黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2020-2021学年高三上学期期末数学(理科)试题

齐齐哈尔市实验中学2020-2021学年度上学期期末考试

高三数学(理科)试题

一?选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.4个选项只有一项符合题目要求. 1. 已知集合{||1|2}A x x =-<，{}2|log 1B x x =>，则A B =（ ） A. ()1,3- B. ()0,3

C. ()2,3

D. ()1,4-

C

化简集合,A B ，利用交集的定义求解即可．

{}{}|1213A x x x x =-<=-<<，{}{}2|log 1|2B x x x x =>=>，

{}|23A B x x ∴?=<<.故选：C. 2. 已知复数11i

z =

+，命题p ：复数z 的虚部为1

2，命题q ：复数z 的模为1.下列命题为真命

题的是（ ） A. p q ∨ B. ()p q ∧? C. p q ∧ D. ()()p q ?∧?

D 化简得到1

12

2z

i ，故z 的虚部为12-，模为2

，判断得到答案.

11111222i z i i -===-+，所以z 的虚部为12-

2=， 所以命题p ，q 均为假命题.故选：D .

本题考查了复数的化简，命题的真假判断，意在考查学生的综合应用能力. 3. 在ABC 中，若A B >，则下列结论错误的是（ ） A. sin sin A B > B. cos cos A B <

C. sin2sin2A B >

D. cos2cos2A B <

C

由正弦定理结合三角形中的大边对大角得sin sin A B >，由余弦函数性质判断B ，然后结合二倍角公式判断CD ．

设ABC 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，

由A B >，则,a b >∴sin sin 0A B >>，A 正确；

由余弦函数性质知cos cos A B <，B 正确；

sin 22sin cos A A A =，sin 22sin cos B B B =， 当A 为钝角时就有sin 2sin 2A B <，C 错误，；

2cos 212sin A A =-，2cos 212sin B B =-，∴cos2cos2A B <，D 正确．故选：C ．

本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．

4. 设n s 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59s s =，则当n s 最大时，n =（ ） A. 6 B. 10 C. 7 D. 9

C

因为公差不为零的等差数列的前n 项和n s 是关于n 的二次函数，59s s =，所以对称轴为7n =，又开口向下，所以当7n =时，n s 有最大值，故选C. 5. 设0a >，0b >，则“1a b +≤”是“11

4a b

+≥”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

A

先利用基本不等式证明充分性成立，再举反例说明必要性不成立即可.

解：因为0a >，0b >，所以1a b ≤+≤，所以1

04

ab <≤

， 所以1

4ab

≥（当且仅当12a b ==时取等号），

所以

114a b +≥≥=（当且仅当12a b ==时取等号）.

所以“1a b +≤”是“

11

4a b

+≥”的充分条件. 反之，当1

3

a =，1

b =时114a b +≥，但是1a b +>，所以“1a b +≤”是“114a b +≥”的不必要条件.故选：A.

本题主要考查基本不等式的应用、充分条件与必要条件，属于中档题.

6. 已知圆22:1C x y +=，点P 为直线:40l x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线

,PA PB ，,A B 为切点，则直线AB 经过定点（ ）

A. 11,22?? ???

B. 11,42?? ???

C. 11,44?? ???

D. 10,4?? ???

C

根据题意，设(4,)P m m -，分析可得AB 是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦，据此可得以PC 为直径的圆的方程，又由圆C 的方程，分析可得直线AB 的方程，变形可得答案． 解：根据题意，点P 为直线40x y +-=上一动点，则设(4,)P m m -，

PA ，PB 是圆C 的切线，

CA PA ∴⊥，CB PB ⊥，

AB ∴是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦，

可得以PC 为直径的圆的方程为2222[(2)]()(2)()2222

m m m m x y --+-=-+，① 又圆C 的方程为：221x y +=，②， ①-②，得(4)10m x my -+-=，

即()410m y x x -+-=，则该直线必过点11,44??

???

， 故选C ．

本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，属于中档题．

7. 现有3名男医生3名女医生组成两个组，去支援两个山区，每组至少两人，女医生不能全在同一组，则不同的派遣方法有（ ） A. 24 B. 54 C. 36 D. 60

C

分类根据加法原理进行计算. 设两个山区为A ，B ，

①若A 山区派遣2名医生，则共有11

339C C =种不同的派遣方法， ②若A 山区派遣3名医生，则共有1221

333318C C C C +=种不同的派遣方法，

③若A 山区派遣4名医生，等同B 山区派遣2名医生，则共有11

339C C =种不同的派遣方法，

综合①②③得：则不同的派遣方法有918936++=，故选C ．

本题考查排列组合应用题以及分类计数原理，考查基本分析求解能力，属中档题.

8. 已知函数21,1

()|ln(1),1x x f x x x -≤?=?-?

，则方程(())1f f x =的根的个数为（ ）

A. 7

B. 5

C. 3

D. 2

A

令()u f x =，先求出方程()1f u =的三个根11u =，21

1u e

=+，31u e =+，然后分别作出直线

1u =，1

1u e

=+，1u e =+与函数()u f x =的图象，得出交点的总数即为所求结果.

令()u f x =，先解方程()1f u =.

（1）当1u ≤时，则()211f u u =-=，得11u =；

（2）当1u >时，则()()ln 11f u u =-=，即()ln 11u -=±，解得21

1u e

=+，31u e =+.

如下图所示：

直线1u =，11u e

=+，1u e =+与函数()u f x =的交点个数为3、2、2，

所以，方程()1f f x ??=??的根的个数为3227++=，故选A.

本题考查复合函数的零点个数，这类问题首先将函数分为内层函数与外层函数，求出外层函数的若干个根，再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数，考查数形结合思想，属于难题．

9. 设函数()()cos 0f x x ωω=>，已知()f x 在0,2π??

????

有且仅有2个极小值点，下述选项错误的

是（ ） A. [)6,10ω∈

B. ()f x 在,64ππ??

???

上单调递增

C. ()f x 在0,12π??

???上单调递减

D. ()f x 在0,2π??

???

上至多有2个极大值点

B

【分析】利用已知条件求出ω的范围，判断A ；利用函数的单调性判断B 、C ；函数的极大值判断D.

由题，因为()f x 在0,2π??

????

有且仅有2个极小值点，所以35222T T π≤<，即53T ππ<≤，

因为2T

π

ω=，所以610ω≤<，故A 正确； 因为

5

3

T π

π

<≤

，所以

10

26

T π

π<

≤， 因为()f x 在,2T T ?? ???单调递增，只有当

26T π=时()f x 在,64ππ??

???单调递增才成立，故B 错误； 因为()f x 在0,2T ??

???

单调递减，所以()f x 在0,12π?? ???上单调递减，故C 正确；

因为0,2x π??∈ ???，两端点取不到，且

35222T T π≤<，所以()f x 在0,2π??

???

至多有2个极大值点，故D 正确.故选：B

（1）求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；

（2）讨论y =Acos (ωx +φ)+B 的性质通常用换元法，借助于复合函数来完成.

10. 四棱锥P ABCD -，AD ⊥面P AB ，

BC ⊥面P AB ，底面ABCD 为梯形，4=AD ，8BC =，6AB =，APD BPC ∠=∠，满足上述条件的四棱锥顶点P 的轨迹是（ ）

A. 线段

B. 圆的一部分

C. 椭圆的一部分

D. 抛物线的一部分

B

在平面P AB 内，以AB 所在直线为x 轴，

AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，写出点A ，

B 的坐标，根据条件得出Rt Rt APD CPB ，进而得出

41

82

AP AD BP BC ===，设出点P 的坐标，利用两点间的距离公式，代入上式化简，根据轨迹方程，即可得到结论．

在平面P AB 内，以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．

设点(),P x y ，则由题意可得()30A -,

，()3,0B ．

∵AD α⊥，BC α⊥，4=AD ，8BC =，6AB =，APD CPB ∠=∠， ∴Rt Rt APD CPB ， ∴

41

82

AP AD BP BC ===． 即224BP AP =，故有()()222

2343x y x y ??-+=++??

， 整理得：()2

2516x y ++=，表示一个圆．

由于点P 不能在直线AB 上（否则，不能构成四棱锥）， 故点P 的轨迹是圆的一部分，故选：B ．

此题考查立体几何中的轨迹问题，关键在于对所给等量关系进行等价转化，结合平面解析几何知识，利用阿波罗尼斯圆得到结论.

11. 已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，P 为双曲

线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点M ，N ，若

12||3||PF PF =，且260MF N ∠=?，则双曲线的离心率为（ ）

A. 5

B. 3

C. 2

D.

7

D

由双曲线定义可设2||PF a =，1||3PF a =，由平面几何知识可得四边形12PF MF 为平行四边形，三角形12F MF ，用余弦定理，可得a ，c 的方程，再由离心率公式可得所求值．

由双曲线的定义可得122PF PF a -=， 由213PF PF =，可得2PF a =，13PF a =， 结合双曲线性质可以得到PO MO =，

而1

2FO F O =， 结合四边形对角线平分，

可得四边形12PF MF 为平行四边形， 结合260MF N ∠=?，故1260F MF ∠=?，

对三角形12F MF ，用余弦定理，得到2

2

2

121212122cos MF MF F F MF MF F MF +-=∠， 结合213PF PF =，可得1MF a =，

23MF a =，122F F c =，代入上式子中， 得到2222943a a c a +-=，即2274a c =， 结合离心率满足c e a =

，即可得出7

2

e =， 故选：D ．

本题考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.

12. 若函数()ln 2x

f x x x ae =-在1e e ?? ???

,上有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）

A. 20,e e ?? ???

B. 21,e e e ?? ???

C. 42,e e e ?? ???

D. 11,2e e e ?? ???

D

由题意可得，()0f x '=在1e e ??

???,上有两个不同的实数根，等价于1ln 2x

x a e +=在1e e ?? ???

,上有两

个不同的实数根，也等价于直线2y a =与1ln x

x y e +=

的图像在1e e ??

???

,内有两个交点，所以只需

利用导数研究函数()1ln x

x g x e +=在1e e ??

???

,上的极值、最值和单调性，再结合函数图像可得结果.

解：由题意()1ln 2x

f x x ae '=+-，令()0f x '=，可得1ln 2x

x

a e +=

. 函数()f x 在1e e ?? ???,上有两个极值点，则需()0f x '=在1e e ??

???

,上有两个不同的实数根，

等价于1ln 2x

x a e +=

在1e e ??

???

,上有两个不同的实数根， 也等价于直线2y a =与1ln x

x y e +=

的图像在1e e ??

???

,内有两个交点. 令()1ln x

x g x e +=，则

()1

1ln x x

x g x e --'=. 令()11ln h x x x =

--，可得()h x 在区间1e e ??

???

,上为减函数，且()10h =. 所以当11x e <<时，()0h x >，故()0g x '>，()g x 在1,1e ??

???

上为增函数，

当1x e <<时，()0h x <，故()0g x '<，()g x 在(1,)e 上为减函数，

所以()()max 11g x g e ==.又10g e ??

= ???

，2()e g e e =，

所以

212e a e e <<，所以11

2e a e

e <<.故选：D 本题考查利用导数研究函数极值、单调性，利用了数形结合的思想，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.

二?填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 设非零向量a ?b 满足()

a a

b ⊥-，且2b a =，则向量a 与b 的夹角为___________.

3

π 利用垂直关系可得2

0a a b -?=，再利用数量积公式,结合2b a =可得夹角的余弦值，进而可得

答案.

非零向量a ，b 满足()

a a

b ⊥-，且2b a =，

所以()

0a a b ?-=,可得2

0a a b -?=，

所以222

cos ,2cos ,b a b a a a a b a ?=?=，

因为0a ≠，所以1

cos ,2

a b =，

因为[],0,a b π∈， 所以a 与b 的夹角为：3

π. 故答案为：

3

π 方法点睛：平面向量数量积公式主要应用以下几个方面： (1)求向量的夹角， cos a b a b

θ?=

?；

（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b

?；（3）,a b 向量垂直则0a b ?=； (4) 求向量ma nb + 的

模（平方后需求a b ?）.

14. 设()

2

2

1

32n x dx =-?，则(n

x +

的展开式中含x 2项的系数是____________ 40

先利用定积分求得n 的值，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求得展开式中含x 2项的系数．

由于 ()

2

2

1

32n x dx =-=?（x 3﹣2x ）21|=4﹣（﹣1）＝5，

则(n

x

展开式的通项公式为T r +15r C =?x 5﹣r ?2r ?252r

r r x C -

=??352r

x -，

令532

r

-

=2，解得 r ＝2，∴展开式中含x 2项的系数是2252C ?=40， 故答案为40

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

15. 已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交抛物线C 于P ，

Q 两点，交l 于点A ，若3PF FQ =，则

AQ

QF

=________. 2

根据抛物线的定义，利用平行线分线段成比例，即可推导出所求结果. 过P ，Q 分别作PM,QN 垂直准线l 于,M N ,如图：

3PF FQ =，

1

||||4

QF PQ ∴=

, 由抛物线定义知，

||||,||||PM PF QF QN ==, ||3||PM QN ∴=, //PM QN ,

||||1

||||3

AQ QN AP PM ∴

==, 11

||||4||2||22

AQ QP QF QF ∴==?=,

2AQ

QF ∴=， 故答案为：2

本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的简单几何性质，属于中档题.

16. 如图，在矩形ABCD 中，22BC AB ==，N 为BC 的中点，将ABN 沿AN 翻折成1B AN △（1B ?平面ABCD ），M 为线段1B D 的中点，则在ABN 翻折过程中给出以下四个结论：

①与平面1B AN 垂直的直线必与直线CM 垂直； ②线段CM 5

； ③异面直线CM 与1NB 3 ④当三棱锥1D ANB -的体积最大时，三棱锥1D ANB -外接球的表面积是4π. 其中正确结论的序号是_______.（请写出所有正确结论的序号） ①②④

①//CM 平面1B AN ，则可判断；②通过线段相等CM NE =，可求出线段NK 的长；②异面直线CM 与1NB 所成角为1ENB ∠，求出其正切值即可；④找出球心，求出半径即可判断其真假.从而得到正确结论的序号.

如图，取1AB 的中点为E ，AD 的中点为F ，连接EN ，EM ，FN ，1B F ， 则四边形CNEM 为平行四边形，直线CM ∥平面1AB N ，所以①正确；

2

15122CM NE ??

==+=

???

，所以②正确； 因为CM

EN ，异面直线CM 与1NB 的所成角为1ENB ∠，

11

tan 2

ENB ∠=，所以③错误；

当三棱锥1D ANB -的体积最大时，平面1B AN 与底面ABCD 垂直，

可计算出13B D ，11AB =，222

11AB B D AD +=，所以190AB D ∠=?，

同理90AND ∠=?，

所以三棱锥1D ANB -外接球的球心为F ，半径为1，外接球的表面积是4π，④正确. 故答案

：①②④.

本题考查翻折过程中点线面的位置关系，注意翻折过程中不变的量，考查了相关角度，长度，体积的计算，考查直观想象，运算能力，属于较难题目．

三?解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17. 在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，27

4sin cos 222

A B C +-=. （1）求角C ； （2）若33

ABC S ?=

，7c =a ，b 的值. （1）3C π

=

；（2）23a b =??=?或3

2a b =??=?

（1）使用三角形的内角和公式和二倍角公式化简式子，得出cosC 的方程； （2）根据面积公式和余弦定理构造关于a ,b 的等量关系，即得解.

（1）由已知得，()()()2

721cos 2cos 12

A B C -+--=

， 所以()2

2cos 10C -=，

所以1cos 2C =

，3

C π=. （2

）1sin 2ABC S ab C ?=

=

6ab =.（1） 又由()()2

221cos c a b ab C =+-+得，5a b +=.（2）

（1）与（2）联立得：23a b =??=?或3

2a b =??

=?

. 本题考查了解三角形的综合问题，涉及正弦定理、余弦定理、面积公式等知识点，考查了学生的综合分析能力，数学运算能力，属于中档题.

18. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，()*

121n n S S n N +-=∈.

（1）求证：数列{}n a 为等比数列 （2）若数列{}n b 满足：11b =，11

12n n n b b a ++=

+，求数列{}n b 的通项公式及数列{}n b 的前n 项和n T .

（1）证明见解析；（2）1

12n n b n -??

=? ?

??

，()14242n

n T n ??

=-+? ???

.

（1）由121n n S S +-=，得()1212n n S S n --=≥，两式相减得12n n a a +=，结合11a =，计算出2a ，确定212a a =，从而证明出等比数列；

（2）由（1）求得1n a +，对{}n b 的递推关系式变形得数列{}1

2n n b -是首项为1，公差为1的等差数列.，从而求得1

2n n b -，得出n b 后用错位相减法求得和n T ．

（1）证明：由11a =，121n n S S +-=，得()1212n n S S n --=≥， 两式相减，得120n n a a +-=，

因为11a =，由()12121a a a +-=，得22a =，所以

2

1

2a a =， 所以1

2n n

a a +=对任意*N π∈部成立. 所以数列{}n a 为等比数列，首项为1，公比为2；

（2）由（1）知，12n n

a ，11111222n

n n n n b b b a ++??=+=+ ?

??

，

即1

1221n n n n b b -+=+，

因为11b =，所以数列{}1

2n n b -是首项为1，公差为1的等差数列.

所以1

211n n b n n -=+-=，所以1

12n n b n -??

=? ?

??

.

②设数列{}n b 的前n 项和1

11

1123242n n T n -??

=+?+?+

+? ?

??，11111232248

2n

n T n ??

=+?+?++? ???

，

相减可得1

1

111111121122422212

n n

n

n n T n n --

??

????=+++?+-?=-? ?

? ???

????-， 化简可得数列{}n b 的前n 项和为()14242n

n T n ??

=-+? ???

.

本题考查求等差、等比数列的通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，

（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1

{

}n n k

a a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa q

b +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；

（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．

19. 图1是直角梯形ABCD ，//AB DC ，90D ?∠=，2AB =，3DC =，3AD =，2CE ED =.以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且16AC =，如图2.

（1）证明：平面1BC E ⊥平面ABED ； （2）求直线1BC 与平面1AC D 所成角的正弦值. （1）证明见解析；（2）

27

7

. （1）做辅助线，先根据线线垂直证明1C F ⊥面ABED ，进而可证平面1BC E ⊥平面ABED ； （2）建立平面直角坐标系，求出平面1AC D 的法向量，利用法向量法可求直线1BC 与平面1AC D 所成角的正弦值.

（1）证明：在图1中，连结AE ，由已知得2AE =， ∵//CE BA 且CE BA AE ==，∴四边形ABCE 为菱形， 连结AC 交BE 于点F ，则CF BE ⊥， 又∵在Rt ACD △中，2

23323AC =+=， ∴3AF CF ==，在图2中，16AC =，

∵222

11AF C F AC +=，∴1C F AF ⊥，

由题意知1,C F BE BE

AF F ⊥=，

∴1C F ⊥面ABED ，又1C F ?平面1BC E ， ∴平面1BC E ⊥平面ABED ； （2）如图，

以D为坐标原点，DA，DE分别为,x y轴，1

FC方向为z轴正方向建立空间直角坐标系. 由已知得各点坐标为

1

33

(0,0,0),(0,1,0),,0,

2222

D A B

E

F C

???

?

???

，

所以

1

1

2

BC

?

=-

?

，(3,0,0)

DA=

，

1

33

2

DC

?

=

?

，

设平面

1

AC D的法向量为(,,)

n x y z

=，

则

1

,

DA n DC n

⊥⊥，

所以

1

DA n

DC n

??

=

?

?

?=

??

，即

000

3

22

y z

x y

++=

++=

?

，

令3

z

=，解得0,2

x y

==-，

所以(0,

n=-，

所以||7

n=，

记直线1

BC与平面

1

AC D所成角为θ，

则1

01

sin

||||2

BC n

BC n

θ

?++

===

?

.

本题主要考查平面与平面垂直及线面角的求解，面面垂直一般转化为线面垂直来证明，线面角主要是利用法向量进行求解，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.属于中档题.

20. 已知椭圆C中心在坐标原点O，左顶点()

2,0

A-，离心率

1

2

e

=，F为右焦点，过焦点F 的直线交椭圆C于P、Q两点（不同于点A）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）当APQ

?的面积S=时，求直线PQ的方程；

（3）求OP FP

?的范围.

（1）

22

1

43

x y

+=（2）10

x y

+-=或10

x y

--=.（3）()

2,6

（1）由已知条件推导出2a =，1

2

c e a ==，由此能求出椭圆方程．

（2）椭圆右焦点(1,0)F ． 设直线PQ 方程为)1(x my m R =+∈．由22114

3x my x y =+??

?+=??，得

22(34)690m y my ++-=，由此利用根的判别式和韦达定理能求出直线PQ 的方程．

（3）设P 的坐标0((x ，0)y ，由已知条件推导出2

20

00113(2)244

OP FP x x x =-+=-+，由此能求出OP FP 的范围．

（1）设椭圆方程为()22

2210x y a b a b

+=>>，由已知2a =，12c e a ==，

所以1c =，2223b a c =-=，∴椭圆方程为22

143

x y

+=.

（2）椭圆右焦点()1,0F ，设直线PQ 方程为()1x my m R =+∈.

由22

1

143x my x y =+???+

=??

，得()

2234690m y my ++-=.① 显然，方程①的0?>.设()11,P x y ，()22,Q x y ，则有

122634m y y m +=-

+，1

2

29

34

y y m =-+. 由APQ ?的面积12

12S AF y y ==?-=

解得：1m =±.

所以直线PQ 方程为1x y =±+，即10x y +-=或10x y --=.

（3）设P 的坐标()00,x y ，则22

00143

x y +

=，∴2

200334y x =-， 故()()22

0000000,1,x y x y x x y OP FP =?-=-?+

()2

20001132244

x x x =

-+=-+， 因为022x -<<，所以OP FP ?的范围为()2,6.

本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．

21. 函数()()ln 1f x x ax =+-，()1x

g x e =-.

（1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）若()()f x g x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围. （1）答案见解析；（2）(],2-∞.

（1）求出函数()y f x =的定义域为()1,-+∞，求得()11

ax a

f x x -+-'=

+，分0a =、0a <、0

a >三种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间； （2）构造函数()()()h x f x g x =-，由题意可知()()0h x h ≥恒成立，对实数a 分2a ≤和2a >两种情况讨论，利用导数分析函数()y h x =在区间[)0,+∞上的单调性，验证()()0h x h ≥是否成立，由此可得出实数a 的取值范围.

（1）函数()()ln 1f x x ax =+-的定义域为()1,-+∞，()1111

ax a

f x a x x -+-=-='++. （i ）当0a =时，()1

01

f x x +'=

>，函数()y f x =在()1,-+∞上单调递增； （ii ）当0a ≠时，令()0f x '=得11

1a x a a

-=

=-. 若0a <，则

11a a -<-；若0a >，则11a

a

->-. ①当0a <时，()1

01

f x a x =

->+'，函数()y f x =在()1,-+∞上单调递增； ②当0a >时，()11

a a x a f x x -?

?-- ???'=

+， 当11,a x a -??∈- ???时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增；当1,a x a -??

∈+∞ ???

时，()0f x '<，函数()y f x =单调递减；

综上，可得，当0a ≤时，函数()y f x =在()1,-+∞上单调递增；

当0a >时，函数()y f x =在11,a a -??- ???上单调递增，在1,a a -??

+∞ ???

上单调递减；

（2）设()()()()ln 11x

h x f x g x x e ax =-=++--，0x ≥，则()1

1

x h x e a x =

+-+'. 当0x ≥时，

()()

2

1

1x

h x e x '=-+'单调递增，则()()''''

00h x h ≥=.

所以，函数()y h x ='在[)0,+∞上单调递增，且()()02h x h a ''≥=-. 当2a ≤时，()1

01

x h x e a x '=

+-≥+， 于是，函数()y h x =在[)0,+∞上单调递增，()()00h x h ≥=恒成立，符合题意； 当2a >时，由于0x ≥，()020h a ='-<，()1

ln 01ln h a a

'=>+，

所以，存在00x >，使得()00h x '=.

当00x x <<时，()0h x '<，函数()y h x =单调递减；当0x x >时，()0h x '>，函数()y h x =单调递增.

故()0(0)0h x h <=，不符合题意， 综上所述，实数a 的取值范围是(],2-∞.

本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查分类讨论思想的应用，属于难题.

22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2324x t

y t =-??=-+?（t 为参数），以坐标原点为

极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=. （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；

（2）若1C 与2C 交于A ，B 两点，点P

的极坐标为74π?

? ???

，求11||||PA PB +的值. （1）1C 的普通方程为4320x y +-=.2C 的直角坐标方程为2y x .（2）

8

15

（1）直接利用参数方程和极坐标方程的公式得到答案.

（2）1C 的参数方程转化为标准形式为325

425x t y t ?

=-????=-+'

?

'?代入2y

x ，利用韦达定理得到1280

9

t t ''

+=

，1250

3

t t ''

=

，计算得到答案.

（1）消去参数t 得曲线1C 的普通方程为4320x y +-=.

曲线2C 的极坐标方程可化为2cos sin ρθθ=，即22cos sin ρθρθ=， 又cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线2C 的直角坐标方程为2y

x .

（2）1C 的参数方程转化为标准形式为325

425x t y t ?=-????=-+'

?

'?（t '为参数），

代入2y

x 得29801500t t ''-+=，

点P 的直角坐标为()2,2-，设'

1t ，'

2t 分别是,A B 对应的参数，

则12809t t ''

+=

，12503

t t ''

=. ∴

1212

11||||8||||||||15t t PA PB PA PB PA PB t t ''

''+++===?. 本题主要考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程标准形式的应用，考查的核心素养是数学运算和直观想象. 23. 已知函数()|22||1|f x x x =-++． （1）求不等式()4f x 的解集；

（2）若函数()|1|y f x x =++的最小值为k ，求2

2

(0)km m m +

>的最小值． （1）51,3??-????

；（2）6.

（1）对x 进行讨论，化简绝对值，进而可求不等式的解集；

（2）由绝对值不等式的性质可求()f x 的最小值，进而可求k ，然后结合基本不等式即可求解． （1）①当1x ≤-时，原不等式可化为22(1)4x x --+≤，得1x ≥-，故有1x =-； ②当11x -<<时，原不等式可化为2214x x -++≤，得1x >-，故有11x -<<； ③当1≥x 时，原不等式可化为2214x x -++≤，解得53x ≤

，故有513

x ≤≤ 综上，不等式的解集为51,3??-????

．

（2）因为()121212114y f x x x x x x =++=-++-++=， 所以4k =．