固体物理第二章第四节 倒格子讲课教案
固体高中二年级教案(1)
固体高中二年级教案一、教学内容本节课选自高中物理教材第二章《力学》第四节“固体”，内容包括固体的基本概念、固体的分类、固体的性质以及固体在实际应用中的例子。
具体涉及教材第23页至第27页。
二、教学目标1. 让学生理解固体的基本概念，掌握固体的分类及性质。
2. 培养学生运用固体知识解决实际问题的能力。
3. 激发学生对固体物理现象的好奇心，提高学生的科学素养。
三、教学难点与重点教学难点：固体的性质及其应用。
教学重点：固体分类、性质的理解和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：固体样品（如金属、塑料、橡胶等）、实验器材（如弹簧秤、天平等）。
2. 学具：固体物理教材、笔记本、铅笔。
五、教学过程1. 导入：通过展示固体样品，引导学生思考生活中常见的固体及其特点。
2. 新课内容：a. 固体的定义及分类b. 固体的性质（如弹性、塑性、硬度等）c. 固体在实际应用中的例子3. 例题讲解：讲解教材第26页例题，引导学生运用固体知识解决问题。
4. 随堂练习：布置教材第27页练习题，学生独立完成，教师巡回指导。
六、板书设计1. 板书固体2. 主要内容：a. 固体的定义及分类b. 固体的性质c. 固体在实际应用中的例子七、作业设计1. 作业题目：a. 解释下列固体现象：金属弯曲后能恢复原状，塑料变形后不能恢复原状。
b. 举例说明固体的硬度、弹性、塑性的应用。
2. 答案：a. 金属具有弹性，塑料具有塑性。
b. 举例：钻头硬度大，可以用来加工金属；弹簧弹性好，可用于减震等。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对固体性质的理解程度，以及对固体在实际应用中例子的掌握情况。
2. 拓展延伸：引导学生研究生活中其他固体物理现象，提高学生运用物理知识解决实际问题的能力。
重点和难点解析需要重点关注的细节包括：1. 教学难点与重点的明确；2. 教具与学具的准备；3. 教学过程中的实践情景引入、例题讲解和随堂练习；4. 板书设计；5. 作业设计；6. 课后反思及拓展延伸。
固体物理学-倒格子
§3 倒格子
证明： 证明：
v v a i gb j = 2πδ ij
如果所考虑的体系足够大，忽略表面效应， 如果所考虑的体系足够大，忽略表面效应，布拉 菲格子满足平移对称性要求，对应点的物理化学性质， 菲格子满足平移对称性要求，对应点的物理化学性质， 如质量、密度、电子云密度、原子实产生的势场等， 如质量、密度、电子云密度、原子实产生的势场等， 亦为周期函数，一般地写成： 亦为周期函数，一般地写成：
v u v v Γ r + R n = Γ r L L L L (1)
(
) ()
u v v v v 其中， 其中，R n = n1 a1 + n2 a 2 + n3 a 3
v 将 Γ r 展成傅里叶级数
()
v u iG h gr v uv v Γ r = ∑ A Gh e L L L L L L L ( 2)
g u v v u v v −iG h gr 1 A Gh = ∫ Γ r e L L L L L L ( 3) Ω Ω Ω为原胞体积， ) 式意味着，对所有布拉菲格子的所有格矢，应有 (1 u v v u v v u − iG h gr v 1 A Gh = ∫ Γ r + R n e dr L L L L L L ( 4 ) Ω Ω uv v u v / 引入r = r + R n , ( 4 ) 式化为 u v uv uu/v u u v v u u v v u v u v iG h gRn 1 / − iG h gr / iG h gR n A Gh = ∫ Γ r e dr ge = A Gh e L L L L L ( 5) Ω Ω 即： u u v v u v iG h gR n A G h 1 − e = 0L L L L L L L L ( 6 )
2.4+固体+教学设计高二下学期物理人教版(2019)选择性必修第三册
《固体》教学设计【授课对象】高三学生【教材】人教版高中物理选修3第二章第4节【课时安排】15分钟一、教材分析1.高中物理课程标准（2017版）要求了解固体的微观结构。
知道晶体和非晶体的特点。
能举例生活中的晶体和非晶体。
通过实例，了解液晶的主要性质及其在显示技术中的应用。
2.本节内容在物理知识体系中的地位学生在初中时已经学过物体的三态变化，并对固体中的晶体和非晶体有了一定的了解，为晶体和非晶体性质的学习奠定了基础。
本节通过讲解和实验探究不同物质的各向同性和各向异性的性质，熟悉单晶体，多晶体以及非晶体的相同之处与不同之处，为后续液体的分子状态内容学习奠定基础，帮助学生牢固树立固体分为晶体和非晶体观念。
本节通过微观结构研究固体的特性，在整个高中物理力学知识体系中起着至关重要的作用。
3.教材内容与体系安排首先由初中知识引出固体分为晶体和非晶体的概念。
接着通过实验探究晶体与非晶体的各向同性与各向异性性质，得出单晶体与多晶体的性质。
随后将单晶体、多晶体以及非晶体进行对比。
最后留下悬念，让学生思考解决问题，培养能力。
二、学情分析1.知识层面学生初中学习过固体分为晶体和非晶体，并且清楚如何分辨晶体与非晶体，且在前两章学习过分子的相关知识，为理解晶体和非晶体打下基础。
2.思维方面学生在生活当中对晶体与非晶体具有初步的感性认识，对于晶体和非晶体的分辨具有一定初步的了解，但是并不了解晶体与非晶体更加具体的性质与特点。
3.能力方面学生具有一定的实验探究能力和知识迁移能力，初步掌握了物理研究的基本方法，但自主探究能力、推理能力及迁移能力不强，需在老师的启发引导下进行实验，进一步探究规律、应用知识。
三、教学目标1.物理观念（1）能够通过熔点的不同区分晶体和非晶体，掌握晶体具有确定的熔点，非晶体没有确定的熔点。
（2）能够区分单晶体与多晶体，明确各向同性和各向异性的特点，理解单晶体表现为各向异性，多晶体和非晶体表现为各向同性。
固体物理03-倒格子空间
4
dr
nj
(r )r 2
sin Gr Gr
实验发现固体中的原子形状因子与自由原子的差别不大
其它实验手段
1. 电子衍射 （动量空间）
与X射线相比，电子波长更短，所以更加精确；更容易被物体吸收适 合于研究微薄膜、小晶体。
2. 中子散射 （动量空间）
可以测量晶体磁结构
3. 扫描隧道显微镜（实空间，表面）
S v1v2v3 f {1 exp i v2 v3 exp i v1 v3 exp i v1 v2 }
S 4 f 所有指数均为奇数，或均为偶数 S 0 其它情况
面心立方 的x-ray 散射图像
原子形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
对自由原子：
f j 2 dr r 2 d cos n j exp(iGr cos )
j
ρ r rj
定义原子的形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
结构因子
化简后可以得到晶体的结构因子
SG
f eiGr j j
j
对于第 j 个原子
G rj v1b1 v2b2 v2b2 x ja1 y ja2 z ja3 2 v1x j v2 y j v3z j
散射幅度
SG
dV n(r)eiGr
cell
结构因子
结构因子
假设晶胞中有 s 个原子，可以把原胞中的电荷密度分配到每一 个原子上（分配方法不唯一），即:
s
n(r) n j (r rj )
j 1
SG
cell dV n j (r r j )eiGr
j
eiGrj cell dV n j (ρ)eiGρ
晶体点阵的Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆 变换。正格子的量纲是长度 L, 称作坐标空间，倒格子的量钢是 长度的倒数 L-1，称作波矢空间（或称动量空间）。
1-4(黄昆-固体物理)-教案
§1.4 倒格子1. 教学目的和要求: 通过讲授，使学生理解倒格子的定义。
熟练掌握倒格子的基本性质和正格子与倒格子之间的相互关系。
2．教学重点：倒格子的基本性质。
3．教学难点：正格子与倒格子之间的相互关系。
4．讲授时间：50分钟。
5．讲授方式：PPT 文档。
6．作业：1.3，1.5，1.6。
一. 意义：A. 能更加简化地从理论上分析晶格的问题，特别是解决固体的能带问题。
B. 便于将周期函数展开成缚里叶级数。
由于晶格具有周期性，一些物理量具有周期性 如：势能函数：'112233()()A A V x V x l a l a l a =+++如图XCH_001_024所示，A 和A ’两点势能相同。
势能函数是以321,,a a a为周期的三维周期函数引入倒格子，可以将三维周期性函数展开为傅里叶级数。
二. 倒格子的定义根据基矢定义三个新的矢量：倒格子基矢量3213212a a a aa b⨯⋅⨯=π，3211322a a a a a b ⨯⋅⨯=π，3212132a a a a a b ⨯⋅⨯=π以321,,b b b为基矢，可以构成一个倒格子倒格子每个格点的位置：332211321b n b n b n G n n n++=，倒格子矢量，或倒格矢。
容易验证倒格子基矢与正格子基矢满足：⎩⎨⎧≠====⋅))(022j i j i b a ij j i ππδ3,2,1,=j i倒格子：与晶面密切相连的一类点子，这些点子在空间的规则周期性排列。
关于时间周期性函数的傅里叶级数展开含义时间周期函数f(t)=f(t+nT) 令 T=t τ，τ: 0~1可以将f(t)=f(τT+nT)看作是以τ为宗量、周期为1的周期函数。
将f (τ)展开为傅里叶级数：∑=mm i m e F f )(2)(τπτ， m 为整数傅里叶系数：⎰-=1)(2)(τττπf e d F m i m由T =2π/ω和t =τT 得到：τ=ωt/2π将τ=ωt/2π代入∑=mm i m eF f )(2)(τπτ ，∑=mmti m e F f ωτ)(傅里叶系数：⎰=Tt im m t f dte T F 0)(1ω， ωm 为的f (t)傅里叶展开中的各种频率时间，正格子：基矢：T ，正格矢：nT频率，倒格子：基矢：ω，倒格矢：ωm ，满足：ωT =2π三．具有晶格周期性函数傅里叶级数的展开晶格原胞中任一点：332211a a a xξξξ++=，其中321,,ξξξ为宗量将)()(332211a l a l a l x V x V+++=可以看作是以321,,ξξξ为宗量，周期为1的周期函数傅里叶级数：∑++=321332211321,,)(2,,321),,(h h h h h h i h h h e V V ξξξπξξξ其中：321,,h h h 为整数。
固体物理倒格矢
—— 第一布里渊区 原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体
b b b 倒格矢 Kn n1 1 n2 2 n3 3
2
a
[(n2
n3 )i
(n1
n3 )
j
(n1
n2
)k ]
体心立方的倒格子是面心立方;离原点最近的有十
二个倒格点，在直角坐标系中它们的坐标为：
2
a
(n2
n3, n1
射后光程差为： A0 OB -Rl S0 RlS Rl (S-S0)
当X光为单色光;衍射加强的条件为： Rl•SS0=u •λ
令 k 2 S
k0
2
S0
，代入上式，
衍射加强条件变为： Rl• k -k0 = 2π u 根据正点阵与倒易点阵的关系，(k-k0)必是倒易空间 中的位置矢量，令：
1 9 倒格子倒易点阵reciprocal
1 9 1 倒格子倒易点阵的定义：
1 正格矢与倒矢
S S0 P
原子可向空间任何方向散射 X光线;只有一些固定方向可 形成衍射
B AO
点P： Rl=l1a1+l2a2+l3a3;Rl是布喇菲点阵中由原胞基矢 a1，a2，a3构成的矢量，
S0和S是入射线和衍射线的单位矢量，经过O点和P点衍
布里渊区示意图32
Γ：2 0,0,0
a
X：2 1,0,0
a
K：2 3 , 3 ,0
a 4 4
L： 2
a
1 2
,
1 2
,
1 2
简约布里渊区：十四面体
V
4
2
a
3
V倒易原胞
返回
面心立方晶格的第一布里渊区
固体物理§1.5倒格子
r r r Kh ⊥ CA Kh ⊥ CB ⇒ Kh ⊥ 晶面 ABC。 ，
9
r 3.倒格矢 Kh和面间距的关系 倒格矢 晶面ABC为晶面族中最靠近原点的晶面。 为晶面族中最靠近原点的晶面。 晶面 为晶面族中最靠近原点的晶面
dh1h2h3 r a1 = ⋅ h1
r r r r r Kh a1 ⋅ h1b1 + h2b2 + h2b3 r = r Kh h1 Kh
( Ω Ω＝2π )
∗
3
3 r r r (2π ) (a a ) [(a a ) (a a )] r r r r r r ∗ Ω = b1 ⋅ (b2 × b3 ) = 2× 3 ⋅ 3× 1 × 1× 2 3 Ω r r r r r r r r r 利用： A 利用： × (B × C) = ( A⋅ C)B − ( A⋅ B)C r r r r r r r r r r r r r (a3 × a1 ) × (a1 × a2 ) = [(a3 × a1 ) ⋅ a2 ]a1 − [(a3 × a1 ) ⋅ a1 ]a2 = Ωa1
1
2.倒格子基矢和正格子基矢之间的关系 倒格子基矢和正格子基矢之间的关系
r r r r r r 正格子基矢： a 正格子基矢： 1、a2、a3；倒格子基矢： 1、b2、b3; 倒格子基矢： b
晶面族： a d 晶面族： 1a2、a2a3、a3a1的面间距分别为 3、d1、d2;
r b3
r a3
r b2
3.倒格矢和正格矢的关系 倒格矢和正格矢的关系
r r r r r r r r Kh ⋅ Rl = (l1a1 + l2a2 + l3a3 ) ⋅ (h b1 + h2b2 + h3b3 ) 1 = 2πµ (µ为整数)
固体01-04倒格子
a i ⋅ b j = 2πδ ij =
2π ( i = j )
0 (i ≠ j )
a 2 ⋅ b1 = 0 a 2 ⋅ b2 = 2π
2π b1 = i a 2π b2 = j a
2π a
2π a
G h = h1 b1 + h2 b 2
2π 的正方形格子。 倒格是边长为 的正方形格子。 a
b1 =
2
2π
2
3
1 = a1 ⋅ a2 ×a3 = a3 2
(
)
3
1
3
1
2
a2 ×a3 =
i a 2 a 2
j a − 2 a 2
a k − a =i 2 a 2 a 2 − 2
a a 2 + j 2 a a − − 2 2
一、倒格子点阵
一个具有晶格点阵周期的函数 n(r) = n(r + R) 展开成傅里 叶级数后，其傅里叶级数中的波矢在傅里叶空间中表现为 叶级数后， 一系列规则排列的点， 一系列规则排列的点，这些点排列的规律性只决定于函数 n(r)的周期性而与函数的具体形式无关。 n(r)的周期性而与函数的具体形式无关。 的周期性而与函数的具体形式无关 我们把在傅里叶空间中规则排列着的点的列阵称为倒格子 我们把在傅里叶空间中规则排列着的点的列阵称为倒格子 点阵（或倒易点阵） 点阵（或倒易点阵）。倒格子点阵是晶体结构周期性在傅 里叶空间中的数学抽象。 里叶空间中的数学抽象。如果把晶体点阵本身看作一个周 期函数，我们可以说， 期函数，我们可以说，倒格子点阵就是晶体点阵的傅里叶 变换。反之，晶体点阵就是倒格子点阵的傅里叶逆变换。 变换。反之，晶体点阵就是倒格子点阵的傅里叶逆变换。
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第一gv 章讨论自由电子的波函数中的波矢类似,因
而,凡是波矢 和布拉gv 维格矢满足
eigv•Rvn 1
的波矢,一定也可以描述布拉维格子.这就是倒格
子的由来. c o s ( g v • R v n ) 1 g v • R v n 2 m ; w h e r e m i s i n t e g e r
因为：F ( r v ) F (r v R v n)原胞体积
所以：A (g v) 1 F(r vR vn)eig v•r vdrv
令 rvrvRvn 则：r v r v R v n d r v d r v
则 A ( g v ) 1F ( r v ) e ig v • ( r v R v n ) d r v 1F ( r v ) e ig v • r v e ig v • R v n d r v
或： G v h • a v 1 2 h 1 ; G v h • a v 2 2 h 2 ; G v h • a v 3 2 h 3
由于 a为v1,基av2,矢av3，互不共面，则由
描b vi• 述a v倒j 格2 可子G v 知h 。ij h 1 b v 1 亦h 2 b bv v应12 , bv该2h ,3 b b不v v3 3 共面，从而可以用
第四节 倒格子
本节主要内容: 一、 概念的引入 二、 倒格子是倒易空间的布拉维格子 三、 倒格矢与晶面 四、 倒格子的点群对称性
§2.4 倒格子
一、概念的引入 晶体结构的周期性,可以用坐标空间(r空间)的 布拉维格子来描述,这是前几节我们所讨论的内 容,也是我们易于理解的实物粒子的普遍描述.
然而,量子力学的学习使我们认识到,任何基本 粒子都具有波粒二象性.亦即具有一定能量和动 量的微观粒子,同时也是具有一定的波长和频率 的波,波也是物质存在的一种基本形式.
A (g v ) 1 F ( r v ) e ig v • r v e ig v • R v n d r v 1 F ( r v ) e ig v • r v d r v e ig v • R v n
A( gv)
A ( g v ) A ( g v ) e i g v • R v n A ( g v ) [ 1 e i g v • R v n ] 0
变为倒格子空间,且只存在波矢为倒格矢的分量。
二、 倒格子是倒易空间的布拉维格子
或对G v布h•拉R vn维格2子m ,中(所m为有整格数矢)的Rv n 全，部满G足v h 端eiGv点h•Rv的n 集1
合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子
v
(reciprocal lattice). G h 称为倒格矢
v vvv
由于 G h h 1 b 1 h 2 为b 2 倒 h 格3 b 3 矢，如果把倒格矢所在
的空间称为倒格子空间，或倒易空间(reciprocal
space),则由于
不共面，bv1,自bv2然,bv3可以成为倒易
空间的基矢。
和 R v n n 1 a v 1 n 对2 a v 2 比 n ,3 表a v 3明
A (g v ) 0 o r e ig v • R v n 1
F(rv) A(g v)eig v•rv0 不合要求，应舍去
g v
所以 eigv•Rvn 1
也就是说,一定存在某些 gv使得当 eigv•成Rvn 立1时
F (r v )F (r vR v n)成立
由于 g与v
格子,自然
存也Rv n 在可上以gv 述描对述应同关样系的,布可拉以Rv维n 描格述子布,且拉维与
v
由 G端h 点的集合所描述的布拉维格子，称为 倒格子(reciprocal lattice)
v
G h 称为倒格矢
利用倒格矢，满足 F (r v )F 的(傅r v 里R 叶v n) 展
开为:
F(rv) v
v A(Gh
)eiGvh•rv
Gh
Байду номын сангаас v
A(Gh
)
1
F(rv)eiGvh•rvdrv
意义：把上述满足坐标空间中的某物理量转
将 R v n n 1 a v 1 n 2 a v 2 n 3 a v 3代入G vh•R vn2m ,
得： n 1 G v h • a v 1 n 2 G v h • a v 2 n 3 G v h • a v 3 2 m
欲使上式恒成立，且考虑到n1,n2,n3为任意
整数，则要求： G v h • a v 1 2 h 1 ; G v h • a v 2 2 h 2 ; G v h • a v 3 2 h 3 h1,h2,h3为整数
如此。F (r v 不)失 一F 般(性r v ， 上R v 述n函)数布可拉统维一格写矢为：
1. 周期函数的傅里叶展开
由于F(r)是布拉维格矢R的周期函数,所以可以将
其展开成傅里叶级数：
F(rv) A(g v)eig v•rv g v
展开系数
展开系数
A(gv)1 F(rv)eigv•rvdrv
波矢k可用来描述波的传播方向.那么晶体结 构的周期性是否也可以用波矢k来描述呢？如 果可以,在波矢k空间,k应满足什么条件呢？
布拉维格子具有平移对称性,因而相应的只与 位置有关的物理量,由于布拉维格点的等价性,均 应是布拉维格矢R的周期函数,如：格点密度、质 量密度、电子云密度、离子实产生的势场等都是
2. 定义
或对G v布h•拉R vn维格2子m ,中(所m为有整格数矢)的Rv n 全，部满G足v h 端eiGv点h•Rv的n 集1
合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子
(reciprocal lattice) v
与倒格子的定义对应，由格矢 的R n 端点所描述
的布拉维格子，称为正格子(direct lattice)
v vvv
显然,如果令 G h h 1 b 1 h 2 b 2 h 3 b 3h1,h2,h3为整数
当 b v i• a v j 2 i j ; i 1 , 2 , 3 ; j 1 , 2 , 3 满足时，
则下式自然成立：
n 1 G v h • a v 1 n 2 G v h • a v 2 n 3 G v h • a v 3 2 m