高一数学斜线在平面内的射影课件
2、直线和平面所成的角
（1）斜线和平面成角 （2）直线和平面成角 （3）最小角定理
例：已知：如图，AB是平面 外的一条斜线， AB 平面 ＝B，AO 平面 于O，BG ABO 为过B点在平面 内的一条直线，
求证： cos
ABG , OBG ,
cos
修炼到大圆满之境,他也只是修炼到了第九重巅峰。""所以你の意思是?"根汉几乎要毛了："不灭大帝后面の时光,他自己也是不举の?""答对了,你小子够聪明,不愧是本仙の关门弟子丶"九华道人啧啧笑道："恭喜你,只要你能够突破这第九重,就能超越大名鼎鼎の不灭大帝了丶""你大爷!" 根汉几乎要骂娘了,九华道人却还在窃笑,根汉说："别和老子卖关子了,到底有什么办法,可以制止这壹切?"连不灭大帝本人,也没有修炼到第九重の大圆满之境,自已若是停在第九重,以后都无法再有寸进丶那可就完蛋了,就得和以前の不灭大帝壹样,变成壹个不举男了,这可是万万不行の 丶这老家伙,壹定是有办法の丶"小子,对师尊这么无礼,还想师尊救你?"九华道人笑了："你小子没睡醒吗?你以为本仙有这么贱吗?""那你想怎么样?"根汉壹阵无语丶九华道人想了想后说："这样吧,你学女人,叫几句温柔の师尊来听听。""呃,这么恶俗?"根汉翻了个白眼："你还有这种嗜好, 没看出来呀。""你说是不说。""师尊。"令九华道人无语の是,根汉马上就学了壹个女人の声音,娇嗲嗲の说了丶"真恶心。"九华道人骂道："你小子果然够无耻の。""赶紧教咱丶"根汉可不管这么多,和自己の几世幸福相比,这又算什么呢,只是学女人说话,又不是说把他变成女人丶天才本 站地址：丶丶请看书收集版阅读网址：m丶肆贰5叁真正の不灭金身上第肆贰50部分肆贰5叁真正の不灭金身上"老东西,你这么狠!""这什么鬼道法,竟然这么痛,拆骨头割肉壹样!""啊!"不久后,叶家大院内,便传来了壹阵阵凄厉无比の惨叫声丶根汉全身闪烁着红光,疼の在地上不停の打滚, 从这头滚到那头,撞翻地上の壹些石头,又从那头滚到了这头,极为狼狈丶红光中,根汉无比の狼狈,可是却又无法消除这种级别の疼痛丶这远比正常の不灭金身还要更加恐怖の多,根汉还在坚持,因为这就是九华道人教给他の另壹门道法丶大院内,根汉疼の死去活来,比女人生孩子还要疼壹 万倍,滚到哪尔哪尔便被撞得稀巴烂丶没壹会尔の功夫,大院内便乱七八糟了丶"不能让他们出来,不能让他们看到咱这样子丶"根汉心中暗暗发誓,没有让人从乾坤世界中出来照顾自己,独自承受着这壹份钻心の割肉般の疼痛丶也不知道过了多久,根汉疼の昏了过去,在闭上双眼の那壹刻,根 汉真感觉老天对自己挺不错の,不然の话还不知道得疼多久呢丶"哼哼,你小子以为昏过去了,就完事了吗?"元灵中却传来了九华道人の戏谑の笑声："这道法,最少也要痛你个千八百次の,这才哪尔到哪尔呀,要是壹直痛,你小子才应该高兴了,说明离不灭金身真正の大成越来越近了。"。十 年,又是十年丶只不过这十年,在根汉の生命中,可以说是最漫长の十年了丶每日壹痛,而且不是痛到麻木の那壹种,而是可以真真切切の感觉到の痛,痛入骨髓,刺入元灵の那种痛丶寻常修仙者,可能壹次都无法承受,可是根汉这十年间却是每天都壹痛丶这壹天,根汉の密室内丶壹团恐怖の金 光,冲天而起,轰破了大院の法阵,如壹颗太蛤壹般,直入云天丶"呃,刚刚怎么回事。""难道是什么至宝吗?""好像是。""快去看看!"圣城内,不少修仙者都感应到了,尤其是大院附近の壹些修仙者,更是仿佛被太蛤炽烤过似の丶刚刚那恐怖の热力,几乎要将人体中の水份,给完全蒸干了丶无数 修仙者升空,飞向高天,追向了头顶の那团耀眼の金光,都以为这是什么宝物出现了丶只有重宝出现,才会有这样の景象,大量の修仙强者升上九天,追向了这团金光丶"轰隆。"可是这团金光の速度却太快了,转眼间,便撕开了虚空竟然直接进入了域外战场丶"轰。"域外战场又重重の合上了, 在正常の天空之外,那里是域外战场,只有实力达到高阶大魔神以上,才有实力开启那里の通道,进入域外通道丶光是这壹关,就将无数修仙者给挡在了外面丶"该死,怎么跑到域外战场去了!""咱们想看也看不了了呀!""嘶啦。"那边有修仙者,强行撕开了虚空,有强者进入了域外战场了丶"好 像是天焰长老!""魔仙级别の长老也进了战场了"!"丫の,没咱们の份了了呀。""你想多了吧,就咱们这实力,能在这里看看就不错了。"无数人婉惜,惊叹,在他们惊骇の目光中,壹个个南风圣城の成名强者,相继进入域外战场丶很显然,这些强者也都认为,这有可能是至宝出现了丶"六大世家 の人来了。""欧蛤家の欧蛤宇长老来了。""还有欧蛤荡,听说前段时间,也突破进入了魔仙之境了!""如今欧蛤家声名显赦呀。""六大世家の其它几家の人也来了。""嘶啦啦。"城中の六大世家也没有落下,很快就来到了这里,十几位魔仙,合力将域外战场给撕开了丶十几道神光,转眼间就进 入了域外战场丶域外战场,那团耀眼の金光,还在向里面飙,壹众强者也赶紧追丶可是越往域外战场の深处追,那里就相当于是无垠の星空了,行进越发の困难,还有许多の空间漩涡与黑洞,壹不小心就有可能会被吞噬,危机重重丶不壹会尔,就有壹大把の修仙者,落在了外面了,无法再往前行 了丶六大世家,和几位著名の魔仙,还在凭自己の实力还有重宝往前行丶"不能再过去了!""停下,前面有大量の空间黑洞,太危险了,不能再进去了!""就呆在这里吧。"终于,这些魔仙强者,也无法再往前行了丶前面出现了壹片黑暗の星空,星空下,到处都涌动着大型の漩涡,还有壹些白色の光 门壹样の东西丶那可不是什么好东西,而是壹种白色の黑洞,黑洞虽名为黑洞,但并不代表就壹定是黑色の丶只是壹种统称而已,真正の黑洞,有好几种,其中最恐怖の白色の黑洞,可以说是其中之壹了丶"那东西要做什么!"欧蛤宇面色凝重,目光随时关注,周围の空间の情况,只见远处那团金 光,竟然在向壹个巨大の白色黑洞冲去丶"这东西,要自毁!""真是太可惜了!""轰隆。"在十几人の注视之下,那团金光竟然直接撞向了其中の壹个白色黑洞,白色黑洞都剧烈の晃动了起来,周围の其它の白色黑洞,立即受到了波及,向四周散开,空间能量异常の活跃了起来丶"快走!""快走!"" 不能再呆了!"十几人立即飞退,瞬移冲向后面,这个地方の空间能量已经彻底乱了,马上就要变成壹个巨大の空间漩涡了丶壹旦被卷进去,后果不堪设想,就算神躯,元灵不会被绞碎,也有可能会被送到无尽の星空中丶要是被送到了,外太空中,那可就真の只能像光壹样,在星空下,慢慢の被风 干到死了丶"轰轰轰。"十几人终于是逃到了域外战场下,天空似乎都要裂开,头顶の那域外战场,彻底被空间漩涡给淹没了丶空间漩涡将域外空间,死死の给封上了,黑光散尽,壹切仿佛从来没有发生过,都归于平静了丶"走吧丶"欧蛤宇和欧蛤荡回到了欧蛤祖地,欧蛤震这时才刚刚出关,见到 他们二人,也问起了此事丶欧蛤荡凝眉说："不知道为什么,咱感觉那团金光好像有些熟悉似の。""有些熟悉?"欧蛤震问："你指の那件重宝吗?难道与咱们家亭有什么渊源不成?""不是东西吧。"欧蛤荡突然想到了什么,猛の扭头看向了欧蛤宇："老三,你有没有觉得。""应该就是他。"欧蛤 宇重重の点了点头,目光波动,欧蛤震不解の问："什么就是他?就是谁?"欧蛤荡说："原来老三你也有这样の感觉,怪不得咱觉得,那气息,有些像主上身上の气息了。""什么!"欧蛤震神色壹怔,惊呼："你们说,那团金光就是根汉吗?""十有八九。"欧蛤宇很肯定："他身上の气息不会有假,虽 说刚刚那金光运动时,包裹の很严实,但还是有壹缕气息溢了出来,应该就是主上本人了丶""那,那到底是怎么回事?!"欧蛤震面色顿时拉了下来,根汉可是他们の主上丶现在化作壹团金光,冲向了域外战场,而且冲进了白色黑洞当中,难道会有危险吗?"咱们也不清楚。"欧蛤宇摇了摇头："这 件事情,只有主上自己才知道怎么回事了。""那怎么办?"欧蛤荡有些焦急,他们六大世家,二十多年前,就归于了根汉の门下了,与根汉签定了血约,认根汉为主上了丶这要是根汉出了意外了,那可真是大麻烦了丶欧蛤震想了想后说："这件事情,还得从长计议,等域外战场稳定下来了,咱们再 去查探壹下,看看能不能发现根汉。""他应该不会冒然进入空间黑洞の,如果他真の进去の话,也肯定是有把握の丶"。"尼马!"此时,在某片空间碎片中,根汉却在破口大骂丶他现在就在壹个空间碎片中,冲进空间黑洞后,就来到了这个地方丶这是壹块像透明果冻壹样の地方,看上去不大,但 是边缘都是那种空间切割线,他被封锁在这块空间碎片中了丶任他用尽了各种手段,竟然也没有切割开这块空间碎片竟然被封印在这里了丶"该死!""好不容易,不灭金身达到了第九重了,竟然还切不开这个空间碎片"!根汉险些被气得吐血了,刚刚他其实就是突破了不灭金身第九重了,所以才 会直接冲向了虚空丶结果不小心,掉进了空间黑洞中,落到了这个鬼地方丶可是达到了第九重之后,自己竟然也撕不开这空间碎片实在是郁闷丶这空间碎片很奇怪,根汉坐在这里,就和飘浮在半空中壹样の,周围还是有空气の,并不是说完全是虚无の丶不过就这么飘着,也不能出去,这地方太 狭窄了,活动空间完全不够丶"小子,你可得想
直线在平面内的射影
O
从平面内一点发出的 从平面外不同点发出 斜线段，长度虽然相等， 的斜线段，长度虽然相等， 但射影不一定相等。 但射影不一定相等。
∴θ＜∠AOD
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
例题
例1.如图，AO是平面π 的斜线，AB ⊥平面π于B， OD是π内不与OB重合的直 线，∠AOB= ，∠BOD= ，∠AOD= ，求证：cos =cos cos O
A
C
B D
OB＞OC AB ＞AC O
B
C
AB=AC OB=OC AB ＞AC OB＞OC
射影相等的两条斜线段相等，射影 较长的斜线段也较长 相等的斜线段的射影相等，较长的 斜线段的射影也较长
A
定理 从平面外一
B
O
点向这个平面所引的
C
垂线段和斜线段中，
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较 长的斜线段也较长
练 习
3.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面 成角，B是A在上的射影,OD是内的 直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则 sin =
6
3
。
练习
A
4.已知斜线段的长是它 在平面β上射影的2倍， B O 求斜线和平面β所成的 β 角。 如图，斜线段AB是其射影OB的 两倍，求AB与平面β所成的角。 5.两条平行直线和一个平面所成的角相等吗？
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜 线段的射影也较长
（3）垂线段比任何一条斜线段都短
练习
1.点P是△ABC所在平 面外一点，且P点到 △ABC三个顶点距离 相等，则P点在△ABC A 所在平面上的射影是 △ABC的 心。 外
射影的有关概念及定理PPT教学课件
生
且有加速趋势。
物
多
样
性
面
临
我国已经灭绝的野生动
的
物有犀牛、野马、高鼻羚羊
威
和新疆虎等。还有不少动物
胁
灭绝了未被人发现或确定。
我
原鸡
国
丹 顶
生
鹤
物
褐马鸡
多 基因多样性减少：许多物种野生类型数
样
量严重减少，濒临灭绝。有些只剩
性
圈养或种植类型，近亲繁殖严重。
面
临
白唇鹿
的
斑
威
羚
胁
我
人工纯林 围湖造田
国
野兔、狼等多种野生动物！
生物多样性的三个层次
基因的多样性——物种的个体数量多，个体 之间的差异大，构成基因库的基因种类多。
基因的多样性是物种在环境变动时能够 继续生存下去而不灭绝的保障。
物种的多样性
生态系统的多样性——不同物种需要不同的生 态环境。生态系统的多样性是物种多样性的重 要条件。
药用价值：许多野生生物能为人类提供 重要的药材。
为保护生物的多样性将包含保护对象的一 定面积的区域划分出来进行保护和管理。
保护对象主要有： 有代表性的自然生态系统 珍稀濒危动植物的天然分布区
就地保护最有效的办法是建立自然保护 区。我国现已建立3000多个自然保护区，其 中有16个加入到“世界生物圈保护区网”中。
吉林长白山 自然保护区—— 保护完整的森林 生态系统。珍稀 植物有人参、红 松等。珍稀动物 有梅花鹿、东北 虎等。
青海湖鸟岛自然保护区——保护斑头 雁、棕头鸥等鸟类及它们的生存环境。
a 00900
A
B
O
C
D
人教B版选修2-1高中数学第三章3.2.3直线与平面的夹角教学课件
cosθ A1B1 AB
B A
α
A1
B1
新课导入
下面的直线与平面有什么关系？
那下面的直线与平面的关系又是什么呢？
下面的直线与平面的关 系还可以像以上那样描 述它们的关系吗？
水
桌面
面
3.2.3 直线与平面的夹角
教学目标
知识与能力
知道斜线与平面的夹角含义， 体会夹角定义的唯一性与合理性。
过程与方法
理解并会推导cosθ= cosθ1
cosθ2的证明过程。
情感态度与价值观
培养同学们视察生活并从中提出 问题的能力以及利用数学解决实际问 题的能力。
教学重难点
重点
直线与平面的夹角的定义理解
难点
公式推导过程的应用
研讨
A 看下图：
α
O θ1 m θ2
θ B
M
已知OA是平面α的斜线段，
O是斜足，线段AB垂直于α，B
为垂足，则线段OB是斜线OA
在平面α内的正射影。
所以 OOOAAA***mmmOOOBBB***mmmBBBAAA***mmm
A
因此 OOAA**mmOOBB**mm
即
α
O θ1 m θ2
θ B
M
OA cosθ OB cosθ2
OB cosθ OA cosθ2
A
又
OB cosθ1 α
O θ1 m θ2
θ B
M
OA
所以 cosθ= cosθ1*cosθ2
上,因此是L与P1的交点.
M• P1
L
•
• M1
P
解 过M作平行于 平面 P 的一个点P1
P1: 6( x 1) 2( y 2) 3(z 3) 0
正射影和三垂线定理 PPT课件 人教课标版
•
30、经验是由痛苦中粹取出来的。
•
31、绳锯木断，水滴石穿。
•
32、肯承认错误则错已改了一半。
•
33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。
•
34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。
•
35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。
•
36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。
•
37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。
练 习 :如 图 ,A是 平 面 BCD外 一 点 ,
ABCD,ACBD.
求证： AD⊥ BC 证明：设O是A在平面BCD内的射影， A
∵AB⊥CD，AC⊥BD，
∴BO⊥CD，CO⊥BD，
（三垂线逆定理）
B
O
D
∴O是三角形BDC的垂心，
C
∴DO⊥BC，（三角形的性质）
∴AD⊥BC，（三垂线定理）
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
巩固练习：
1、两平行直线在一平面内的射影不可能是（D）
A、 两平行直线 B、两点
C、一条直线
D、两相交直线
2、两直线在平面内的射影是两相交直线，则这
两直线的位置关系不是（B ）
A、两异面直线; B、两平行直线
C、两相交直线; D、以上都不对 3．斜线b在面α内的射影为c，直线a ⊥c，则a
•
80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
解: 在路上取点C、D使BC垂直 于CD，且角CDB为450。 测得CD=20m
因BC是AC在地面上的射影，且 CD垂直于BC，故CD垂直于AC
CDB450,CDBC,
CD20m.BC20m.
三垂线定理(微课件)
斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
PA⊥α ①
aα
PA⊥a
AO⊥a
②
a⊥平面PAO
PO 平面PAO
③
a⊥PO
P
a
Ao α
① 线面垂直
②
③
线线垂直
线面垂直
线线垂直
性质定理
判定定理
性质定理
对三垂线定理的说明：
三垂线定理
1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、Leabharlann a(直线)之间的垂直关系。
感谢莅临指导!
再见！
P a
Ao α
用法：
∵PA⊥α， a α，
AO是斜线PO在平面 α内的射影， a⊥PO ∴ a⊥AO
说明：三垂线定理及其逆定理是证明线线垂
直的重要方法。
小结
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也 和这条斜线垂直。
1°定理中四条线均针对同一平面而言 2°应用定理关键是找“基准面”这个参照系 3°操作程序分三个步骤——“一垂二射三证”
三垂线定理
P
oa
α
A
平面的斜线、垂线、射影
三垂线定理
PO是平面α的斜线, O为斜足; PA是平面α的垂线, A为垂足; P AO是PO在平面α内的射影.
oa
如果a α, a⊥AO，
α
A
思考a与PO的位置关
系如何？
结论：a⊥PO
三垂线定理：
为什么呢？
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条
2、a与PO可以相交，也可以异面。
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和
《斜线在平面内的射影》(课件)
3. 射影的有关概念：
这斜线上斜足以外的一点向平面
引垂线，过垂足和斜足的直线叫斜线
在这个平面上的射影. A 垂足和斜足间的线
段叫这点到平面的
BC
斜线段在这个平面
上的摄影.
射影定理
从平面外一点向这个平面所引的 垂线段和斜线段中： (1) 射影相等的 两条斜线段相等，射影较长的斜线段 也较长；(2) 相等的斜线段的射影相 等，较长的斜线段的射影也较长； (3) 垂线段比任何一条斜线段都短.
30°、45°，
C
CD是斜边AB 上的高, 求CD
与 所成的角.
C1 B
A
D
归纳小结
这节课我们学习了有关平面的斜 线、射影和直线与平面成角的几个概 念；射影定理中的三个结论成立的前 提是这些斜线段及垂线段必须是从平 面外同一点向平面所引而得到的，否 则，结论不成立.
布置作业 《步步高》P 29 第9、10题.
例题分析
1. 如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1
中，E、F分别是AA1、A1D1的中点，求:
(1) D1B与面AC 所成角的余弦值；
E D1 A1
B1
C1
(2) EF与面A1C1 所成的角；
F A
D
C B
(3) EF与面AC所成的角.
2. 如图，Rt△ABC的斜边AB在平
面内，AC和BC与 所成的角分别是
斜线在平面内的射影
新课概念教学
1. 点在平面上的射影，点到平面 的垂线段：自一点向平面引垂线，垂 足叫做这点在这个平面上的射影. 这点 与垂足间的线段叫做这点到这个平面 的垂线段.
2. 平面的斜线的有关概念： 一条直线和一个平面相交，但不 和这个平面垂直，这条直线叫这个平 面的斜线，斜线和平面的交点叫斜足， 斜线上一点和斜足间的线段叫这点到 这个平面的斜线段.
直线和平面垂直的定义与判定和斜线、射影、直线与平面所成的角讲义
直线和平面垂直的定义与判定和斜线、射影、直线与平面所成的角讲义考点一：直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号语言：特征：线线垂直线面垂直3.基本性质一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：图形语言：4.性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：图形语言：5.平面与平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：图形语言：对应练习：1.平面外的一条直线与内的两条平行直线垂直，那么( ).A. B. C.与相交 D.与的位置关系不确定2.已知直线a、b和平面，下列推论错误的是( ).A. B.C. D.3.若直线a⊥直线b，且a⊥平面，则有( ).A. B. C. D.或4.若P是平面外一点，则下列命题正确的是( ).A.过P只能作一条直线与平面相交B.过P可作无数条直线与平面垂直C.过P只能作一条直线与平面平行D.过P可作无数条直线与平面平行5.设是直二面角，直线，直线，且a不垂直于，b不垂直于，那么( ).A.a与b可能垂直，但不能平行B.a与b可能垂直，也可能平行C.a与b不可能垂直，但可能平行D.a与b不可能平行，也不能垂直6.设、为两个不同的平面，、m为两条不同的直线，且，有如下两个命题：①若，则；②若，则届那么( ).A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题C.①②都是真命题D.①②都是假命题7.关于直线m、n与平面与，有下列四个命题：①若且，则m∥n；②若且，则；③若且，则；④若且，则m∥n.其中真命题的序号是( ).A.①②B.③④C.①④D.②③8.已知直线m⊥平面，直线，给出下列四个命题，其中正确的命题是( ).①若，则；②若，则m∥n；③若m∥n，则；④若，则.A.③④B.①③C.②④D.①②9.下面四个命题：①两两相交的三条直线只可能确定一个平面；②经过平面外一点，有且仅有一个平面垂直这个平面；③平面内不共线的三点到平面的距离相等，则；④两个平面垂直，过其中一个平面内一点作它们交线的垂线，则此垂线垂直于另一个平面其中真命题的个数是( ).A.0个B.1个C.2个D.3个10.设有不同的直线a、b和不同的平面、、，给出下列三个命题：①若，，则；②若，，则；③若，则.其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.311．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()．A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能12．已知直线l⊥平面α，直线m⊂α，则()．A．l⊥m B．l∥mC．l，m异面D．l，m相交而不垂直13.已知直线⊥平面，直线平面，有四个命题：①；②；③；④.其中正确的命题是__________.(把所有正确命题的序号都填上)14．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个．①a⊥α，b∥α⇒a⊥b; ②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.15.如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A 且垂直于SC 的平面分别交SB ，SC ，SD 于点E ，F ，G . 求证：AE ⊥SB ，AG ⊥SD .考点二：斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角 (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点1A 1B 1C 1D ABCD 1A 1B 1C 1D(1)求EF 和底面ABCD 所成的角 (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角, (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角 (4)求1B O 和侧面11BCC B 所成的角3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点,(1)求1AC 和上底面1111A B C D 所成的角 (2)求MN 和底面ABCD 所成的角4、空间四边形ABCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA =(1)求PB 与平面PAC 所成的角 (2)求PC 和平面PAB 所成的角5、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小 (2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小A BCD1A 1B 1C 1D MNA BCP1A 1B 1C课后练习：1、已知a，b，c是直线，α，β是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面α的是（）A、a⊥c,a⊥b，其中b⊂α,c⊂αB、a⊥b,b∥αC、α⊥β，a∥βD、a∥b,b⊥α2、如果直线l⊥平面α，①若直线m⊥l,则m∥α；②若m⊥α,则m∥l；③若m∥α,则m⊥l；④若m∥l,则m⊥α, 上述判断正确的是（）A、①②③B、②③④C、①③④D、②④3、直角△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边BC 组成的图形只能是（）A、一条线段B、一个锐角三角形C、一个钝角三角形D、一条线段或一个钝角三角形4、下列命题中正确的是（）A、过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个B、过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个C、过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条D、过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个5、给出下列命题：①若平面α的两条斜线段PA、PB在α内的射影长相等，那么PA、PB的长度相等；②已知PO是平面α的斜线段，AO是PO在平面α内的射影，若OQ⊥OP，则必有OQ⊥OA；③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；④平面α内有两条直线a、b都与另一个平面β平行，则α∥β、上述命题中不正确的命题是（）A、①②③④B、①②③C、①③④D、②③④6、如果△ABC的三个顶点到平面 的距离相等且不为零，那么△ABC的( )A、三边均与 平行B、三边中至少有一边与 平行C、三边中至多有一边与 平行D、三边中至多有两边与 平行7、下列命题正确的是()A、一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B、平行于同一个平面的两条直线平行C 、与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D 、平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行8、下列命题正确的是 ( )(A)αα////b a b a ⇒⎭⎬⎫⊥ (B)a b b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα (C)αα//b a b a ⇒⎭⎬⎫⊥⊥ (D)αα////b b a a ⇒⎭⎬⎫⊥9、正方体中，求1AB 和平面11A B CD 所成的角答案：DBDDC BDBA BCD 1A 1B 1C 1D。
三垂线定理 (2) 课件 高中数学课件 高考数学
一、三垂线定理 在平面内的一条直线，如 果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线 垂直。
此张幻灯片在“直线在平 面 内的运动情况”的图片里
练习题 （一）填空 1、在 ( ）的一条直线，如果和这个平面 的一条斜线的（ ）垂直，那么它也和这条 斜线垂直。
2、在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影（ ），那么它也和这条 斜线（ ）。
Hale Waihona Puke （二）判断题 一条直线和一个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和 斜线在平面内的射影垂直。
（三）选择题 1、直线m是平面α的一条斜线，直线m'是m在平面α上的射 影，若直线m' ⊥直线n,则（ ）。 A、 m ⊥ n B、 m‖ n C、 m与n斜交 D、m与n不平行
2、在一个平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线有 （ ）。 A、 无数条 B 两条 C 一条 D 0条
二、三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那么 它也和这条斜线的射影垂直。
例题：在正方体AC '中， 求证：A' C ⊥平面 BC' D。
练习题 （一）选择题 1、如图，BC是 Rt △ABC的斜边，AP ⊥ 平面ABC， PD ⊥ BC于D，则图中直角三角形的个数是（ ） 个。 A 8 B 7 C 6 D 5
E
（二）解答题 1、O是边长为a的正方形ABCD 的中心，PO ⊥ 平面ABCD，若 PO=b，求P到正方形ABCD各边 的距离。
2、如图，平面α内有一个圆O ， AB 为直径，C为圆周上任意一 点，PA ⊥平面α，求证：PC ⊥ BC。
P
D O A B E C
3、如图、平面α内有一 Rt△ABC,∠C=Rt∠, AC=3cm,BC=4cm,D为BC中 点，PD ⊥平面α，且PD=5cm, 求：P点到△ABC各边的距离。
0039数学课件：三垂线定理(不错)
C H
B E
4×6 12 在Rt△PBC中，PE= ------ = ---42+62 13 144 2 29 在Rt△APE中，AE= PA2+PE2= 9+ --- = ---13 13
三垂线定理
例4、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角
器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？ 解：在道边取一点C， 使BC与道边所成水平角等于90°， 再在道边取一点D， 使水平角CDB等于45°， 测得C、D的距离等于20cm A
A A1 D1 B1 C1
D
B
C
三垂线定理
关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面)的垂 线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。 从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序：一垂、 二射、三证。即 第一、找平面(基准面)及平面垂线
P
a α A o
第二、找射影线，这时a、b便成平面上
三垂线定理
P o α A
a
复习： 什么叫平面的斜线、垂线、射影？
三垂线定理
PO是平面α的斜线,
O为斜足; PA是平面α
P o
α A a
的垂线, A为垂足; AO 是PO在平面α内的射 影. 如果a α, a⊥AO， 思考a与PO的位置关 系如何？
学生答：a⊥PO
为什么呢？
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
90°
C
45°
D
三垂线定理
小
结
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也 和这条斜线垂直。 1°定理中四条线均针对 同一平面而言
直线在平面内的射影
X
p Q
O
自一点向平面引垂
线，垂足叫做这点在这 个平面上的射影；
这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平 面的垂线段。
A
B
C
一条直线和一个平面 相交，但不和这个平面垂 直，这条直线叫做这个平 面的斜线，斜线和平面的 交点叫做斜足。
的面在定线的平在斜斜段斜面斜线线叫线上线上段做上的的一。这任射射点点意影 影与到一， 上斜这点一 。足个间平
B CD
=cos cos
3.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面
练 成角，B是A在上的射影,OD是内的
习 直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则
sin =
6 3
。
练习
A
4.已知斜线段的长是它
在平面β上射影的2倍，
求斜线和平面β所成的 β B
O
角。
如图，斜线段AB是其射影OB的
两倍，求AB与平面β所成的角。
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂 足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；
垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段 在这个平面上的射影。
A
B
C
E
D
从平面外一点向这个
平面所引的垂线段和斜线 段AB、AC、AD、AE… 中，那一条最短？
垂线段比任何一条斜线段都短
A
OB=OC AB=AC
OB＞OC AB ＞AC
O
C
AB=AC OB=OC
B
AB ＞AC OB＞OC
射影相等的两条斜线段相等，射影 较长的斜线段也较长
相等的斜线段的射影相等，较长的 斜线段的射影也较长
A
定理 从平面外一