
例3：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分 别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成 等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．
证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C，---------------------------------------① 因为A,B,C是三角形的内角，所以A+B+C=180o，----------------------② 所以B=60o。---------------------------------------------------------------------③ 由a,b,c成等比数列，有b2=ac, -----------------------------------------------④ 则b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac, 再有④得a2+c2-ac=ac，即(a-c)2=0 因此a=c。从而有A=C----------------------------------------------------------⑤ 则由② ③ ⑤得A=B=C=60o。 所以三角形ABC是等边三角形。
人教课标版高中数学选修1-2《直接证明与间接证明(第1课时)》名师课件
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
点拔：
本例重点强调在证明空间线线垂直、线线平行、线面垂直、线
面平行、面面平行或垂直问题时，要特别注意平行与垂直之间的相互
பைடு நூலகம்转化，如：ab∥ ⊥bc
a⊥c
， a∥b b⊥
a⊥
，∥⊥
⊥
等.其中线面平
行和线面垂直一般起到关键作用，如本例(2)中通过证明A1B⊥平面
点击“随堂训练” 选择“《直接证明与间接证明（第1课时）》随堂检测”
配套课后作业： 《直接证明与间接证明（第1课时）》基础型 《直接证明与间接证明（第1课时）》能力型 《直接证明与间接证明（第1课时）》探究型 《直接证明与间接证明（第1课时）》自助餐
AC1M来证明A1B⊥AM；本例(3)中，通过证明AM∥平面B1NC，C1M∥
平面B1NC，来证明平面AC1M∥平面B1NC.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
●活动三 用综合法证明数学中的其他问题
例4 设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)，其 中m为常数，且m≠－3.
等式、数列问题、函数问题等等.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
●活动四 综合法的简单应用 例5 在△ABC中，三边a，b，c成等比数列.求证： 详解：
点拔： （1）综合法证题是从条件出发，由因导果，从已知看可知，逐步推出未知. （2）综合法适用的范围：①定义明确的题型，如证明函数单调性、奇偶性， 求证无条件的等式或不等式问题等.②已知条件明确，且容易通过找已知条件 的必要条件逼近欲得结论的题型.
1 bn
为首项为1，公差为
1 3
的等差数列.
点拔：（1）综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理，实际上是寻
人教A版高中数学选修1-2课件直接证明与间接证明9
中至少有一个不小于 1
2
.
间接证明（例题3）
求证： 2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
则存在互质的整数m，n使得 2 = m ， n
∴ m = 2n ∴ m2 = 2n2
∴ m2是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈ N）
从而有4k2 = 2n2，即n2 = 2k2 ∴ n2也是偶数，这与m，n互质矛盾！
已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且AB、CD不全
是直径；
C
求证：AB、CD不能互相平分。
A
P
B
O
D
3.设函数 f (x) 2x2 mx n ，求证：
f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于1.
（归谬法）。反证法是一种常用的间接证明方法.
肯定条件p 否定结论 q
导致逻辑矛盾
“P且﹁q”为假
合理的推理
归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾；
“若p则q”为真
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
间接证明（基本概念）
反证法的过程包括以下三个步骤：
（1） 反设——假设命题的结论不成立，即假定 原命题的反面为真；
间接证明（问题情境1）
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒 谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在 撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - 那么A假且B假;
由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立, 则C必定是在撒谎.
间接证明（问题情境2）
在《数学（2 必修）》第三章中，如何证明 命题“在长方体ABCD A1B1C1D1中， AB与A1C是异面直线”
人教A版高中数学选修2-2课件：第二章 2.2.1 直接证明与间接证明第2课时 (共53张PPT)
踩着垃圾到达的高度和踩着金子到达的高度是一样的。 只要还有明天，今天就永远是起跑线。 没有不会做的事，只有不想做的事。 蝴蝶如要在百花园里得到飞舞的欢乐，那首先得忍受与蛹决裂的痛苦。 书籍是造就灵魂的工具。 每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐。 眼要看远，脚要近迈。 学做任何事得按部就班，急不得。 上天不会亏待努力的人，也不会同情假勤奋的人，你有多努力时光它知道。 沉湎于希望的人和守株待兔的樵夫没有什么两样。 蝴蝶如要在百花园里得到飞舞的欢乐，那首先得忍受与蛹决裂的痛苦。 好习惯的养成，在于不受坏习惯的诱惑。 心若有阳光，你便会看见这个世界有那么多美好值得期待和向往。 太阳虽有黑点，却在奋力燃烧中树立了光辉的形象。
运气是努力的附属品。没有经过实力的原始积累，给你运气你也抓不住。上天给予每个人的都一样，但每个人的准备却不一样。不要羡慕那 些总能撞大运的人，你必须很努力，才能遇上好运气。 我很平凡，但骨子里的我却很勇敢。 方向比速度重要，智慧比吃苦重要，学习比学历重要，机遇比关系重要，要什么比做什么重要！ 最后的措手不及是因为当初游刃有余的自己 别人对你好，你要争气，图日后有能力有所报答，别人对你不好，你更要争气望有朝一日，能够扬眉吐气。
运气是努力的附属品。没有经过实力的原始积累，给你运气你也抓不住。上天给予每个人的都一样，但每个人的准备却不一样。不要羡慕那 些总能撞大运的人，你必须很努力，才能遇上好运气。 我很平凡，但骨子里的我却很勇敢。 方向比速度重要，智慧比吃苦重要，学习比学历重要，机遇比关系重要，要什么比做什么重要！ 最后的措手不及是因为当初游刃有余的自己 别人对你好，你要争气，图日后有能力有所报答，别人对你不好，你更要争气望有朝一日，能够扬眉吐气。
高中数学 直接证明与间接证明课件十二 新人教A版选修1-2
【 例 2】已 知 a,b,c(0,1),求 证 (1： a)b, (1b)c,(1c)a不 能 同 时 1 大 于
4
【例 3】对于函f数 (x)1,找不到正 A，数 x
使得在整个定|义 f值进行说明。
【试一试】
1、如果一条直线经过平面内一点，又经过平 面外一点，则此直线与平面相交。
a x1
a
求证：经过函数图像上任
意两个不同点的直线
不平行于x轴。
常见否定用语
是－－－不是
有－－－没有
等－－－不等
成立－－不成立
都是－－不都是，即至少有一个不是
都有－－不都有，即至少有一个没有
都不是－部分或全部是，即至少有一个是
唯一－－至少有两个
至少有一个有（是）－－全部没有（不是）
至少有一个不－－－－－全部都
反证法
【探究1】将9个球分别染成红色或白色 无论怎样染色，至少有5个球 一 定是同色的。正确吗？
【探究2】 已知 a ≠0 ,关于 x 的方程 a x = b 有解吗？解唯一吗？
用反证法证题的一般步骤
（1）假设命题的结论不成立，即假设 结论的反面成立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证, 得出矛盾；
2、证明：若 a 2 b 2 2 a 4 b 3 0 ,则 a b 1 3、已知方程 2x = 3 ，求证方程有且只有一根
【作业】 P54 练习1、2 A组 3
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
最新-高中数学 直接证明与间接证明课件一 新人教A版选修1-2 精品
2.2.1 综合法和分析法(1) 2.2直接证明与间接证明
复习
推理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
归纳
(特殊到一般）
类比
三段论
（特殊到特殊） （一般到特殊）
演绎推理是证明数学结论、建立数学体 系的重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合 情推理.
例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 证明:因为b2+c2 ≥2bc,a>0
sin(A-B)=0.2, 求证:tanA=2tanB 例3：已知sinA,sinB,cosA成等差数列， sinA,sinC,cosA成等比数列，
求证:2cos2B=cos2C
作业：1.Ｐ46 Ａ组２，Ｂ组２
2.已知a,b,c,为不全相等的正数，
求征 (b+c-a)/a+(c+a-b)/b+(a+b-c)/c>3
用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示பைடு நூலகம்:
P Q1
Q1 Q2 Q2 Q3
… Qn Q
例1：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对 应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等 差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ 为等边三角形．
例2：在锐角三角形ＡＢＣ中， sin(A+B)=0.6,
例：设抛物线y2=2px(p>0)的焦点 为Ｆ，经过点Ｆ的直线交抛物线于 Ａ、Ｂ两点，点Ｃ在抛物线的准线 上，且ＢＣ∥x轴（如图），证明 直线ＡＣ经过原点Ｏ
4
A
2
OF
5
复习
推理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
归纳
(特殊到一般）
类比
三段论
（特殊到特殊） （一般到特殊）
演绎推理是证明数学结论、建立数学体 系的重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合 情推理.
例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 证明:因为b2+c2 ≥2bc,a>0
sin(A-B)=0.2, 求证:tanA=2tanB 例3：已知sinA,sinB,cosA成等差数列， sinA,sinC,cosA成等比数列，
求证:2cos2B=cos2C
作业：1.Ｐ46 Ａ组２，Ｂ组２
2.已知a,b,c,为不全相等的正数，
求征 (b+c-a)/a+(c+a-b)/b+(a+b-c)/c>3
用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示பைடு நூலகம்:
P Q1
Q1 Q2 Q2 Q3
… Qn Q
例1：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对 应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等 差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ 为等边三角形．
例2：在锐角三角形ＡＢＣ中， sin(A+B)=0.6,
例：设抛物线y2=2px(p>0)的焦点 为Ｆ，经过点Ｆ的直线交抛物线于 Ａ、Ｂ两点，点Ｃ在抛物线的准线 上，且ＢＣ∥x轴（如图），证明 直线ＡＣ经过原点Ｏ
4
A
2
OF
5
新人教A版(选修1-2)2.2《直接证明与间接证明》ppt课件1
所以 a
+ 2
b
ab成立
一般地，从要证明的结论出发，逐步 寻求使它成立的充分条件，直至最后，把 要证明的结论归结为判定一个明显成立的 条件（已知条件、定理、定义、公理等）
为止，这种证明的方法叫做分析法．
特点：执果索因.
用框图表示分析法的思考过程、特点.
得到一个明显Q P1Fra bibliotekP1 P2
P2 P3
例43：. 已知α,β≠
kπ+π(k 2
Z),且
sinθ+ cosθ= 2sinα
sinθ cosθ= sin2β
求证:
1 - tan2α= 1 - tan2β . 1 + tan2α 2(1 + tan2β)
练习：P89 练习3
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎， C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为 什么？
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
证明:
因为;( a b)2 0
所以 a + b 2 ab 0
所以 a + b 2 ab
所以
a+b 2
ab 成立
证明:要证;a
+ 2
b
ab
只需证;a + b 2 ab
只需证;a + b 2 ab 0
只需证;( a b)2 0
因为;( a b)2 0 成立
…
成立的结论
6
例3．求证： 3 7 2 5
证明：因为 3 7和2 5 都是正数，
所以为了证明 3 7 2 5 只需证明 ( 3 7)2 (2 5)2
展开得 10 2 21 20 即 21 5 只需证明21<25，因为21<25成立，
2014年人教A版选修1-2课件 2.2 直接证明与间接证明
因为两平面相交, 有且只有一条公共直线. 所以 P, Q, R 共线于平面 a 与平面 ABC 的交线.
例2. 在△ABC中, 设 CB = a, CA = b, 求证 S△ABC= 1 | a |2| b |2 (a b)2 . A 2 分析: 所证三角形面积的式子 b 中是用向量的模以及向量的数量积 表示的, 于是我们考虑用三角形面 积公式 SABC = 1 AC BC sin C . 2 sinC 再通过向量的数量积转换.
综合法是由因导果的顺序.
习题 2.2 A组 第 1、2 题. B组 第 1、2 题.
习题 2.2 A组 1. 已知 A, B 都是锐角, 且 A+B≠ , 2 (1+tanA)(1+tanB)=2, 求证A+B= . 4 证明: 由 (1+tanA)(1+tanB)=2 得 1+tanA+tanB+tanAtanB=2, 整理得 tanA+tanB=1tanAtanB, ① tan A + tan B 又因为 tan( A + B) = , ② 1 tan Atan B 将①代入②得 1 tan A tan B =1, tan( A + B) = 1 tan Atan B 因为 A, B 都是锐角,
B
a C
例2. 在△ABC中, 设 CB = a, CA = b, 求证 S△ABC= 1 | a |2| b |2 (a b)2 . A 2 证明: 如图, b SABC = 1 BC AC sin C , a C 2 B 又因为 CB = a, CA = b, ab , cos C = 则 | a | | b | 于是得 sin C = 1 cos2 C = 1 ( a b )2 , | a | | b | (a b)2 1 1 SABC = | a | | b | 1 2 2 = | a |2| b |2 (a b)2 . 2 | a | | b | 2
高中数学新课标人教A版选修1-2课件
(1) a b a c b c ; (2) a b ac bc ; (3) a b a2 b2;等等.
类比推理的结论不一定成立.
第二十五页，编辑于星期一：点 十三分。
.
.
第二十六页，编辑于星期一：点 十三分。
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆心与弦(非直径)中点连线垂直于 球心与截面圆(不经过球心的截面圆)
推理与证明
推理
证明
合情推理
演绎推理 直接证明 间接证明
第一页，编辑于星期一：点 十三分。
已知的判断
确定
新的判断
根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的思维过程就叫推理.
第二页，编辑于星期一：点 十三分。
第三页，编辑于星期一：点 十三分。
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
第三十五页，编辑于星期一：点 十三分。
再 见
第三十六页，编辑于星期一：点 十三分。
八面体
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
第十页，编辑于星期一：点 十三分。
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
第十一页，编辑于星期一：点 十三分。
四棱柱
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
6
8
12
第十二页，编辑于星期一：点 十三分。
n ＝1时，a1＝1 第1个圆环从1到3. n＝2时，a2＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
2
1
3
第三十三页，编辑于星期一：点 十三分。
类比推理的结论不一定成立.
第二十五页，编辑于星期一：点 十三分。
.
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第二十六页，编辑于星期一：点 十三分。
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆心与弦(非直径)中点连线垂直于 球心与截面圆(不经过球心的截面圆)
推理与证明
推理
证明
合情推理
演绎推理 直接证明 间接证明
第一页，编辑于星期一：点 十三分。
已知的判断
确定
新的判断
根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的思维过程就叫推理.
第二页，编辑于星期一：点 十三分。
第三页，编辑于星期一：点 十三分。
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
第三十五页，编辑于星期一：点 十三分。
再 见
第三十六页，编辑于星期一：点 十三分。
八面体
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
第十页，编辑于星期一：点 十三分。
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
第十一页，编辑于星期一：点 十三分。
四棱柱
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
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第十二页，编辑于星期一：点 十三分。
n ＝1时，a1＝1 第1个圆环从1到3. n＝2时，a2＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
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第三十三页，编辑于星期一：点 十三分。