非线性动力学
动力学中的非线性运动分析与应用
动力学中的非线性运动分析与应用动力学是研究物体在作用力的影响下的运动规律的学科。
传统的动力学理论主要关注线性运动系统，即物体受到作用力后的运动轨迹呈现线性关系。
然而，对于许多实际情况来说，物体的运动通常是非线性的，这使得非线性动力学的分析与应用变得至关重要。
非线性系统包含了许多复杂的现象，如混沌、周期解、共振等，这些现象在动力学中具有重要的研究价值。
非线性动力学的研究旨在揭示这些复杂现象背后的内在规律，并为实际应用提供理论支持。
一种常见的非线性动力学现象是混沌。
混沌是一种表现为无法预测的、高度敏感依赖于初始条件的复杂现象。
在非线性系统中，微小的初始条件差异可能会导致完全不同的结果，这使得混沌现象具有一定的随机性。
混沌现象的研究不仅在科学领域有重要意义，还广泛应用于信息加密、随机数生成等领域。
另一个重要的非线性动力学现象是周期解。
周期解是指系统在某个时间间隔内重复出现相同的状态或行为。
在传统的线性动力学系统中，周期解往往是平凡的，即简单的周期性振荡。
而在非线性系统中，周期解的形式多种多样，可能是复杂的周期结构，具有丰富的变化和动态。
周期解的研究可以帮助我们理解自然界的节律现象，如心脏跳动、动物行为等，同时也对调控和控制非线性系统具有一定的指导价值。
共振是非线性动力学中的另一个重要现象。
共振是指当外界激励的频率与系统自身的本征频率相接近时，系统会发生明显的共振效应。
共振现象在许多领域中都有着广泛的应用，如建筑物抗震、桥梁振动控制等。
非线性共振现象的研究有助于我们深入理解共振机理，并为实际应用提供技术支撑。
除了上述提到的几种非线性现象外，非线性动力学还涉及到更多的复杂现象，如延迟效应、非线性耗散等。
这些现象的研究对于科学领域的发展和实际应用具有重要的价值。
非线性动力学的应用已经渗透到各个领域。
在工程领域，非线性动力学的研究为结构设计、振动控制、信号处理等提供了理论基础。
在生物医学领域，非线性动力学的应用有助于研究人体的健康状态、疾病的发展和治疗等。
非线性动力学
图5.2.6 双稳系统中发生的化学振荡
这种双稳性系统中浓度的振荡,若以浓度 时间曲线来表示 时间曲线来表示, 这种双稳性系统中浓度的振荡,若以浓度-时间曲线来表示,则如 所示. 反应中出现的振荡现象. 图5.2.7所示.此种图形正好用来解释 所示 此种图形正好用来解释B-Z反应中出现的振荡现象. 反应中出现的振荡现象
根据目前了解,化学振荡反应至少具备下述三个重要条件: 根据目前了解,化学振荡反应至少具备下述三个重要条件: (1)振荡反应只能在远离平衡态下发生.如图 振荡反应只能在远离平衡态下发生. 所示. 振荡反应只能在远离平衡态下发生 如图5.2.3所示.在平 所示 衡态附近作振荡(如曲线 是违背热力学定律的 因此, 衡态附近作振荡 如曲线a)是违背热力学定律的.因此,振荡只允 如曲线 是违背热力学定律的. 许在趋向平衡的过程中发生(曲线 . 许在趋向平衡的过程中发生 曲线b). 曲线
图5.2.4 cX与cY随时间周期性变化
图5.2.5 cX与cY周期性变化 回路
对这种浓度发生周期性变化的现象可解释如下: 对这种浓度发生周期性变化的现象可解释如下: 设开始阶段只有少量的X与 , 反应又生成了X. 设开始阶段只有少量的 与Y,由A与X反应又生成了 . 与 反应又生成了 由于X的反馈作用,元反应 得以加速 导致c 的急剧上升. 得以加速, 由于 的反馈作用,元反应(i)得以加速,导致 x的急剧上升. 的反馈作用 与此同时, 的增加促进了元反应(ii).但开始时因Y少 与此同时,cx的增加促进了元反应 .但开始时因 少, 而速率甚慢,随着cY的不断增长及反馈,cY亦相继急剧上升, 而速率甚慢,随着 的不断增长及反馈, 亦相继急剧上升, 于是X被大量地消耗,反应 减慢了 新生成的X亦相应减少 减慢了, 亦相应减少. 于是 被大量地消耗,反应(i)减慢了,新生成的 亦相应减少. 被大量地消耗 反过来又影响(ii)的速率,使之随着减慢.这样一来, 又赢 反过来又影响 的速率,使之随着减慢.这样一来,X又赢 的速率 得了重新积累的机会而c 逐步上升,恢复到原来的起点. 得了重新积累的机会而 x 逐步上升,恢复到原来的起点.如 此循环不已,构成了周期性的振荡. 此循环不已,构成了周期性的振荡.
非线性系统动力学的研究与分析
非线性系统动力学的研究与分析随着科技的进步和社会的发展，非线性系统动力学的研究与应用逐渐受到广泛关注。
非线性系统动力学是指在系统中包含非线性成分，且系统的演化过程不仅受到外部环境的影响，还受到系统内部动力学过程的调控与变化。
本文将探讨非线性系统动力学的研究与分析方法，介绍其在各个领域的应用，并展望未来的发展趋势。
一、非线性系统动力学的基本概念与原理非线性系统动力学的研究是基于系统的复杂性与非线性的特点展开的。
与线性系统不同，非线性系统的输入与输出之间的关系不具备比例关系，而是呈现出非线性的特征。
非线性系统动力学研究的基本概念主要包括：相空间、吸引子、分岔现象等。
相空间是非线性系统动力学中的重要概念，其描述了系统状态随时间演化的轨迹。
相空间中的每个点代表系统的一个具体状态，通过描述系统在相空间中的运动轨线，可以揭示系统的动力学特性。
吸引子是非线性系统动力学中的一个重要现象，指的是系统在长时间演化过程中，稳定地趋向于某个状态的集合。
吸引子可以是一个点、一条线或者一个空间区域，它揭示了系统从无序到有序、从混沌到稳定的过渡过程。
分岔现象是非线性系统动力学中的另一个重要现象，指的是系统参数发生微小变化时，系统演化过程发生根本性改变的现象。
分岔现象揭示了系统演化过程中的多样性和复杂性，对于理解和分析非线性系统的行为具有重要意义。
二、非线性系统动力学的研究方法与分析工具为了研究和分析非线性系统动力学，学者们提出了许多方法和工具。
其中，数值模拟方法、符号计算方法和实验观测方法是应用最广泛的研究手段。
数值模拟方法是基于计算机技术，通过数值计算的方式模拟非线性系统的演化过程。
这种方法可以模拟较为复杂的非线性系统，并通过分析系统的特性参数，揭示系统动力学的行为。
符号计算方法是利用数学符号运算的方式，推导和分析非线性系统的动力学行为。
通过建立系统的数学模型，使用符号计算软件进行求解和分析，可以得到系统的稳定性、周期性、分岔等动力学特征。
非线性动力学的研究进展
非线性动力学的研究进展随着科技的发展和人们对自然界的认知不断深化，科学研究的领域也愈加宽广。
而非线性动力学作为一门新兴的科学领域，在近年来也逐渐得到了重视和发展。
本文旨在介绍非线性动力学的一些基本概念，并探讨其研究进展和在不同领域中的应用。
一、非线性动力学基本概念非线性动力学是一种研究非线性系统行为的数学方法和理论。
在经典力学基础之上，以物理学阐释为主线，研究复杂非线性系统中的运动规律、状态稳定性和转移过程等方面的问题，探讨其涌现和演化的规律性。
其基本概念包括吸引子、分岔、混沌等，其中最常见和可视化的是混沌现象。
二、非线性动力学基础问题非线性动力学研究的核心问题在于解决非线性系统中的混沌现象。
混沌的产生主要由于非线性系统具有高度复杂的动力学特征，同时也与系统初始状态、噪声失真、非完全信息等因素有关。
在研究非线性系统的混沌现象中，常用的手段包括分形和延迟等方法。
分形是指在长程尺度下，一个体系的结构或形态具有自相似和重复的特征。
非线性动力学中鲁棒吸引子和分形集合是研究分形的两个主要方面。
而延迟是指时间上相继的两个事件之间存在一段时间延迟，非线性动力学中，常常会利用延迟来研究混沌现象和非线性振动等。
三、非线性动力学的应用非线性动力学理论在数学、物理、生物、化学、力学等领域有着广泛的应用。
下面我们结合一些典型应用领域说明其在实践中的重要性。
1.生物和医药领域生命是一个非常复杂的非线性系统，因此，非线性动力学理论在生物学和医药领域中有着广泛的应用。
例如，非线性动力学理论已经成为生物群体行为、表观遗传学、基因调控网络、神经生物学等研究中的基础理论和技术平台。
2.环境和气候领域在环境和气候领域中，非线性动力学理论主要研究海洋环境、气氛环境、大气水文学等问题，例如海浪、洋流、地球物理学等研究中都存在着非线性模式和混沌现象。
3.金融和经济领域在金融和经济领域中，非线性动力学理论主要应用于风险控制、资产组合优化、股票价格预测、供应链管理等课题，有着非常重要的实际意义。
非线性动力学
t∈R
x∈ Rn
的解，则显然它是不仅是时间的函数，而且也是初值的函数，即解随着初值的改变而改变， 可以将解记为
φ(t, x0 )
当 x0 是 R n 中的某一点时，φ (t, x0 ) 代表了 1 条解轨线，而
{φ(t, x0 ) x0 ∈ D}
则代表了一族轨线。将φ看成是一个映射，即
φ : R× Rn → Rn
运动行为，它在物理上对应了这样的一个观点：在系统的最初阶段，系统由于外界的初始干 扰，将呈现相当复杂的运动形式，但随着时间的延续，运动将进入平稳状态，而这种平稳状 态体现了动态系统的本质结构。
微分方程解的最终形态通常有： (1) 平衡点 (2) 周期解 (3) 拟周期解 (4) 混沌解
6.4.1 平衡点
图 6-7 所示是 2 维线性系统的相轨线，坐标原点是系统的平衡点，图 6-7a、b 中的平衡 点是稳定的，称为稳定结点，图 6-7c 中的平衡点是不稳定的，称为鞍点。
图 6-7 2 维线性系统的相轨线
6.5.2 任意解的稳定性
设 x = ψ (t)是微分方程 x& = F(t, x)
第 6 章 非线性动力学
-0.5
-1
-1.5
0.5
1
1.5
图 6-2 例 1 相图
例2
如图 6-3 所示是微分方程
&y& + 0.2 y& + y = 0
在相平面 (x1, x2 ) ，
x1 = y
x2 = y&
上的轨线图，平衡点为 (0,0)，当 t → ∞ 时，解轨线趋于平衡点。
0.6 0.4 0.2
-0.6
-0.4
-0.2 -0.2
国内非线性动力学教学大纲
国内非线性动力学教学大纲国内非线性动力学教学大纲引言：非线性动力学是一门研究非线性系统行为的学科，其在物理学、数学、生物学等领域都有广泛的应用。
随着科技的发展，非线性动力学的重要性逐渐凸显，因此，在国内高等教育中加入非线性动力学的教学已成为必然趋势。
本文将探讨国内非线性动力学教学的大纲设计。
一、课程背景1.1 非线性动力学的定义和基本概念1.2 非线性动力学在不同学科领域中的应用1.3 国内外非线性动力学教学的现状和发展趋势二、教学目标2.1 掌握非线性动力学的基本理论和方法2.2 理解非线性系统的行为特征和稳定性分析2.3 能够应用非线性动力学理论解决实际问题三、教学内容3.1 非线性方程和非线性系统的数学描述3.2 相空间和相图的概念及其应用3.3 非线性系统的稳定性分析方法3.4 分岔理论和混沌现象的研究3.5 非线性动力学在物理学、数学、生物学等领域中的应用案例四、教学方法4.1 理论授课结合实例分析4.2 数学模型的建立和求解4.3 计算机仿真和实验实践4.4 学生参与讨论和小组合作学习五、教学评价5.1 期中和期末考试5.2 课堂参与和作业完成情况5.3 课程设计和实验报告5.4 学生对非线性动力学应用案例的理解和解释六、教学资源6.1 教材和参考书目6.2 计算机软件和仿真工具6.3 实验设备和实验室资源七、教学团队7.1 教师的资质和教学经验7.2 学生的背景和学习能力7.3 学校提供的支持和培训结语：非线性动力学作为一门前沿学科，其教学的设计和实施需要综合考虑课程背景、教学目标、教学内容、教学方法、教学评价、教学资源和教学团队等因素。
通过合理的大纲设计和科学的教学方法，可以提高学生对非线性动力学的理解和应用能力，培养创新思维和解决实际问题的能力，为国内非线性动力学研究和应用的发展做出贡献。
第十一章 非线性动力学
可饱和的代谢过程；酶诱导；较高剂量时 的肝中毒；肝血流的变化；代谢物的抑制 作用
二、非线性药物动力学特点与识别
特点：
药物消除为非一级动力学，遵从米氏方程 AUC与剂量不成正比 消除半衰期随剂量增大而延长，剂量增加至一定 程度时，半衰期急剧增大 动力学过程可能会受到合并用药的影响 代谢物的组成比例受剂量的影响
当C0>>Km时, t1/2=C0/(2Vm) 当Km>>C0时, t1/2=0.693Km/Vm
清除率Cl
dX dt Cl C VmC dX dt ( dC dt ) V V Km C Vm V Cl Km C
当C>>Km时, Cl与C成反比：CL=Vm*V/C 当Km>>C时, Cl与C无关： CL=Vm*V/Km
线性动力学
血药浓度与剂量呈正比 ； AUC与剂量呈正比；t1/2、k、 V、Cl与剂量无关
非线性动力学
Dose-dependant PK 动力学参数与剂量有关 存在饱和现象
k
AUC
t1/2
X0
X0
X0
注：图中实线表示非线性，虚线表示线性非线性药代动力学主要见于：
与药物代谢有关的可饱和的酶代谢过程； 与药物吸收、排泄有关的可饱和的载体转 运过程； 与药物分布有关的可饱和的血浆/组织蛋白 结合过程； 酶诱导及代谢产物抑制等其他特殊过程。
五、非线性动力学参数的求算
1. Km及Vm的求算：根据-dC/dt 求算
dC Vm C dt K m C
Lineweaver-Burk方程式： Hanes-Woolf方程式： Eadie-Hofstee方程式：
非线性动力学培训课件
粒子群优化算法具有简单、易于实现、全局搜索能力强等优点，但可能存在局部最优解的问题，且对于大规模问题的求解效率可能较低。
粒子群优化算法
03
非线性动力系统的混沌现象
混沌是一种具有高度不确定性、非周期性、非线性、非稳定性的自然现象。
混沌现象的定义
混沌具有敏感的初始条件、拓扑混沌、统计的均匀性、普适性等特征。
非线性动力学在物理、生…
研究非线性动力学在物理、化学、生物、工程等领域的应用，深入探索非线性科学在解决实际问题中的潜力。
高维非线性动力学的数值…
针对高维非线性动力学问题，研究高效的数值模拟方法和算法设计技巧，以提高计算效率和准确性。
非线性动力学的研究前沿和挑战
智能制造与机器人技术的非线性动…
非线性动力学在未来的应用前景和发展趋势
电力工程
研究飞行器的非线性动态行为，如航天器姿态动力学和控制、空间碎片的动力学行为等。
航天工程
社会动力学
研究社会系统的演化和行为，如人口动力学、社会网络分析和人类行为等。
经济动力学
探究经济系统的非线性动态演化，如经济周期、金融危机和国际经济等。
决策科学
探究决策过程中的非线性现象和规律，如群体决策、风险评估和非线性思维等。
非线性动力学涉及到许多基本概念，如平衡点、稳定性、分岔点、混沌等，这些概念在研究非线性系统时具有重要的意义。
基本概念
非线性动力学的定义和基本概念
研究内容
非线性动力学的研究内容包括研究非线性微分方程的定性理论、研究非线性系统的稳定性、分岔、混沌等动力学行为，以及研究非线性动力学的数值方法和计算技术。
非线性动力学方法和思想在其他领域的应用
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即non-linear 是指输出输入既不是正比例也不是反比例的情形。
如宇宙形成初的混沌状态。
自变量与变量之间不成线性关系，成曲线或抛物线关系或不能定量,这种关系叫非线性关系。
“线性”与“非线性”，常用于区别函数y = f (x)对自变量x的依赖关系。
线性函数即一次函数，其图像为一条直线。
其它函数则为非线性函数，其图像不是直线。
线性，指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。
如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，可实际是 6－10倍！这就是非线性：1＋1不等于2。
非线性关系虽然千变万化，但还是具有某些不同于线性关系的共性。
线性关系是互不相干的独立关系，而非线性则是相互作用，而正是这种相互作用，使得整体不再是简单地等于部分之和，而可能出现不同于"线性叠加"的增益或亏损。
激光的生成就是非线性的！当外加电压较小时，激光器犹如普通电灯，光向四面八方散射；而当外加电压达到某一定值时，会突然出现一种全新现象：受激原子好像听到“向右看齐”的命令，发射出相位和方向都一致的单色光，就是激光。
迄今为止，对非线性的概念、非线性的性质，并没有清晰的、完整的认识，对其哲学意义也没有充分地开掘。
线性：从相互关联的两个角度来界定，其一：叠加原理成立；其二：物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量。
在明确了线性的含义后，相应地非线性概念就易于界定：其—，“定义非线性算符N(φ)为对一些a、b或φ、ψ不满足L（aφ+bψ）=aL(φ)+bL(ψ)的算符”，即叠加原理不成立，这意味着φ与ψ间存在着耦合，对（aφ+bψ）的*作，等于分别对φ和ψ*作外，再加上对φ与ψ的交叉项(耦合项)的*作，或者φ、ψ是不连续(有突变或断裂)、不可微(有折点)的。
其二，作为等价的另—种表述，我们可以从另一个角度来理解非线性：在用于描述—个系统的一套确定的物理变量中，一个系统的—个变量最初的变化所造成的此变量或其它变量的相应变化是不成比例的，换言之，变量间的变化率不是恒量，函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方，概括地说，就是物理变量间的一级增量关系在变量的定义域内是不对称的。
可以说，这种对称破缺是非线性关系的最基本的体现，也是非线性系统复杂性的根源。
对非线性概念的这两种表述实际上是等价的，其—叠加原理不成立必将导致其二物理变量关系不对称；反之，如果物理变量关系不对称，那么叠加原理将不成立。
之所以采用了两种表述，是因为在不同的场合，对于不同的对象，两种表述有各自的方便之处，如前者对于考察系统中整体与部分的关系、微分方程的性质是方便的，后者对于考察特定的变量间的关系(包括变量的时间行为)将是方便的。
非线性的特点是：横断各个专业，渗透各个领域，几乎可以说是：“无处不在时时有。
”确实如此。
非线性动力学随着科学技术的发展,非线性问题出现在许多学科之中.传统的线性化方法已不能满足解决非线性问题的要求.非线性动力学也就由此产生. 非线性动力学联系到许多学科,如力学.数学.物理学.化学,甚至某些社会科学等. 非线性动力学的三个主要方面：分叉.混沌和孤立子.事实上,这不是三个孤立的方面.混沌是一种分叉过程.孤立子有时也可以和同宿轨或异宿轨相联系,同宿轨和异宿轨是分叉研究中的两种主要对象. 经过多年的发展,非线性动力学已发展出了许多分支,如分叉.混沌.孤立子和符号动力学等.然而,不同的分支之间又不是完全孤立的.非线性动力学问题的解析解是很难求出的.因此,直接分析非线性动力学问题解的行为(尤其是长时期行为)成为研究非线性动力学问题的一种必然手段. Non-linear Dynamics随着科学技术的发展,非线性问题出现在许多学科之中.传统的线性化方法已不能满足解决非线性问题的要求.非线性动力学也就由此产生.非线性动力学联系到许多学科,如力学.数学.物理学.化学,甚至某些社会科学等. 非线性动力学的三个主要方面：分叉.混沌和孤立子.事实上,这不是三个孤立的方面.混沌是一种分叉过程.孤立子有时也可以和同宿轨或异宿轨相联系,同宿轨和异宿轨是分叉研究中的两种主要对象.经过多年的发展,非线性动力学已发展出了许多分支,如分叉.混沌.孤立子和符号动力学等.然而,不同的分支之间又不是完全孤立的.非线性动力学问题的解析解是很难求出的.因此,直接分析非线性动力学问题解的行为(尤其是长时期行为)成为研究非线性动力学问题的一种必然手段. 真实的动力系统几乎都含有各种各样的非线性因素，诸如机械系统中的间隙、干摩擦，结构系统中的材料弹塑性、构件大变形，控制系统中的元器件饱和特性、变结构控制策略等。
实践中，人们经常试图用线性模型来替代实际的非线性系统，以求方便地获得其动力学行为的某种逼近.然而，被忽略的非线性因素常常会在分析和计算中引起无法接受的误差，使得线性逼近徒劳无功.特别对于系统的长时间历程动力学问题，有时即使略去很微弱的非线性因素，也会在分析和计算中出现本质性的错误.因此，人们很早就开始关注非线性系统的动力学问题.早期研究可追溯到1673年Huygens对单摆大幅摆动非等时性的观察，从19世纪末起，Poincar6，Lyapunov，Birkhoff，Andronov，Arnold和Smale等数学家和力学家相继对非线性动力系统的理论进行了奠基性研究，Duffing，van der Pol，Lorenz，Ueda等物理学家和工程师则在实验和数值模拟中获得了许多启示性发现.他们的杰出贡献相辅相成，形成了分岔、混沌、分形的理论框架，使非线性动力学在20世纪70年代成为一门重要的前沿学科，并促进了非线性科学的形成和发展.近20年来，非线性动力学在理论和应用两个方面均取得了很大进展.这促使越来越多的学者基于非线性动力学观点来思考问题，采用非线性动力学理论和方法，对工程科学、生命科学、社会科学等领域中的非线性系统建立数学模型，预测其长期的动力学行为，揭示内在的规律性，提出改善系统品质的控制策略，一系列成功的实践使人们认识到：许多过去无法解决的难题源于系统的非线性，而解决难题的关键在于对问题所呈现的分岔、混沌、分形、孤立子等复杂非线性动力学现象具有正确的认识和理解.近年来，非线性动力学理论和方法正从低维向高维乃至无穷维发展.伴随着计算机代数、数值模拟和图形技术的进步，非线性动力学所处理的问题规模和难度不断提高，已逐步接近一些实际系统.在工程科学界，以往研究人员对于非线性问题绕道而行的现象正在发生变化.人们不仅力求深入分析非线性对系统动力学的影响，使系统和产品的动态设计、加工、运行与控制满足日益提高的运行速度和精度需求，而且开始探索利用分岔、混沌等非线性现象造福人类。
《非线性动力学理论与应用的新进展》主要研究工程系统中的非线性动力学、分叉和混沌理论、控制理论及其应用，重点介绍近几年来国内外的最新进展，包括高维非线性系统的多脉冲全局分叉、时滞动力系统、非光滑动力系统等变非线性动力系统、C-L方法、规范形的计算、非线性随机优化控制、后绝对稳定性、网络结构与动力学、非线性色散波、非线性系统大范围运动动力学、碰撞振动系统、微转子系统、轴向运动弦线和梁的非线性动力学。
《非线性动力学理论与应用的新进展》可供高等院校力学、机械、数学、物理、航空航天、土木工程等专业的高年级本科生、研究生阅读学习，也可作为教师和科研人员的参考书。
非线性动力学系统的数学称为混沌理论。
一个混沌系统可以产生看上去随机实际上却并非真正随机的结果。
长期预报是不可能的。
混沌理论说：市场不是有效的，但它们也是不可预报的。
对于非线性动力学系统的研究和对于复杂理论的研究就是对于紊乱的研究。
更准确地说，它是对于从稳定到紊乱的过渡的研究。
牛顿物理学能够预测三个世纪后火星在哪，却不能预测后天的天气。
这是因为：牛顿物理学是建立在变量之间的线性关系上的。
它假定：对于每个因，都有一个直接的果。
所有系统都寻求系统在哪里可以安静下来的均衡点。
自然是有序的。
时钟是牛顿物理学的最好象征。
精确地组合到一起的零件，以完美的和谐走向一个可预测的结果。
然而，局限性是存在的。
牛顿物理学能够解释两个物体如何相互作用，却不能预测三个物体的相互作用。
在19世纪的大部分时间里，科学家们都为三体问题所困扰。
最后庞加莱说，因为系统内在的非线性性质，这个问题无法求得单一解。
庞加莱解释了为什么这些非线性性质是重要的：一个我们根本注意不到的非常小的因可以决定一个我们不可能注意不到的果，而那时我们会说这个果是处于偶然。
初始条件的很小差异产生出最终现象的极大不同的这种情况是会发生的。
前者的很小的误差导致后者的极大的误差预测变得不可能。
这个效应现在被称为“对于初始条件的敏感依赖”，并且已变成动力学系统的重要特征。
一个动力学系统的内在地不可作长期预测。
不可预测性是由于两个原因出现的。
动力学系统是反馈系统。
出来的东西会回去，经过变换，再出来，没完没了。
出来变换是指数外，反馈系统非常像复利，他有一个高于1的幂。
任何初始值的差别又都会按指数增长。
复杂系统的另一个特征牵涉到临界水平的概念。
一个经典的例子就是压断了骆驼背的最后一根稻草。
骆驼突然垮下来是一个非线性反应，因为在骆驼垮掉和那根特定的稻草之间没有直接的关系。
所有的重量的累计效应最后超过了骆驼站直的能力，使骆驼垮下来。
动力学系统是反馈系统。
混沌动力学系统的关键要素包括：1.对于初始条件的敏感依赖。
2.临界水平。
3.分形维。
经典计量经济学倾向于把经济系统看成是均衡系统（点吸引子），或以周期方式围绕均衡点变动的系统（极限环）。
经验证据对这两种看法都不支持。
经济学的时间序列的特征是非周期性循环（没有特征长度或时间标度的循环）。
非周期循环容易在非线性动力学系统中出现。
对于混沌，计算机变成了一个实验室。
用不同的吸引子试验，改变参数和检查结果，设计你自己的吸引子，计算机使得你能够用眼睛去看那些庞加莱只能在脑子里想象的东西。
埃农映射：埃农的吸引子是二维迭代映射，当a=1.4 b=0.3时，我们获得了混沌运动。
方程如下：x(t+1) =1+y(t) -a*pow(x(t),2)y(t+1) = bx(t)无规则运动在两个序列中都很明显。
但结果不是随机的，根据初始点的不同，次序也不同，但结果总是一个：埃农吸引子。
改变初始值，所有的值都改变了，看看平面图上的二维空间上的点形成的图形，它看上去一点也没变。
无论你选择什么初始值图总是一样的。
系统被吸引到这个形状。
这个形状是系统的奇异吸引子。
它也具有对初始条件的依赖的敏感性。
放大埃农映射的一部分，会看到更多的细节；放的越大，显示的细节就越多。