8非线性系统理论
第8章 非线性系统分析
一、非线性控制系统概述(11)
考虑著名的范德波尔方程
x 2 (1 x2 ) x x 0, 0
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使 x 1 时，因为 (1 x 2 ) 0 系统具有负阻尼，此时系统 x(t ) 的运动呈发散形式；当 x 1 时，因为 从外部获得能量， 2 (1 x 2）＞0，系统具有正阻尼，此时系统消耗能量， x(t ) 的运动呈收敛形式；而 当x＝1 时，系统为零阻尼， 系统运动呈等幅振荡形式。 上述分析表明，系统能克 服扰动对 的影响，保持幅 值为1的等幅振荡，见右图。
1
第八章 非线性控制系统分析
本章主要内容： 一、非线性控制系统概述 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响 三、描述函数法
2
第八章、非线性控制系统分析
本章要求 : 1、了解非线性系统的特点 2、了解常见非线性特性及其对系统运动的影响 3、掌握研究非线性系统描述函数法
3
一、非线性控制系统概述
本节主要内容： 1、研究非线性控制理论的意义 2、非线性系统的特征 3、非线性系统的分析与设计方法
5
一、非线性控制系统概述(2)
6
一、非线性控制系统概述(3)
在下图所示的柱形液位系统中，设 H为液位高度，Qi 为 C 为贮槽的截面积。根据水力 液体流入量， Q0为液体流出量， 学原理知
Q0 k H
其中比例系数 k 取决于液体的粘度的阀阻。 液体系统的动态方程为
dH C Qi Q 0 Qi k H dt
显然，液位和液体输入量的数字关系式为非线性微分方程。 由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。
7
一、非线性控制系统概述(4)
《自动控制原理》考点精讲(第8讲 非线性控制系统分析)
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
非线性控制系统理论与应用
非线性控制系统理论与应用第一章线性控制系统概述线性控制系统是一类基于线性系统理论的控制系统。
线性系统是指系统的输入与输出成比例的关系，即如果输入信号增加一倍，输出信号也会增加一倍。
线性系统具有稳定性和可控性的优点，因此在控制系统设计中有广泛的应用。
线性控制系统分为时不变系统和时变系统两种。
在时不变系统中，系统参数固定不变。
在这种情况下，可以针对系统的等效传递函数或状态方程进行设计和分析。
时变系统中，系统参数随时间变化。
需要对系统进行时变分析，以便针对不同时间点设计控制器。
第二章非线性控制系统概述非线性系统是指系统的输入与输出不成比例的关系。
非线性系统不同于线性系统的特点是可能出现复杂的动态行为和稳定性问题。
因此，非线性系统的控制设计比线性系统更加复杂，需要更高级的系统理论和控制方法。
非线性控制系统包括分段线性系统、滞后系统、时变系统和混沌系统等。
非线性控制系统设计需要掌握许多高级数学工具，如微积分、变分法、拓扑学、非线性动力学和控制理论等。
第三章非线性控制系统的分析由于非线性系统比线性系统更为复杂，因此非线性控制系统的分析也更加困难。
但是，通过一些数学工具和技术，可以对非线性系统进行分析和解决。
非线性系统最重要的特征之一是稳定性。
非线性系统有时会出现不稳定的情况。
在设计非线性控制系统时，需要对系统的稳定性进行分析，以便在设计和实现控制器时考虑哪些因素会对稳定性产生影响。
另外一个重要的因素是动态行为。
非线性系统可能显示出复杂的动态行为，如周期性行为或混沌行为。
在非线性控制系统设计中，控制器必须能够应对这些复杂的动态行为。
第四章非线性控制系统的设计在非线性控制系统设计中，需要考虑许多因素。
首先，需要选择适当的控制策略，如状态反馈、输出反馈、模糊控制或神经网络控制。
其次，需要选择适当的控制器类型，如比例控制器、PID控制器或先进控制器。
最后，在设计非线性控制系统时，需要注意以下几个方面：1、控制器必须能够适应系统的非线性特性。
非线性控制系统数学理论
非线性控制系统数学理论随着科学技术的不断进步和发展，控制系统的研究也日益受到人们的关注。
在实际工程中，为了更好地控制非线性系统，我们需要借助数学理论来分析和设计控制策略。
非线性控制系统数学理论作为控制工程中的重要分支，扮演着至关重要的角色。
本文将从非线性控制系统的数学理论出发，深入探讨其相关知识。
一、非线性系统的特点首先，我们需要了解非线性系统与线性系统之间的区别。
在线性系统中，系统的输出与输入之间的关系是线性的，即服从叠加原理和比例原理。
而在非线性系统中，这种关系不再是线性的，具有多样的非线性特性。
非线性系统的特点包括：系统参数随时间改变、存在多个平衡点、具有奇点等。
二、非线性系统的数学建模为了对非线性系统进行分析和控制，我们需要进行数学建模。
通常采用微分方程、差分方程等数学工具来描述非线性系统的动态特性。
其中，最常见的非线性动力学方程包括：常微分方程、偏微分方程、离散方程等。
通过建立非线性系统的数学模型，我们可以更好地理解系统的行为规律。
三、非线性系统的稳定性分析稳定性是控制系统设计中至关重要的指标，对于非线性系统而言更是必不可少。
稳定性分析是控制系统理论中的重要内容，主要包括局部稳定性和全局稳定性。
在非线性系统中，通过Lyapunov稳定性理论、拉普拉斯变换等方法可以对系统的稳定性进行分析，判断系统是否收敛于某个平衡点。
四、非线性系统的控制方法针对非线性系统的控制，我们可以采用多种方法来设计稳定且有效的控制策略。
其中，常用的控制方法包括：线性化控制、自适应控制、模糊控制、神经网络控制等。
通过将数学理论与控制工程相结合，可以实现对非线性系统的良好控制效果。
五、非线性系统的应用领域非线性控制系统的数学理论在现代科技领域得到了广泛的应用。
例如，在航空航天、电力系统、机械制造等领域，非线性系统的控制和优化问题日益显著。
借助数学理论，我们可以更好地解决工程实践中遇到的非线性系统控制难题。
总结而言，非线性系统数学理论作为控制工程中的重要组成部分，对于实现系统自动化、智能化具有重要意义。
非线性系统知识点总结
非线性系统知识点总结一、引言随着科学技术的发展，非线性系统在各个领域中扮演着愈发重要的角色，例如控制工程、经济学、生物学、化学等。
非线性系统的特点是其响应与输入之间不满足线性叠加原理，因此其动力学行为十分复杂。
在探究非线性系统的特性和行为规律中，需要深入研究和掌握一系列知识点。
本文将以非线性系统为基础，对其相关知识点进行总结和梳理，以期为相关研究提供一定的指导方向。
二、非线性系统的基本概念1. 线性系统与非线性系统在探究非线性系统之前，首先需要了解线性系统与非线性系统的区别与联系。
线性系统具有叠加性质，即输入信号的线性组合对应于输出信号的线性组合。
而非线性系统则不满足该叠加性质。
从数学上来说，线性系统的方程能够表示为一阶线性微分方程，即具有线性的数学形式，而非线性系统的方程则是包含非线性项的微分方程。
2. 非线性系统的特点非线性系统具有复杂的行为特性，其主要特点包括：不可分解性、不确定性、多稳态性、随机性等。
非线性系统在实际应用中往往表现出多样化的动力学行为，对于系统的建模和分析提出了更高的要求。
三、非线性系统的数学描述1. 非线性方程非线性系统的数学描述通常采用非线性微分方程来进行表达。
非线性微分方程一般具有如下形式：\[ \frac{dx}{dt} = f(x(t), t) \]其中 \( x(t) \) 表示系统的状态变量，\( t \) 表示时间，\( f(x(t), t) \) 表示系统的非线性函数。
非线性微分方程的求解往往需要借助于数值方法，例如Euler法、Runge-Kutta法等。
2. 非线性系统的相空间描述相空间描述是研究非线性系统动力学行为的重要方法之一。
通过将系统的状态变量表示为相空间中的点，可以直观地展现系统的动态特性。
非线性系统的相空间可能包括多个稳态点、极限环、混沌吸引子等复杂结构。
3. 非线性系统的周期轨道对于某些非线性系统，其动力学行为可能出现周期轨道。
周期轨道是指系统状态在相空间中呈现周期性变化的轨迹，通常通过极限环的存在来描述。
非线性系统理论
强非线性
非线性系统的线性化描述
对非线性系统的局部线性化处理：
最简单的一维非线性系统，动力学方程的一般形式为：
x f (x)
“非线性是对线性的偏离”
按泰勒公式展开的无穷级数：
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) ( x )
“略去非线性余项” 近似表示为以下线性系统：
极限环
稳定：自持振荡
非线性系统
自激振荡
丌稳定：非自持振荡
系统在没有周期性外作用 力驱动下由于本身的非线性 判断一个非线性系统有无极限环
效应而自収出现周期运动。
非线性系统的自激振荡
极限环
孤立的闭合轨道 周围无闭合轨道，只有螺旋型轨道 对周围的轨道 要么吸引，要么排斥 一类定态 代表系统的一类典型的运动体制
非线性 余项
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) ax b
非线性系统的线性化描述
局部线性化加微扰方法：
线性化 近似处理
分段线性化方法： 用一系列首尾相接的折线段 近似代表曲线。
对结论 加以修正
高次项为 扰动因素
如：沿曲折的海岸线修路
中心点
非闭合轨道 周围有无穷多条闭合轨道 对附近的闭合轨道 既丌互相吸引，也丌相互排斥 附近的闭合轨道是系统的扰动态 丌代表系统的一种典型运动体制
非线性系统的非平庸行为
多吸引子 并存
自激振荡
混沌运动
……
——非线性系统的各种非平庸行为
以上都是非线性相互作用产生的系统
现象，反映的是系统的整体涌现性。
非线性系统的双稳态
启示
1、现实世界本质上是非线性的
非线性系统理论.ppt
若当振幅X增大时， -1/N(X)曲线由G(jω )包围的区域（不 稳定区）穿出，该交点处存在着稳定的周期运动，该交点是自 振点。
例6-3 判定图6-14所示特性的自振点。
解 图a为一高阶线性函数与无回差理想继电特性的串联，M1、M3 点为自振点，M2为不能持续工作的振荡点。
0
0
Y A B n
2 n
2 n
n arctg
An Bn
由于典型非线性特性均属奇对称函数；A0=0，又谐波线性化后略 去高次谐波，只取基波，故有
y ( t ) A cos t B sin t Y sin( t ) 1 1 1 1
B1 1 arcg A1
2
这是一种非线性超前校正线路，有利用改善系统性能。
a ) 原来线路
b )线路的描述函数曲线
本章主要知识点与主要线索
结构归化 非线性系统 典型结构 计算 查表
N(X )
乃氏曲线 线性部分
1 N(X )
稳定性 , 自 振 , 求自 振 参数
分段线性的 开关线 分段相迹方程 非线性系统 奇点类型
积分 求解
第15次课
教学学时：2学时 目的要求：通过本次课程了解非线性系统的概念和改善非线性 系统性能的措施及非线性特性的利用，掌握描述函数法的计算 和应用 知识要点： 1.非线性系统概述 a.常见非线性特征 b.非线性系统的特点 2.函数描述法 a.描述函数的概念和计算 b.改善非线性系统性能的措施及非线性特性的利用 教学步骤：先介绍非线性系统的概述，在围绕概述讲述描述函数 法的计算和应用并举例说明
6.2 描 述 函 数 法
《非线性系统》课件
混沌系统的特征和应用
敏感依赖
初值条件微小变化会导致系统演化的巨大差异。
不可预测性
在长时序演化中，混沌系统的状态基本是不可再现的。
应用领域
混沌系统在通信、保密、工程设计等领域有着重要的应用价值。
非线性系统的分析方法
1
极值稳定性分析法
2
通过分析系统处于极值时的稳定性性
质，来研究系统的演化规律和稳定性。
动力学方程和相空间
动力学方程
动力学方程描述了非线性系统的运动行为，如钟 摆、万有引力等。
相空间
相空间展示了非线性系统的运动信息，可以提供 直观分析方法。
混沌现象和混沌系统介绍
1
混沌现象
混沌现象指的是非线性系统具有极其灵敏的依赖于初值的性质，导致演化不可预 测的现象。
2
混沌系统
混沌系统具有非线性特征，普遍存在于复杂系统中，其运动是非常复杂而难以预 测的。
3
相平面分析法
通过绘制系统状态随时间的演化图案， 来研究系统的演化规律和稳定性。
相图和流图分析法
通过绘制相图和流图等图形，来分析 非线性系统的演化规律和稳定性。
非线性系统的解析方法
级数展开法和重整化理论
利用数学解析方法来求解非线性方程，对混沌系 统的研究和控制具有重要意义。
广义函数法和数值模拟
利用数值计算方法来模拟非线性系统的演化，能 够模拟许多真实系统的行为。
非线性系统的特点和分类
非线性反馈
反馈对系统演化和行为的影响是非线性的。
非平稳性
系统的特性随时间变化而变化。
非高斯性
随机变量分布不符合高斯（正态）分布规律。
非周期性
系统状态随时间没有固定的周期性演化。
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X(t)=
K(Asint a)
K(Aa)
K(Asint a)
0t
2
t (8-21)
2
t
式中 sin1 A2a
A
A 1 20 2K (A sin ta)co tsd (t)
22 K(Aa)cotsd(t)
2 K (A sin ta)co tsd (t)
理想继电特性
x
M x(t) M
e0 e0
（8-5）
M
0
e
图8-8(a) 理想的继电特性
具死区的继电特性
M
x(t)
0
M
e(t) e0 e0 e(t) e0 e(t) e0
x
-e0
0 e0
e
图8-8(b) 具死区的继电特性
（8-6）
具磁滞回环的继电特性
x(t)
M M
.
.
e(t)>0,e>e0; e(t)<0,e>-e0
4KA
a 2
A
a
A
(8-22)
B1 K A 2si 1n A A 2a A A 2a1 A A 2a 2 (8-23) 于是，可求得间隙的描述函数N（A）为
N ( A) K 2 s i1 n A A 2 a A A 2 a1 A A 2 a 2 j4 K a (a A 2A ) N(A)ej1
X1+X2
滤波器 I 滤波器 II
非线性器件 I 非线性器件 II
Y1＋Y2
图8－1 带滤波器的非线性系统
2. 非线性系统的稳定性不仅取决于控制系 统的固有结构和参数，而且与系统的初 始条件以及外加输入有关系。
例：对于一由非线性微分方程
.
X = - x( 1 – x )
(8-1)
描述的非线性系统，显然有两个平衡点， 即x1=0和x2=1。将上式改写为
N (A ) 4 K a (a A 2A ) 2 K 2 s i1A n A 2 a A A 2 a1 A A 2 a 2 2
(8-25)
a(aA)
1
tg1
4 A2
sin1A2aA2a
1A2a2
2
A A
A
(8-26)
4. 继电特性
由式（8－14）可知，描述函数是输入振幅 A的函数，是一个可变增益的放大系数。
8.3.2 典型非线性的描述函数
1. 饱和特性
如图8－10所示。该饱和特性输入e(t)Asi nt
X(t) k
X(t)
e(t)
t
e(t)
t
图8－10 饱和特性及输入输出波形
当A>a时，饱和特性输出x(t)为
KA sin t
8 非线性系统理论
8.1 引言 8.2 典型非线性特性的数学描述及其对系
统性能的影响 8.3 描述函数法 8.4 相平面法
8.1 引言
8.1.1 非线性系统特点 8.1.2 研究非线性系统的意义与方法
8.1.1 非线性系统特点
非线性系统与线性控制系统相比，具有一 系列新的特点
1. 线性系统满足叠加原理，而非线性控制 系统不满足叠加原理。
假定输入e(t)Asi nt，继电特性输出为
0
x (t )
b
0
0 t 1 1 t 2 2 t
式中
1 sin1
a A
,
2
sin1
ma A
A1 2ab(m1)
(8-27)
A
B1
2b
1ma2 A
1a2 A
(8-28)
具死区和磁滞回环继电特性的描述函数N（A） 为
N(A )N(A )ej1 A 1 2 B 1 2ejt1 gB A 1 1 (8-29) A A
假定，给非线性环节的输入为正弦量
e(t)Asi nt (8-9)
一般情况下，其输出为周期函数，可展开成 傅立叶级数
x(t)A 2 0n 1A nco ns tB nsin n t
式中，由于非线性为奇对称特性，所以A0＝
0。而 An102x(t)con std(t)
Bn102x(t)sin ntd(t)
X(t) k
-e0
e0
e(t)
图8－6 死区特性
8.2.3 间隙
如图8-7所示，它的数学描述如下：
ke(t) e0 x(t) ke(t) e0
bsigne(t)
.
X(t)>0
.
X(t)<0
.
X(t)=0
x (8-4)
b k
k
-e0
e0
e
-b
图8－7 间隙
8.2.4 继电特性
在使用继电特性时，有四种可供选择 的形态，如图8－8所示
1. 系统线性部分和非线性环节可以分离。 如图8－9所示，图中NL为非线性环节，G为线性 部分的传递函数。
r
y
-
NL
G
图8－9 非线性系统典型结构
2. 非线性特性具奇对称特性，且输入输出关系 为静特性。
3. 线性部分应具良好的低通滤波特性。
若满足以上条件，描述函数可定义为 非线性环节输出基波分量与输入正弦量 的复数比。
x(t)
Ka
KA sin t
0 t t t
(8-15)
式中， sin1 a
A 由于输出波形为奇函数，
A1＝0 ,
1
tg1
A1 B1
0
B120x(t)si ntd(t)
2KA sin1
aa AA
1a2 A
饱和特性描述函数求得如下：
N ( A)
B1 A
2Ksin1 aa
式中: G 1 ( j) G 2 ( j) H ( j)
假定: N(A)N(A)ej
则：
X 2 ( t ) N ( A ) G 1 ( j) G 2 ( j) H ( j) A 2 si t n ) (
如果
X
2
(t
)
等于X2(t)，则意味着产生了自激振荡，
(8-10)
取基波分量，有
A1102x(t)cotsd(t)
B1102x(t)si ntd(t) (8-11)
则基波分量为
x 1 (t) A 1co t s B 1sitn
x1si nt (1)
(8-12)
式中
x1 A12 B12
则描述函数
N(A) x1 ej1 A
(8-13) (8-14)
如图8－3所示的非线性弹簧输出的幅频特性。
A() 1. 2 2
3
4
4 .5
图8－3 跳跃谐振与多值响应
(2)分频振荡和倍频振荡
非线性系统在正弦信号作用下，其稳态 分量除产生同频率振荡外，还可能产生倍 频振荡和分频振荡。如图8－4所示波形。
输入信号
t
倍频信号
t
分频信号
t
图8－4 倍频振荡与分频振荡
X
y k1
Y
z k2
Z
a1 x
b1 y
(a) 串联非线性
X
z k1k2
x
Z
a1 a1+ b 1
k1
（b） 复合非线性
2. 并联非线性 并联非线性特性如图8－19所示。
x
NL1
y1
+
+
y
NL2
y2
图8－19 并联非线性
N(A) = பைடு நூலகம்1(A) + N2(A)
例 求如图8－20所示非线性特性的描述函数。
N(A)4 h A 33h28 hA 4 3A2
8.3.4 用描述函数法分析非线 性系统
一非线性系统结构如图8－21所示，假
定输入为零，图中N（A）为非线性环节的描
述函数，若 X2A2si nt,则
G1
X1’ X1 N(A) X2’ X2 G2
Y
H 图8－21 非线性系统
X 1 ' G 1 (j)G 2 (j)H (j)A 2 sitn )(
求N1（A）：
B120 h3si ntd(t)4h3
∴
N1(A)
B1 A
4h3
A
求N2（A）：输入输出为线性关系
N2（A）＝ 3h2
求N3（A）：
B120 3h2 Asi3ntd(t)
8 hA
2
N3
(A)
8hA
求N4（A）：
B120A3si4ntd(t)
3 4
A3
N4(A)
3 4
A2
因此，多重非线性的描述函数为
A A
1a2 A
(8-17)
2. 死区特性
当输入 e(t)Asi nt时，非线性特性输入输
出波形如图8－11所示。
X(t)
X(t)
k a
.
-a
e(t)
t
e(t)
t
图8－11 死区特性及输入输出波形
由图所示，当 e(t)Asi nt时，且A>a，
式中 sin1 a ,死区输出为
A
0
0 t
x
性的数学描述如下：
b
k
ke(t) x(t) ke0signe(t)
e(t) e0 e(t) e0
(8-1)
-e0
e0
e
图8－5 饱和特性
8.2.2 死区特性
死区特性也称为不灵敏区，如图8-6所示。 其数学描述如下：
0
x(t)ke(t)e0sign(t)e
e(t) e0 e ( t ) e 0 (8-3)