2016-2017学年福建省厦门市高二下学期期末数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）抛物线x2=4y上一点P（a，1）到焦点的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）甲、乙、丙、丁4人站成一排，要求甲、乙相邻，则不同的排法数是（）A．6 B．12 C．18 D．244．（5分）在一次投篮训练中，甲、乙两人各投一次，设p：“甲投中”，q：“乙投中”，则“至少一人没有投中”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q 5．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，N为BB1的中点，则直线AN与B1C所成角的余弦值是（）A．B．C．D．6．（5分）已知正态分布密度函数φμ，σ（x）=，x∈（﹣∞，+∞），以下关于正态曲线的说法错误的是（）A．曲线与x轴之间的面积为1B．曲线在x=μ处达到峰值C．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移D．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”7．（5分）若（1﹣x）n的二项展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中所有项的系数的绝对值之和是（）A．1 B．256 C．512 D．10248．（5分）现有红、黄、蓝三种颜色供选择，在如图所示的五个空格里涂上颜色，要求相邻空格不同色，则不同涂色方法的种数是（）A．24 B．36 C．48 D．1089．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中记录割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2﹣中“…”即代表无限次重复，但原式是个定制x，这可以通过方程2﹣=x解得x=1，类比之，=（）A．B．﹣1或2 C．2 D．410．（5分）已知函数f（x）=（x2+ax+b）e x+1的大致图象如图所示，则a、b的值可能是（）A．a=﹣1，b=2 B．a=3，b=﹣2 C．a=4，b=4 D．a=﹣1，b=﹣211．（5分）抛物线C：y2=2px（p＞0）与椭圆E：+=1（a＞b＞0）有相同焦点F，两条曲线在第一象限内的交点为A，若直线OA的斜率为2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．﹣1 D．12．（5分）已知函数f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），且x≥1时，f（x）=xlnx，若不等式f（e x+1）≥f（ax+1）对任意x∈[0，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣e，e]B．[﹣，]C．[﹣e，]D．（﹣∞，e]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）x2（1+）5展开式中的常数项是．14．（5分）（x +cosx ）dx= ．15．（5分）已知p ：a ≤m ，q ：函数f （x ）=sin2x ﹣ax 在[0，]上单调递增，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 ． 16．（5分）已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F （c ，0），双曲线C 上一点N 满足|ON |=c ，若双曲线的一条渐近线平分∠FON ，则双曲线的两条渐近线方程是 ．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）教育部考试中心在对高考试卷难度与区分性能分析的研究中，在2007至2016十年间对每年理科数学的高考试卷随机抽取了若干样本，统计得到解答题得分率x 以及整卷得分率y 的数据，如下表：（1）利用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；（精确到0.01） （2）若以函数y=0.85﹣0.01来拟合y 与x 之间的关系，计算得到相关指数R 2=0.87，对比（1）中模型，哪一个模型拟合效果更好？参考公式：=，=﹣，R 2=1﹣参考数据：≈3.7，≈5，≈1.89，≈1.429，≈0.006，（y i﹣）2≈0.036其中表示（1）中拟合直线对应的估计值．18．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣6x+b（b＞0）在x=2处取得极值．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）有两个零点，求f（x）在x=1处的切线方程．19．（12分）某商场周年庆，准备提供一笔资金，对消费满一定金额的顾客以参与活动的方式进行奖励，顾客从一个装有大小相同的2个红球和4个黄球的袋中按指定规则取出2个球，根据取到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种取球规则的方案：方案一：一次性随机取出2个球；方案二：依次有放回取出2个球．（1）比较两种方案下，一次抽奖获得50元奖金概率的大小；（2）为使得尽可能多的人参与活动，作为公司负责人，你会选择哪种方案？请说明理由．20．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，将△CBD沿BD翻折到△EBD的位置．（1）求证：直线BD⊥平面ACE；（2）若二面角E﹣BD﹣C的大小为60°，∠DBE=60°，求直线CE与平面ABE所成角的正弦值．21．（12分）已知圆C：x2+（y﹣）2=经过椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点F1、F2，点N为圆C与椭圆E的一个交点，且直线F1N过圆心C．（1）求椭圆E的方程；（2）直线l与椭圆E交于A、B两点，点M的坐标为（3，0），若•=﹣3，求证：直线l过定点．22．（12分）已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax，a∈R．（1）讨论f（x）的极值；（2）若≤ax对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围（其中e为自然对数的底数）．2016-2017学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数在复平面上对应的点的坐标得答案．【解答】解：∵=，∴复数在复平面上对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．（5分）抛物线x2=4y上一点P（a，1）到焦点的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义转化求解即可．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点坐标（0，1），准线方程为：y=﹣1，由抛物线的定义可得：抛物线x2=4y上一点P（a，1）到焦点的距离是：2．故选：B．【点评】本题考查抛物线的定义、简单性质的应用，考查计算能力．3．（5分）甲、乙、丙、丁4人站成一排，要求甲、乙相邻，则不同的排法数是（）A．6 B．12 C．18 D．24【分析】根据题意，分2步进行分析：①、用捆绑法分析：将甲乙看成一个整体，考虑两人之间的顺序，②、将这个整体与丙、丁进行全排列，求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、将甲乙看成一个整体，考虑两人之间的顺序，有A22=2种情况，②、将这个整体与丙、丁进行全排列，有A33=6种顺序，则有2×6=12种不同的排法；故选：B．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意要求“甲、乙相邻”，需要用捆绑法分析．4．（5分）在一次投篮训练中，甲、乙两人各投一次，设p：“甲投中”，q：“乙投中”，则“至少一人没有投中”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【分析】根据题意，分析可得￢p与￢q的意义，又由“至少一人没有投中”即“甲没有投中”或“乙没有投中”，由复合命题的意义即可得答案．【解答】解：根据题意，设p：“甲投中”，q：“乙投中”，则￢p表示甲没有投中，￢q表示乙没有投中，“至少一人没有投中”即“甲没有投中”或“乙没有投中”，则“至少一人没有投中”可表示为（￢p）∨（￢q）；故选：A．【点评】本题考查简易逻辑的性质以及应用，注意理解“至少一人没有投中”的含义．5．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，N为BB1的中点，则直线AN与B1C所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【分析】建立空间直角坐标系，先求向量，，夹角的余弦值，可得异面直线所成角的余弦值，可得答案．【解答】解：分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，可得D（0，0，0），A（2，0，0），N（2，2，1），B1（2，2，2），C（0，2，0），∴=（0，2，1），=（﹣2，0，﹣2），∴∴cos＜，＞==﹣，∴异面直线DE与B1C所成角的余弦值为，故选：D．【点评】本题考查异面直线所成的角，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．6．（5分）已知正态分布密度函数φμ，σ（x）=，x∈（﹣∞，+∞），以下关于正态曲线的说法错误的是（）A．曲线与x轴之间的面积为1B．曲线在x=μ处达到峰值C．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移D．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”【分析】根据函数的性质判断．【解答】解：由概率之和为1可知A正确；∵﹣≤0，∴φ（x）≤，当且仅当x=μ时取等号，故B正确；当σ一定时，曲线的形状是固定的，曲线关于直线x=μ对称，故C正确；当μ一定时，曲线的对称轴固定，∴σ越小是，曲线的最大值越大，故曲线月高瘦，故D错误．故选D．【点评】本题考查了正态分布曲线的性质，属于基础题．7．（5分）若（1﹣x）n的二项展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中所有项的系数的绝对值之和是（）A．1 B．256 C．512 D．1024【分析】由（1﹣x）n的二项展开式中仅有5项的二项式系数最大，得到n=8，由此能求出展开式中所有项的系数的绝对值之和．【解答】解：∵（1﹣x）n的二项展开式中仅有第5项的二项式系数最大，∴n=8，∴展开式中所有项的系数的绝对值之和是：=28=256．故选：B．【点评】本题考查二项展开式中所有项的系数的绝对值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项式定理的合理运用．8．（5分）现有红、黄、蓝三种颜色供选择，在如图所示的五个空格里涂上颜色，要求相邻空格不同色，则不同涂色方法的种数是（）A．24 B．36 C．48 D．108【分析】根据题意，从左到右依次分析5个空格的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先给左边第一个位置涂色，可以涂3种不同的颜色中的任意一种，有3种涂法，再给第二个位置涂色，只能涂剩余的两种中的一种有，有2种涂法，同理：第三、四、五个位置都只有2中涂法，则一共有3×2×2×2×2=48种涂色方法；故选：C．【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，解答此题的关键是正确分类，分类要做到不重不漏．9．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中记录割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2﹣中“…”即代表无限次重复，但原式是个定制x，这可以通过方程2﹣=x解得x=1，类比之，=（）A．B．﹣1或2 C．2 D．4【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．【解答】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令=m（m＞0），则两边平方得，则2+=m2，即2+m=m2，解得，m=2，m=﹣1舍去．故选：C．【点评】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题．10．（5分）已知函数f（x）=（x2+ax+b）e x+1的大致图象如图所示，则a、b的值可能是（）A．a=﹣1，b=2 B．a=3，b=﹣2 C．a=4，b=4 D．a=﹣1，b=﹣2【分析】根据得f（0）=b+1＜0，排除A、C，利用导数求得函数的极小值点大于零，排除B，可得答案．【解答】解：结合图象，令x=0，可得f（0）=b+1＜0，∴b＜﹣1，故排除A、C．令f′（x）=（2x+a）e x=0，求得x=﹣，可得﹣是函数的极小值点，结合图象，﹣＞0，∴a＜0，故排除B，故选：D．【点评】本题主要考查函数的图象特征，利用导数研究函数的极值，属于中档题．11．（5分）抛物线C：y2=2px（p＞0）与椭圆E：+=1（a＞b＞0）有相同焦点F，两条曲线在第一象限内的交点为A，若直线OA的斜率为2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．﹣1 D．【分析】由题意可得：=．设A（x0，2x0）．代入y2=2px．则=2px0，x0＞0，解得x0．把x=c代入椭圆方程可得：=1，y＞0．解得y=，可得p=．于是=2，进而得出离心率．【解答】解：由题意可得：=．设A（x0，2x0）．代入y2=2px．则=2px0，x0＞0，解得x0=．把x=c代入椭圆方程可得：=1，y＞0．解得y=．∴p=．∴=2，化为：+4﹣4=0，解得：=2﹣2．∴e====﹣1．故选：C．【点评】本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），且x≥1时，f（x）=xlnx，若不等式f（e x+1）≥f（ax+1）对任意x∈[0，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣e，e]B．[﹣，]C．[﹣e，]D．（﹣∞，e]【分析】函数f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称．x≥1时，f（x）=xlnx，由于f′（x）＞0，可得函数f（x）单调递增；x ＜1时，函数f（x）单调递减．①当ax+1≥1时，由不等式f（e x+1）≥f（ax+1）对任意x∈[0，3]恒成立，可得a≥0，e x+1≥ax+1，即e x≥ax，对任意x∈[0，3]恒成立．x=0时恒成立．x∈（0，3]时a≤，令g（x）=，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．②当ax+1＜1时，ax＜0．由不等式f（e x+1）≥f（ax+1）化为f（1﹣e x）≥f（ax+1）对任意x∈[0，3]恒成立，a＜0．x＜1时，函数f（x）单调递减．可得1﹣e x≤ax+1，化简利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：函数f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称．x≥1时，f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1≥1＞0，因此函数f（x）单调递增；可得x＜1时，函数f（x）单调递减．e x+1＞1．①当ax+1≥1时，由不等式f（e x+1）≥f（ax+1）对任意x∈[0，3]恒成立，∴a≥0，e x+1≥ax+1，即e x≥ax，对任意x∈[0，3]恒成立．x=0时恒成立．x∈（0，3]时a≤，令g（x）=，g′（x）=，可得x=1时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（1）=e．∴a≤e．∴0≤a≤e．②当ax+1＜1时，ax＜0．由不等式f（e x+1）≥f（ax+1）化为f（1﹣e x）≥f（ax+1）对任意x∈[0，3]恒成立，∴a＜0．∵x＜1时，函数f（x）单调递减．∴1﹣e x≤ax+1，即﹣e x≤ax．x=0时恒成立．当x∈（0，3]时，a≥﹣，令h（x）=﹣，h′（x）=，可得x=1时，函数h（x）取得极大值即最大值，h（1）=﹣e．∴﹣e≤a＜0．综上可得：﹣e≤a≤e．故选：A．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）x2（1+）5展开式中的常数项是40．【分析】先求出（1+）5展开式中含的项，再计算x2（1+）5展开式中的常数项．【解答】解：（1+）5展开式中的通项公式为：T r+1=•，当r=2时，•=；∴x2（1+）5展开式中的常数项是x2•=40．故答案为：40．【点评】本题考查了二项展开式通项公式的应用问题，是基础题．14．（5分）（x+cosx）dx=2．【分析】由于F（x）=x2+sinx为f（x）=x+cosx的一个原函数即F′（x）=f（x），根据∫a b f（x）dx=F（x）|a b公式即可求出值．【解答】解：∵（x2++sinx）′=x+cosx，∴（x+cosx）dx=（x2+sinx）=2．故答案为：2．【点评】此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道中档题15．（5分）已知p：a≤m，q：函数f（x）=sin2x﹣ax在[0，]上单调递增，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（﹣∞，1）．【分析】由q：函数f（x）=sin2x﹣ax在[0，]上单调递增，先求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，根据三角形函数的性质求出a的范围，再根据p是q的充分不必要条件即可求出m的取值范围【解答】解：∵函数f（x）=sin2x﹣ax在[0，]上单调递增，∴f′（x）=2cos2x﹣a≥0，在[0，]上恒成立，∴a≤2cos2x，∵x∈[0，]，∴2x∈[0，]，∴1≤2cos2x≤2，∴a≤1，∵p是q的充分不必要条件，p：a≤m，∴m＜1，故答案为：（﹣∞，1）【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离，考查函数的单调性的运用，属于中档题．16．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），双曲线C上一点N满足|ON|=c，若双曲线的一条渐近线平分∠FON，则双曲线的两条渐近线方程是y=±2x．【分析】设双曲线的左焦点为F'，连接NF'，可得NF'与渐近线平行，即有NF⊥NF'，设|NF'|=m，运用双曲线的定义和正切函数的定义，求得m，再由勾股定理和渐近线方程，即可得到所求．【解答】解：设双曲线的左焦点为F'，连接NF'，由双曲线的渐近线y=x垂直平分线段NF'，可得NF'与渐近线平行，即有NF⊥NF'，设|NF'|=m，由双曲线的定义可得|NF|=2a+m，由渐近线的斜率可得tan∠NF'F==，解得m=，在直角三角形NFF'中，可得（2c）2=m2+（2a+m）2，即有4c2=（）2+（）2，由c2=a2+b2，化简可得（b﹣a）2=a2，即为b=2a，则双曲线的两条渐近线方程是y=±x，即为y=±2x．故答案为：y=±2x．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的定义和垂直平分线的性质，以及勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）教育部考试中心在对高考试卷难度与区分性能分析的研究中，在2007至2016十年间对每年理科数学的高考试卷随机抽取了若干样本，统计得到解答题得分率x以及整卷得分率y的数据，如下表：（1）利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（精确到0.01）（2）若以函数y=0.85﹣0.01来拟合y与x之间的关系，计算得到相关指数R2=0.87，对比（1）中模型，哪一个模型拟合效果更好？参考公式：=，=﹣，R2=1﹣参考数据：≈3.7，≈5，≈1.89，≈1.429，≈0.006，（y i﹣）2≈0.036其中表示（1）中拟合直线对应的估计值．【分析】（1）根据题意n=10，计算平均数与回归系数，写出线性回归方程；（2）根据相关指数R2=0.87，计算（1）中模型的相关指数R2≈0.83，比较得出（2）中拟合效果要好些．【解答】解：（1）根据题意，n=10，=x i=0.37，=y i=0.5，==≈0.67，=﹣=0.5﹣0.67×0.37≈0.25，∴y关于x的线性回归方程=0.67x+0.25；（2）以函数y=0.85﹣0.01来拟合y与x之间的关系，计算得到相关指数为R2=0.87，又（1）中模型，计算相关指数为R2=1﹣=1﹣≈0.83，∵0.87＞0.83，∴（2）中拟合效果要好些．【点评】本题考查了线性回归方程的求法与根据相关指数判断拟合效果的应用问题，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣6x+b（b＞0）在x=2处取得极值．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）有两个零点，求f（x）在x=1处的切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得f′（2）=0，解方程可得a，再由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）由f（x）的单调区间，可得f（﹣1）为极大值b+，f（2）为极小值b﹣10，由b＞0且f（x）有两个零点，可得b=10，求得f（x）在x=1处切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求切线的方程．【解答】解：（1）函数f（x）=x3+ax2﹣6x+b（b＞0）的导数为f′（x）=3x2+2ax﹣6，由f（x）在x=2处取得极值，可得f′（2）=12+4a﹣6=0，解得a=﹣，即有f′（x）=3x2﹣3x﹣6，由f′（x）＞0，可得x＞2或x＜﹣1；由f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜2．则f（x）的增区间为（﹣∞，﹣1），（2，+∞）；减区间为（﹣1，2）；（2）由f（x）=x3﹣x2﹣6x+b（b＞0），由f（x）的增区间为（﹣∞，﹣1），（2，+∞）；减区间为（﹣1，2），可得f（﹣1）为极大值b+，f（2）为极小值b﹣10，由f（x）有两个零点，可得b﹣10=0，即b=10，f（x）=x3﹣x2﹣6x+10的导数为f′（x）=3x2﹣3x﹣6，可得f（x）在x=1处的切线斜率为﹣6，切点为（1，），则f（x）在x=1处的切线方程为y﹣=﹣6（x﹣1），即为12x+2y﹣19=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19．（12分）某商场周年庆，准备提供一笔资金，对消费满一定金额的顾客以参与活动的方式进行奖励，顾客从一个装有大小相同的2个红球和4个黄球的袋中按指定规则取出2个球，根据取到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种取球规则的方案：方案一：一次性随机取出2个球；方案二：依次有放回取出2个球．（1）比较两种方案下，一次抽奖获得50元奖金概率的大小；（2）为使得尽可能多的人参与活动，作为公司负责人，你会选择哪种方案？请说明理由．【分析】（1）记在方案一下一次抽奖获得的奖金为随机变量ξ，在方案二下一次抽奖获得的奖金为随机变量η，方案二中，从6个球中任取一球，恰是红球的概率p=，利用古典概型求出P（ξ=50），利用相互独立事件概率乘法公式求出P （η=50），由P（ξ=50）＜P（η=50），得到第二种方案一次抽奖获得50元奖金概率更大．（2）求出选择方案一时的数学期望E（ξ）和选择方案二时的数学期望E（η），由E（ξ）＜E（η），作为公司负责人应选择方案一才能使尽可能多的人参与活动．【解答】解：（1）记在方案一下一次抽奖获得的奖金为随机变量ξ，在方案二下一次抽奖获得的奖金为随机变量η，方案二中，从6个球中任取一球，恰是红球的概率p=，则P（ξ=50）==，P（η=50）=（）2=，∵P（ξ=50）＜P（η=50），∴第二种方案一次抽奖获得50元奖金概率更大．（2）方案一：P（ξ=5）==，P（ξ=10）==，P（ξ=50）=，E（ξ）==，方案二：P（η=5）=（1﹣）2=，P（η=10）==，P（η=50）=（）2=，E（η）=，E（ξ）＜E（η），作为公司负责人应选择方案一才能使尽可能多的人参与活动．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，将△CBD沿BD翻折到△EBD的位置．（1）求证：直线BD⊥平面ACE；（2）若二面角E﹣BD﹣C的大小为60°，∠DBE=60°，求直线CE与平面ABE所成角的正弦值．【分析】（1）连结AC、BD，交于点O，连结EO，推导出EO⊥BD，CO⊥BD，由此能证明BD⊥平面ACE．（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与平面ABE所成角的正弦值．【解答】证明：（1）连结AC、BD，交于点O，连结EO，∵四边形ABCD为菱形，∴EO⊥BD，CO⊥BD，∵EO∩CO=O，EO，CO⊂平面ACE，∴BD⊥平面ACE．解：（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=2，则C（0，，0），E（0，，），A（0，﹣，0），B（1，0，0），=（0，﹣，），=（﹣1，﹣，0），=（﹣1，，），设平面ABE的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（﹣，1，﹣），设直线CE与平面ABE所成角为θ，则sinθ===．∴直线CE与平面ABE所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．21．（12分）已知圆C：x2+（y﹣）2=经过椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点F1、F2，点N为圆C与椭圆E的一个交点，且直线F1N过圆心C．（1）求椭圆E的方程；（2）直线l与椭圆E交于A、B两点，点M的坐标为（3，0），若•=﹣3，求证：直线l过定点．【分析】（1）由题意可知：丨F1N丨=3，根据中位线定理，即可求得丨NF2丨=2丨OC丨=，利用椭圆的定义，即可求得a的值，代入圆的方程，即可求得c的值，即可求得椭圆方程；（2）方法一：分类讨论，设直线l的方程，代入椭圆方程，根据向量的坐标运算，即可求得t的值，即可证明直线l过定点P（2，0）；方法二：同理，由图形的对称轴，直线l所过定点在x轴上，不妨设定点P（t，0）设直线l：y=k（x﹣2），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得•=﹣3．【解答】解：（1）由题意可知：圆心为（0，），半径r=，直线F1N过圆心C，则直线F1N过圆心的直径，则丨F1N丨=3，O，C分别为F1N及F1F2N中点，则OC为△NDF1F2的中位线，则丨NF2丨=2丨OC丨=，则2a=丨NF2丨+丨NF1丨=4，即a=2，将F2（c，0）代入圆方程，解得：c=，则b==，∴椭圆的标准方程为：；（2）证明：方法一：证明若直线l不平行x轴，这直线l：x=my+t，则，整理得：（m2+2）y2+2mty+t2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则△=12m2﹣8t2+96＞0，则y1+y2=﹣，y1y2=，则•=（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=﹣3，则﹣+（t﹣3）2+3=0，整理得：3t2﹣12t+12=0，解得：t=2，满足△＞0，直线l垂直y轴，设直线y=n，将y=n代入椭圆，整理得：x2=12﹣12n2，则x1x2=12n2﹣12，x1+x2=0，则•=﹣（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=3n2﹣3=﹣3，解得：n=0，即直线l也过定点P（2，0），则直线l过定点P（2，0）．方法二：证明：由图形的对称轴，直线l所过定点在x轴上，不妨设定点P（t，0）若直线l垂直与x轴，直线l：x=t，代入椭圆方程，则A（t，），B（t，﹣）或A（t，﹣），B（t，），由•=﹣3，则（t﹣3）2﹣=﹣3，整理得：t2﹣4t+4=0，解得：t=2，（2）设直线l不垂直与x轴时，设直线l：y=k（x﹣2），联立方程：，整理得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，△=16（4k2+3）＞0由•=（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=（x1﹣3）（x2﹣3）+k2（x1﹣2）（x1﹣2），=（1+k2）x1x2﹣（3+2k2）（x1+x2）+9+4k2，=，==﹣3，符合题意，综上可知：直线l恒过定点（2，0）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax，a∈R．（1）讨论f（x）的极值；（2）若≤ax对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围（其中e为自然对数的底数）．【分析】（1）求出﹣a，（x＞﹣1），a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，）上单调递增，无极值；当a＞0时，，当﹣1＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，由此能求出当a≤0时，f （x）无极值；当a＞0时，f（x）有极大值﹣lna+a﹣1，无极小值．（2）推导出≤ax，即ln（x+1）﹣axe x≤0，记F（x）=ln（x+1）﹣axe x （x≥0），只需F（x）max≤0，，由此利用导数性质及分类讨论思想能求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ln（x+1）﹣ax，a∈R，∴﹣a，（x＞﹣1），①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，）上单调递增，无极值；②当a＞0时，，当﹣1＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，）上单调递增；当x＞时，f′（x）＜0，f（x）在（，+∞）上单调递减．∴y=f（）=﹣lna+a﹣1，无极小值．极大值综上：当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）有极大值﹣lna+a﹣1，无极小值．（2）∵≤ax对任意x∈[0，+∞）恒成立，∴≤ax，∴ln（x+1）﹣axe x≤0，记F（x）=ln（x+1）﹣axe x（x≥0），只需F（x）max≤0，∴，①当a≤0时，＞0，a（x+1）e x≤0，∴F′（x）＞0，F（x）在[0，+∞）上是单调递增函数，∴当x＞0时，F（x）＞F（0）=0，不合题意，舍去．②当a＞0时，．（i）当a≥1时，∵x≥0，∴a（x+1）2e x≥1，∴≤0，∴F（x）在[0，+∞）上单调递减，故当x≥0时，F（x）≤F（0）=0，符合题意．（ii）当0＜a＜1时，记g（x）=1﹣a（x+1）2e x，（x≥0），∴g′（x）=﹣a（x+1）（x+3）e x＜0，g（x）在[0，+∞）上单调递减，又g（0）=1﹣a＞0，g（﹣1）=1﹣＜0，∴存在唯一x0∈（0，），使得g（x0）=0，当0＜x＜x0时，g（x）＞g（x0）=0，从而＞0，即F（x）在（0，x0）上单调递增，∴当0＜x＜x0时，F（x）＞F（0）=0，不符合要求，舍去．综上，得a≥1．即实数a的取值范围是[1，+∞）．【点评】本题考查导数的运用、函数的单调性、极值、最值等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类讨论、化归与转化等数学思想，是中档题．。