第1章 单株树木材积测定
测树学(总结)
测树学(总结)-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII测树学（复习）第一章 单株树木材积测定一、伐倒木：树木伐倒后横卧在地，砍去枝桠，留下的净干称为伐倒木三、近似求积式精度：中央断面式中等平均断面式最差中央断面常出现“负误差”平均断面“正误差”四、区分求积式：把树干分成若干段，段长1或2m ，求出每段材积与梢头材积，再合计。
1、中央断面区分求积式：V=g 1l+g 2l+…+g n l+1/3g ’ ·l ’=(g 1+g 2+…+g n ) ·l+1/3g ’ ·l ’g 1、g 2、…、g n 为各区分段断面积，l 为区分段长，l ’为梢头长，g ’为梢头底面积 23、区分求积式的精度：在同一树干上，某个区分求积式的精度主要取决于分段个数的多少，断数愈多，则精度愈高。
一般区分段数以不少于5个为宜。
五、直径和长度的量测误差对材积计算的影响：对树干材积V= g L 求导，得：P v ＝2Pd+PL当长度测量误差率与直径测量误差率相等时，直径测量误差对材积计算的影响比长度测量误差的影响大1倍。
六、形数：一般定义：树干材积与树干在某一处的比较圆柱体的体积之比称树干在该处的形数。
形数是表示树干形状的指数，它说明树干饱满度。
形数越大，说明越饱满。
1f1.3 的实践意义： 把易测的比较圆柱体体积转换为树干材积的换算系数。
式中的胸高断面积，树高和胸高形数通称为立木材积的三要素。
（形数仅说明相当于比较圆柱体体积的成数，不能独立的具体反映树干的形状。
）2、正形数：树干材积与树干某一相对高度（如0.1h ）处的比较圆柱体的体积之比，记为f n 。
正形数只与r 有关，而与树高无关。
克服了胸高形数依树高而变化的缺点。
能3高度为树高（h ）加3。
吸收了胸高形数量测方便和正形数不受树高影响两方面的优点。
实验形数的材积公式为： 大量的实验数据表明，实验形数比较稳定。
1第一章单株树木材积测定
2 、正形数
斯马林（Smalian.H.L 1937年）首创正形 数， 克服胸高形数易受树高影响的弱点。
a. 定义：树干材积与树干某一相对高处（如1/10h)的
比较圆柱体的体积之比。
fn
V gn h
式中：f n ：树干在相对高nh(n<1)处的形数即正形数； gn ：树干在相对高nh处的横断面积； n ：为小于1的正数，以nh表示这一相对位置。
段数与体积误差的理论关系，周沛村教授
导出如下：
p p1 n n2
Pn---不分段时的体积误差； P1---区分为n段时的体积误差； n-----区分断个数。
区分段 个数
1 2 3 4 5 6 7
表 1—7 区分段数与材积误差的关系
材积误差（%）
区分段
材积误差（%）
圆锥体 凹曲线体 个 数 圆锥体 凹曲线体
要素。
v f1.3 g1.3 h
（3）、不足：受树高影响大，随着树高的增
加而降低。
（4）、f1.3由来：根据标准地材料编制平均形 数表。
（5）、应用举例 某柞树次生林，经每木调查测得公倾断
面积为10.3m2，平均高为6.6m，从树高形数 表中查出6.6m高的形数为0.57(查7m高）
则 : M g1.3 h f1.3 10.3 6.6 0.57 38.7 m3 / hm2
图1－19密林与疏林中树木形状差异
树干形状尽管变化多样，但可归纳为由树干横 断面形状和纵断面形状综合而成，下面将分别对其 进行阐述。
一、横断面形状
横断面 即为垂直于树干的横切面。 大量观测表明，横断面的形状接近于圆形和椭 圆形。把横断面的形状画在纸上。用几何学的方法 求面积，再分别按圆与椭圆形计算面积。
测树学复习资料
测树学复习资料第一章单株树木材积测定1.伐倒木材积基本公式：中央断面积式：V=g0.5l平均断面积式：V=(g0+g n)l/22.两个基本公式的误差分析：y2=px r (孔兹干曲线)当r=0或1时，两式均无误差且相等。
当r>1时，平均断面积公式偏大；中央断面积公式偏小。
当0<r<1时，误差规律正好相反。
3.牛顿公式：V=（2V中+V平）/34.为什么采用区分断面求积法？有效地减少伐倒木材积计算误差，提高计算精度。
区分段数量不是越多越好。
5.胸径测量时的注意事项：○11.3米以下分杈时，对每个枝条进行测定2斜坡上测胸径以高位为准○3采用轮尺或围尺，误差不同4胸高处出现节疤、凹凸时，应在胸高断面上下距离相等而干形较正常处，测直径取平均值6.立木树高测定方法：采用布鲁莱斯测高器7.形数：树干材积与比较圆柱体的比成为形数（form factor），有胸高形数与实验形数。
8.胸高形数的性质：如果把树干干形看成是遵从孔兹干曲线的规则集合体，则胸高形数与树干形状r和树高h的函数，当r一定时，胸高形数依树高的增加而减少。
9.实验形数的性质：不随树高而变化。
10.形率：树干上某一位置的直径与比较直径之比称为形率。
11.胸高形率：树干中央直径（d1/2）与胸径（d1.3）之比称为胸高形率，用q2表示。
12.望点和望高：把树干上部直径等于1/2胸径处称作望点。
望点至干基长(高)度称为望高。
13.立木材积近似计算的三种方法：○1形率法：V= f1.3 g1.3ha.胸高形率的测定与计算b.由胸高形数与胸高刑律的关系式计算胸高形数c.根据胸高形数的定义计算树干材积○2平均实验形数法：V=f（实验形数）g1.3(h+3); ○3望高法：V=2/3 g1.3（h R+1.3/2）○4形点法第二章树木生长量测定1.生长与生长量：一定间隔期内树木某因子所发生的变化统称为生长, 变化的量称为生长量。
2.树干年龄的测定方法：○1查数年轮法：树木正常情况下每年形成一个年轮，根颈位置横断面上的年轮数就是树木年龄。
第一章单株树木材积测定
四、树干材积
树干材积是指根颈（伐根）以上树 干的体积(volume)，记为V。单位是立 方米（m3）。
第二节 树干形状
树干的形状通称干形(stem form)。 树木的干形，一般有通直、饱满、弯曲、尖削和主干是否明 显之分。 造成树木间干形差异的原因，除受遗传性、年龄和枝条着生 情况等内因的影响外，还受生长环境，如立地条件、气候因素 、林分密度和经营措施等外因的影响，而一般来说针叶树和生 长在密林中的树木，其净树干较高，干形比较规整饱满；阔叶 树和散生孤立木，一般树枝着生多， 形成树冠较大， 使净树 干低短，干形比较尖削且不规整（见图1－19）。
结果表明，按圆与椭圆计算的面积均有误差 ，且受树皮的影响较大，其误差一般不超过
±3%.
在实际工作中，一般当作圆形计算。
图1－20 树干横断面形状
当树木横断面呈现不规则形状时，可取最大
直径a和与之垂直的直径b，求其平均值做横断面的 直径求算断面积。
二、纵断面形状
设想树木的髓心为一干轴，将树干沿干轴切开的 纵剖面称为纵断面。
式中： y ——树干横断面半径 x ——树干稍端至该横断面的长度 p ——参数 r ——形状指数
形状指数变化于0—3之间，r 不同时，曲线也不 同。
r=0 时， y2=p 平行于x轴的直线。 r=1 时， y2=px 抛物线。 r=2 时， y2=px2 相交于x轴的直线。 r=3 时， y2=px3 凹曲线。 树干体积是以x轴为轴，干曲线绕其旋转一周所形 成的体积。分别为圆柱体，抛物线体，圆锥体，凹曲 线体。
十、参考资料
[1] 华网坤.1963.林分速测镜的设计及应用.中国林业科学院研究报告 [2] 林昌庚.1964.林木蓄积量测算技术中的干形控制问题.林业科学，9（4） [3] 林昌庚.1974.关于实验形数（一）、（二）.林业勘察设计，（2）：11～ 19,(5)：24 [4] 周林生.1974.新疆天山云杉干形变化的研究. 林业勘察设计，（2）：19～26 [5] 蒋伊尹等.1984.树木干形的主要成分分析.东北林业大学学报，（No1） [6] 黄道年，廖泽钊.1985.广西桉树干形变化的研究.广西农学院学报，第二期 [7] 郎奎健.1985.树木横断面的整体性质及检尺的理论误差分析.林业调查规划， 第五期 [8] 北京林业大学主编.1987.测树学.中国林业出版社 [9] 白云庆等编.1987.测树学.东北林业大学出版社
(完整版)测树学(总结)
测树学（复习）第一章 单株树木材积测定一、伐倒木：树木伐倒后横卧在地，砍去枝桠，留下的净干称为伐倒木三、近似求积式精度：精度高低为：牛顿式精度最高中央断面式中等平均断面式最差中央断面常出现“负误差”平均断面“正误差”四、区分求积式：把树干分成若干段，段长1或2m ，求出每段材积与梢头材积，再合计。
1、中央断面区分求积式： V=g 1l+g 2l+…+g n l+1/3g ’ ·l ’=(g 1+g 2+…+g n ) ·l+1/3g ’ ·l ’ g 1、g2、…、g n 为各区分段断面积，l 为区分段长，l ’为梢头长，g ’为梢头底面积 23、区分求积式的精度：在同一树干上，某个区分求积式的精度主要取决于分段个数的多少，断数愈多，则精度愈高。
一般区分段数以不少于5个为宜。
五、直径和长度的量测误差对材积计算的影响：对树干材积V= g L 求导，得：P v ＝2Pd+PL 当长度测量误差率与直径测量误差率相等时，直径测量误差对材积计算的影响比长度测量误差的影响大1倍。
六、形数：一般定义：树干材积与树干在某一处的比较圆柱体的体积之比称树干在该处的形数。
形数是表示树干形状的指数，它说明树干饱满度。
形数越大，说明越饱满。
1比，即： f1.3式中的胸高断面积，树高和胸高形数通称为立木材积的三要素。
（形数仅说明相当于比较圆柱体体积的成数，不能独立的具体反映树干的形状。
） 2、正形数：树干材积与树干某一相对高度（如0.1h ）处的比较圆柱体的体积之比，记为f n 正形数只与r 有关，而与树高无关。
克服了胸高形数依树高而变化的缺点。
能较好的反映不同的干形。
3实验形数的比较圆柱体的横断面为胸高断面，其高度为树高（h ）加3吸收了胸高形数量测方便和正形数不受树高影响两方面的优点。
实验形数的材积公式为： 大量的实验数据表明，实验形数比较稳定。
实验形数是一个树种的平均干形指标。
七、形率：定义：树干上某一位置的直径与比较直径之比。
南京林业大学测树学期末复习资料
第一章单株树木材积测定1. 基本测树因子：树干直径是指垂直于树干轴的横断面上的直径。
树干的根颈至主干梢顶的长度称为树高。
树干材积是指根颈（伐根）以上树干的体积。
2. 测定工具：卡尺卷尺、布鲁莱斯测高器3. 树干的形状通称为干形；假设过树干中心有一条纵轴线，称为干轴；与干轴垂直的切面称为树干横断面，其面积称为断面积。
4. 伐倒木基本材积公式：1、中央断面积式：L d L g V 4221π==2、平均断面积式：()L d d L g g V n o n o ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=242122π 公式来源：由干曲线r px y =2取r=1旋转积分而得。
关于上两个公式的误差：①、很显然，当r=1或r=0时，两式无误差且相等。
②、当r ＞1时，平均断面积式长生偏大误差，中央断面积式产生偏小误差。
③、当0＜r ＜1时，平均断面积式产生偏小误差，中央断面积式产生偏大误差。
3、继而得出如下牛顿经验公式：5. 伐倒木区分求积为了提高木材材积的测算精度，根据树干形状变化的特点，可将树干区分成若干等长或不等长的区分段，使各区分段干形更接近于正几何体，分别用近似求积式测算各分段材积，再把各分段材积合计可得全树干材积。
该法称为区分求积法。
梢端不足一个区分段的部分视为梢头，用圆锥体公式''31l g V =（梢头的断面积与长度）。
1、中央断面积求积式：''131l g g l V n i i +=∑= 将树干按一定长度（1m 或2m ）分段，量出每段中央直径和最后不足一各区分段梢头底端直径。
2、平均断面积求积式：()''113121l g l g g g V n i i n o +⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=∑-= 材积误差依段数增加而减少，当区分段数在5个以上时减少的趋势平稳，区分段数不得少于5段。
6. 直径和长度的测量误差对材积计算精度的影响：L d V P P P +=27. 单株立木测定特点：①、立木高度 除幼树外，一般用测高器测定②、立木直径 取离地面1.3m 处为胸径。
第一章 单株树木材积测定
（3）、不足：受树高影响大，随着树高 的增加而降低。
（4）、f1.3由来：根据标准地材料编制平均形 数表。 （5）、应用举例 某柞树次生林，经每木调查测得公倾断 面积为10.3m2，平均高为6.6m，从树高形数 表中查出6.6m高的形数为0.57(查7m高） 则:
第一节
基本测树因子
树木伐倒后横卧在地，砍去枝桠，留下的净 干称为伐倒木。 树木的直接测量因子及其派生的因子称为基 本测树因子，如树干的直径、树高等。这些均是 树木直接测定因子。还有一些因子，如树干横断 面积、树干材积、形数等是在直接测定因子的基 础上派生的。
一、树木的直径
树干直径是指垂直于树干轴的横断面上的直径 （Diameter）。用D或d表示，测定单位是厘米，一般 要求精确至0.1cm。 树干直径分为带皮直径(diameter over bark, 缩写D.O.B) 和去皮直径(diameter inside bark, 缩写D.I.B)两种。其中位 于距根颈1.3m处的直径，称为胸高直径，简称为胸径 （diameter at breast height）。由于胸径在立木条件下容 易测定，所以胸径是一个重要的测树因子。
树干体积是以x轴为轴，干曲线绕其旋转一 周所形成的体积。分别为圆柱体，抛物线体，圆锥 体，凹曲线体。
第三节 伐倒木求积式
一、完顶体一般求积式
根椐微分学原理，将树干可看作许多小段，段长为 dx，当dx充分小时，每段可视为圆柱体，每小段体积 为：v g Biblioteka dx y 2 dx2
L L V 0 v 0 y
大陆 倾向森林计测学 台湾 森林测计学 内容 2块+1块 第一板块 五个方面 1 伐倒木材积测定 2 立木材积测定 3 林分调查因子 4 林分蓄积测定 5 角规测树
第1章 单株树木材积测定
d.再将瞄准镜中红点对准树梢点顶点， 这时红十字线闪烁，按下红色ON按钮 直到红十字线消失为止，松开红色ON 按钮，此时，在测高器显示屏上可显 示树的高度（假定接收器固定高度 1.3m）；再对准树顶，重复此步骤， 可连续测得6个树干上不同部位的高度。
1.3 树干形状
树干直径随从根颈至树梢其树干直径呈现出由大到小的 变化规律，变化多样。
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枕木
1.2 基本测树因子与测定工具
• 基本测树因子
•
：
树木的直接测量因子（如树干的直径、树高等 ）及其派生的因子（如树干 横断面积、树干材积、形数等 ）。 指垂直于树干轴的横断面上的直径（Diameter）。用D或d表示,分带皮直径 和去皮直径。 位于距根颈1.3m处的直径，简称为胸径（DBH，diameter at breast height）。
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1.3.2 树干纵断面形状
孔兹（Kunze、M.,1873）干曲线式 ：
y 2 Pxr
式中， y —树干横断面半径；
x—树干梢头至横断面的长度； P—系数； r—形状指数。 形状指数（r）的变化一般在0~3，当r分别取0、1、2、3数值时， 则可分别表达上述4种几何体。
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径阶整化
径阶(cm) 2 4 2cm径阶范围(cm) 1.0—2.9 3.0—4.9 径阶(cm) 4 8 4cm径阶范围(cm) 2.0—5.9 6.0—9.9
6
8
5.0—6.9
7.0—8.9
12
16
10.0—13.9
14.0—17.9
10
12 14
9.0—10.9
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20
24 28
18.0—21.9
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轮尺使用注意事项：
1、在测定前，首先检查轮尺，必须注意，固定脚与游动 脚应当平行，且与尺身垂直。
2、测径时，轮尺的三个面必须紧贴树干，读出数据后，
才能从树干上取下轮尺。
3、测径时应使尺身与两脚所构成的平面与干轴垂直，且
其三点同时与所测树木断面接触。
测树学(森林计测学)
第1章 单株树木材积测定
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内容提要
• • • •
概述
基本测树因子与测定工具
树干形状
伐倒木树干材积测定
•
单株立木材积测定
重点
树干形状的基本理论
伐倒木区分求积式 形数与形率
难点
伐倒木一般求积式
区分求积式的推算
1.1 概述
树木组成 树干 树根 枝叶 2/3 1/6 1/6 体积比 树木状态 树木利用过程
者眼高AE即为树木全高H 。
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坡地测高
在坡地上，先观测树梢，求得h1；再观测树基，求得h2。 若两次观测符号相反（仰视为正，俯视为负），则树木全高
H=h1＋h2，见图(α)；若两次观测值符号相同，则H＝h1-h2， 见图（b）和图（c）
使用注意事项：
① ② 测高时一定要两次读数之和(差)。 测高的水平距离应尽量与树高相同。
围尺使用注意事项
(1)将围尺拉紧平围树干后，才能读数，应使围尺围在同一
水平面上，防止倾斜，否则，易产生偏大的误差。
(2)测立木胸径时，应严格按照1.3m的部位进行测定。如在
坡地，应站在坡上部，确定树干上1.3m处的部位，然后再
测量其直径。树木若在1.3m以下分叉时，按两株测算。 (3)若测径部分有节瘤或畸形时，可在其上、下等距处测径 取其平均值。
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测树工具—直径卷尺
直径卷尺又称作围尺(diameter tape)，
根据制作材料的不同，又有布围尺， 钢围尺之分。通过围尺量测树干的圆 周长，换算成直径。一般长1～3m， 围尺采用双面(或在一面的上、下)刻划。 一面刻普通米尺；另一面上刻上与圆 周长相对应的直径读数，也就是根据 C=πD的关系(C为周长，D为直径)进行 刻划
（2）径限中值刻划在下限处；
（3）径阶下限等于径阶中值减去1/2的径阶距。
2cm整化时，4径阶[3，5）；6径阶[5，7）
1．米尺 2．1cm整化 3．2cm整化
径阶整化
径阶(cm) 2 4 2cm径阶范围(cm) 径阶(cm) 4 8 4cm径阶范围(cm)
6
8
12
16
10
12 14
24 28
• b．开启信号接受器。
测量步骤
c．手持测高器, 选择一个观测点，能够
看到树梢顶及信号接受器，将测高器
的红色ON按钮一直保持揿下的状态, 将测高器的瞄准镜中红点对准信号接
受器，直到瞄准镜中的红点消失为止，
松开红色ON按纽，将在测高器的显示 屏上显示出观测点到信号接收器的距
离、角度和水平距离。
测量步骤
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径阶整化
径阶(cm) 2 4 2cm径阶范围(cm) 1.0—2.9 3.0—4.9 径阶(cm) 4 8 4cm径阶范围(cm) 2.0—5.9 6.0—9.9
6
8
5.0—6.9
7.0—8.9
12
16
10.0—13.9
14.0—17.9
10
12 14
9.0—10.9
• 树干直径：
•
• 胸高直径：
•
• 树高（tree height）：
•
树干的根颈处至主干梢顶的高度。
• 胸高断面积(basal area of
•
breast-height) ：
树干 1.3m处的断面积。 指根颈以上树干的体积(volume)，记为V。
• 树干材积：
•
1.2 基本测树因子与测定工具
• 胸高指成人的胸高，各国规定不一样。
在布鲁莱斯测高器的指针盘上，分别有几种不同水平
距离的高度刻度。使用时，先要测出测点至树木水平距离，
且要等于整数10、15、20、30m，测高时，按动仪器背面启 动按钮，让指针自由摆动，用瞄准器对准树梢后，稍停2-3 秒待指针停止摆动呈铅锤状态后，按下制动钮，固定指针， 在刻度盘上读出对应于所选水平距离的树高值，再加上测
与干轴垂直的切面。
• 树干横断面形状近似圆形，更接近椭圆形。为了计算方便
通常视其为圆形，平均误差不超过±3％。
• 树干横断面的计算公式为：
g
4
d 0.7854 d
2
2
1.3.1 树干横断面形状
靠近根部的横断面比树木上
部的横断面更不规则
1.3.1 树干横断面形状
当树木横断面呈现不规则形状时，可取最大直径a和与之 垂直的直径b，求其平均值做横断面的直径。求算断面积。
• 中国1.3m • 欧洲1.3m • 英国4’3”(1.3m) • 美国4’6”(1.37m) • 日本4 日尺(1.21m) • IUFRO 1.3m(4.5ft) （International Union of Forest Research Organizations 国际林业研
究机构联合会）
③
④
树高小于5m时不用测高器，而用测杆测定。
对阔叶树不要误将树冠倒侧当作树梢。
这种测高器的优点是操作简单，易于掌握，在视角等于
45时，精度较高，但需要测树木至测点的水平距离。
太阳投影测高原理示意图
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测定工具—超声波测高器
超声波测高器可用来测量物体的高度和测量距离，角度，坡度和 空气温度。超声波测高器是通过超声波信号发送与接收来获得准 确的距离，高度是由距离和角度的三角函数关系计算得到的。
d.再将瞄准镜中红点对准树梢点顶点， 这时红十字线闪烁，按下红色ON按钮 直到红十字线消失为止，松开红色ON 按钮，此时，在测高器显示屏上可显 示树的高度（假定接收器固定高度 1.3m）；再对准树顶，重复此步骤， 可连续测得6个树干上不同部位的高度。
1.3 树干形状
树干直径随从根颈至树梢其树干直径呈现出由大到小的 变化规律，变化多样。
○情形二：斜坡地形：上坡位取1.3m；
○情形三：气根、根肿、板根等高于1.0m：量其上端0.3m处； ○情形四——分叉树 (a)叉口底部高于1.3m，1株； (b)分叉口底部低于1.3m，几叉几株； ○情形五： 1.3m处畸形：在1.3m上、下等距树干正常部位量取2个直 径取平均值。
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它由信号接受器和测高器组成，另外，还有一个标杆可供选用
示意图
使用注意事项：
a．不要触摸设备前方的温度感应器。
b．在打开仪器要预热一段时间, 保证仪器温度与 周围环境温度一致, 否则测量精度会下降。 c．手握测高器，将其显示屏与地面垂直。
测量步骤
• a．信号接受器侧面有一小刀，
将其切入树皮内，固定于距地面 1.3m高度的树干上（此高度可以 在测高器的“设臵”菜单选项中 设定）。
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测定工具--轮尺
•轮尺又称卡尺 （calipers），有木制或
铝合金制两种。其构造
如右图所示，可分为固 定脚，滑动脚和尺身三
部分。固定脚固定在尺
身一端，滑动脚可沿尺 身滑动，尺身上有厘米
刻度，根据滑动脚在尺
身上的位臵读出树干的 直径值。
径阶整化
轮尺整化的刻度方法是把各径阶中值刻化在该径阶的下限位臵上。
于x轴的直线、抛物线和相交于y轴的直线这4种曲线类型。
•
干曲线围绕干轴旋转可得四种几何体：凹曲线体（D）、
圆柱体（C）、截顶抛物线体（B）和圆锥体（A） 。
一般特征： 1 ） 4 种体型的排列顺序不变，即在各树干上的相对位臵基本是 一致的；
2） 4种体型的界限不明显，没有垂直分界线；
3) 生长正常的树干以圆柱体和抛物线体为主，凹曲线体和圆锥 体所占比例很小。
大量研究结果表明，按圆与椭圆计算的面积均
有误差，且受树皮的影响较大，其误差一般不超过
±3%.
实际工作中，当作圆形计算，测量方便．
2 g d 4
g---横断面积（m2） d---横断面的直径(cm)
青岛农业大学园林与林学院 李士美
测定工具-测高器
根据三角原理设计。通过正切函数关系测算树高。
布鲁莱斯测高器
青岛农业大学园林与林学院 李士美
情形一
情形三
情形四
情形五 情形二
1.3m
1.3m
0.3m 1m
1
1.3m
2
a a
1.3m
(a)
(b)
(a)
(b)
不同情形的胸径测定示意图
青岛农业大学园林与林学院 李士美
不同情形的胸径测定
○情形一——平坦地形
(a)树木直立：根颈以上1.3m处； (b)树木偏斜：偏斜方面取1.3m；
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1.3.2 树干纵断面形状
孔兹（Kunze、M.,1873）干曲线式 ：
y 2 Pxr
式中， y —树干横断面半径；
x—树干梢头至横断面的长度； P—系数； r—形状指数。 形状指数（r）的变化一般在0~3，当r分别取0、1、2、3数值时， 则可分别表达上述4种几何体。
青岛农业大学园林与林学院 李士美
形状指数不同的曲线方程及其旋转体
形状指数