山路引理在二阶椭圆型方程组中的应用

4 在二阶椭圆型方程组中的应用接下来我们应用山路引理来证明变系数二阶椭圆型方程组边值问题的非平凡解的存在性。

问题 考虑变系数二阶椭圆型方程组⎪⎩⎪⎨⎧Ω∂∈==Ω∈-=+∇-Ω∈-=+∇-x v u x v u x h v x g v x b v a div x v u x h u x f u x b u a div ,0),,,(),()())x ((),,,(),()())x ((222111λλ )6( 的非平凡解的存在性。

其中Ω是)3(≥N R N 中的有界区域，且具有光滑的边界Ω∂。

0)(),(21>x a x a ；0)(),(21≥x b x b ；11:,R R g f →⨯Ω,1121:,R R h h ⨯⨯Ω是Caratheodory 方程，并且存在方程11:R R H ⨯⨯Ω满足)),,(),,,(()),,(),,,((),,(21v u x h v u x h v u x H v v u x H u v u x H =∂∂∂∂=∇不失一般性，我们设⎰+=),()0,0(21)),,(),,((),,(v u dv v u x h du v u x h v u x H现在我们考虑问题(6)的非平凡解的存在性，亦即考虑求泛函⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩΩ+-+∇+-+∇=dxv u x H dx v x G dx v x b v x a dx u x F dx u x b u x a v u ),,(),(|)(||)(|21),(|)(||)(|21),(22222121λϕλ在)()(1010Ω⨯ΩH H 的临界点。

其中⎰⎰==vudss x g v x G dss x f u x F 00),(),(),(),(和⎰+=),()0,0(21),,(),,(),,(v u dw w s x h ds w s x h v u x H接下来我们需要f(x,u)和F(x,u)分别满足以下假设条件：)(1f ),(R R C f ⨯Ω∈，对于某个0,220*1><<c p)|||(||),(|101-+≤p u u c u x f ；)(2f 存在0,211>>R α，使得对于任意的Ω∈>x R u ,||1),(),(01u x uf u x F ≤<α)(3f ελ-≤→10|/),(|lim u u x f u ， 对Ω∈x 一致；)(4f ||/),(u u x f 是一个关于})0{\(R u u ∈的增函数；其中 ε 是一个很小的常数，1λ是算子∙⋅+∙⋅-)())((11x b x a div 在Dirichlet 零边界条件下的主特征值。

同样g(x,v)和G(x,v)满足以下条件：)(1g ),(R R C g ⨯Ω∈，对于某个0,220*2><<c p)|||(||),(|102-+≤p v v c v x g ；)(2g 存在0,221>>R β，使得对于任意的Ω∈>x R v ,||2),(),(01v x vg v x G ≤<β)(3g ελ-≤→20|/),(|lim v v x g v ， 对Ω∈x 一致；)(4g ||/),(v v x g 是一个关于})0{\(R v v ∈的增函数；其中ε是一个很小的常数，2λ是算子∙⋅+∙⋅-)())((22x b x a div 在Dirichlet 零边界条件下的主特征值。

对于H(x,u,v),h 1(x,u,v)和h 2(x,u,v)，我们需要以下的假设：)(1h )(1R R C H ⨯⨯Ω∈，并且对于任意的)(,1Ω∈H v u ， ;0)0,,(),0,(),0,()0,,(2211====u x h v x h v x h u x h)(2h k v u x H ≥),,(，k 是一个非正的常数；)(3h 存在0,1,11111><<<<c ββαα，和R>0使得当R v u ≥+||||时，)|||(|1121βαv u d vh uh +≤+.我们首先定义在)()(1010Ω⨯ΩH H 空间中的范数为：2121||||||||||),(||v u v u +=其中⎰⎰ΩΩ+∇=+∇=dxv x b v x a dxu x b u x a u ])(||)([||v ||])(||)([||||2222221211下面我们来证明它是一个范数。

证： 首先由于||),(||v u 的定义，可以知道||),(||∙∙是一个非负函数。

接下来验证其满足范数的条件。

(a) 已知0||),(||≥v u 同时由||),(||v u 的构造我们可以得到)0,0(),(0||),(||=⇔=v u v u 。

(b) )()(),(),,(10102211Ω⨯Ω∈∀H H v u v u⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ+∇∇++++∇∇++=+++=++∇+∇+++∇+∇=+dxv v x b v v x a v v dxu u x b u u x a u u v v u u dxv v x b v v x a dxu u x b u u x a v u v u ])()([2||||||||])()([2||||||||||||||||]))((||)([]))((||)([||),(),(||21221222222121121121221122212121221222122211221122211另一方面)||||||)(||||||||(||2||||||||||||||||||)),(||||),((||22221222121122222121221122211v u v u v v u u v u v u ++++++=+由柯西不等式可得)])(||)([])(||)([()])(||)([])(||)([()])()([])()([(2222222212212112122112112212212211211⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩΩΩ+∇++∇⋅+∇++∇≤+∇∇++∇∇dx v x b v x a dx u x b u x a dx v x b v x a dx u x b u x a dx v v x b v v x a dx u u x b u u x a所以可以得出||),(||||),(||||),(),(||22112211v u v u v u v u +≤+。

(c) )()(),(,10100Ω⨯Ω∈∀K ∈∀H H v u α||),(||])(||)([])(||)([]))((||)([]))((||)([||),(||022*******2022022012010v u dxv x b v x a dx u x b u x a dxv x b v x a dx u x b u x a v u ααααααα=+∇++∇=+∇++∇=⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ故上述定义的||),(||v u 是一个范数。

定理4： 若f(x,u)和F(x,u)满足)()(41f f -，g(x,v)和G(x,v)满足)()(41g g -，并且H(x,u,v)，),,(1v u x h 和),,(2v u x h 满足)()(31h h -，那么二阶椭圆型方程组(6)至少有一个非零解。

证明: 为了利用山路引理，我们需要逐条验证该引理的条件。

1 验证P.S.条件。

设)()()},({1010Ω⨯Ω⊂=H H v u w n n n ，满足 ⎩⎨⎧→→,0)(',)(n n w c w ϕϕλ )7(我们有)1(),,()()(21o c v u x H v u n n n n +=++⎰Ωλϕϕ )8(其中,),(])(||)([21)(,),(])(||)([21)(2222221211⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ-+∇=-+∇=dx v x G dx v x b v x a v dx u x F dx u x b u x a u ϕϕ)1(),,(),()())((111o v u x h u x f u x b u x a div n n n n n +-=+∇-λ )9( )1(),,(),()())((222o v u x h v x g v x b v x a div n n n n n +-=+∇-λ )10(结合(9)与(10)我们可以得到212222212121||||||||),,(),(])(||)([),,(),(])(||)([n n n n n n n n n n n n n n n n v u dx v u x h v dx v x g v dx v x b v x a dxv u x h u dx u x f u dx u x b u x a --≥+-+∇++-+∇⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩΩΩλλ )11(取),min(211βα<<r ，不失一般性，我们设),min(111βαα=，从(8)与(11)我们得到(当n 足够大时)dxv u x h rv u x h r v u x H dx v x g v rv x G dx u x f u r u x F dxv x b v x a u x b u x a rv u c n n n n n n n n n n n n n n n n n n ⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ--+----+∇++∇-≥+++)],,(1),,(1),,([)],(1),([)],(1),([])(||)()(||)([)121(||||||||1212222212121λ111222*********)|||(|)|||(|)||||||)(||121()),,(),,((),(),()||||||)(||121(1111M dx v u r d dx v u r r d v u r dx v u x h v v u x h u r M dx v x G r r dx u x F r r v u r n n n n n n n n n n n n n n n n ++-+-++-≥+-+-+-++-≥⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩΩβαβαλαλβα其中11,,d M M 均为常数，由此}{},{n n v u 均为有界的，所以存在两个子列}{},{j j n n v u ，满足v v u u j j n n −→−−→−弱弱,。

由于)()(110Ω−−−→−Ωp L H 包含映射为紧致的[12]，从(h 3)可以得到)||||()|||(|1)),,(),,((),,(11101211111βαβαβαv u d dttv tu td dtv tv tu x h u tv tu x h v u x H +≤+≤+=⎰⎰和),,(),(),,(),(),,(),(),,(),(2211v u x h v x g v u x h v x g v u x h u x f v u x h u x f j j j j j j n n n n n n λλλλ+−→−++−→−+弱弱由∙⋅+∙⋅-)())((11x b x a div 与∙⋅+∙⋅-)())((22x b x a div 的紧致性，与(9)，(10)我们最终得到v v u u j j n n →→,。