matlab解微分方程
用Matlab解微分方程
用Matlab 软件求解微分方程1．解析解（1）一阶微分方程 求21y dxdy +=的通解：dsolve('Dy=1+y^2','x') 求y x dxdy -+=21的通解：dsolve('Dy=1+x^2-y','x') 求⎪⎩⎪⎨⎧=+=1)0(12y y dx dy 的特解：dsolve('Dy=1+y^2',’y(0)=1’,'x')（2）高阶微分方程 求解⎩⎨⎧-='==-+'+''.2)2(,2)2(,0)(222πππy y y n x y x y x 其中，21=n ，命令为： dsolve('x^2*D2y+x*Dy+(x^2-0.5^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x') 求042=-+'-'''x y y y 的通解，命令为：dsolve('D3y-2*Dy+y-4*x=0','x')输出为：ans=8+4*x+C1*exp(x)+C2*exp(-1/2*(5^(1/2)+1)*x)+C3*exp(1/2*(5^(1/2)-1)*x)（3）一阶微分方程组求⎩⎨⎧+-='+=').(3)(4)(),(4)(3)(x g x f x g x g x f x f 的通解：[f,g]=dsolve('Df=3*f+4*g','Dg=-4*f+3*g','x') 输出为： f =exp(3*x)*(cos(4*x)*C1+sin(4*x)*C2)g =-exp(3*x)*(sin(4*x)*C1-cos(4*x)*C2)若再加上初始条件1)0(,0)0(==g f ，则求特解：[f,g]=dsolve('Df=3*f+4*g','Dg=-4*f+3*g','f(0)=0,g(0)=1','x')输出为： f =exp(3*x)*sin(4*x)g =exp(3*x)*cos(4*x)2．数值解（1）一阶微分方程⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤-=.1)0(,10,2y x y x y dxdy 现以步长h=0.1用“4阶龙格—库塔公式”求数值解： 先建立“函数M —文件”：function f=eqs1(x,y)f=y-2*x/y;再命令： 格式为：[自变量,因变量]=ode45(‘函数文件名’,节点数组,初始值) 命令为： [x,y]=ode45('eqs1',0:0.1:1,1)若还要画图，就继续命令： plot(x,y)（2）一阶微分方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+-='≤≤-+='.3.0)0(,2.0)0(,2sin ,10,2cos 21212211y y y y x y x y y x y 只须向量化，即可用前面方法： function f=eqs2(x,y)f=[cos(x)+2*y(1)-y(2);sin(x)-y(1)+2*y(2)];将此函数文件，以文件名eqs2保存后，再下命令：[x,y]=ode45('eqs2',0:0.1:1,[0.2;0.3])（注：输出的y 是矩阵，第i 列为函数i y 的数值解）要画图，继续命令：hold on,plot(x,y(:,1)),plot(x,y(:,2)),hold off（3）高阶微分方程先化成一阶微分方程组，再用前面方法。
matlab求解微分代数方程
文章主题：探索数学求解软件Matlab在微分代数方程求解中的应用1. 引言微分代数方程（DAE）是描述物理系统中的相互依赖性和复杂性的数学模型。
解决这类方程对于现代科学和工程领域至关重要。
Matlab作为一种强大的数学计算软件，在微分代数方程求解中具有独特的优势。
本文将从简单到复杂的方式，探讨Matlab在DAE求解中的应用，并共享个人见解。
2. DAE的基本概念微分代数方程是描述包含未知函数及其导数或导数与未知函数的组合的方程。
通常的形式为F(x, x', t) = 0，其中x为未知函数，x'为其导数，t为自变量。
在实际应用中，这些方程往往伴随着初始条件和边界条件。
3. Matlab在解常微分方程（ODE）中的应用Matlab拥有丰富的ODE求解函数，如ode45、ode23等，可用于求解各种常微分方程。
这些函数可以自动选择适当的数值积分方法，并提供了方便的接口和参数设置，极大地简化了求解过程。
4. DAE求解方法的挑战与ODE相比，DAE的求解更具挑战性。
由于包含了代数变量和微分变量，常规的数值积分方法难以直接应用。
而且，方程的初始条件和边界条件也增加了求解的复杂性。
5. Matlab在DAE求解中的工具Matlab提供了一系列专门用于DAE求解的函数和工具包，如dare和ddesd等。
这些工具在模型建立、数值解法选择、收敛性分析等方面都具有独特的优势。
6. 案例分析：用Matlab求解电路模型的DAE以电路模型的DAE为例，通过Matlab可以快速建立系统的数学模型，并进行数值求解。
通过对参数的调节和模型的分析，可以更好地理解电路的动态特性，帮助优化设计和故障诊断。
7. 总结与展望通过本文的探讨，我们更深入地了解了Matlab在微分代数方程求解中的重要性和应用。
在未来，随着科学技术的发展，Matlab在此领域的功能和性能将得到进一步的提升，为工程科学领域提供更强大的支持。
个人观点：Matlab作为一种综合性的科学计算软件，对微分代数方程的求解起着至关重要的作用。
matlab数值求解常微分方程快速方法
MATLAB是一种用于科学计算和工程应用的高级编程语言和交互式环境。
它在数学建模、模拟和分析等方面有着广泛的应用。
在MATLAB 中，常微分方程的数值求解是一个常见的应用场景。
在实际工程问题中，通常需要对常微分方程进行数值求解来模拟系统的动态行为。
本文将介绍MATLAB中对常微分方程进行数值求解的快速方法。
1. 基本概念在MATLAB中，可以使用ode45函数来对常微分方程进行数值求解。
ode45是一种常用的Runge-Kutta法，它可以自适应地选取步长，并且具有较高的数值精度。
使用ode45函数可以方便地对各种类型的常微分方程进行求解，包括一阶、高阶、常系数和变系数的微分方程。
2. 函数调用要使用ode45函数进行常微分方程的数值求解，需要按照以下格式进行函数调用：[t, y] = ode45(odefun, tspan, y0)其中，odefun表示用于描述微分方程的函数，tspan表示求解的时间跨度，y0表示初值条件，t和y分别表示求解得到的时间序列和对应的解向量。
3. 示例演示为了更好地理解如何使用ode45函数进行常微分方程的数值求解，下面我们以一个具体的例子来进行演示。
考虑如下的一阶常微分方程：dy/dt = -2*y其中，y(0) = 1。
我们可以编写一个描述微分方程的函数odefun：function dydt = odefun(t, y)dydt = -2*y;按照上述的函数调用格式，使用ode45函数进行求解：tspan = [0 10];y0 = 1;[t, y] = ode45(odefun, tspan, y0);绘制出解曲线：plot(t, y);4. 高级用法除了基本的函数调用方式外，MATLAB中还提供了更多高级的方法来对常微分方程进行数值求解。
可以通过设定选项参数来控制数值求解的精度和稳定性，并且还可以对刚性微分方程进行求解。
5. 性能优化在实际工程应用中，常常需要对大规模的常微分方程进行数值求解。
matlab求解常微分方程
matlab求解常微分⽅程本⽂主要介绍matlab中求解常微分⽅程（组）的dsolve和ode系列函数，并通过例⼦加深读者的理解。
⼀、符号介绍D: 微分符号；D2表⽰⼆阶微分，D3表⽰三阶微分，以此类推。
⼆、函数功能介绍及例程1、dsolve 函数dsolve函数⽤于求常微分⽅程组的精确解，也称为常微分⽅程的符号解。
如果没有初始条件或边界条件，则求出通解；如果有，则求出特解。
1)函数格式Y = dsolve(‘eq1,eq2,…’ , ’cond1,cond2,…’ , ’Name’)其中，‘eq1,eq2,…’:表⽰微分⽅程或微分⽅程组;’cond1,cond2,…’:表⽰初始条件或边界条件;‘Name’:表⽰变量。
没有指定变量时，matlab默认的变量为t；2)例程例1.1(dsolve 求解微分⽅程)求解微分⽅程：dsolve('Dy=3*x^2','x')例1.2（加上初始条件）求解微分⽅程：例2(dsolve 求解微分⽅程组)求解微分⽅程组：由于x,y均为t的导数，所以不需要在末尾添加’t’。
2、ode函数在上⽂中我们介绍了dsolve函数。
但有⼤量的常微分⽅程，虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却⽆法求出其解析解，此时，我们需要寻求⽅程的数值解。
ode是Matlab专门⽤于解微分⽅程的功能函数。
该求解器有变步长（variable-step）和定步长（fixed-step）两种类型。
不同类型有着不同的求解器，具体说明如下图。
其中，ode45求解器属于变步长的⼀种，采⽤Runge-Kutta算法；其他采⽤相同算法的变步长求解器还有ode23。
ode45表⽰采⽤四阶-五阶Runge-Kutta算法，它⽤4阶⽅法提供候选解，5阶⽅法控制误差，是⼀种⾃适应步长（变步长）的常微分⽅程数值解法，其整体截断误差为(Δx)^5。
解决的是Nonstiff(⾮刚性)常微分⽅程。
matlab微分方程组求解代码
一、概述Matlab是一款功能强大的数学软件，它可以对微分方程组进行求解并得到精确的数值解。
微分方程组是描述自然现象的数学模型，经常出现在物理、化学、生物等领域的科学研究中。
掌握如何使用Matlab 对微分方程组进行求解是非常重要的。
二、微分方程组求解基本原理微分方程组是由多个未知函数及其导数的方程组成。
通常情况下，微分方程组很难直接求解，需要借助数值方法进行近似求解。
Matlab 提供了丰富的工具和函数来解决微分方程组求解的问题，其中最常用的是ode45函数。
三、Matlab微分方程组求解代码示例以下是一个简单的二阶微分方程组的求解代码示例：```function dydt = myODE(t, y)dydt = zeros(2,1);dydt(1) = y(2);dydt(2) = -y(1) - 0.1*y(2);end[t, y] = ode45(myODE, [0 20], [1 0]);plot(t, y(:,1))```在这个示例中，我们首先定义了一个函数myODE来描述微分方程组的右端。
然后使用ode45函数对微分方程组进行求解，得到了微分方程组的数值解，并利用plot函数进行了可视化展示。
四、常见问题及解决方法在使用Matlab进行微分方程组求解时，可能会遇到一些常见问题，以下是一些常见问题及解决方法：1. 参数设置错误：在使用ode45函数时，需要正确设置求解的时间范围和初始条件，否则可能得到错误的结果。
可以通过仔细阅读ode45函数的文档来解决这个问题。
2. 数值稳定性：对于一些复杂的微分方程组，数值求解可能会遇到数值稳定性问题，导致结果不准确。
可以尝试调整ode45函数的参数或者使用其他数值解法来提高数值稳定性。
五、总结通过本文的介绍，我们了解了在Matlab中如何对微分方程组进行求解。
Matlab提供了丰富的工具和函数来解决微分方程组求解的问题，有效提高了微分方程组求解的效率和精度。
用MATLAB求解微分方程
1. 微分方程的解析解
求微分方程（组）的解析解命令:
dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
结 果：u = tan(t-c)
解 输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')
STEP2
STEP1
解 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
导弹追踪问题
设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？ 解法一（解析法）
由(1),(2)消去t整理得模型:
解法二(数值解)
结 果 为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t
2、取t0=0，tf=12，输入命令： [T,Y]=ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]); plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')
3、结果如图
图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.
matlab 解常微分方程
matlab 解常微分方程Matlab是一种功能强大的数学软件，它提供了解常微分方程的工具和函数。
常微分方程是数学中的一种重要的方程类型，描述了各种物理、工程和生物现象的变化规律。
本文将介绍如何使用Matlab 解常微分方程，并通过具体的实例来说明其应用。
我们需要了解常微分方程的基本概念。
常微分方程是指一个函数的导数与自变量之间的关系方程。
常微分方程的解是该函数在给定初始条件下的解析解或数值解。
在Matlab中，我们可以使用ode45函数来求解常微分方程的数值解。
接下来，我们将以一个简单的一阶常微分方程为例来说明Matlab 的使用。
考虑以下的一阶常微分方程：dy/dx = x^2 - y我们将该方程转化为Matlab中的函数形式，并设定初始条件y(0) = 1。
代码如下：```matlabfunction dydx = myODE(x, y)dydx = x^2 - y;endxspan = [0 10];y0 = 1;[x, y] = ode45(@myODE, xspan, y0);plot(x, y)xlabel('x')ylabel('y')title('Solution of dy/dx = x^2 - y')```在上述代码中，我们首先定义了一个名为myODE的函数，该函数接受两个参数x和y，并返回dy/dx的值。
然后，我们使用ode45函数来求解该常微分方程的数值解。
最后，我们绘制了解的曲线图，并添加了相应的坐标轴标签和标题。
通过运行上述代码，我们可以得到常微分方程dy/dx = x^2 - y的数值解，并绘制出解的曲线图。
这个例子展示了Matlab解常微分方程的基本步骤和方法。
除了一阶常微分方程，Matlab还可以解决更高阶的常微分方程。
对于高阶常微分方程，我们可以将其转化为一组一阶常微分方程，并使用类似的方法来求解。
Matlab提供了一系列的函数和工具箱来处理不同类型的常微分方程，并提供了丰富的文档和示例来帮助用户理解和应用这些工具。
matlab如何解一阶微分方程
一、介绍MATLAB是一种广泛用于数学建模和工程仿真的高级技术计算语言和交互式环境。
在MATLAB中，我们可以使用各种工具箱来求解微分方程，包括一阶微分方程。
一阶微分方程是微积分的一个重要分支，其解决了变量之间的关系，具有广泛的实际应用。
在本文中，我们将探讨MATLAB如何解一阶微分方程。
二、一阶微分方程的形式一阶微分方程的一般形式如下：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知函数。
通过这个方程，我们可以得到y关于x的函数表达式。
三、MATLAB中的一阶微分方程求解在MATLAB中，一阶微分方程的求解可以通过ODE函数来实现。
ODE函数是MATLAB中专门用于求解常微分方程组的函数，可以处理多种类型的一阶微分方程。
四、一阶微分方程的数值解1. 我们需要定义微分方程的右端函数。
在MATLAB中，我们可以使用函数句柄来定义微分方程的右端函数。
假设我们要解下面的一阶微分方程：dy/dx = x + y我们可以用以下代码定义右端函数：function f = myode(x, y)f = x + y;end其中，myode是函数名，x和y分别是自变量和未知函数。
2. 我们可以使用ODE函数求解微分方程。
在MATLAB中，可以使用ODE函数来求解一阶微分方程。
其语法如下：[t, y] = ode45(myode, tspan, y0)其中，myode是右端函数的函数句柄，tspan是自变量的取值范围，y0是未知函数的初始值。
3. 我们可以绘制微分方程的解曲线。
在得到微分方程的数值解之后，我们可以使用plot函数来绘制解曲线。
可以使用以下代码来绘制dy/dx = x + y的解曲线：plot(t, y)五、一阶微分方程的符号解除了数值解之外，我们还可以使用MATLAB求得一阶微分方程的符号解。
MATLAB中的符号计算工具箱可以帮助我们求解一阶微分方程的符号解。
可以使用dsolve函数来求解一阶微分方程的符号解：syms x yeqn = 'Dy = x + y';sol = dsolve(eqn)MATLAB的符号计算工具箱还可以帮助我们进行微分方程的求解验证和简化。
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>> y=dsolve(['D4y+10*D3y+35*D2y+50*Dy+24*y=',...
'87*exp(-5*t)*cos(2*t+1)+92*exp(-5*t)*sin(2*t+1) +10'], 'y(0)=3', 'Dy(0)=2', 'D2y(0)=0', 'D3y(0)=0')
• 格式： y=dsolve(f1, f2, …, fm)
• 格式：指明自变量 y=dsolve(f1, f2, …, fm ,’x’)
fi 即可以描述微分方程，又可描述初始条件 或边界条件。如：
描述微分方程时 y ( 4 ) (t ) 7 D 4 y 7
描述条件时
&y&(2) 3 D2 y(2) 3
>> y=dsolve(['D4y+10*D3y+35*D2y+50*Dy+24*y=',... '87*exp(-5*t)*cos(2*t+1)+92*exp(-5*t)*sin(2*t+1) + ... 10'],'y(0)=1/2','Dy(pi)=1','D2y(2*pi)=0','Dy(2*pi)=1/5')
if nargin==4 | PointNum<=0 %PointNum 默认值为100
PointNum=100; end if nargin==3 % y0默认值为0
第6章 微分方程问题的解法
• 常系数线性微分方程的解析解方法 • 常微分方程问题的数值解法
–微分方程问题算法概述 –四阶定步长 Runge-Kutta算法及 MATLAB 实现 –一阶微分方程组的数值解 –微分方程转换
• 特殊微分方程的数值解 • 边值问题的计算机求解 • 偏微分方程的解
6.1 常系数线性微分方程的解析解方法
分别处理系数，如：
>> [n,d]=rat(double(vpa(-445/26*cos(1)-51/13*sin(1)-69/2)))
ans = -8704
185 % rat()最接近有理数的分数
判断误差： >> vpa(-445/26*cos(sym(1))-51/13*sin(1)-69/2+8704/185) ans = .114731975864790922564144636e-4
应用差商 近似导数
dx f (t0 , x(t0 )) dt tt0 x(t0 h) x(t0 )
t0 h t0
x1 x0 hf (t0 , x0 ) R0
t0 ,
x(t0 )
舍入误差
•提高数值解精度的方法之一： 减小步长h的值；
•
•
function [outx,outy]=MyEuler(fun,x0,xt,y0,PointNum) % fun 表示f(x,y); x0,xt:自变量的初值和终值; %y0:函数在x0处的值,其可以为向量形式; %PointNum表示自变量在[x0,xt]上取的点数
>> syms t x; x=dsolve('Dx=x*(1-x^2)+1')
Warning: Explicit solution could not be found; implicit solution returned. > In D:\MATLAB6p5\toolbox\symbolic\dsolve.m at line 292 x= t-Int(1/(a-a^3+1),a=``..x)+C1=0
故只有部分非线性微分方程可直接求出其解析解。
6.2 微分方程问题的数值解法
5.2.1 算法概述
dx
dt
Hale Waihona Puke f(t, x),x(a) x0.
a t b
• 微分方程求解的误差与步长问题：
a t0时刻系统状态向量的值为x(t0 ) 数值解法：即求微分方程初值问题的解在若干点
a t0 t1 t2 L tn b 的近似值y（k k 1, 2,..., n）的方法。 hk tk1 tk : 步长（一般取等步长h）
如果用推导的方法求Ci的值，每个系数的解析解至少要写出10 数行,故可采用有理式近似 的方式表示.
>> vpa(y,10) %有理近似值 ans = 1.196361839*exp(-5.*t)+.4166666667-
.4785447354*sin(t)*cos(t)*exp(-5.*t)-.4519262218e1*cos(2.*t)*exp(-5.*t)-2.392723677*cos(t)^2*exp(5.*t)+.2259631109*sin(2.*t)*exp(-5.*t)-473690.0893*exp(3.*t)+31319.63786*exp(-2.*t)-219.1293619*exp(1.*t)+442590.9059*exp(-4.*t)
• 例：求解
>> [x,y]=dsolve('D2x+2*Dx=x+2*y-exp(-t)', … 'Dy=4*x+3*y+4*exp(-t)')
• 例：
>> syms t x >> x=dsolve('Dx=x*(1-x^2)') x= [ 1/(1+exp(-2*t)*C1)^(1/2)] [ -1/(1+exp(-2*t)*C1)^(1/2)]
数学描述：
d n y(t)
d n1 y(t)
d n2 y(t)
dy (t )
dt n a1 dt n1 a2 dt n2 L an1 dt an y(t) f (t)
特征方程（多项式代数方程）：
sn a1sn1 a2sn2 L an1s an 0
－该代数方程的根称为原常系数方程的特征根 －根据特征根的情况可求得原方程的解析解
例：
>> syms t; u=exp(-5*t)*cos(2*t+1)+5; >> uu=5*diff(u,t,2)+4*diff(u,t)+2*u uu = 87*exp(-5*t)*cos(2*t+1)+92*exp(-5*t)*sin(2*t+1)+10
>> syms t y; >> y=dsolve(['D4y+10*D3y+35*D2y+50*Dy+24*y=',...