1.2.4--平面与平面的位置关系 平面与平面平行的判定
1.2.4平面与平面的位置关系(韩)-----两平面平行
图1
图2
怎样判定两个平面平行：
探究：
（ ）若内有一条直线a与 平行， 1 则 与 平行吗？
a
a
（两平面平行） （两平面相交）
探究：
（2）若内有两条直线a、b分别与 平行, 则 与 平行吗？
1 若a // b时，则 与 平行吗？
a
b
a
b
（两平面平行）
（两平面相交）
4) 若两个平面分别经 过两条平行直线，则 这两个平面平行。 ×
反 例
选做题
C1 E
在三棱柱ABC－A1B1C1中， 点E，D分别是B1C1与BC的 中点,求证： 平面A1EB∥平面C1AD
A1
B1
C D A B
我们今天有哪些收获？
1、两平面的位置关系： ①两平面相交 ②两平面平行 2、两平面平行： ①定义 ②判定定理（线面平行证面面平行,将空间问 是否正确，错的举反例。 （1）已知平面， 和直线m，n, 若m ，n ，m// ,n// 则 //
m n
×
反 例
(2)一个平面内两条不平行的直线 都平行于另一个平面 , 则 //
3）平行于同一条直线的 两个平面平行. ×
a
反 例
平面与平面的位置关系
(第一课时)
乳源高级中学
韩众
回忆
？
1)空间两条直线的位置关系有哪几种?
平行直线 相交直线 异面直线
它们是按什么标准分类？
2)直线与平面的位置关系有哪几种?
线在面内 线面平行 线面相交
它们又是按什么标准分类？
平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系【要点】一．平面与平面的位置关系两平面平行：平面与平面没有交点；两平面相交：平面和平面有一条公共直线。
二．两平面平行1．两平面平行的判定：（1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线线平行，则线面平行）。
（2）垂直直于同一直线的两平面平行。
（3）平行于同一平面的两平面平行。
2．两平面平行的性质（1）两平行平面被第三个平面所截，则交线互相平行。
（2）直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个。
（3）过平面外一点，有且只有一个平面与之平行。
（4）两平面平行，则在其中一个平面内的所有直线必平行于另一个平面。
（5）两平行平面中的一个垂直于一个平面，则另一个也垂直于这个平面。
三．两平面垂直1．两平面垂直的定义：如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
2．平面与平面垂直的判定：（1）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
（2）一平面垂直于两平行平面中的一个，则必垂直于另一个。
3．平面和平面垂直的性质：（1）两平面互相垂直，则在其中一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。
（2）过一平面内一点而垂直于另一平面的直线必在这一平面（3）两相交平面同时垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面。
（3）过不垂直于平面的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。
【复习要求】平面与平面的位置关系两个平面的位置关系只有平行（没有公共点）和相交（有一条公共直线）两种情况。
（1）两个平面平行的判定和性质定理。
（2）两个平面垂直的判定和性质定理。
（3）二面角和二面角的平面角。
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做二面角的平面角。
这就是说，顶点在棱上，也分别在两个半面内，边与棱垂直是构成二面角的平面角的三个条件。
求二面角的平面角的大小步骤：首先，根据定义或其它办法做出二面角的平面角，要注意理论依据，不能凭印象或直观。
原创1：1.2.2 空间中的平行关系（三）（讲授式）
C'
观察：观察右边的长方体，平面B′D′与平面BD
平行，平面ABCD内的直线BD与平面B′D′内的直线
有哪些位置关系呢？它们满足什么条件时平行？
D'
A'
B'
C
B
D
A
观察猜想：平面B′D′与平面BD内的直线只有两种位置关系：平行或异面.
平面B′D′∩平面CD′ = C′D′ ，平面BD∩平面CD′=CD，由长方体的性质可知，
平面相交.
④夹在两个平行平面间的所有平行线段相等.
第
一
章
立
体
几
何
初
步
例2 如图,在长方体 − ′′′′中,
求证:平面′//平面’’.
分析：只要证明一个平面内有两条相交直线
和另一个平面平行即可．
− ′ ′ ′ ′ 是正方体，
证明： ∵
∴AB//DC//D’C’且AB=DC=D’C’.
⟹ 是平行四边形.
⟹ BC′//AD′.
线平行的转化策略.
课堂练习
一．判断下列命题的真假；
1．如果两个平面不相交，那么它们就没有共公点；
2．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
3．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
4．已知两个平行平面中的一个平面内有一条直线，
则在另一个平面内有且只有一条直线与已知直线平行；
面面平行⇌线线平行
典例精讲
平面与平面平行判定定理的应用
例5 已知三个平行平面α、β、γ与两条异面直线l,m分别交于
A、B、C 和D、E、F.求证：
平面与平面平行的性质和判定
两个平面平行的性质定理与结论：（面面平行→线线平行）②如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。
（面面平行→线面平行）面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行⇒面面平行）面面平行的判定方法：①面面平行的定义：两个平面无公共点。
②判定定理：////a b a b a b Pββαα⊂⊂⋂= ⇒ //αβ平面与平面平行的判定练习一、选择题；1．设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的有 ( )①l ⊂α,m ⊂α,且l ∥β,m ∥β；②l ⊂α,m ⊂α,且l ∥m ；③l ∥α,m ∥β,且l ∥mA 1个B 2个C 3个D 0个2． 已知：命题：P ：α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等；命题：Q ：α∥β，则下面成立的是（ ）A P ⇒Q ，P ⇐QB P ⇐Q ，P ⇒QC P ⇔Q ，D P ⇒Q ， P ⇐Q3．下列命题中，可以判断平面α∥β的是（ ）①α，β分别过两条平行直线；②a ，b 为异面直线，α过a 平行b ，β过b 平行a ；A ①B ②C ①②D 无4．下列命题中为真命题的是（ ）A 平行于同一条直线的两个平面平行B 垂直于同一条直线的两个平面平行C 若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．D若三条直线a、b、c两两平行，则过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c都平行．5．下列命题中正确的是( )①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行A ①②B ②③C ③④D ②③④二、填空题；6．下列命题中正确的是（填序号）；①一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；②如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③平行于同一直线的两个平面一定相互平行；④如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；7．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是；8．如右图,点P是光源,将投影片放在平面α内,问投影幕所在平面β与平面α______时,投影图象的形状不发生变化.三、解答题；9.平面α∥平面β，AB，CD是异面直线，M，N分别是AB，CD的中点，且A1∈α，BD∈β，求证：MN∥α.10．已知四面体ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，P为AC上一点，且AP：PC=2：1，求证：（1）BD∥面CMN；（2）平面MNP//平面BCD.11．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CB1D1；。
平面与平面平行的判定(公开课课件)
•1、平面β内有一条直线与平面α平行，平面α， β一定平行吗？ （不一定） •2、平面β内有两条直线与平面α平行，平面α， β一定平行吗？
两平行直线 （不一定） 两相交直线 （ ？）
探索
一平面内两条相交直线都平行于 另一平面
两平面位置关系？
师生协助 探索新知
判定方法2：平面与平面平行的判定定理：
转化
面面平行
空间问题
线面平行
转化
转化
线线平行
平面问题
与 平×行；
（3）、一个平面内两条不平行的直线都平行于 平面，则与 平行。 √
（4）、如果一个平面内的任何一条直线都平行于另
一个平面，那么这两个平面平行。 √
（5）如果一个平面内的一条直线平行于另一个平
面，那么这两个平面平行 ×
直线的条数 不是关键
直线相交才是关键
定理的理解:
练习.（课本练习第1题）1判断下列命题是否正确，正确
收获
1.平面与平面平行的判定：
1、定义法： 平面和平面没有公共点 2、面面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面
平行，则这两个平面平行。
2.应用判定定理判定面面平行时应注意: 证明的书写三个条件“内”、“交”、“平行”，缺一不可。 3.应用判定定理判定面面平行的关键是找平行线
4．数学思想方法：转化的思想
复习回顾
复习1：平面几何中证明两直线平行有 些什么方 法？
复习2：直线与平面平行的判定方法？ 复习3：两个平面的位置关系？
复习回顾：
1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线与平面平行的方法呢?
（1）定义法；直线与平面没有交点 （2）直线与平面平行的判定定理：
1.2.4平面与平面的位置关系(3)(2014年人教A版数学必修二导学案)
课题：1.2.4 平面与平面的位置关系（3）导学案
班级： 【学习目标】 姓名： 学号： 第 学习小组
面面平行、面面垂直的判定定理、性质定理的综合运用 【课前预习】 1、两个平面平行的判定定理和性质定理：
2、两个平面垂直的判定定理和性质定理：
【课堂研讨】
例 1、如图 ABCD 是边长为 8 2 的正方形，E，F 分别为 AD，AB 的中点， PC 平面 ABCD，PC=3， (1) 求二面角 P-EF-C 的正切值； (2) 在 PC 上确定一点 M，使平面 MBD//平面 PEF，并说明理由； P
D E A F B
C
/ /
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例 2、
a, , ，求证： a ．
α
β
γ
例 3、如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC=3，BC=4， AB=5，AA1=4，D 是 AB 的中点． （1）求证：AC⊥BC1； （2）求证：AC1// 面 CDB1．
D
C
B 4．如图，平面A ∥平面β ，点 A、C∈ ，B、D∈β ，点 E、F 分别在线段 AB、CD 上，且
AE CF ，求证：EF∥β ． EB FD
A C
α E
F
β B
D
/ /
2．如图，四面体 ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是正三角形．求证：BC⊥AD． A
B
D
C 3．如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形且与底面 ABCD 垂直， ∠ADC=60°且 ABCD 为菱形． (1)求证：PA⊥CD； (2)求异面直线 PB 和 AD 所成角的 余弦值； (3)求二面角 P-AD-C 的正切值． P
两平面平行的判定和性质
a'
β
b'
a
A
α
b
例4：已知P在△ABC所在的平面外，点A’、B’、C’分别是△PAB、 △PBC、△PAC的重心。求证：平面A’B’C’∥平面ABC.
P
思考：能否求出 △ A’B’C’与△ ABC 的面积之比？
C′
A′ A D B F
B′
C
E
小结：
1 两个平面的位置关系：相交
平行（及定义）
问题：下面两组平面哪一组看上去象平行平面？ α
a b
β
（１）
（２）
如果一个平面与两个平行平面相交，会 有什么结果出现？
三、两平面平行的性质
定理：如果两个平行平面同时与第三个平面 相交，那么它们的交线平行。
思考：两平面平行的性质定理与线面平行 例３：求证夹在两平行平面间的两条平行 的性质定理有什么不同？ 线段相等。 已知： a∥β AB和DC为夹在a、 D A β间的平行线段。 求证： AB＝DC 证明：
B
C
证明： 连接AD、BC ∵AB//DC
A
D ∴ AB和DC确定平面AC
B
C
又因直线AD、BC分别是平面 AC与平面a、β的交线， ∴AD//BC，四边形ABCD是平行 四边形
∴AB＝DC
例5：平行于同一个平面的两个平面平行。
已知：α∥γ，β∥γ 求证：α ∥β
α A B
构造两个相交的平面M和N平面， 分别与α 、β 、γ 平面相交与a、c、 β e和b、d、f
思路1：在平面PAD内 找MN平行线。 思路2：过MN构造平面PAD 的平行平面。 B H
A M
N
1.2.4平面与平面的位置关系(1)
a A
α
图1 2 45
分层训练
必做题：Ｐ41 练习 3; P45 习题 1； 2； 4；5 选做题：Ｐ46
作业：
习题
习题 3
10
Ｐ46Байду номын сангаас
例1 如图1 2 43, 在长方体 ABCD A`B`C `D`中, 求证 : 平面C `DB // 平面AB`D`.
D`
A` D A B
C` B`
C
图1 2 43
如果两个平面平行那么: , 1一个平面内的直线是否 平行另一个平面 ? 2分别在两个平行平面内 的两条直线是否平行 ?
共点,而它的下底面与平面ABC1 D1 则有一条交线.
如果两个平面没有公共 , 我们就说这 点 两个平面 平行. 如果两个平面有一个公 共点,由公理 2 可知, 那么
它们相交于经过这点的 一条直线.
两个平面的位置关系有 :
位置关系 两平面平行
两平面相交
有一条公共直线
公共点
符号表示 图形表示
没有公共点
两个平面平行的性质定 理
已知 : // , a, b 图1 2 44 . 求证 : a // b .
a
b
图1 2 44
例2 求证 : 如果一条直线垂直于两 个平行平面中 的一个平面 那么它也垂直于另一个 , 平面.
已知 : // , l 图1 2 45. 求证 : l .
该检测原理是:
两个平面平行的判定定 如果一个平面内 理
有两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这 两个平面平行.
用符号表示为图1 2 42 : 若a , b , a b A, 且 a // , b // , 则 // .
13.2.4 平面与平面的位置关系(教学课件)-高中数学苏教版(2019)必修第二册
平面平行,再由两平面平行的性质得到线面平行.
2.空间中线线、线面、面面平行关系的转化如下:
变式训练2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AB,A1D1的中点.判
断直线MN与平面BB1D1D的位置关系,并证明你的结论.
三条交线可能交于一点.
三、两个平面平行的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个
文字语言 平面平行
两条相交直线不能改成两条直线
符号语言 a⊂α,b⊂α,a∩b=A,a∥β,b∥β ⇒α∥β
图形语言
名师点析 定理中,要紧紧抓住“两条”“相交”“平行”这六个字,否则条件不充
分,结论不成立.
子以厚德载物.”在这里,圆是天地周而复始运转不息的象征,方是大地之旷
远宽厚稳重的象征.我国古代的钱币,外部是圆形,内部是方孔,看似朴实无
华,但蕴含着古人智慧和人生哲理.我们学习过的旋转体圆柱就蕴含着长方
形的截面,它是如何得到的?能否用数学原理解释截面的形状?
【知识梳理】
一、平面平行和平面相交的定义
PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D.
(1)求证:AC∥BD;
(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长.
分析(1)由面面平行的性质定理直接推证;(2)先由三角形相似得对应线段成
比例,再求值.
(1)证明 ∵PB∩PD=P,
∴直线PB和PD确定一个平面γ,
则α∩γ=AC,β∩γ=BD.又α∥β,∴AC∥BD.
⇒a∥b.应用时题目条件中需有线面平行.(4)面
⋂ =
∥
面平行的性质定理:⋂ = ⇒a∥b.应用时题目条件中需有面面平行或证
直线与平面、平面与平面平行的判定(附答案)
直线与平面、平面与平面平行的判定[学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.知识点一直线与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊄αb⊂αa∥b⇒a∥α思考若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗答根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误.知识点二平面与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊂α，b⊂αa∩b＝Aa∥β，b∥β⇒α∥β思考如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗答不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内.题型一直线与平面平行的判定定理的应用例1 如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.证明(1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD.∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.跟踪训练1 在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC.证明如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心，所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1.所以MN∥PQ.又因为MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC，所以MN∥平面ADC.题型二面面平行判定定理的应用例2 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1.证明由棱柱性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC，又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D，又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.连接DE，同理，EB1綊BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綊B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.跟踪训练2 已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，点G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点.求证：(1)E，B，F，D1四点共面；(2)平面A1GH∥平面BED1F.证明(1)∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2.又∵BG∥A1E，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1G∥BE.连接FG.∵C1F＝B1G，C1F∥B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形，∴FG＝C1B1＝D1A1，FG∥C1B1∥D1A1，∴四边形A1GFD1是平行四边形，∴A1G∥D1F，∴D1F∥EB.故E，B，F，D1四点共面.(2)∵H是B1C1的中点，∴B1H＝32 .又∵B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， ∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB .又由(1)知，A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ，FB ∩BE ＝B ， ∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .题型三 线面平行、面面平行判定定理的综合应用例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点.问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO 请说明理由.解 当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO .理由如下：连接PQ .∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点， ∴PQ ∥DC ∥AB ，PQ ＝DC ＝AB ，∴四边形ABQP 是平行四边形，∴QB ∥PA .又∵O为DB的中点，∴D1B∥PO.又∵PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.跟踪训练3 如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，E，F分别是棱CC1，BB1上的点，EC＝是线段AC上的动点，当点M在何位置时，BM∥平面AEF请说明理由.解当M为AC中点时，BM∥平面AEF.理由如下：方法一如图1，取AE的中点O，连接OF，OM.∵O，M分别是AE，AC的中点，∴OM∥EC，OM＝12 EC.又∵BF∥CE，EC＝2FB，∴OM∥BF，OM＝BF，∴四边形OMBF为平行四边形，∴BM∥OF.又∵OF⊂面AEF，BM⊄面AEF，∴BM∥平面AEF.方法二如图2，取EC的中点P，连接PM，PB.∵PM是△ACE的中位线，∴PM∥AE.∵EC＝2FB＝2PE，CC1∥BB1，∴PE＝BF，PE∥BF，∴四边形BPEF是平行四边形，∴PB∥EF.又∵PM⊄平面AEF，PB⊄平面AEF，∴PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.又∵PM∩PB＝P，∴平面PBM∥平面AEF.又∵BM⊂面PBM，∴BM∥平面AEF.面面平行的判定例4 已知在正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别是A′D′，A′B′的中点，在该正方体中是否存在过顶点且与平面AMN平行的平面若存在，试作出该平面，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.分析根据题意画出正方体，根据平面AMN的特点，试着在正方体中找出几条平行于该平面的直线，然后作出判断，并证明.解如图，与平面AMN平行的平面有以下三种情况：下面以图①为例进行证明.如图①，取B′C′的中点E，连接BD，BE，DE，ME，B′D′，可知四边形ABEM是平行四边形，所以BE∥AM.又因为BE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.因为MN是△A′B′D′的中位线，所以MN∥B′D′.因为四边形BDD′B′是平行四边形，所以BD∥B′D′.所以MN∥BD.又因为BD⊂平面BDE，MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE.又因为AM⊂平面AMN，MN⊂平面AMN，且AM∩MN＝M，所以由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN∥平面BDE.1.过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( )A.不可能作出B.只能作出一个C.能作出无数个D.上述三种情况都存在2.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )个或2个个或1个个个3.若线段AB，BC，CD不共面，M，N，P分别为线段AB，BC，CD的中点，则直线BD与平面MNP的位置关系是( )A.平行B.直线在平面内C.相交D.以上均有可能4.在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G5.梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________.一、选择题1.下列说法正确的是( )①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.A.①③B.②④C.②③④D.③④2.平面α与平面β平行的条件可以是( )A.α内有无穷多条直线与β平行B.直线a∥α，a∥β，且直线a不在α与β内C.直线a⊂α，直线b⊂β，且b∥α，a∥βD.α内的任何直线都与β平行3.六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有( )对对对对4.如果直线a平行于平面α，那么下列命题正确的是( )A.平面α内有且只有一条直线与a平行B.平面α内有无数条直线与a平行C.平面α内不存在与a平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a都平行5.在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形6.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( )A.平行B.相交C.平行或相交D.可能重合7.已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( )∥β，l⊂α⇒α∥β∥β，m∥β，l⊂α，m ⊂α⇒α∥β∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥β∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β二、填空题8.三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________.9.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________.10.右图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG；其中正确结论的序号是________.三、解答题11.如图，在已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.12.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AB的中点，点N在侧面AA1D1D上运动，点N满足什么条件时，MN∥平面BB1D1D当堂检测答案1.答案D解析设直线外两点为A、B，若直线AB∥l，则过A、B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A、B没有平面与l平行.2.答案B解析①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面又至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.3.答案A解析连接NP，因为N、P分别是BC、CD的中点，M是AB的中点，AB、BC、CD不共面，所以直线BD不在平面MNP上.∴直线BD与平面MNP平行.4.答案A解析如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1，又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，∴平面E1FG1∥平面EGH1.5.答案CD∥α解析因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.课时精练答案一、选择题1.答案D解析如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，在平面ABCD内，在AB上任取一点E，过点E作EF∥AD，交CD于点F，则由线面平行的判定定理，知EF，BC都平行于平面ADD1A1，用同样的方法可以在平面ABCD内作出无数条直线都与平面ADD1A1平行，但是平面ABCD与平面ADD1A1不平行，因此①②都错；③正确，事实上，因为一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面，所以这两个平面必无公共点(要注意“任意一条直线”与“无数条直线”的区别)；④是平面与平面平行的判定定理，正确.2.答案D解析 对于A 项，当α与β相交时，α内也有无数条直线都与交线平行，故A 错误；对于B 项，当a 平行于α与β的交线时，也能满足，但此时α与β相交，故B 错误；对于C 项，当a 和b 都与α与β的交线平行时，也能满足，但此时α与β相交，故C 错误；对于D 项，α内的任何直线都与β平行，故在一个平面内存在两条相交直线平行于另一平面，故D 正确. 3.答案 C解析 侧面中有3对，对面相互平行，上下两底面也相互平行. 4.答案 B解析 如图，直线B 1C 1∥平面ABCD ，B 1C 1∥BC ，B 1C 1∥AD ，B 1C 1∥EF (E ，F 为中点)等，平面ABCD 内平行于BC 的所有直线均与B 1C 1平行.但AB与B 1C 1不平行.5.答案 B解析 易证EF ∥平面BCD .由AE ∶EB ＝AF ∶FD ，知EF ∥BD ，且EF ＝15BD .又因为H ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以HG∥BD，且HG＝12BD.综上可知，EF∥HG，EF≠HG，所以四边形EFGH是梯形，且EF∥平面BCD.6.答案C解析若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交.7.答案D解析如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，则AB∥平面DC1，AB⊂平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面⊂平面BC1，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以B错误；可证AD∥B1C1，AD⊂平面AC，B1C1⊂平面BC1，又平面AC与平面BC1不平行，所以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确.二、填空题8.答案平行解析如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2，又AE∶ES＝2，∴EG∥SF，又SF⊂平面SBC，EG⊄平面SBC，∴EG∥平面SBC.9.答案①②③④解析以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的.10.答案①②③④解析把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理判断即可.三、解答题11.证明因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，所以MQ∥AD，NQ∥BP.因为BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，所以NQ∥平面PBC.又因为底面ABCD为平行四边形，所以BC∥AD，所以MQ∥BC.因为BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，所以MQ∥平面PBC.又因为MQ∩NQ＝Q，所以根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.12.解如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，分别取棱A1B1，A1D1，AD的中点E，F，G，连接ME，EF，FG，GM.因为M是AB的中点，所以ME∥AA1∥FG，且ME＝AA1＝FG.所以四边形MEFG是平行四边形.因为ME∥BB1，BB1⊂平面BB1D1D，ME⊄平面BB1D1D，所以ME∥平面BB1D1D.在△A1B1D1中，因为EF∥B1D1，B1D1⊂平面BB1D1D，EF⊄平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D.又因为ME∩EF＝E，且ME⊂平面MEFG，EF⊂平面MEFG，所以平面MEFG∥平面BB1D1D.在FG上任取一点N，连接MN，所以MN⊂平面MEFG.所以MN与平面BB1D1D无公共点.所以MN∥平面BB1D1D.总之，当点N在平面AA1D1D内的直线FG上(任意位置)时，都有MN∥BB1D1D，即当点N在矩形AA1D1D中过A1D1与AD的中点的直线上运动时，都有MN∥平面BB1D1D.。
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a
归 纳 猜 想：
b
a
如果一个平面内有两条相交直线都平行与另外一个平 面，那么这两个平面平行！
基 本 定 理：
平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个 平面，那么这两个平面平行。
a // b b // b
aI b= P
a // b
b
a
P b
a
a蘟 b蘟
定 理 应 用： 判断（或证明）面面平行
// b （ // b （ // b （
） ） ）
3.若平面 a 内有无数条直线与平面 b平行 则 a 4.若平面 a ， b 分别经过两条平行直线，则 a
// b （ ）
例 题 讲 解：
例1
已知：在正方体ABCD-A1B1C1D1中 求证：平面C1BD//平面AD1B1
D1 A1 D A B
C1
定 理 探 究：
问题3，如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面， 那么这两个平面是否平行？
B1
C
目 标 训 练： 如图所示，P是正方形所在平面外的一点， PD⊥平 面ABCD,O、E、F分别为AC、PA、PB的中点，
求证：平面EOF//平面PDC
P
E D A
F C O B
如图：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设M、N分别为棱 A1B1、A 1D1的中点，E、F分别为棱B1C1、C1D1的中点
江苏省宿迁中学
高一数学备课组
知识回顾 问题1：空间直线与直线之间有哪些位置关系？ 问题2：空间直线与平面之间有哪些位置关系？
自主探究：
仔细观察长方体各个面并探索 A1 两个平面之间有哪些位置关系？
D1 B1 D B
C1
C
A
平面与平面的位置关系
内容
位置关系
两平面平行 无公共点
两平面相交
有一条公共直线
公共点个数
图形表示
（直观图）
a
b
l
a
b
符号表示
a // b
aI b=l
思考：以前在哪些地方接触过平面与平面平行？
定 理 探 究： 问题4，如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个 平面，那么这两个平面是否平行？
思 考 总 结： 从以上几个问题中 思考:对我们发现寻找平面与平面平行的判定方 法有什么启发？ P b
应 用思 路： 线线平行 线面平行 面面平行
基 本 定 理：
平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交直线都平行于一 个平面，那么这两个平面平行。
a // b b // b
aI b= P
a // b
b
a
P b
a
a蘟 b蘟
应 用 关 键：
在一个平面内找到两条相交直线，都平行 于另外一个平面
目 标 训 练： 判断下列命题是否正确，若正确，请简述理由，若不正 确，请给出反例. 1.若平面 a 内有一条直线与平面b 平行 则 a 2.若平面 a 内有两条直线与平面b 平行 则 a
求证：（1）E、F、B、D四点共面；
（2）面AMN∥面EFDB。 N A1 D1
F
B1 E
C1
M
D
C B
A
目 标 训 练： 已知：如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中，E、D分别 是B1C1、BC的中点 求证：平面A1EB//平面ADC1
A1 C D A B C1
E
B1
学 习 交 流：
蓦然回首：
这节课我的收获是什么？谈谈自己的心得体会 本节课我们用到了那些数学思想方法？
课堂作业 ：P40 ：2 同步学案：P40-41
P45： 10
定 理 探 究： 问题1，如果一个平面内有一条直线平行于另一个平面， 那么这两个平面是否平行？
定 理 探 究： 问题2，如果一个平面内有两条直线平行于另一个平面， 那么这两个平面是否平行？