数学分析1期末考试讲解汇编

《数学分析Ⅰ》题目讲解更多精品文档更多精品文档一、 单项选择题（每小题2分，共14分）1、设数列{}n x 满足1112n n n x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且lim n n x →∞=，则为【 】A、0B、1C、12D、22、已知tan,0,()1,0,xxf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩则0x=是()f x的【】更多精品文档A、第一类不连续点B、第二类不连续点C、连续点D、可去不连续点3、已知1sin,0()0,0x xf x xx⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则()f x在0x=处更多精品文档更多精品文档【 】A 、左可导B 、右可导C 、可微D 、不连续4、若0l i m ()x x f x 存在，下列说法一定正确的是更多精品文档【 】A 、()f x 在0x 的任一邻域内有界B 、()f x 在0x 的某一邻域内无界C 、()f x 在0x 的某一邻域内有界D 、()f x 在0x 的任一邻域内无界更多精品文档5、若()f x 在0x =处连续，并且220()lim h f h c h→=，则【 】A 、(0)0f =且(0)f -'存在B 、(0)0f =且(0)f +'存在C 、(0)f c =且(0)f -'存在D 、(0)f c =且(0)f +'存在更多精品文档6、若()f x 在点0x 处存在左、右导数，则()f x 在点0x 处必然【 】A 、可导B 、不可导C 、连续D 、不连续更多精品文档7、下列叙述错误的是【 】A 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 可微；B 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 连续；C 、若()f x 在点0x 可导，则()0()0f x ′=； D 、设()f x 在点0x 可导，则0x 是极值点当仅当更多精品文档0()0f x =′.参考答案：1. B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D二、填空题（每小题3分，共21分）1、33561lim 141xx x x x x →∞⎡⎤++⎛⎫+-=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦更多精品文档2、曲线ln y x =上平行于直线115y x =+的切线的方程为3、设()1f a '=，则 0(2)(3)lim h f a h f a h h→+--=更多精品文档 4、曲线22x y x e -=+的斜渐近线为5、函数32()92415f x x x x =-+-的极小值点x = ______ _6、已知当0x →时ln(1)ax +与1x e -等价，则a =更多精品文档7、()()5n x =参考答案： 1. 114e+； 2. ()15ln55y x =-+；3. 5；4. 2=；y x5. 4；6. 1；n x7. ()ln55三、计算题（每小题6分，共36分）更多精品文档更多精品文档1、计算111lim 1n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭.更多精品文档1、计算111lim 1n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭ 解：设1111n x n n n =+++++1n n n x n n ≤≤++， l i m 1n n n →∞=+，lim 11n n n →∞=+ ，（4分）更多精品文档由夹逼性，lim 1n n x →∞=，即原极限为1。

（6分）2. 求极限2011lim tan x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭更多精品文档 220020011tan lim lim (1)tan tan sin coslim (2)sin sinlim 2sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫= ⎪⎝⎭=+解：分分20 (4)cos 1lim (5)2cos sin 1(6)x x x x x x →⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪+ ⎪⎝⎭=分分分更多精品文档3. 已知()f u 任意次可微，求(ln )y f x 的二阶微分2d y .更多精品文档 3. 已知()f u 任意次可微，求(ln )y f x =的2d y . 解：令ln u x =，则d 1()d y f u x x='， （2分）学习-----好资料更多精品文档[]2222222d ()d 11() (3)d d 11()()()()(ln )(ln )(5)f u y f u x x x xf u f u x x f u f u xf x f x x'-=⋅+'=''⋅-'⋅''-'=''-'=分分 所以，222(ln )(ln )d =d f x f x y x x''-' （6分）更多精品文档更多精品文档4. 求方程2ln(1)y t ⎧⎨=+⎩所确定的函数的导数2d d xy .更多精品文档4.求方程2ln(1)y t ⎧⎨=+⎩所确定的函数的导数2d d xy . 22222232d 1d ()1d 1 (3)d 2d ()2d 11d d d 12 (6)2d d d 41x x x t t t y t y y t t t tx x t t t y y y t t+====+-⎡⎤+===-⎢⎥⎣⎦+解：分分′′5. 设()cos=，求y'.y xsin x更多精品文档解：对等式两端取对数，()ln cos lnsiny x x=，（1分）再对上式两端分别求导，()() sincos ln sin cossin xyx x xy x ''='+（4分）更多精品文档更多精品文档()2cos sin lnsin sin xx x x=-+ （5分）所以，()()2cos cos sin sin lnsin (6)sin xx y x x x x ⎡⎤'=-⎢⎥⎣⎦分 6. 求由方程32xye x y =+所确定的函数()y y x =的微分d y .解：在方程两端对x 求导，得学习-----好资料更多精品文档()223xye y xy y y+'=+'. （3分）解此方程，得223xyxyyeyxe y-'=-。

（4分）所以，22d d3xyxyyey xxe y-=-。

（6分）四、综合题（3小题，共29分）1. 叙述证明题（4小题，共14分）更多精品文档（1）叙述lim n n x A →∞=（A 有限）的N ε-定义；（3分）（2）叙述数列的柯西（Cauchy ）收敛原理；（3分） （3）叙述()f x 在区间I 内一致连续的εδ-定义；（3分）（4）证明()sin f x x =在(,)-∞+∞上一致连续。

（5分）更多精品文档解：（1）lim n n x A →∞=（A 有限）的N ε-定义：对任意给定的0ε>，存在正整数N ，当n N >时，有n x A ε-<。

（3分）（2）数列的柯西（Cauchy ）收敛原理：数列{}n x 收敛的充要条件是{}n x 是一个基本数列。

（3分）更多精品文档（3）()f x 在区间I 内一致连续的εδ-定义：若()f x 在区间I 内满足对任意的0ε>，存在()0δδε=>，使得对I 内任意两点1x 与2x ，当12x x δ-<时，总有12()()f x f x ε-<，则称()f x 在区间I 内一致连续。

（3分）更多精品文档（4）证明：对任意12,x x R ∈，由于 1212121212()()sin sin 2cos sin 22 3f x f x x x x x x x x x -=-+-=≤-（分）更多精品文档故对任意的0ε>，取δε=，则对(,)-∞+∞内任意两点1x 与2x ，当12x x δ-<时，总有12()()f x f x ε-<，即()f x 在(,)-∞+∞上一致连续。

（5分）2. 证明：当0x >时，2ln(1)2x x x x -<+<.（7分） 证明：（1）证明ln(1)x x +<.根据Lagrange 中值定理，更多精品文档 ()ln(1)ln(1)ln11001x x x x x ξξ++-==<<-+这里（2分）由于111ξ<+，所以l n (1)x x +<。

（3分）（2）证明2ln(1)2xx x -<+. 令2()ln(1)2xf x x x =--+，则更多精品文档21()111x f x x x x -'=--=++，（2分）当0x >时，()0f x '<，()f x 严格单调递减，由(0)0f =，知()()00f x x <>，从而2ln(1)2x x x -<+。

（4分）更多精品文档 3. 设()f x 在区间[,]a b 可导，且()0,()0f a f b +->>′′，()()f a f b A ==，证明：（1）存在(,)a b ξ∈使得()f A ξ=；（5分）（2）()f x ′在(,)a b 内至少有两个零点。

（3分）更多精品文档证明：（1）由()()()lim 0x a f x f a f a x a++→-=>-′，存在10δ>，使当1(,)x a a δ∈+时，有()()0f x f a x a->-，此时，()()f x f a A >=。

在1(,)a a δ+中去一点1x ，有更多精品文档1()f x A >；由()()()l i m 0x b f x f b f b x b--→-=>-′，存在20δ>，使当2(,)x b b δ∈-时，有()()0f x f b x b->-，此时，()()f x f b A <=。

在2(,)b b δ-中去一点2x ，有2()f x A <。

（3分）于是，12()()f x A f x >>。

由()f x 在[,]a b 可导，()f x 在[,]a b 连续，由中间值定理，存更多精品文档在12(,)[,]x x a b ξ∈⊂，使得()f A ξ=。

（5分）更多精品文档 （2）由罗尔（Rolle ）定理，在(,)a ξ内至少存在一点1ξ使得1()0f ξ=′，在(,)b ξ内至少存在一点2ξ使得2()0f ξ=′。

故()f x ′在(,)a b 内至少有两个零点。

（8分）。