江苏泰州市届高三上学期第一次模拟考试数学试题word含解析

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}21A x x =≤，集合{}2,1,0,1,2B =--，则AB = ▲ ．【答案】}{1,0,1- 【解析】试题分析：{}[]21=-11A x x =≤，，{}2,1,0,1,2B =--，则A B =}{1,0,1-考点：集合运算2.如图，在复平面内，点A 对应的复数为1z ，若21i z z =（i 为虚数单位），则2z = ▲ ．【答案】2i -- 【解析】试题分析：()-12A ，，112z i =-+，2211i,z (12)2z z i i i i z ===-+=-- 考点：复数运算3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2212x y -=的实轴长为 ▲ ．【答案】【解析】试题分析：由双曲线方程得，a =2a =考点：双曲线性质4.某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么n = ▲ ．（第2题）【答案】200 【解析】试题分析：男学生占全校总人数80012008006002=++，那么1001,2002n n ==考点：分层抽样5.执行如图所示的伪代码，当输入,a b 的值分别为1,3时，最后输出的a 的值为 ▲ ．【答案】5 【解析】试题分析：第一次循环，134,413,112a b i =+==-==+=，第二次循环，415a =+= 考点：伪代码6.甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为15，甲乙下成和棋的概率为25，则乙不输棋的概率为▲ ． 【答案】45【解析】试题分析：“乙不输棋”的对立事件为“甲获胜”，P （乙不输棋）=1-P （甲获胜）=45考点：概率7.已知直线(0)y kx k =>与圆22:(2)1C x y -+=相交于,A B 两点，若AB =，则k = ▲ ． 【答案】12【解析】试题分析：圆心()2,0C ，半径为1，圆心到直线距离d =，而AB =，得221+=⎝⎭，解得12k =考点：直线与圆位置关系8.若命题“存在20,4R x ax x a ∈++≤”为假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】(2,)+∞ 【解析】试题分析：由题意得 20,1640a a >=-<V ，解得2a > 考点：命题真假9.如图，长方体1111ABCD A BC D -中，O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则12V V 的值为 ▲ ．【答案】12【解析】试题分析：设长方体长宽高分别为,,a b c ，1122111111,,322123262Vabc abc V ab c V bc a V =⨯⨯==⨯⨯==考点：棱锥体积10.已知公差为2的等差数列{}n a 及公比为2的等比数列{}n b 满足11220,0a b a b +>+<，则33a b +的取值范围是 ▲ ． 【答案】(,2)-∞- 【解析】1AA试题分析：1122111111210,220,02,2,24a b a b a b a b b b b b +>+=++<<+<--<-=<-，33222222220242a b a b a b b +=++=+++<+-=-，则33a b +的取值范围是(,2)-∞-考点：等差数列与等比数列综合11.设()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()2ln4xxf x =+，记(5)n a f n =-，则数列 {}n a 的前8项和为 ▲ ．【答案】16- 【解析】 试题分析：123456784(4)(3)(2)(1)(0)(1)(2)(3)(4)4(4)2ln164a a a a a a a a f f f f f f f f f f +++++++=-+-+-+-++++=-=-=--=-考点：奇函数性质12.在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 分别为x 轴，y 轴上一点，且2AB =，若点P ，则AP BP OP ++的取值范围是 ▲ ．【答案】[7,11]考点：直线与圆位置关系13.若正实数,x y 满足2(21)(52)(2)xy y y -=+-，则12x y+的最大值为 ▲ ．【答案】12- 【解析】试题分析：令1,(0)2x t t y+=>，则222(22)(52)(2),(45)(88)80yt y y t y t y -=+--+-+=，因此222(88)32(45)0247001t t t t t ∆=---≥⇒+-≤⇒<≤-1t =-时，2440045t y x t -==>=>-，，因此12x y +的最大值为12- 考点：判别式法求最值14.已知函数π()sin()cos cos()262x x f x A x θ=+--（其中A 为常数，(π,0)θ∈-），若实数123,,x x x 满足：①123x x x <<，②31x x -<2π，③123()()()f x f x f x ==，则θ的值为▲ ． 【答案】23π-考点：三角函数图像与性质二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.在ABC ∆中，角,A B 的对边分别为,a b ，向量(cos ,sin ),(cos ,sin )A B B A ==m n ． （1）若cos cos a A b B =，求证：//m n ；（2）若⊥m n ,a b >，求tan 2A B-的值． 【答案】（1）详见解析（2）tan 12A B -= 【解析】试题分析：（1）因为//sin cos sin cos A A B B ⇔=m n ，所以由正弦定理得cos cos sin cos sin cos a A b B A A B B =⇒=，得证（2）由cos cos sin sin 0cos()0A B A B A B ⊥⇔+=⇔-=m n ，又a b >得2A B π-=，从而tantan 124A B π-== 试题解析：证明：（1）因为cos cos a A b B =，所以sin cos sin cos A A B B =，所以//m n . ……………7分 （2）因为⊥m n ，所以cos cos sin sin 0A B A B +=，即cos()0A B -=， 因为a b >，所以A B >，又,(0,)A B π∈，所以(0,)A B π-∈，则2A B π-=，…12分所以tan tan 124A B π-==.……………14分考点：正弦定理，向量平行与垂直16.如图，在三棱锥P ABC -中，90PAC BAC ∠=∠=︒，PA PB =，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点．（1）求证：直线//DF 平面PAC ； （2）求证：PF ⊥AD ．【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行，一般从平面几何中进行寻找，如三角形中位线性质，本题点D ，F 分别为BC ，AB 的中点，故//DF AC 再应用线面平行判定定理即可（2）线线垂直证明，一般利用线面垂直的判定及性质定理，经多次转化进行论证：先从平面几何中找垂直，∵PA PB =，F 为AB 的中点，∴PF AB ⊥，再利用线面垂直判定定理进行转化，由已知条件AC AB ⊥及AC AP ⊥，转化到AC ⊥平面PAB ，再转化到AC PF ⊥，因此得到PF ⊥平面ABC ，即AD PF ⊥．试题解析：证明（1）∵点D ，F 分别为BC ，AB 的中点， ∴//DF AC ，又∵DF ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，∴直线//DF 平面PAC ． ……………6分 （２）∵90PAC BAC ∠=∠=︒， ∴AC AB ⊥，AC AP ⊥， 又∵ABAP A =，,AB AP 在平面PAB 内，∴AC ⊥平面PAB ， ……………8分 ∵PF ⊂平面PAB ，∴AC PF ⊥，∵PA PB =，F 为AB 的中点，∴PF AB ⊥， ∵AC PF ⊥，PF AB ⊥，ACAB A =，,AC AB 在平面ABC 内，∴PF ⊥平面ABC ， ……………12分 ∵AD ⊂平面ABC ，∴AD PF ⊥． ……………14分考点：线面平行判定定理，线面垂直的判定及性质定理17.一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以v 5的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ． （1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域； （2）求时间T 最短时cos θ的值．【答案】（1）11()56sin 6T vv v θθθ=++，[,]44θ∈π3π（2）2cos 3θ=【解析】试题分析：（1）小球从A 到F 所需时间为T 分两段计算：56AE EF v v，；而AE θ=，EF 必过圆心O ，所以11sin EF θ=+，从而11()5656sin 6AE EF T v v v v vθθθ=+=++，又由矩形限制得定义域[,]44θ∈π3π （2）利用导数求函数最值：先求导数22221cos 6sin 5cos (2cos 3)(3cos 2)()56sin 30sin 30sin T v v v v θθθθθθθθθ-+-'=-==-，再求导函数零点02cos 3θ=， 列表分析得结论当2cos 3θ=时，时间T 最短． 试题解析：解：（1）过O 作OG BC ⊥于G ，则1OG =，1sin sin OG OF θθ==，11sin EF θ=+，AE θ=， 所以11()5656sin 6AE EF T v v v v vθθθ=+=++，[,]44θ∈π3π．……7分（写错定义域扣1分） （2）11()56sin 6T vv vθθθ=++，22221cos 6sin 5cos (2cos 3)(3cos 2)()56sin 30sin 30sin T v v v v θθθθθθθθθ-+-'=-==-，…………9分 记02cos 3θ=，0[,]44θ∈π3π，故当cos 3θ=时，时间T 最短． …………14分 考点：函数实际问题，利用导数求函数最值18.已知数列{},{}n n a b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和． （1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n =，23a =，求数列{}n a 的通项公式； （3）在（2）的条件下，设nn na cb =，求证：数列{}nc 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积． 【答案】（1）12n b =（2）1n a n =+（3）详见解析 【解析】试题分析：（1）先根据等比数列通项公式得1211()2()333n n n a -=-=--，再根据等比数列前n 项和公式得21[(1()]1133[(1()]1231()3n n n S --==----，代入2(2)n n nS a b =+得11()213222()23nn n n n S b a --===+--+（2）由题意得22n n S na n =+，因此利用n S 与n a 关系得112(1)2n n S n a ++=++，112(1)2n n n a n a na ++=+-+即1(1)2n n na n a +=-+，12(2)1(1)n n a a n n n n n +-=-≥--，利用累加法得21242[1]3111111n n n a a a n a n n n n n --=--⇒=-⇒=+----（3）因为1n n c n +=，所以由111n k t n k t +++=⋅确定k,t ，解不定方程，首先先分离(1)n k t k n+=-，再根据整数性质，可取1k n =+，则(2)t n n =+.试题解析：解：（1）因为1211()2()333n n n a -=-=--， 21[(1()]1133[(1()]1231()3n n n S --==----， …………2分所以11()2131222()23nn n n n S b a --===+--+． …………4分 （2）若n b n =，则22n n S na n =+，∴112(1)2n n S n a ++=++， 两式相减得112(1)2n n n a n a na ++=+-+，即1(1)2n n na n a +=-+， 当2n ≥时，1(1)(2)2n n n a n a --=-+，两式相减得11(1)(1)2(1)n n n n a n a n a -+-+-=-，即112n n n a a a -++=， …………8分 又由1122S a =+，22224S a =+得12a =，23a =， 所以数列{}n a 是首项为2，公差为321-=的等差数列， 故数列{}n a 的通项公式是1n a n =+． …………10分（3）由（2）得1n n c n+=， 对于给定的*n N ∈，若存在*,,,k t n k t N ≠∈，使得n k t c c c =⋅，只需111n k t n k t +++=⋅， 即1111(1)(1)n k t +=+⋅+，即1111n k t kt =++，则(1)n k t k n+=-， …………12分取1k n =+，则(2)t n n =+，∴对数列{}n c 中的任意一项1n n c n +=，都存在121n n c n ++=+和2222212n n n n c n n+++=+使得212n n n n c c c ++=⋅． …………16分考点：等比数列通项公式及前n 项和公式，累加法求和，不定方程正整数解19.如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆:O 224x y +=，椭圆:C 2214x y +=， A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中6(,0)5D -．设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ． （1）求12k k 的值；（2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数λ，使得PQ BC k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由； （3）求证：直线AC 必过点Q ．【答案】（1）1214k k =-（2）52λ=（3）详见解析试题解析：解：（1）设00(,)B x y ，则00(,)C x y --，220014x y +=所以2200012220000111422424x y y y k k x x x x -=⋅===--+--． …………4分 （2）联立122(2)4y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222111(1)44(1)0k x k x k +-+-=， 解得211122112(1)4,(2)11P P Pk k x y k x k k --==-=++，联立122(14y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得2222111(14)164(41)0k x k x k +-+-=，解得211122112(41)4,(1414B B Bk k x y k x k k --===++， …………8分所以121241B BC B y kk x k -==-，121122112141562(1)641515P PQ P k y k k k k k x k -+-===--+++，所以52PQ BC k k =，故存在常数52λ=，使得52PQ BC k k =． …………10分 （3）当直线PQ 与x 轴垂直时，68(,)55Q --，则28156225AQ k k -===--，所以直线AC 必过点Q ．当直线PQ 与x 轴不垂直时，直线PQ 方程为：12156()415k y x k -=+-， 联立1212256()4154k y x k x y -⎧=+⎪-⎨⎪+=⎩，解得21122112(161)16,161161Q Q k k x y k k --==++， 所以1212211211616112(161)42161AQk k k k k k k +==-=---+，故直线AC 必过点Q ． …………16 分 （不考虑直线PQ 与x 轴垂直情形扣1分） 考点：直线与圆位置关系，直线与椭圆位置关系 20.已知函数()4212f x ax x =-，(0,)x ∈+∞，()()()g x f x f x '=-． (1)若0a >，求证：（ⅰ）()f x 在()f x '的单调减区间上也单调递减； （ⅱ）()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点；(2)若1a >，记()g x 的两个零点为12,x x ，求证：1244x x a <+<+． 【答案】（1）（i ）详见解析（ii ）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）（i ）先确定导函数的单调减区间：因为3()4f x ax x '=-，所以()f x '的递减区间为，再确定x ∈时，32()4(41)0f x ax x x ax '=-=-<，（ii ）()432321140410(0)22g x ax ax x x ax ax x x =--+=⇔--+=>，变量分离得3214(2,0)22x x x x a x -=≠>-，利用导数研究函数3214()2x x x x ϕ-=-得当(0,2)x ∈时，1()x ϕ单调递增，1()x ϕ值域为(0,)+∞；当(2,)x ∈+∞时，1()x ϕ单调递增，且1(4)0ϕ=，1()x ϕ值域为(,)-∞+∞；因此1(0)2y a a=>与1()x ϕ有两个交点，所以1()x ϕ在(0,)+∞上恰有两个零点．（2）由零点存在定理确定12,x x 取值范围：111111(0)0()()22x a ϕϕϕ=<=<，112119(4)0()()22x a ϕϕϕ=<=<，所以1102x <<，2942x <<，121945422x x a <+<+=<+．试题解析：证：（1）（i ）因为()()42102f x ax x x =->，所以3()4f x ax x '=-，由32(4)1210ax x ax '-=-<得()f x '的递减区间为， …………2 分 当x ∈时，32()4(41)0f x ax x x ax '=-=-<， 所以()f x 在()f x '的递减区间上也递减． …………4 分（ii ）解1：()()()42343211(4)422g x f x f x ax x ax x ax ax x x '=-=---=--+， 因为0x >，由()4321402g x ax ax x x =--+=得3214102ax ax x --+=，令321()412x ax ax x ϕ=--+，则21()382x ax ax ϕ'=--，因为0a >，且1(0)02ϕ'=-<，所以()x ϕ'必有两个异号的零点，记正零点为0x ，则0(0,)x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，若()x ϕ在(0,)+∞上恰有两个零点，则0()0x ϕ<， …………7 分 由20001()3802x ax ax ϕ'=--=得2001382ax ax =+，所以0003217()939x ax x ϕ=--+，又因为对称轴为4,3x =所以81()(0)032ϕϕ==-<， 所以08733x >>，所以0003217()()0933x ax x ϕ=---<， 又3222111()41(8)(1)1222x ax ax x ax x x ax ϕ=--+=-+-+，中的较大数为M ，则()0M ϕ>， 故0a >()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点． …………10 分解2：()()()42343211(4)422g x f x f x ax x ax x ax ax x x '=-=---=--+， 因为0x >，由()4321402g x ax ax x x =--+=得3214102ax ax x --+=，令321()412x ax ax x ϕ=--+，若()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点，则()x ϕ在(0,)+∞上恰有两个零点， 当2x =时， 由()0x ϕ=得0a =，此时1()12x x ϕ=-+在(0,)+∞上只有一个零点，不合题意；当2x ≠时，由321()4102x ax ax x ϕ=--+=得321422x x a x -=-， …………7 分 令322148()2422x x x x x x x ϕ-==-----， 则22122572[()]2(58)24()0(2)(2)x x x x x x x x ϕ-+-+'==>--， 当(0,2)x ∈时，()x ϕ单调递增，且由2824,2y x x y x =--=--值域知 ()x ϕ值域为(0,)+∞；当(2,)x ∈+∞时，1()x ϕ单调递增，且1(4)0ϕ=，由2824,2y x x y x =--=--值域知()x ϕ值域为(,)-∞+∞； 因为0a >，所以102a >，而12y a =与1()x ϕ有两个交点，所以1()x ϕ在(0,)+∞上恰有两个零点． …………10 分 （2）解1：由（2）知，对于321()412x ax ax x ϕ=--+在(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ，不妨设12x x <，又因为(0)10ϕ=>，11()(67)028a ϕ=-<，所以1102x <<，……12 分又因为(4)10ϕ=-<，91()(65710)028a ϕ=->，所以2942x <<， 所以121945422x x a <+<+=<+． …………16 分 解2：由（2）知321422x x a x -=-， 因为[0,2)x ∈时，1()x ϕ单调递增，17()212ϕ=，111111(0)0()()22x a ϕϕϕ=<=<， 所以1102x <<， …………12 分当(2,)x ∈+∞时，1()x ϕ单调递增，1981()220ϕ=，112119(4)0()()22x a ϕϕϕ=<=<， 所以2942x <<， 所以121945422x x a <+<+=<+．…………16 分考点：利用导数研究函数单调性，零点存在定理附加题21.A （几何证明选讲，本题满分10分）如图,圆O 是ABC ∆的外接圆,点D 是劣弧BC 的中点,连结AD 并延长,与以C 为切点的切线交于点P ,求证:PC BDPA AC=.【答案】详见解析 【解析】试题分析：由弦切角定理得PCD PAC ∠=∠,因此PCD ∆～PAC ∆，从而PC CDPA AC=，又等弧对等弦，所以CD BD =,即PC BDPA AC=.试题解析：证明：连结CD ，因为CP 为圆O 的切线，所以PCD PAC ∠=∠,又P ∠是公共角，所以PCD ∆～PAC ∆， ……………5分 所以PC CDPA AC= , 因为点D 是劣弧BC 的中点,所以CD BD =,即PC BDPA AC=. ……………10分 考点：三角形相似，弦切角定理21.B （矩阵与变换，本题满分10分）已知矩阵1252M x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为2-,求2M . 【答案】264514M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：由矩阵特征多项式得2(1)(5)0x x λλ---+=一个解为2-，因此3x =，再根据矩阵运算得264514M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦试题解析：解：2λ=-代入212(1)(5)052x x xλλλλ+-=---+=--，得3x =矩阵12532M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦……………5分 ∴264514M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦……………10分 考点：特征多项式21.C （坐标系与参数方程，本题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中,已知直线11:()72x t C t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与椭圆2cos :(0)3sin x a C a y θθθ=⎧>⎨=⎩为参数,的一条准线的交点位于y 轴上,求实数a 的值.【答案】a =【解析】试题分析：利用加减消元得直线1C 普通方程：29x y +=，利用平方关系22cos sin 1θθ+=消参数得椭圆2C 普通方程2221(03)9y x a a +=<<，得准线：y =，因此9=，即a =试题解析：解：直线1C ：29x y +=，椭圆2C :2221(03)9y x a a+=<<， …………………………5分准线：y =9=得，a =…………………………10分考点：参数方程化普通方程21.D （不等式选讲，本题满分10分）已知正实数,,a b c 满足231a b c ++=，求证：24627111a b c++≥. 【答案】详见解析 【解析】试题分析：由均值不等式得246111a b c ++≥，23a b c ≥++24611127a b c ++≥ 试题解析：证明：因为正实数,,a b c 满足231a b c ++=，所以1≥23127ab c ≤， …………………………5分所以23127ab c ≥因此，24611127a b c ++≥ ……………………10分 考点：均值不等式22.如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC = 3，BC = 4，AB = 5，AA 1 = 4．（1）设λ=，异面直线AC 1与CD，求λ的值； （2）若点D 是AB 的中点，求二面角D —CB 1—B 的余弦值．【答案】（1）15λ=或13λ=-（2【解析】试题分析：（1）利用空间向量研究线线角，先建立恰当的空间直角坐标系，设出各点坐标，表示出向量AC1及向量CD 坐标，再根据向量数量积求出向量夹角，最后根据线线角与向量夹角之间关系确定等量关系，求出λ的值（2）先根据方程组求出平面1CDB 的一个法向量及平面1CBB 的一个法向量，再根据向量数量积求出向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系，求二面角的余弦值。