曲面积分与高斯公式
10-6高斯公式与散度 (1)
v v v v u dS [ ( u ) ( u ) ( u )]dxdydz , x x y y z z n u v u v u v uvdxdydz ( )dxdydz x x y y z z
Dxy
sin( xy )dxdy
======0
奇偶对称
I
0
0
184 I1 I 2 35
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例3：计算曲面积分
其中, r
2 2 2 2 : x y z R 取外侧 . x y z ,
2 2 2
解: 不能直接用高斯公式
第六节 高斯公式与散度
一、高斯公式
第十章
二、曲面积分与 曲面无关的条件
三、通量与散度
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一、高 斯 公 式
说明：
若 可表成：
( x , y ) | z1 ( x , y ) z z2 ( x , y ), ( x , y ) Dxy
则称 是 xy 型空间区域；
r
在椭球面内作辅助小球面
x2 y2 z2
z
1 : x 2 y 2 z 2 2
1
y
x
0
高斯公式
1
3
3 d x d y d z
1
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例3**：计算曲面积分
其中 r
x2 y2 z2 ,
: 任意不经过原点的封闭 曲面， 取外侧 .
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高斯公式
高斯公式 仍成立. 好抵消，因而
例1 利用高斯公式计算曲面积分：
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
其中 为柱面x 2 y 2 1及平面z 0, z 3所围成的空间 闭区域Ω的整个边界曲面的外侧 .
解:因由已知： P ( y-z ) x , Q 0,
2 2 2
xy
而 (简写)
1 1
π , cos 0, cos 0, cos 1 2
( x cos y cos z cos )ds
2 2 2
1
z ds h dxdy πh
或
P Q R x y z dv ( P cos Q cos R cos )dS
此时， 是Ω的整个边界曲面的外侧， 、 、 cos cos cos 是 上点( x，y，z )处的法向量的方向余弦，以上 二式称为 高斯公式 .
D xy
对于(1)与(2)式，同样可得:
如果穿过Ω内部，且平行于x轴的直线与Ω的边界曲 面 的 交点恰好为两个，
P 有： x dv P( x, y, z )dydz 成立. Ω
如果穿过Ω内部，且平行于y轴的直线与Ω的边界 曲面的 交点恰好为两个，
Q 有： dv Q( x, y, z )dzdx 成立. y
z z 2 ( x, y )
z1 ( x, y ) z 2 ( x, y )
(4) 1取下侧， 2 取上侧， 3是以Dxy的边界 曲线为准 线， 母线平行于z轴的柱面上的一 部分，取外侧.
则(3)式左边：
z2 ( x , y ) R R z dv z dz dxdy Ω Dxy z1 ( x , y ) Rx, y, z 2 ( x, y ) Rx, y, z1 ( x, y )dxdy
曲面积分(第十讲)
- x2
= ò dq ò (
0 0
- r 2 cos 2 q a -r
2 a 2
+ 2a 2 - 2a a 2 - r 2 - r 2 )rdr
= -4 ò 2 cos 2 q dq ò
0
p
0
1 + p a3 6 a -r
2 2
r 3 dr
p p 1 1 = -4a 3 ò 2 cos 2 q dq ò 2 sin 3 tdt + p a 3 = - p a3 0 0 6 2
r ur uuuuu I = òò Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = òò {P, Q, R} ×{dydz, dxdz, dxdy} = òò F × n 0 dS
S
S
U
注意：曲面前侧取“正” ，后侧取“负” ；右侧取“正” ，左侧取“负” ；上侧取“正” ，下侧 取“负” ． 三、向量点积法（转换投影法）
2 2 2
曲面 S 在 xoy 平面的投影域为 Dxy = {( y, z ) | x + y £ 1} ，
2 2
而
òò xdydz = òò
S
S前(向后)
xdydz + òò xdydz
S后
D yz
is
Dyz
= - òò a 2 - y 2 - z 2 dydz - òò a 2 - y 2 - z 2 dydz
曲面 S：z = - a - x - y ,
2 2 2
U
r n = {- f x¢ , - f y¢ ,1} = {
nR
=
1 1 ( z + a ) 2 dxdy = òò (a - a 2 - x 2 - y 2 ) 2 dxdy òò a S a Dxy
高斯公式
应用: (1) 计算曲面积分
∫∫Σ Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y = 0
∂P ∂Q ∂R + + =0 ∂x ∂ y ∂z
作业
273页 16（2）（6） 274页 (B) 6
沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
z = − 1 − x 2 − y 2 的上侧 计算 的上侧, 例5. 设∑为下半球面
解 :设
∑
∑1 : z = 0, x 2 + y 2 ≤ 1
z
,取上侧
I = ∫∫ x sin 2 (1 − z )dydz + y cos 2 (1 − z )dzdx
y
− z dxdy
∑1
′ P′ + Q′ + Rz = 0 x y
y
− z dxdy
=0
∑1
′ P′ + Q′ + Rz = 0 x y
x
= ∫∫ x sin 2 (1 − z )dydz + y cos 2 (1 − z )dzdx − z dxdy
y
∑
∴ I = I1 + ∫∫ ( − 6 z )dxdy
1 x
内容小结
1. 高斯公式及其应用 公式:
∫∫Σ Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y ∂P ∂Q ∂R )d xd y d z = ∫∫∫ ( + + Ω ∂x ∂ y ∂z
= ∫∫ Pd y d z + Qd z d x + Rdx d y
Σ
(Gauss 公式 公式)
第四章 曲线积分与曲面积分 第六节 高斯公式与散度
1 2 3 , 1 : z z1 ( x , y ) ,
第 十则 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
2 : z z2 ( x , y ),
z
z
z d x d y d z d x d y z ( x , y )
1
R
z2 ( x , y ) R
流速场，穿过有向曲面 的流量
v n dS
电位移为 D
电场，穿过有向曲面 的电通量
磁感应强度为 B 磁场，穿过有向曲面 B dS B n dS
D dS
D n dS
2 ( x y z )dxdydz h dS
2
2
, 0, z h
Dxy
z
1
h
2
2
d
0
0
h
d zdz h 4
h
h 2
1
4
o x
y
-9-
第六节
高斯公式与散度
例5 设函数
在闭区域 上具有一阶和
x v Qu y v Ru z
二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式
第 十 章
曲 线 积 分 u v u v u v ( d x d y d z 与 x x y y z z 曲 面 其中 是整个 边界面的外侧. 积 P Q R 分 分析: 高斯公式 d x d ydz x y z
§6.5 第一类曲面积分的计算
得投影区域Dxy ,被积函数 f x , y , z 中的z换为
曲面方程z z x , y
f x, y, z x, y
f x , y , z dS S
D
xy
z z f x, y, z x, y 1 x y dxdy .
2
2
2. 若曲面S：y y( x , z )
则
S
f ( x , y , z )dS f [ x , y( x , z ), z ] 1 y x y z dxdz;
2 2 Dxz
3. 若曲面S：x x( y , z )
则
f ( x , y , z )dS S
M i i , i , i Si ,
mi f i ,i , i Si .
求和
m f i ,i , i si .
n 1
f i ,i , i si . 取极限 m lim 0
n 1
为所有小块的最大直径 .
x 2 y 2 dS
S2
D
xy
x 2 y 2 dxdy
s1 : z
x2 y2
D
1
2 0
d r rdr
2 0
1
2
1 2 2 x y dS 2 S1 S2 S
2 1 .
三、第一类曲面积分的计算
定理 设积分面S由方程z z x , y 给出, S在
xoy平面上的投影区域为Dxy , 且z z x , y
曲面积分的计算方法
曲面积分的计算方法曲面积分是微积分中的重要概念，它在物理学、工程学和数学等领域都有着广泛的应用。
曲面积分的计算方法有多种，本文将介绍曲面积分的概念、计算方法以及相关的应用。
首先，我们来了解一下什么是曲面积分。
在数学中，曲面积分是对曲面上的某种量的积分运算。
它可以理解为对曲面上的每一点施加一个函数，并对所有点的函数值进行积分。
曲面积分分为第一类曲面积分和第二类曲面积分两种，分别对应着曲面上的标量场和矢量场。
对于第一类曲面积分，我们可以使用参数化的方法进行计算。
假设曲面S可以用参数方程。
\[。
\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)。
\]来表示，其中(u,v)在一个有界区域D内变化，而函数f(x,y,z)在曲面S上有定义。
那么第一类曲面积分的计算公式为：\[。
\iint\limits_{S}f(x,y,z)\mathrm{d}S=\iint\limits_{D}f(\mathbf{r}(u,v))\left\|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right\|\mathrm{d}u\mathrm{d}v。
\]其中，\(\left\| \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v} \right\|\)表示向量\(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\)和\(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\)的叉乘的模长。
对于第二类曲面积分，常见的计算方法有高斯公式和斯托克斯公式。
高斯公式是用来计算曲面积分与曲面围成的立体的内部点相关的积分，而斯托克斯公式则是用来计算曲面积分与曲线围成的区域的内部点相关的积分。
高考数学冲刺曲面积分与高斯公式
高考数学冲刺曲面积分与高斯公式在高考数学的征程中，曲面积分与高斯公式犹如一座山峰，等待着我们去攀登。
对于许多考生来说，这部分内容可能颇具挑战性，但只要我们掌握了正确的方法和思路，就能在高考的战场上勇往直前，攻克这一难关。
首先，让我们来了解一下什么是曲面积分。
曲面积分是多元函数积分学中的一个重要概念，它包括第一型曲面积分和第二型曲面积分。
第一型曲面积分主要是计算曲面的面积，而第二型曲面积分则与向量场的通量有关。
想象一下，我们有一个曲面，就像是一个弯曲的“毯子”。
第一型曲面积分就是要计算这个“毯子”的大小，而第二型曲面积分则是要计算通过这个“毯子”的某种“流量”。
为了更好地理解曲面积分，我们需要掌握一些基本的计算公式和方法。
对于第一型曲面积分，其计算公式为：＄＼int\int_{S} f(x,y,z) dS ＝＼int\int_{D} f(x,y,z(x,y)）＼sqrt{1 ＋ z_{x}＾｛2} ＋ z_{y}＾｛2}｝dxdy$，其中$D$是曲面在$xoy$平面上的投影区域。
这里的关键是要找到曲面的方程，并求出相应的偏导数，然后进行积分计算。
而第二型曲面积分的计算则相对复杂一些。
我们需要考虑曲面的侧，通常分为上侧、下侧、左侧、右侧、前侧和后侧。
对于不同的侧，积分的正负号也会有所不同。
其计算公式为：＄＼int\int_{S} P(x,y,z)dydz ＋ Q(x,y,z) dzdx ＋ R(x,y,z) dxdy ＝＼pm ＼int\int_{D} （P ＼frac{＼partial z}｛＼partial x} ＋ Q ＼frac{＼partial z}｛＼partial y} ＋ R) dxdy$，其中“＄＼pm$”的选取取决于曲面的侧。
接下来，我们来聊聊高斯公式。
高斯公式是曲面积分中的一个重要定理，它建立了空间闭区域上的三重积分与闭区域边界上的曲面积分之间的关系。
高斯公式表述为：＄＼iiint_{＼Omega} （＼frac{＼partial P}｛＼partial x} ＋＼frac{＼partial Q}｛＼partial y} ＋＼frac{＼partial R}｛＼partial z}） dxdydz ＝＼int\int_{S} P dydz ＋ Q dzdx ＋ R dxdy$，其中$＼Omega$是空间闭区域，＄S$是闭区域$＼Omega$的边界曲面，且取外侧。
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曲面积分与高斯公式
1、第一类曲面积分
(１）问题得提出
设有一块光滑得金属曲面Ｓ 。
它得密度就是不均匀得。
在其点(ｘ,y ，z)处密度为f(x,y,z),并设ｆ在Ｓ上连续,则金属曲面S 得质量M
说明: 第一类曲面积分与曲面得方向(侧）无关
(2）第一类曲面积分得计算
（代入法）设S 就是一个光滑曲面, S 得方程就是Z=f(x,y) ,
当 ｆ1时可得空间曲面面积得计算公式,即
例1.I=，S 就是半球面（)。
解:,
,
⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=--+=+πθ2002222222221R D s rdr r R r d R dxdy y x R R y x ds y x
＝
２、 第二类曲面积分
(1）问题得提出
磁通量问题。
表示
说明:第二类曲面积分与方向(侧）有关,改变方向,积分变号
(２)计算（代入法) 用带入法计算时，一般应分成三个计算：
①(如果曲面积分取得上侧取号,如果曲面积分取得下侧取-号)、
类似有
②(如果曲面积分取得前侧取号,如果曲面积分取得后侧取-号)。
③(如果曲面积分取得右侧取号,如果曲面积分取得左侧取-号)、
例２：计算曲面积分,其中就是圆面下侧。
分析： 由于在上， ,所以
π22)2()2(2)(2⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=-+++∑∑D
dxdy dxdy z dxdy z xydzdx dydz x z
评论：本题展示得化简积分得方法就是非常重要得。
例3:计算曲面积分,其中就是旋转抛物面介于平面及之间得下侧
分析:
可直接代公式计算, 而需要分成前后两部分分别计算、
解:(略)
(3)高斯公式
设 Ｄ 就是Ｒ内得一个有界闭区域，其边界由光滑曲面或逐片光滑曲面组成,方向就是外侧(相对于区域Ｄ而言）。
又设函数P ，Ｑ，Ｒ都在D 内关于 x,ｙ,z 有连续偏导数,则下列高斯公式成立：
由Gau ｓs 公式可计算某些空间立体积分
V=
例４ 计算, 式中Ｓ为球面得内侧
解 由高斯公式 知
=
例5：计算曲面积分
其中为曲面得上侧。
【分析】(补面法)本题曲面不封闭,可考虑先添加一平面域使其封闭,在封闭曲面所围成得区域内用高斯公式,而在添加得平面域上直接投影即可。
【详解】 补充曲面：，取下侧、 则
＝
其中为与所为成得空间区域，D 为平面区域
、
由于区域Ｄ关于x 轴对称，因此、
又 =
其中、 【评注】 （1）注意在计算过程中尽量利用对称性进行简化。
本题也可通过直接投影进行计算,但计算过程比较复杂。
(２）本题中得三重积分计算用“先二后一”法,若用“先一后二”法计算量就是大得
例６:计算
外侧。
分析：该题，它们在S 所包围得区域内不连续(在原点没定义,偏导数不存在)，所以不能用高斯公式。
详解：
由积分表达式及S 得对称性知
所以
记上半球（上侧)为S 上,记下半球(下侧)为S 下
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--=------=+=D
D S D S S y x a dxdy y x a dxdy y x a dxdy z dxdy z dxdy z dxdy 2222222222下上
所以。