九年级数学下册2023年中考专题培优训练(培优篇)：函数
九年级数学下册2023年中考专题培优训练（培优篇）：函数
一、单选题
1．下列曲线中不能．．
表示y 是x 的函数的是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
2．如图，直线1:3L y x =+与直线2:L y ax b =+相交于点()4A m ，
，则关于x 的不等式3x ax b +≤+的解集是（ ）．
A ．4x ≥
B ．4x ≤
C ．1x ≥
D ．1x ≤
3．若直线3y x =与x 轴所夹的锐角为α，则sin α的值为（ ） A 3
B ．12
C 3
D 34．下列四个选项中，不符合直线3y x =--的性质特征的选项是（ ） A ．经过第二、三、四象限 B ．y 随x 的增大而减小 C ．与x 轴交于()3,0 D ．与y 轴交于()0,3-
5．已知反比例函数()0k
y k x
=≠，当21x -≤≤-时，y 的最大值是6，则当2x ≥时，y 有（ ）
A ．最小值6-
B ．最小值3-
C ．最大值6-
D ．最大值3-
6．如图，正比例函数y ax =（a 为常数，且0a ≠）和反比例函数k
y x
=（k 为常数，且0k ≠）
的图像相交于)(2,A m -和B 两点，则不等式k
ax x
<
的解集为（ ）
A ．<2x -或2x >
B ．22x -<<
C ．20x -<<或2x >
D ．<2x -或02x <<
7．对于反比例函数2023
y x
=
，下列说法正确的是（ ） A ．图象分布在第二、四象限内 B ．图象经过点()1,2023-- C ．y 随x 的增大而减小 D ．0x <时，y 随x 的增大而增大
8．如图，P 是反比例函数()5
0y x x
=
>的图象上一点，PA x ⊥轴于点A ，动点B 从原点O 出发，沿y 轴正方向移动，连接AB ，BP ．在点B 移动过程中，PAB 的面积（ ）
A ．越来越大
B ．不变
C ．越来越小
D ．先变大后变小
9．对于二次函数()2
22y x =-+的图像，下列说法正确的是（ ） A ．对称轴为直线2x =- B ．最低点的坐标为()2,2 C ．与x 轴有两个公共点
D ．与y 轴交点坐标为()0,2
10．如图，在平面直角坐标系中，点()12,A m y -，()2,B m y 都在二次函数()2
1y x n =-+的图象上．若12y y >，则m 的取值范围是（ ）
A ．1m <
B ．1m >
C ．2m <
D ．>2m
11．如图，一场篮球比赛中，一名篮球运动员投篮，球沿抛物线20.2y x bx c =-++运行，然后准确落入篮筐内，已知球出手时离地面高2.25米，距篮筐中心的水平距离OH 是4米，篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，该抛物线的表达式为（ ）
A ．20.2 2.25y x x =--+
B ．20.2 2.25y x x =-++
C ．20.22 2.25y x x =--+
D ．20.22 2.25y x x =-++
12．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，其对称轴为直线1
2
x =-，且与x
轴的一个交点坐标为()2,0-．下列结论：①0abc >；①a b =；①930a b c -+>；①20a c +=；①关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
13．如图，点A 是反比例函数k
y x
=
图象上一点，过点A 作AH x ⊥轴，垂足为H ，连接OA ，已知AOH △的面积是6，则k 的值是__________．
14．把抛物线2(1)3y x =-++向左平移2个单位长度，然后向下平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为__________．
15．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t （h ）与行驶速度v （km/h ）满足函数关系k
t v
=
，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为()40,1A 和(),0.5B m ．若行驶速度不得超过60km/h ，则汽车通过该路段最少需要_________h ？
16．反比例数4
y x =-，当4y <时，x 的取值范围是______．
17．如图，在平面直角坐标系中，OAC 的顶点A 在反比例函数k
y x
=的图象上，点C 在x 轴上，AC 边交反比例函数图象于点B ，若2BOC
S
=，且2AB BC =，则k 的值为___________．
18．如图，直线3
34
y x =--与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 是x 轴上的一个动点，
将ABC 沿BC 所在直线折叠后，点A 恰好落在y 轴上点D 处，则点C 的坐标为______．
三、解答题
19．如图，直线1l ：2
3
y ax =+与x 轴和y 轴分别交于B ，C 两点，直线2l ：23y x b =-+与x
轴交于点A ，并且这两直线交点P 的坐标为()22，
．
(1)求两直线的解析式； (2)求四边形AOCP 的面积．
20．李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y （①）与加热时间x （s ）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：
(1)加热前水温是 ①．
(2)求乙壶中水温y 关于加热时间x 的函数解析式． (3)当甲壶中水温刚达到80①时，乙壶中水温是 ①．
21．如图，直线2y ax =+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，与双曲线()0k y x x
=>相交于点P ，PC x ⊥轴于点C ，且4PC =，点A 的坐标为()4,0-．
(1)求一次函数的解析式； (2)求双曲线的解析式；
(3)若点Q 为双曲线上点P 右侧的一点，且QH x ⊥轴于H ，当以点Q 、C 、H 为顶点的三角形与AOB 相似时，求点Q 的坐标． 22．如图，已知一次函数1
12
y x =
-与反比例函数()0k y k x =≠相交于点(),1A m 、()2,B n -．过
点A 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点M 、N ．连接,,OA OB AB ．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若四边形OMAN 的面积记作1S ，AOB 的面积记作2S ，求
1
2
S S 的值． 23．为了做好校园疫情防控工作，学校每周要对办公室和教室进行药物喷洒消毒，
消毒药物
在每间教室内空气中的浓度y （单位：3mg/m ）与时间x （单位：min ）的函数关系如图所示．在进行药物喷洒时y 与x 的函数关系式为2y x =，药物喷洒完成后y 与x 成反比例函数关系，两个函数图象的交点为(5,)A n ．
(1)n 的值为__________；
(2)当5x ≥时，y 与x 的反比例函数关系式为__________；
(3)当教室空气中的药物浓度不高于31mg/m 时，对人体健康无危害．当教室药物喷洒完成
45min 后，学生能否进入教室？请通过计算说明．
24．某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．假设果园增种x 棵橙子树，增种后果园橙子的总产量为y 个，那么请你求出当果园增种多少棵橙子树时，橙子的总产量最多，并求出此时的总产量．
25．如图，抛物线2y ax bx c =++经过点()()2,0,4,0A B -，与y 轴正半轴交于点C ，且2OC OA =，抛物线的顶点为D ，直线y mx n =+经过B ，C 两点，与对称轴交于点E ．
(1)求抛物线及直线BC 的函数表达式；
(2)点M 是直线BC 上方抛物线上的动点，连接,MB ME ，得到MBE △，求出MBE △面积的最大值及此时点M 的坐标；
(3)直线()0y kx k =>交线段BC 于点H ，若以点O ，B ，H 为顶点的三角形与CDE 相似，求k 的值；
(4)点N 在对称轴上，满足BNC ABC ∠=∠，求出点N 的坐标．。
九年级数学下册2023年中考专题培优训练 反比例函数
九年级数学下册2023年中考专题培优训练 反比例函数一、单选题1、函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）ky x =2(0)y kx k =-+≠A ．B ．C ．D ．2、如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，在△ABC 中，AB ⊥y 轴于点B ，点C 是x 轴上一点，点A 在反比例函数的图像上，若△ABC 的面积为2，则k ＝（ ）(0ky k x =≠A ．－4B ．4C ．－2D ．23、反比例函数经过点，则下列说法错误的是（ ）ky x =(2,1)A ．B ．函数图象分布在第一、三象限2k =C ．当时，随的增大而增大D ．当时，随的增大而减小0x >y x 0x >y x4、已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A ，B 两点，其中点()110y k x k =≠()220k y k x =≠A 在第二象限，横坐标为，另一交点B 的纵坐标为，则（ ）2-1-12k k ⋅=A ．4B ．C ．D ．14-1-5、已知点是反比例函数上一点，则下列各点中在该图像上的点是（ ）()3,1ky x =A ．B ．C ．D ．()1,3-11,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1,93⎛⎫- ⎪⎝⎭16,2⎛⎫⎪⎝⎭6、如图，四边形是矩形，是正方形，点，在轴的正半轴上，点在轴的正半OABC ADEF A D x C y 轴上，点在上，点，在反比例函数的图象上，，，则正方形的F AB B E ky x =1OA =6OC =ADEF 面积为( )A ．B ．C ．D ．23467、二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面2y ax bx c =++y ax b =+cy x =直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8、如图，点A ，B 在反比例函数的图象上，点C ，D 在反比例函数的图象上，1(0)y x x =>(0)k y k x =>AC //BD //y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为1，2，△OAC 与△ABD 的面积之和为，则k 的值为32（ ）A ．4B ．3C ．2D ．32二、填空题1、函数y 1＝x 与y 2＝的图象如图所示，下列关于函数y ＝y 1+y 2的结论：①函数的图象关于原点4x 中心对称；②当x ＜2时，y 随x 的增大而减小；③当x ＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是_____．2、已知反比例函数y=，当x ＞0时，y 随x 增大而减小，则m 的取值范围是_____．2m x -3、如图，直线与y 轴交于点A ，与反比例函数的图象交于点C ，过点C 作3y x =-+()0ky x x =<轴于点B ，若，则k 的值为________．CB x ⊥3AO BO =4、已知A （﹣4，y 1），B （﹣1，y 2）是反比例函数y =﹣图象上的两个点，则y 1与y 2的大小关4x 系为__________．5、如图，在以O 为原点的直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，反比例函数y ＝（x ＞0）与AB 相交于点D ，与BC 相交于点E ，若BD ＝3AD ，且△ODE 的kx 面积是9，则k ＝_____．6、如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数的图象B BA x ⊥A (0)ky x x =>与线段相交于点，且是线段的中点，若的面积为3，则的值为__________．AB C C AB OAB ∆k三、解答题1、如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．1y k x b =+2(0)k y x x =>(1,6)A (3,)B n （1）求反比例函数的解析式和的值；n （2）根据图象直接写出不等式的的取值范围；21k k x b x +<x （3）求的面积．AOB2、如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象相交于，5y x =+ky x =k 0k ≠(1,)A m -两点．B （1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，使平移后的图象与反比例函数5y x =+y b (0)b >的图象有且只有一个交点，求的值．ky x =b3、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A 、B 两点，求的面积．2y x =-3y x =OAB4、如图，一次函数的图象与反比例函数（k 为常数，且）的图象交与、4y x =-+ky x =0k ≠()1,A a B 两点．(1)求反比例函数的表达式及点B 的坐标；(2)点P 在反比例函数第三象限的图象上，使得的面积最小，求满足条件的P 点坐标及PAB 面积的最小值．PAB5、如图，已知一次函数y ＝ax +b 与反比例函数y ＝（x ＜0）的图像交于A （﹣2，4），mx B （﹣4，2）两点，且与x 轴和y 轴分别交于点C 、点D ．(1)根据图像直接写出不等式＜ax +b 的解集；mx (2)求反比例函数与一次函数的解析式；(3)点P 在y 轴上，且S △AOP ＝S △AOB ，请求出点P 的坐标．126、如图，一次函数的图象与反比例四数的图象相交于A （1，3），B （-3，n ）两y kx b =+my x =点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)当一次函数的值大于反比例函数的值时，直接写出的取值范围．x (3)直线交轴于点，点是轴上的点，的面积等于的面积，求点的坐标．AB x C P x ACP △AOB P。
九年级数学下册2023年中考专题培优训练 二次函数
九年级数学下册2023年中考专题培优训练 二次函数一、选择题(每小题4分，共40分)1.下列函数是二次函数的是· ( )A.y =x +13B. y=3(x-1)²C. y=ax²+bx+cD. y=+3x 2.关于y=2(x-3)²+2的图象，下列叙述正确的是 ( )A.顶点坐标为(-3,2)B.对称轴为直线y=3C.当x≥3时,y 随x 增大而增大D.当x≥3时,y 随x 增大而减小3.二次函数y=x²-2x+5 的图象的对称轴是( )A. x =1B. x =-1C. x =-2D. x =24.将抛物线 y=5x²+1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线( )A. y=5(x+1)²-1B. y=5(x-1)²-1C. y=5(x+1)²+3D. y=5(x-1)²+35.已知某二次函数，当x>1时，y 随x 的增大而减小；当x<1时，y 随x 的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是 ( )A. y =2(x+1)²B. y =-2(x+1)²C. y =2(x-1)²D. y=-2( x-1)²A. k < 1B. k<1且k≠0C. k≤1D. k≤1且k≠08.若二次函数 y=ax²+2 的图象经过P(1,3),Q(m,n)两点,则代数式. n²-4m²-4n+9 的最小值为( )A.1B.2C.3D.49.已知a<b,若二次函数y=(x-a)(x-b)-2与x 轴的两个交点的横坐标分别为m 和n,且m<n ，下列结论正确的是( )A. m< a< n< bB. a< m< b< nC. m< a < b< nD. a< m< n< b6.二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，下列说法错误的是( )A.方程 ax²+bx+c=0 的解是： x ₁=5,x ₂=-1B. a<0,b>0C.当x<2时，y 随x 的增大而增大D.不等式 ax²+bx+c>0 的解集是0<x<57.二次函数y=kx²-4x+4的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( )10.如图，抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0) 与x 轴的一个交点坐标为(-1，0)，抛物线的对称轴为直线x=1，下列结论：①abc<0； ②3a+c=0;③当y>0时,x 的取值范围是-1≤x<3; ④点(-2,y ₁),(2,y ₂) 都在抛物线上，则有. y ₁< 0 < y ₂. 其中结论正确的个数是⋯⋯⋯⋯⋯()A.1个B.2个C.3个D.4个九年级数学5-1二、填空题(每题4分，共24分)11.二次函数y =-(x-6)²+8的最大值是 .12.二次函数y=ax²+bx-5(a≠0)的图象经过点(1,4),则代数式a+b的值为 .13.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=x²+6x+k与x轴只有一个交点,则k= .14.当-1≤x≤3时,二次函数y=x²-4x+5 有最大值m,则m= .15.已知二次函数 y=(x-h)²+1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5,则h的值为 .16.抛物线y =ax²+bx+c(a,b, c为常数,a<0)经过A(2,0),B(-4,0)两点,下列四个结论：①一元二次方程ax²+bx+c=0的根为 x₁=2,x₂=-4;②若点C(-5,y₁),D(π,y₂)在该抛物线上,则y₁<y₂;③对于任意实数t，总有at²+bt≤a-b;④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax²+bx+c=p( p为常数，p>0)的根为整数，则p的值只有两个.其中正确的结论是 (填写序号).三、解答题(共86分)17.(8分)一抛物线以(1，-9)为顶点，且经过点(2，3)，求该抛物线的解析式及抛物线与y轴的交点坐标.18.(8分)已知抛物线y=x²+(m-2)x-2m.(1)当顶点在y轴上时，求m的值；(2)若抛物线经过原点，求m的值.19.(8分)已知:二次函数 y=-x²+2x+3(1)用配方法将函数关系式化为 y=a(x-h)²+k的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；(2)画出所给函数的图象；(3)观察图象,指出使函数值y>3的自变量x的取值范围是 .(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；21.(8分)杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y=−35x2+3x+1的一部分，如图所示.20.(8分)已知抛物线y=-x²+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),(2)当0≤x≤3时,直接写出(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功?请说明理由.23.(10分)某超市购进一批水果，成本为8元/kg ，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价m(元/kg)与时间第x 天之间满足函数关系式 m =12x +18(1≤x ≤10, x 为整数)，又通过分析销售情况，发现每天销售量y(kg)与时间第x 天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值. 时间第x 天2 5 9 … 销售量y/kg33 30 26 …(2)在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元? 22.(10分)如图,二次函数y=a(x+3)(x-4)图象交坐标轴于点A,B(0,-2),点P 为x 轴上一动点.(1)求二次函数y=a(x+3)(x-4)的表达式; (2)如图，将线段PB 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PD.当点D 在抛物线上时，求点D 的坐标.24.(12分)小爱同学学习二次函数后，对函数y=-(|x|-1)进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象.请根据函数图象，回答下列问题：(1)观察探究:①写出该函数的一条性质: ;②方程-(|x|-1)²=-1 的解为: ;③若方程-(| x|-1)²=a有四个实数根，则a的取值范围是 .(2)延伸思考:将函数 y=-( |x|-1)²|的图象经过怎样的平移可得到函数 y₁=-( |x-2|-1)²+3的图象?写出平移过程，并直接写出当2<y₁≤3时，自变量x的取值范围.25.(14分)已知抛物线y=x²+mx+n,其中m，n为实数.(1)若抛物线经过点(m，9n)，请判断抛物线与x轴的交点个数；(2)抛物线经过点(x₁,0),(x₂,0),(1,a),(3,b).①若 x₂-x₁=1 时，求a+b的取值范围；②若 1<x₁≤x₂<3, 当ab取得最大值时，求抛物线的解析式.。
2023年九年级中考数学专题培优训练：二次函数的综合题【含答案】
2023年九年级中考数学专题培优训练：二次函数的综合题一、单选题△ABC△DEF BC,EF1．如图和都是边长为2的等边三角形，它们的边在同一条直线l上，点ΔABCC，E重合，现将沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ）A．B．C．D．y=ax2+bx+c(a≠0)abc>02c>3b2．如图为二次函数的图象，有下列结论：①；②；③a+2b>m(am+b)(m≠1)|ax2+bx+c|=1；④若方程有四个根，则这四个根的和为4．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个y=ax2+bx+c A(1，0)B(m，0)3．抛物线（a，b，c为常数）开口向下且过点，（−2<m<−12b+c>02a+c<0a(m+1)−b+c>0），下列结论：①；②；③；④若方程a(x−m)(x−1)−1=04ac−b2<4a有两个不相等的实数根，则 .其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，对称轴为x=2的抛物线y= 反比例函数ax 2+bx(a ≠0)与x 轴交于原点O 与点A ，与y =b x （x ＞0）交于点B ，过点B 作x 轴的平行线，交y 轴于点C ，交反比例函数于点D ，连接y =a x OB 、OD 。
则下列结论中：①ab ＞0；②方程 的两根为ax 2+bx =00，4；③3a+b ＜0；④tan ∠BOC=4tan ∠COD不符合题意的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．以x 为自变量的二次函数y=x 2﹣2（b﹣2）x+b 2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b 的取值范围是（ ）A ．b≥B ．b≥1或b≤﹣154C ．b≥2D ．1≤b≤26．在下列函数图象上任取不同的两点P （x 1， y 1）， Q （x 2， y 2）， 一定能使的是（ y 2−y 1x 2−x 1<0）A ．y=（x>0）B ．y=-（x-2）2+5（x≥0）−2x C ．y=（x-3）2-4（x<0）D ．y=3x+77．如图，抛物线 与 轴交于点 ,与 轴的负半轴交于点 ,点 是对称轴上的y =x 2−2x−3y A x B M 一个动点.连接 ,当 最大时，点 的坐标是（ ）AM,BM |AM−BM|M(1,4)(1,2)(1,−2)(1,−6) A．B．C．D．y=ax2+bx+c a≠0x=2x8．抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为(−2,0)4ac<b2ax2+bx+c=0，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是x1=−2x2=612a+c>0y>0x−2⩽x<2，；③；④当时，的取值范围是；⑤当x<0y x时随的增大而增大．其中正确结论的个数是（ ）A．4B．3C．2D．1二、填空题9．如果二次函数y＝x2+b（b为常数）与正比例函数y＝2x的图象在﹣1≤x≤2时有且只有一个公共交点，那么常数b的值应为 ．A(3，0)B(1，0)C(−3，9)D(2，4)y=x210．如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左C D C′D′ABC′D′或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为 .11．定义函数f（x），当x≤3时，f（x）=x2﹣2x，当x＞3时，f（x）=x2﹣10x+24，若方程f（x）=2x+m有且只有两个实数解，则m的取值范围为 ．12．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为CD边上的一个动点，以CE为边向外作正方形ECFG，连结BG，点H为BG中点，连结EH，则EH的最小值为 。
九年级数学下册2023年中考专题培优训练 二次函数与一元二次方程
九年级数学下册2023年中考专题培优训练 二次函数与一元二次方程一、单选题（共 8 小题）1、抛物线的函数表达式为y ＝（x ﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（ ）①当x ＝2时，y 取得最小值﹣9；②若点（3，y 1），（4，y 2）在其图象上，则y 2＞y 1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y ＝（x ﹣5）2﹣5；④函数图象与x 轴有两个交点，且两交点的距离为6．A ．②③④B ．①②④C ．①③D ．①②③④2、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如下表：x …﹣1013…y…0﹣1.5﹣20…根据表格中的信息，得到了如下的结论：①二次函数y =ax 2+bx +c y =a (x −1) 2−2的形式②二次函数y =ax 2+bx +c 的图象开口向下③关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =−1.5的两个根为0或2④若y >0，则x >3其中所有正确的结论为（ ）A ．①④B ．②③C ．②④D ．①③3、若，是方程（c 为常数）两个不相等的实数根，且满足，则c 的取值1x 2x 230x x c ++=121x x <<范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4<-c 4c >-944c -<<94c >4、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，对称轴是直线x =1．下列结论：①abc ＜0；②3a +c ＞0；③（a +c ）2-b 2＜0；④a +b ≤m （am +b ）（m 为实数）．其中结论正确的为（ ）A ．①②B ．②③④C ．①②④D ．①②③④5、如表是一组二次函数y ＝x 2﹣x ﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x 2﹣x ﹣3＝0的一个近似根是（ ）x 1234y ﹣3﹣139A ．1.2B ．2.3C ．3.4D ．4.56、已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （b ，c 是常数，a ≠0）的y 与x 的部分对应值如表：x ﹣5﹣4﹣202y 60﹣6﹣46以下结论：①a ＞0；②当x ＝﹣2时，函数最小值为﹣6；③图象经过了点（4，0）；④若点（﹣8，y 1），点（8，y 2）在二次函数图象上，则y 1＜y 2；⑤方程ax 2+bx +c ＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①④⑤D ．②③⑤7、如图，顶点为的抛物线经过点，则下列结论中正确的是(3,6)--2(0)y ax bx c a =++≠(1,4)--（ ）A ．240b ac -<B ．若点在抛物线上，则(2,),(4,)--m n m n>C ．当时，y 随x 的增大而减小3x <-D ．关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根27(0)++=-≠ax bx c a 8、已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 与自变量x 的部分对应值如表，下列说法错误的是（ ）x …﹣1013…y …﹣3131…A ．a ＜0B ．方程ax 2+bx +c ＝﹣2的正根在4与5之间C ．2a +b ＞0D ．若点（5，y 1）、（﹣，y 2）都在函数图象上，则y 1＜y 232二、填空题（共 7 小题）1、已知抛物线与x 轴的两个交点在点（1，0）两旁，则m 的取值范围是22y x mx m =++-_______________．2、已知抛物线y =x 2+2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），将这条抛物线向右平移m （m ＞0）个单位长度，平移后的抛物线与x 轴交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧），若B ，C 是线段AD 的三等分点，则m 的值为__________．3、已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且2y ax bx c =++a b c ()1,0A -(),0B m ．下列四个结论：12m <<①；0b >②若，则；32m =320a c +<③若点，在抛物线上，，且，则；()11,M x y ()22,N x y 12x x <121x x +>12y y >④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．1a ≤-x 21ax bx c ++=其中正确的是_________（填写序号）．4、已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m 的值为231y mx mx m =++-____________．5、如图，抛物线与抛物线的交点在x 轴上，现将抛物线向下平2415y x =-+22y kx =-2415y x =-+移个单位，向上平移______个单位，平移后两条抛物线的交点还在x 轴上．1522y kx =-6、将二次函数的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所223y x x =-++示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b 的值为___y x b =+7、已知抛物线，，若这两个抛物线与x 轴共有3个交点，则a 的值为2123y x x =--222y x x a =--______．三、解答题（共 5 小题）1、已知关于的一元二次方程．x 20x x m +-=（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；m （2）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解．2y x x m =+-20x x m +-=2、已知抛物线的顶点为，与y 轴的交点为．1c ()1,4A -()0,3D(1)请直接写出的解析式；1c (2)若直线与仅有唯一的交点，求m 的值；1:l y x m =+1c (3)若抛物线关于y 轴对称的抛物线记作，平行于x 轴的直线记作．试结合图形回答：1c 2c 2:l y n =当n 为何值时，与和共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点．1l 1c 2c 3、已知抛物线与x 轴的一个交点为（－1，0），且经过点（2，c ）．2y x bx c =-++(1)求抛物线与x 轴的另一个交点坐标．(2)当时，函数的最大值为M ，最小值为N ，若，求t 的值．2t x t ≤≤-3M N -=4、对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：（是物体离起点2012h v t gt =-h 的高度，是初速度，是重力系数，取，是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，0v g 210m/s t 以的初速度把球向上拋出．10m/s (1)球抛出后经多少秒回到起点？(2)几秒后球离起点的高度达到？(3)球离起点的高度能达到吗？请说明理由．6m5、已知抛物线经过，两点．2y x bx c =++()3,A n -()2,B n (1)求b 的值；(2)当时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围．11x -<<。
九年级数学下册2023年中考专题培优训练 反比例函数(k的几何意义)
九年级数学下册2023年中考专题培优训练 反比例函数（k 的几何意义）一、单选题1．如图所示，点是反比例函数图象上一点，作轴，垂足为点．若A ky x =AB x ⊥B 的面积为3，则的值是（ ）AOB kA ．4B ．6C ．4或6D ．不确定2．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于、两点，过作轴y kx =2y x =-A B A y 的垂线，交函数的图象于点，连接，则的面积为( )4y x =C BC ABCA ．B ．C ．D ．23563．以正方形两条对角线的交点O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，反比ABCD 例函数的图象经过点D ，则正方形的面积为（ ）4y x =ABCDA ．12B ．16C ．18D ．204．点P ，Q ，R 在反比例函数图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x 轴，y 轴12y x =的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．若，1S 2S 3S OF FG GA ==则的值为（ ）123S S S ++A ．10B ．12C ．14D ．165．如图，点B 在反比例函数的图象上，点C 在反比例函数的图()60y x x =>()20y x x =->象上，轴，，垂足为点C ，交y 轴于点A ，则的面积为（ ）∥BC y AC BC ⊥AC ABCA ．3B ．4C ．6D ．86．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点A 在反比例函数30OAB ∠=︒的图象上，则经过点B 的反比例函数解析式为（ ）()120y x x =>A ．B ．C ．D ．6y x=-4y x=-2y x=-2y x=7．如图，在平面直角坐标系中，，点在反比例函数图像的图xOy (4,0),(4,0)A B -C ky x =像上，且，若线段与轴交于点，则的值为（ ）90ACB ∠=︒AC y (0,2)D kA ．B ．C ．D ．19225892458．如图，A 是双曲线上的一点，点C 是的中点，过点C 作y 轴的垂线，垂()0ky x x =>OA 足为D ，交双曲线于点B ，且的面积是4，则（ ）ABD △k =A ．4B ．6C ．8D ．109．反比例函数的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，垂直于x 轴，垂足ky x =MN 是点N ，如果，则k 的值为（ ）MON S π=△A ．B ．C ．D ．2π2π-ππ-10．已知点A 、B 分别在反比例函数，的图像上，且，()20=>y x x ()80y x x -=>OA OB ⊥则的值为（ ）OAOBA B ．C D ．31211．如图，点是函数图象上一点，过点作轴，轴，分别与A ()10y x x =>A AB x ⊥AC y ⊥函数的图象相交于点和点，则的面积是（ ）．2y x =-B C ABCA ．4B ．C ．6D ．9213212．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点B 在第一象限，点C 在x 轴上，点A 在OABC y 轴上，D ，E 分别是中点．过点D 的双曲线与交于点AB OA ，()00x kx k y >=>，BC G ．连接，F 在上，且，连接．若的面积为4，则k DC DC :2:1DF FC =DE EF ，DEF 的值为（ ）A ．8B ．16C ．24D ．32二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，轴于点xOy A 6(0)y x x =>AC x ⊥，连接，则面积为________．C OA OAC14．点A 是反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点A 作轴，垂足为点B ，AB x ⊥的面积是1，则下列结论中，正确的是_______（填序号）．OAB ①此反比例函数图象经过点；②此反比例函数的解析式为；③若点在此()1,12y x =(),a b 反比例函数图象上，则点也在此反比例函数图象上；④点在此()--，a b ()()1122,A x y B x y ，，反比例函数的图象上且，则．120x x <<12y y <15．如图，平行四边形的顶点在坐标原点上，在轴上，顶点在上，OABC O B y A 5y x =-顶点在上，则平行四边形的面积是_____．C 7y x =OABC16．如图，已知在中，点在上，，，，反比例ABO C AB 3BC AC =CO CB =16AOB S =△函数的图象经过点，则的值为_____．ky x =C k17．如图，的边在x 轴上，且，反比例函数的图象与边AOB OB 90∠=︒ABO ()0ky x x =>、分别相交于点C 、D ，连接，已知，的面积为12，若，AO AB BC OC BC =BOC 6AD =直线的函数解析式为 _____．OA18．如图，，分别是反比例函数和在第四象限内的图像，点在1l 2l ()2k y k x =<-2y x =-N 上，线段交于点A ，作轴于点C ，交于点B ，延长OB 交于点M ，作1l ON 2l NC x ⊥2l 1l 轴于点F ，下列结论：MF x ⊥①；1OFM S =△②与是位似图形，面积比为；OBC △OMF 2k -③；OA OBON OM =④．AB NM 其中正确的是____________．三、解答题19．如图，一次函数与反比例函数的图像交于，()10y k x b k =+≠()20k y x x =>()1,6A 两点．()3,B m(1)求反比例函数和一次函数的解析式：(2)根据图象直接写出时，x 的取值范围：21k k x b x +<(3)求的面积．AOB 20．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，O A ()0ky k x =>过点作轴，垂足为，的面积为5．A AB x ⊥B AOB(1)求值；k (2)当时，求函数值的取值范围．<2x -y 21．通过构造适当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．(1)【理解】如图①，，垂足分别为是的中点，连接，AC BC CD AB ⊥⊥，C D E 、，AB CE 已知，（）．AD a BD b ==，0a b <<①已知的代数式表示CE 的长；CD a b ，②比较大小： （填“”“”或“”），并用①中的结论证明该大小关系．CE CD <>=(2)【应用】如图②，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（）的图像M N 、1y x =0x >上，横坐标分别为．设，，记．m n ，p m n =+11q m n =+14l pq =①当时， ，当时，；13m n ==，l =22m n ==，l =②通过归纳猜想，可得的最小值是 ．请利用图②构造恰当的图形，并说明你的猜l 想成立．22．已知，如图点P 是双曲线上的一点，轴于点，轴于点，24y x =PA x ⊥A PB y ⊥B 、分别交双曲线于点、．求的面积．PA PB 11y x =D C PCD23．如图，在x 轴的正半轴上依次截取，过点1122312n n OA A A A A A A -===⋯==分别作x 轴的垂线与反比例函数的图像相交于点得123n A A A A ⋯、、、10y x =123n P P P P ⋯、、、直角三角形并设其面积分别111222333441n n n OP A A P A A P A A P A A P A -⋯、、、、、，为．123nS S S S ⋯、、、(1)求的坐标23P P Pn 、、、(2)求的值；n S 24．如图，直线与轴、轴分别交于点，与反比例函数交于点3y kx =+x y B C 、my x =．过作轴于，连接，若，A D 、D DE x ⊥E ,OA OD ()2,A n -:1:2OAB ODE S S ∆∆=(1)求反比例函数的表达式；(2)求点的坐标；C (3)直接写出关于不等式：的解集为______．x 3mkx x >-25．如图，已知点，过点P 作轴于点M ，轴于点N ，反比例函数()6,3P PM x ⊥PN y ⊥的图象交于点A ，交于点B .若四边形的面积为12.ky x =PM PN OAPB(1)求k 的值；(2)设直线的解析式为，请直接写出不等式的解集.AB y ax b =+kax bx +。
2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：一次函数-动态几何问题【含答案】
2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：一次函数-动态几何问题一、单选题1．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（ ）A．B．C．D．2．如图，正方形ABCD的边长为2，动点P从C出发，在正方形的边上沿着C→B→A的方向运动(点P与A不重合)．设P的运动路程为x，则下列图象表示△ADP的面积y关于x的函数关系的是( )A．B．C．D．3．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=-x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）0≤b≤22−22<b<22−23≤b≤23−22≤b≤22 A．B．C．D．4．如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC 的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（ ）A．B．C．D．5．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点A出发，沿A→D→C的路径以每秒1cm的速度运动（点P不与点A、点C重合），设点P运动时间为x秒，四边形ABCP的面积为ycm2，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）A．B．C．D．A B 4.P,QРA1 6．在数轴上，点表示－2，点表示为数轴上两点，点从点出发以每秒个单Q B2Q位长度的速度向左运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，点到达ОQ BРQР原点后，立即以原来的速度返回，当点回到点时，点与点同时停止运动．设点xРQ y y x运动的时间为秒，点与点之间的距离为个单位长度，则下列图像中表示与的函数关系的是（ ）A．B．C．D．7．已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（ ）A．B．C．D．8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C，设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图图能大致反映y与x函数关系的是( )A．B．C．D．9．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止。
2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：二次函数与一次函数的综合应用【含答案】
2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：二次函数与一次函数的综合应用一、单选题1．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点.若二次函数（为y =x 2−x +c c 常数）在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是（ ）−2<x <4c A ．B ．C ．D ．−2<c <14−4<c <94−4<c <14−10<c <942．已知直线 过一、二、三象限，则直线 与抛物线 的交点y =kx +2y =kx +2y =x 2−2x +3个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个3．抛物线 （其中b ，c 是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y =x 2+bx +c （ ）有交点，则c 的值不可能是（ ） y =2x−11≤x <3A ．5B ．7C ．10D ．144．函数y=ax+b 和y=ax 2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知0＜x ＜1，10＜y ＜20，且y 随x 的增大而增大，则y 与x 的关系式不可以是（ ）A ．y ＝10x+10B ．y ＝﹣10（x﹣1）2+20C ．y ＝10x 2+10D ．y ＝﹣10x+206．在同一坐标系中，函数y=ax 2与y=ax+a （a ＜0）的图象的大致位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．对于题目“一段抛物线L ：y=﹣x （x﹣3）+c （0≤x≤3）与直线l ：y=x+2有唯一公共点，若c 为整数，确定所有c 的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（ ）A ．甲的结果正确B ．乙的结果正确C ．甲、乙的结果合在一起才正确D ．甲、乙的结果合在一起也不正确8．将二次函数 的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图y =−x 2+2x +3所示.当直线 与新函数的图象恰有3个公共点时，b 的值为（ ）y =x +bA ． 或B ． 或 −214−3−134−3C ． 或D ． 或 214−3134−39．已知抛物线 与直线 相交，若 ，则 的取值范围是（ y 1=−2x 2+2y 2=2x +2y 1>y 2x ）.A ．B ．x >−1x <0C ．D ． 或 −1<x <0x >0x <−110．给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：①直线y=0是抛物线y= x 2的切线；14②直线x=﹣2与抛物线y= x 2 相切于点（﹣2，1）；14③若直线y=x+b 与抛物线y= x 2相切，则相切于点（2，1）；14④若直线y=kx﹣2与抛物线y= x 2相切，则实数k= ．142其中正确命题的是（ ）A ．①②④B ．①③C ．②③D ．①③④11．一次函数与二次函数的图象交点（ ）y =2x +1y =x 2−4x +3A ．只有一个B ．恰好有两个C ．可以有一个，也可以有两个D ．无交点12．将抛物线y=x 2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是（ ）A ．（0，3）或（﹣2，3）B ．（﹣3，0）或（1，0）C ．（3，3）或（﹣1，3）D ．（﹣3，3）或（1，3）二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交y 轴于点A ，直线AB 交x 轴正半轴于y =x 2−2x +2点B ，交抛物线的对称轴于点C ，若 ，则点C 的坐标为 .OB =2OA14．函数 与 的图象如图所示，有以下结论：① ，②y =x 2+bx +c y =x b 2−4c >0 ，③ ，④当 时， ．则正确的个数为 b +c +1=03b +c +6=01<x <3x 2+(b−1)x +c <0个．15．已知一次函数y 1＝kx+m （k≠0）和二次函数y 2=ax 2+bx+c （a≠0）部分自变量和对应的函数值如表：x…﹣10245…y1…01356…y2…0﹣1059…当y2＞y1时，自变量x的取值范围是 ．y=ax2+c y=mx+n A(−1,p)B(3,q)16．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式ax2+mx+c<n的解集是 ．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝kx+m（k≠0）的抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）交于点A（0，4），B（3，1），当y1≤y2时，x的取值范围是 ．y=ax+b(a<0，b>0)18．如图，一次函数的图像与x轴，y轴分别相交于点A，点B，将它绕点O逆时针旋转90°后，与x轴相交于点C，我们将图像过点A，B，C的二次函数叫做与这个一次函y=−kx+k(k>0)数关联的二次函数．如果一次函数的关联二次函数是y=mx2+2mx+c m≠0（），那么这个一次函数的解析式为 ．三、综合题19．如图，边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转60°得点C ，点C 随点P 的运动而运动，连接CP 、CA ．过点P 作PD ⊥OB 于D 点（1）直接写出BD 的长并求出点C 的坐标（用含t 的代数式表示）（2）在点P 从O 向A 运动的过程中，△PCA 能否成为直角三角形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（3）点P 从点O 运动到点A 时，点C 运动路线的长是多少？20．如图，函数 的图象与函数 ( )的图象相交于点P （3，k ），Q 两点.y =2x y =ax 2−3a ≠0（1） = ， = ；a k （2）当 在什么范围内取值时， ＞ ；x 2x ax 2−3（3）解关于 的不等式： ＞1.x |ax 2−3|21．如图，抛物线与 轴交于 ， 两点，点 ， 分别位于原点的y =3+3x 2+bx +c x A B A B 左、右两侧， ，过点 的直线与 轴正半轴和抛物线的交点分别为 ， ， BO =3AO =3B y C D .BC =3CD（1）求 ， 的值；b c （2）求直线 的函数解析式；BD 22．如图，抛物线y=-x 2+bx+c 的图像过点A(-1，0)、C(0，3)，顶点为M 。
2023年九年级中考数学专题培优训练：函数概念与平面直角坐标系【含答案】
2023年九年级中考数学专题培优训练：函数概念与平面直角坐标系一、选择题1.某超市某种商品的单价为60元/件，若买x件该商品的总价为y元，则y=60x，其中的常量是( )A.60B.xC.yD.不确定2.函数中自变量x的取值范围是( )A.x≥﹣2B.x≥﹣2且x≠1C.x≠1D.x≥﹣2或x≠13.如图，若以解放公园为原点建立平面直角坐标系，则博物馆的坐标为( )A.(2，3)B.(0，3)C.(3，2)D.(2，2)4.已知点P(m+2，2m﹣4)在x轴上，则点P的坐标是( )A.(4，0)B.(0，4)C.(﹣4，0)D.(0，﹣4)5.一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1) →(1，1) →(1，0)→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是( )A.(4，O)B.(5，0)C.(0，5)D.(5，5)6.在平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比( )A.向右平移了3个单位长度B.向左平移了3个单位长度C.向上平移了3个单位长度D.向下平移了3个单位长度7.王芳同学为参加学校组织的科技知识竞赛，她周末到新华书店购买资料.如图是王芳离家的距离与时间的函数图象.若黑点表示王芳家的位置，则王芳走的路线可能是( ).8.如图是本地区一种产品30天的销售图象，图1是产品日销售量y(单位：件)与时间t(单位：天)的函数关系，图2是一件产品的销售利润z(单位：元)与时间t(单位：天)的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×每件产品的销售利润，下列结论错误的是（ ）A.第24天的销售量为200件B.第10天销售一件产品的利润是15元C.第12天与第30天这两天的日销售利润相等D.第30天的日销售利润是750元二、填空题9.函数的自变量x 的取值范围是 .10.根据如图所示的计算程序计算变量y 的对应值，若输入变量x 的值为﹣，12则输出的结果为11.点P(m ，n)到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则m ＋n 的值为______.12.△ABC 的三个顶点A(1，2)，B(﹣1，﹣2)，C(﹣2，3)，将△ABC 平移，使A 与A′(﹣1，﹣2)重合，则B′、C′两点的坐标分别为 、 .13.如图，弹性小球从点P(0，3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，小球第1次碰到长方形的边时的点为P1，第2次碰到消防箱的边时的点为P2，……，第n次碰到消防箱的边时的点为P n，则点P3的坐标是 ;点P2 026的坐标是 .14.甲、乙两名大学生去距学校36千米的某乡镇进行社会调查．他们从学校出发，骑电动车行驶20分钟时发现忘带相机，甲下车前往，乙骑电动车按原路返回．乙取相机后(在学校取相机所用时间忽略不计)，骑电动车追甲．在距乡镇13.5千米处追上甲后同车前往乡镇．乙电动车的速度始终不变．设甲与学校相距y甲(千米)，乙与学校相离y乙(千米)，甲离开学校的时间为t(分钟)．y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示，则乙返回到学校时，甲与学校相距________千米．三、作图题15.如图，将三角形ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度请回答下列问题：(1)平移后的三个顶点坐标分别为：A1______，B1______，C1______；(2)画出平移后三角形A1B1C1；(3)求三角形ABC的面积.四、解答题16.下列是三种化合物的结构式及分子式，⑴请按其规律，写出下一种化合物的分子式．⑵每一种化合物的分子式中H的个数m是否是分子式中C的个数n的函数？如果是，请你其写出关系式.17.为了增强居民的节水意识，某城区水价执行“阶梯式”计费，每月应缴水费y(元)与用水量x(t)之间的函数关系如图所示.若某用户去年5月缴水费18.05元，求该用户当月用水量.18.甲、乙两地间的直线公路长为400千米.一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶.1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地(接到通知及掉头时间不计).最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y(千米)与轿车所用的时间x(小时)的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：(1)货车的速度是 千米/小时；轿车的速度是 千米/小时；t值为 .(2)求轿车距其出发地的距离y(千米)与所用时间x(小时)之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；(3)请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米.参考答案1.A2.B3.D4.A5.B6.D7.B8.C9.答案为：x≤且x≠0.1210.答案为：﹣.3211.答案为：±1或±5.12.答案为：(﹣3，﹣6)，(﹣4，﹣1).13.答案为：(8，3);(5，0).14.答案为：2015.解：(1)A 1(3，5)，B 1(0，0)C 1(5，2)；(2)略；(3)9.5；16.解：⑴ C 4H 10；⑵m=2n+2.17.解：由图可知，当用水量在0～8 t 时，每吨水的价格为15.2÷8=1.9(元)；当用水量超过8 t 时，超过8 t 部分每吨水的价格为(23.75－15.2)÷(11－8)=2.85(元).∴该用户当月用水量为(18.05－15.2)÷2.85＋8=9(t).18.解：(1)车的速度是50千米/小时；轿车的速度是：400÷(7﹣2)=80千米/小时；t=240÷80=3.故答案为：50；80；3；(2)由题意可知：A(3，240)，B(4，240)，C(7，0)，设直线OA的解析式为y=k1x(k1≠0)，∴y=80x(0≤x≤3)，当3≤x≤4时，y=240，设直线BC的解析式为y=k2x+b(k≠0)，把B(4，240)，C(7，0)代入得：，解得，∴y=﹣80+560，∴y=；(3)设货车出发x小时后两车相距90千米，根据题意得：50x+80(x﹣1)=400﹣90或50x+80(x﹣2)=400+90，解得x=3或5.答：货车出发3小时或5小时后两车相距90千米.。
2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：二次函数【含答案】
2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：二次函数一、单选题1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当x＜0时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个2．如图图形中阴影部分的面积相等的是（ ）A．①②B．②③C．①③D．①②③3．将二次函数y=x22个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）A．y=(x-2)2B．y=(x+2)2C．y=x2-2D．y=x2+24．二次函数y=a（x-4）2-4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（ ）A．1B．-1C．2D．-2m1m25．已知直线y＝kx与抛物线y＝ax2＋bx＋c在坐标系中如图所示，和是方程m1m2m1m2ax2＋（b－k）x＋c＝0的两个根，且＞，则函数y＝ x＋在坐标系中的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知二次函数y=ax2+bx+3自变量x 的部分取值和对应函数值y 如表：则在实数范围内能使得y+5>0成立的x 取值范围是( )A ．x>-2B ．x<-2C ．-2<x<4D ．x>-2或x<47．已知点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（2，0）．若顶点在x 轴下方的二次函数y=x 2+（a﹣3）x+3的图象与线段AB 恰好只有一个交点，则a 的取值范围（ ） A ．B ．−1≤a <−12−1≤a ≤12C ．D ．﹣1＜a≤112<a <28．下列函数中，y 随x 的增大而增大的是（ ）A ．y=﹣2x+3B ．y=﹣ （x ＜0）2xC ．y=D ．y=﹣2x 2（x ＞0）2x9．如图，坐标平面上，二次函数y ＝﹣x 2+4x﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 值为何？( )A ．1B ．C ．D ．12434510．如图，直线yx +3分别与x 轴，y 轴交于点A 、点B ，抛物线y =x 2+2x ﹣2与y 轴交于点C ，=−34点E 在抛物线y =x 2+2x ﹣2的对称轴上移动，点F 在直线AB 上移动，CE +EF 的最小值是（ ）A ．4B ．4.6C ．5.2D ．5.611．把抛物线y=3x 2向右平移一个单位，则所得抛物线的解析式为 ( )A ．y=3(x+1)2B ．2C ．y=3x 2+1D ．y=3x 2-112．如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动过程中速度不变，则以点B 为圆心，线段BP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若二次函数y ＝ax 2－3x ＋a 2－1的图象开口向下且经过原点，则a 的值是 ．14．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c ＞3b ；（3）8a+7b+2c ＞0；（4）若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣12，y 2）、点C （ ，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 3＜y 2；（5）若方程a （x+1）（x﹣5）=﹣3的两根72为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜﹣1＜5＜x 2．其中正确的结论是 ．15．抛物线y ＝ax 2+bx+c 的部分图象如图所示，则当y ＞0时，x 的取值范围是 16．将抛物线 向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是 ．y =2x 217．抛物线y=x 2+2向左平移2个单位得到的抛物线表达式为 ．18．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为B （4，0），抛物线的对称轴交x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E ．现有下列结论：①a ＞0；②b ＞0；③4a+2b+c ＜0；④AD+CE ＝4．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题19．已知y=(m+1)，当m 为何值时，是二次函数？xm 2−2m−1+(m−3)x +m 20．已知二次函数y=﹣x 2﹣2x ，用配方法把该函数化为y=a （x﹣h ）2+c 的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标．21．已知：二次函数y=（n﹣1）x 2+2mx+1图象的顶点在x 轴上．（1）请写出m与n的关系式，并判断已知中函数图象的开口方向；（2）是否存在整数m，n的值，使函数图象的对称轴与x轴的交点横坐标为整数？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由；（3）若y关于x的函数关系式为y=nx2﹣m2x﹣2n﹣2①当n≠0时，求该函数必过的定点坐标；②探索这个函数图象与坐标轴有两个交点时n的值．22．已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．求此二次函数的解析式．23．已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，求该抛物线的解析式并写出顶点坐标．24．二次函数图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）三点，求此抛物线的解析式．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】D10．【答案】C11．【答案】B12．【答案】B13．【答案】－114．【答案】①③⑤15．【答案】﹣1＜x＜316．【答案】y=2x2−317．【答案】y=（x+2）2+218．【答案】②④19．【答案】解：根据题意得：原函数为二次函数，则有{m+1≠0 m2−2m−1=2解得：m=3．20．【答案】解：y=﹣x2﹣2x，=﹣（x2+2x）=﹣（x2+2x+1﹣1）=﹣（x+1）2+1即对称轴是直线x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，1）21．【答案】解：（1）∵二次函数y=（n﹣1）x2+2mx+1图象的顶点在x轴上，∴4m2﹣4（n﹣1）=0，∴n﹣1=m2，∴n=m2+1，∵n﹣1≠0，且m 2≥0∴n﹣1＞0，∴图象开口向上；（2）∵y=（n﹣1）x 2+2mx+1，∴对称轴x=，−b 2a=−m n−1=1m 要使为整数，−1n ∵m ，n 为整数，∴只要m=±1，此时n=2，∴存在m=±1，n=2，符合要求；（3）①y=nx 2﹣（n﹣1）x﹣2n﹣2=n （x 2﹣x﹣2）+x﹣2，令x 2﹣x﹣2=0，得x=﹣1或2，所以必过的定点为（2，0），（﹣1，﹣3），②若n=0，则y=x﹣2，直线与坐标轴有两个交点，若n≠0：b 2﹣4ac=（n﹣1）2+4n （2n+2）=（3n+1）2≥0，当抛物线过原点时，n=﹣1，此时图象与坐标轴有两个交点，当抛物线不过原点时，n=时，b 2﹣4ac=0，图象与x 轴，y 轴各有1个交点，−13综上，当n=0或﹣1或时，函数图象与坐标轴有两个交点．−1322．【答案】解：将点A （0，4）与B （1，﹣2）代入解析式，得： ， {c =4−2+b +c =−2解得： ，{b =−4c =4则此函数解析式为y ＝﹣2x 2﹣4x+4．23．【答案】解：∵A （0，3），B （2，3）是抛物线y=﹣x 2+bx+c 上两点，∴代入得 ，{c =3−4+2b +c =3解得：b=2，c=3，∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为：（1，4）24．【答案】解：由题意得：设 ，y =a(x +1)(x−2)点C （0，﹣2）代入： ，－2=a(0+1)(0−2)∴a ＝1，y=(x+1)(x−2)∴，y=x2−x−2即．。
2023年九年级数学下册中考数学综合培优测试卷：一次函数图像与几何变换【含答案】
2023年九年级数学下册中考数学综合培优测试卷：一次函数图像与几何变换一、单选题1．在平面直角坐标系中，把直线y=3x 向左平移2个单位长度，平移后的直线解析式是（ ）A ．y=3x+2B ．y=3x-2C ．y=3x+6D ．y=3x-62．若一次函数y=2x-3的图象平移后经过点(3，1)，则下列叙述正确的是( )A ．沿x 轴向右平移3个单位长度B ．沿x 轴向右平移1个单位长度C ．沿x 轴向左平移3个单位长度D ．沿x 轴向左平移1个单位长度3．在平面直角坐标系中，将直线沿y 轴向下平移6个单位后，得到一条新的直线，该直y =−32x +3线与x 轴的交点坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．(0，3)(−2，0)(4，0)(6，0)4．已知直线向下平移2个单位长度后得到直线，且直线与直线关于l 1：y =kx +3l 2l 2l 3：y =−x +1y 轴对称，则k 的值为（ ）.A ．B ．1C ．2D ．3−15．在平面直角坐标系中，将函数 的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x 轴的y =3x 交点坐标为（ ） A ．(2,0)B ．(-2,0)C ．(6,0)D ．(-6,0)6．把直线y=-x+1向上平移3个单位长度后得到的直线的解析式为（ ）A ．y=-x+4B ．C ．y=x+4D ．y=x-27．将直线沿x 轴向左平移3个单位得到直线L ，则直线L 的解析式是（ ）y =2x +5A ．y ＝2x ＋2B ．y ＝2x ＋8C ．y ＝2x －1D ．y ＝2x ＋118．对于一次函数y ＝﹣2x+4，下列结论错误的是( )A ．函数的图象不经过第三象限B ．函数的图象与x 轴的交点坐标是(2，0)C ．函数的图象向下平移4个单位长度得y ＝﹣2x 的图象D ．若两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在该函数图象上，且x 1＜x 2，则y 1＜y 29．将一次函数y ＝﹣3x 的图象沿y 轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为（ ）A ．y ＝﹣3（x ﹣4）B ．y ＝﹣3x +4C ．y ＝﹣3（x +4）D ．y ＝﹣3x ﹣410．在平面直角坐标系中，将直线 先关于 轴作轴对称变换，再将所得直线关于y =−3x +4x y 轴作轴对称变换，则经两次变换后所得直线的表达式是（ ）A ．B ．C ．D ．y =4x−3y =−4x +3y =3x +4y =−3x−411．将直线向上平移2个单位长度，则平移后的直线所对应的函数解析式为（ ）y =−2x +3A ．B ．C ．D ．y =−2x +1y =−4x +5y =−2x +5y =−4x +112．将直线向上平移5个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说y =x +1y =kx +b y =kx +b 法错误的是（ ）A ．函数图象经过第一、二、三象限B ．函数图象与轴的交点在轴的正半轴x xC ．点在函数图象上(−2，4)D ．随的增大而增大y x 二、填空题13．直线 +3的图像是由正比例函数 图像向 （填上或下）平移 y =3x 个单位得到或由正比例函数 图像向 （填左或右）平移 个单位得到可以得到的一条直线14．直线 沿 轴平移3个单位，则平移后直线与 轴的交点坐标为 .y =2x−1y y 15．在平面直角坐标系中，把直线y=2x 向左平移1个单位长度，平移后的直线解析式是 ．16．将正比例函数y=﹣2x 的图象沿y 轴向上平移5个单位，则平移后所得图象的解析式是 ．17．如图，在平面直角坐标系中，A （1，0），B （3，0），点C 在第一象限，∠ABC=90°，AC=25，直线l 的关系式为： .将△ABC 沿x 轴向左平移，当点C 落在直线l 上时，线段AC 扫y =−x−3过的面积为 平方单位.18．已知直线与直线关于y 轴对称，当时，，当y 1=ax +b(a ≠0)y 2=kx +5(k ≠0)x >−52y 1>0时，，则直线 ．x >52y 2<0y 1=三、综合题19．如图，直线 与 轴、 轴交于点 、 ，直线 与 轴l 1:y =2x +1x y D A l 2:y =mx +4x y 轴分别交于点 、 ，两直线相交于点 ．C B P(1,b)（1）求 ， 的值； b m （2）求 的值；S △PDC −S △PAB （3）垂直于 轴的直线 与直线 ， 分别交于点 ， ，若线段 的长为x x =a l 1l 2M N MN 2，求 的值．a 20．如图，直线y ＝kx ＋4的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B （2，0），直线AF 交x 轴负半轴于点F ，且OF ＝2OA ．（1）求出k 的值为 ，直线AF 的解析式为 ；（2）若将直线AB 沿y 轴向下平移，平移后的直线恰好经过C （﹣3，0），与y 轴相交于点D ，且直线CD 与直线AF 交于点E ，求点E 的坐标．21．如图，一次函数 的图象与反比例函数（ 为常数且 ）的图象相交于y =x +5y =kx k k ≠0 ， 两点.A(−1，m)B（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数 的图象沿 轴向下平移 个单位 ，使平移后的图象与反y =x +5y b (b >0)比例函数的图象有且只有一个交点，求 的值.y =kx b 22．已知反比例函数与正比例函数 相交于 .y 1=kx y 2=x A(2，2)（1）求 值.k （2）画出反比例函数的图象.（3）当 时，直接写出 的范围？y 1>y 2x （4）根据图象，解不等式 .kx <x−323．背景知识：已知两直线 ， ，若 ，则m ：y 1=k 1x +b 1n ：y 2=k 2x +b 2(k 1k 2≠0)m ⊥n ；若 ，则 .k 1k 2=−1m//n k 1=k 2应用：在平面直线坐标系 中，直线 交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，若 xoy l 1：y =x−1l 2⊥l 1于点 ，交y 轴于点A ，交x 轴于点B.P(2，1)（1）求直线 的表达式； l 2（2）求 的面积；△ABC （3）若将直线 向下平移 个单位，得到新的直线 ，交y 轴于点E ，交直线 于点F ，l 1q l 3l 2使得 ，求 的值.S △AEF =16q 24．已知：如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝ x+3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点C34是点A 关于y 轴对称的点，过点C 作y 轴平行的射线CD ，交直线AB 与点D ，点P 是射线CD 上的一个动点．（1）求点A ，B 的坐标．（2）如图2，将△ACP 沿着AP 翻折，当点C 的对应点C′落在直线AB 上时，求点P 的坐标． （3）若直线OP 与直线AD 有交点，不妨设交点为Q(不与点D 重合)，连接CQ ，是否存在点P ，使得S △CPQ ＝2S △DPQ ，若存在，请求出对应的点Q 坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】D 8．【答案】D 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】C 12．【答案】B13．【答案】y=3x ；上；3；y=3x ；左；114．【答案】（0，2）或（0， ）−415．【答案】y=2x+216．【答案】y ＝－2x+517．【答案】4018．【答案】或2x +55+2x19．【答案】（1）解：∵点 在直线 上，∴ ，P(1,b)l 1:y =2x +1b =2×1+1=3∵ 在直线 上，∴ ，∴P(1,3)l 2:y =mx +43=m +4m =−1（2）解：∵直线 与 轴、 轴交于点 、 ，l 2:y =−x +4x y D A ∴ ，，A(0,1)D(−12,0)∵直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，l 2:y =−x +4x y C B ∴ ， ，B(0,4)C(4,0)∴S △PDC −S △PAB =12DC ⋅y P −12AB ⋅x P =12×(12+4)×3−12×(4−1)×1=214（3）解：设直线 与直线 ， 分别交于点 ， ， x =a l 1l 2M N 当 时， ；当 时， ，x =a y M =2a +1x =a y N =4−a ∵ ，∴ ，解得或 ，MN =2|2a +1−(4−a)|=2a =13a =53所以 的值为 或 a 135320．【答案】（1）-2；y ＝+412x （2）解：∵直线AB 沿y 轴向下平移，平移后的直线恰好经过C （﹣3，0）， ∴设直线DC 的解析式为y ＝﹣2x+d ，把C （﹣3，0）代入得d ＝﹣6，∴直线DC 的解析式为y ＝﹣2x﹣6．解得，{y =−2x−6y =12x +4{x =−4y =2∴E （﹣4，2）．21．【答案】（1）解：由题意，将点 代入一次函数 得： A(−1，m)y =x +5m =−1+5=4∴A(−1，4)将点 代入得： ，解得 A(−1，4)y =k x k−1=4k =−4则反比例函数的表达式为；y =−4x （2）解：将一次函数 的图象沿 轴向下平移 个单位得到的一次函数的解析式为 y =x +5y b y =x +5−b 联立{y =x +5−by =−4x 整理得： x 2+(5−b)x +4=0一次函数 的图象与反比例函数 的图象有且只有一个交点∵y =x +5−b y =−4x 关于x 的一元二次方程 只有一个实数根∴x 2+(5−b)x +4=0 此方程的根的判别式 ∴Δ=(5−b)2−4×4=0解得 b 1=1，b 2=9则b 的值为1或9.22．【答案】（1）解：∵反比例函数y 1= 与正比例函数y 2=x 相交于A （2，2）.kx ∴k=2×2=4（2）解：描出点（1，4），（2，2），（4，1）， 用平滑的曲线连接，画出反比例函数的图象如图，（3）解：由图象可知，当0＜x＜2和x＜-2时，y1＞y2.（4）解：观察图象，直线y=x向下平移3个单位，与反比例函数的交点为（4，1）和（-1，-4），∴不等式 ＜x-3的解集为：-1＜x ＜0和x ＞4.kx 23．【答案】（1）解：由 ，得 ，l 1：y =x−1k 1=1 ， ，∵l 2⊥l 1∴k 2⋅k 1=−1，∴k 2=−1设 ，把 代入解析式得：b=3，l 2：y =−x +b P(2，1) ；∴l 2：y =−x +3（2）解：由图象可得：， 与x 轴交于点B 、C ， 令y=0，则有 ∵l 2：y =−x +3l 1：y =x−1∴B(3，0)，C(1，0)，又 与y 轴交于点A ， 令x=0，则有 ，∵l 2：y =−x +3∴A(0，3) OA=3，BC=2， ；∴∴S △ABC =12BC ⋅OA =3（3）解： 将直线 向下平移 个单位，得到新的直线 ，∵l 1q l 3 ，令x=0则 ， ，∴l 3：y =x−1−q y =−1−q ∴E(0，−1−q) ，∴AE =3−(−1−q)=4+q 交直线 于点F ， 解得，∵l 3l 2∴{y =−x +3y =x−1−q {x =4+q 2y =2−q 2 ， ，∵S △AEF =12AE ⋅F x =16∴12×(4+q)⋅4+q 2=16解得 （不符题意，舍去）.q 1=4，q 2=−12 .∴q =424．【答案】（1）解：令x=0，则y=3，∴B （0，3），令y=0，则 x+3=0，34∴x=﹣4，∴A （﹣4，0）；（2）解：∵点C 是点A 关于y 轴对称的点， ∴C （4，0），∵CD ⊥x 轴，∴x=4时，y=6，∴D （4，6），∴AC=8，CD=6，AD=10，由折叠知，AC'=AC=8，∴C'D=AD﹣AC'=2，设PC=a ，∴PC'=a ，DP=6﹣a ，在Rt △DC'P 中，a2+4=（6﹣a ）2，∴a= ，83∴P （4， ）；83（3）解：设P （4，m ）， ∴CP=m ，DP=|m﹣6|，∵S △CPQ =2S △DPQ ，∴CP=2PD ，∴2|m﹣6|=m ，∴m=4或m=12，∴P （4，4）或P （4，12），∵直线AB 的解析式为y= x+3①，34当P （4，4）时，直线OP 的解析式为y=x ②，联立①②解得，x=12，y=12，∴Q （12，12），当P （4，12）时，直线OP 解析式为y=3x ③，联立①③解得，x= ，y=4，43∴Q （ ，4），43。