中考必会几何模型：角平分线四大模型
角平分线四大模型
模型1 角平分线的点向两边作垂线
如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作
PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，则PB＝PA
模型分析
利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的
距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形
全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突
破口
模型实例
（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分
∠CAB，BC＝6,BD＝4,那么点D到直线AB的距离
是
（2）如图②，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平
分∠BAC
练习
1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝
DC,BD平分∠ABC ，
求证：∠BAD＋∠BCD＝180°
2.如图，△ABC的外角∠ACD∠的平分线CP与内
角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，
则∠CAP＝.
模型2 截取构造对称全等
如图，P是∠MON的平分线上的一点，点A是射
线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA,连接
PB，则△OPB≌△OPA
模型分析
利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称
全等三角形，可以得到对应边，对应角相等，利用
对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用
的一种解题技巧
模型实例
（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由
解题：PB+PC＞AB+AC
证明：在BA的延长线上取点E,使AE＝AC,连接
PE，∵AD平分∠CAE
∴∠CAD＝∠EAD，在△AEP与△ACP中，
∵AE＝AC，∠CAD＝∠EAD,
AP＝AP，
∴△AEP≌△ACP （SAS），
∴PE＝PC
∵在△PBE中：PB+PE＞BE,
BE＝AB+AE＝AB+AC，
∴PB+PC＞AB+AC
（2）如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，
其它条件不变，试比较PC－PB与AC－AB的大小，
并说明理由
解答：AC-AB>PC-PB
证明:在△ABC中, 在AC上取一点E,使
AE=AB ，
∴AC-AE=AB-AC=BE
∵AD平分∠BAC ，
∴∠EAP=∠BAP ，在△AEP和△ACP中
∴△AEP≌△ABP (SAS)
∴PE=PB
∵在△CPE中CE>CP-PE
∴AC-AB>PC-PB
练习
1.已知，在△ABC中，∠A＝2∠B,CD是∠ACB
的平分线，AC＝16,AD＝8,
求线段BC的长
2.在△ABC中，AB＝AC,∠A＝108°,BD平分
∠ABC，
求证：BC＝AB＋CD
模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形
如图，P是∠MON的平分线上一点，AP丄OP于
P点，延长AP交ON于点.B,则△AOB是等腰三角
形.
模型分析
构造此模型可以利用等腰三角形的"三线合一”，也
可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边.
对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合
一联系了起来.
模型实例
如图.己知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°,
AB=AC, BD平分∠ABC, CE丄BD.垂足为E.求证：
BD=2CE.
解答：如图，延长CE、BA交于点F
,∵CE丄BD于E, ∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠CED.
∴∠ABD=∠ACF.
又∵AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°,
∴△ABD≌△ACF
∴ BD=CF.
∵BD平分∠ABC
∴∠CBE=∠FBE. 又BE=BE
∴△BCE≌△BFE.
∴CE=EF.
∴BD=2CE.
练习
1.如图.在△ABC中.BE是角平分线.AD丄BE.垂足
为D.求证：∠2=∠1+∠C.
2.如图.在△ABC中. ∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的
平分线, BE丄AD于点E.
求证:
1
()
2
BE AC AB
=-.
模型4 角平分线+平行线
模型分析
有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的
平行线. 构造等腰三角形.为证明结论提供更多的
条件.体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关
系.
模型实例
解答下列问题：
(1)如图①.△ABC中，EF∥BC,点D在EF上,BD、
CD分别平分∠ABC、∠ACB.写出线段EF与BE、
CF有什么数量关系？
(2)如图②，BD平分∠ABC,CD平分外角∠ACG.
DE//BC交AB于点E,交AC于点F，线段EF与BE、
CF有什么数量关系？并说明理由.
(3)如图③，BD、CD为外角∠CBM 、∠BCN的平
分线，DE//BC交AB延长线于点E.交AC延长线于
点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么数关系？
解答：(1) ∵EF//BC,
∴∠EDB=∠DBC.
∴BD平分∠EBC，
∴∠EBD=∠DBC=EDB.
∴EB=ED.
同理：DF=FC.
∴EF=ED+DF=BE+CF.
(2)图②中有EF=BE=CF，
BD平分∠BAC
,∴∠ABD=∠DBC.又DE//BC、
∴∠EDB=∠DBC.
∴DE=EB.同理可证：CF=DF
∴EF=DE-DF=BE-CF.
EF=BE+CF.
练习
1.如图. 在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交
于点E.过点E作MN∥BC交AB于M点. 交AC
于N点.若BM+CN=9，则线段MN的长为.
解答：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点
E,∴MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB.
∵MN//BC,
∴∠EBC=∠MEB, ∠NEC=∠ECB.
∴∠MBE-∠MEB, ∠NEO=∠ECN.
∴BM=ME, EN=CN.
∴MN=ME+EN,即MN=BM+CN.
∵BM+CN=9,
∴MN=9.
2. 如图. 在△ABC中,AD平分∠BAC.点E、F分別
在BD，AD上,EF∥AB.且DE=CD,求证：EF=AC.
3.如图.梯形ABCD中,AD∥BC,点E在CD上,且AE 平分∠BAD.BE平分∠ABC.求证：AD=AB-BC.
证明：延长AD、BE交于点F.
∵AD∥BC,
∴∠2=∠F.
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠F.
∴AB=AF.
∵AE平分∠BAD
∴BE=EF.
∵∠DEF=∠CEB,
∴△DEF≌△CEB.
∴DF=BC.
∴AD=AF-DF=AB-BC.