非线性理论第八讲
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第8章 非线性系统分析
14
一、非线性控制系统概述(11)
考虑著名的范德波尔方程
x 2 (1 x2 ) x x 0, 0
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使 x 1 时，因为 (1 x 2 ) 0 系统具有负阻尼，此时系统 x(t ) 的运动呈发散形式；当 x 1 时，因为 从外部获得能量， 2 (1 x 2）＞0，系统具有正阻尼，此时系统消耗能量， x(t ) 的运动呈收敛形式；而 当x＝1 时，系统为零阻尼， 系统运动呈等幅振荡形式。 上述分析表明，系统能克 服扰动对 的影响，保持幅 值为1的等幅振荡，见右图。
1
第八章 非线性控制系统分析
本章主要内容： 一、非线性控制系统概述 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响 三、描述函数法
2
第八章、非线性控制系统分析
本章要求 : 1、了解非线性系统的特点 2、了解常见非线性特性及其对系统运动的影响 3、掌握研究非线性系统描述函数法
3
一、非线性控制系统概述
本节主要内容： 1、研究非线性控制理论的意义 2、非线性系统的特征 3、非线性系统的分析与设计方法
5
一、非线性控制系统概述(2)
6
一、非线性控制系统概述(3)
在下图所示的柱形液位系统中，设 H为液位高度，Qi 为 C 为贮槽的截面积。根据水力 液体流入量， Q0为液体流出量， 学原理知
Q0 k H
其中比例系数 k 取决于液体的粘度的阀阻。 液体系统的动态方程为
dH C Qi Q 0 Qi k H dt
显然，液位和液体输入量的数字关系式为非线性微分方程。 由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。
7
一、非线性控制系统概述(4)
一、非线性控制系统概述(11)
考虑著名的范德波尔方程
x 2 (1 x2 ) x x 0, 0
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使 x 1 时，因为 (1 x 2 ) 0 系统具有负阻尼，此时系统 x(t ) 的运动呈发散形式；当 x 1 时，因为 从外部获得能量， 2 (1 x 2）＞0，系统具有正阻尼，此时系统消耗能量， x(t ) 的运动呈收敛形式；而 当x＝1 时，系统为零阻尼， 系统运动呈等幅振荡形式。 上述分析表明，系统能克 服扰动对 的影响，保持幅 值为1的等幅振荡，见右图。
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第八章 非线性控制系统分析
本章主要内容： 一、非线性控制系统概述 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响 三、描述函数法
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第八章、非线性控制系统分析
本章要求 : 1、了解非线性系统的特点 2、了解常见非线性特性及其对系统运动的影响 3、掌握研究非线性系统描述函数法
3
一、非线性控制系统概述
本节主要内容： 1、研究非线性控制理论的意义 2、非线性系统的特征 3、非线性系统的分析与设计方法
5
一、非线性控制系统概述(2)
6
一、非线性控制系统概述(3)
在下图所示的柱形液位系统中，设 H为液位高度，Qi 为 C 为贮槽的截面积。根据水力 液体流入量， Q0为液体流出量， 学原理知
Q0 k H
其中比例系数 k 取决于液体的粘度的阀阻。 液体系统的动态方程为
dH C Qi Q 0 Qi k H dt
显然，液位和液体输入量的数字关系式为非线性微分方程。 由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。
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一、非线性控制系统概述(4)
《自动控制原理》考点精讲(第8讲 非线性控制系统分析)
（2）稳定性分析很复杂 线性系统的稳定性只取决于系统的结构与参数，而与外部作用 和初始条件无关。 非线性系统的稳定性：与系统的参数与结构、运动的初始状 态、输入信号有直接关系。 非线性系统的某些平衡状态（如果不止有一个平衡状态的话） 可能是稳定的，而另外一些平衡状态却可能是不稳定的。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
第八讲相位匹配原理
4 o
2ne2
2
m 2
L
若 o 1.06m L 5cm n 0.08
7.9mr
m 90 , 90 匹配，非临界匹配（失配角可以很大） m 90 , 非 90 匹配，临界匹配（失配角要求苛刻）
第八讲 相位匹配原理和有效非线性系数
no2
2
第八讲 相位匹配原理和有效非线性系数
3
考虑色散曲线
一、角相位匹配
n
• no 随频率（波长）变化，
no2 曲线A: o 光折射率
no
ne2
mI
曲线B:
e
光主折射率
ne2
ne
以曲线 A为代表；
• ne也随频率（波长）变
化，同时随 变化； 0 时，与曲线
n
a
由波矢面决定 s 的方向
tg
dn
nd
1
ne2
ne2
m
o
4Lne2
I m
(k)
4 o
ne2
m
L
第八讲 相位匹配原理和有效非线性系数
8
对于负晶体 II 类匹配
o e e2
当 T Tm 当 T Tm
kT
2 2o
no T ne2 T 0
kT
2 o2
no T
T
ne2 T
T
T Tm T
第八讲相位匹配原理
,θ 可以很大
若
I I θ m = 90o , sin 2θ m ~ 0
k 的展开式:
(k ) (k ) = k θ =θm + θ
若
θ m = 90o
2 4π 2 ne ω (θ ) θ =θm θ + ω λo θ 2
θ =θm
(θ )
2
=
π
L
λoω = 1.06 m L = 5cm n = 0.08
第八讲 相位匹配原理和有效非线性系数
一,角相位匹配; θ m 二,温度相位匹配; θ = 90o 三,有效非线性系数; m
相位失配: k 由于 ω
= k2
2ω
k1 k1
ω
ω
↑ n↑ ,通常 n(2ω ) > n(ω ) ,利用双折射,选择 θ m
2ω [n(2ω ) n(ω )] C
d eff = e2 d ( ω 2 ; ω1 , ω1 ) : e1e1
θ = 7.9mr
θ m = 90o , 90o 匹配,非临界匹配(失配角可以很大) θ m ≠ 90o ,
非
90o 匹配,临界匹配(失配角要求苛刻)
11
第八讲 相位匹配原理和有效非线性系数
取 θ = 90 ,通过改变温度实现相位匹配
o
二,温度相位匹配
有些晶体折射率随温度变化很 大,且 ne 比 no 变化大 例如,LiNbO3 ,对YAG激光
ω
ω
2ω
z
I θm
k(I)
ω no
y
2 ne ω (θ )
[
]
I 满足 θ m 的所有 方向都满足相位匹配,是一个圆.
由
2 ne
cos θ sin θ (θ ) = 2 + 2 ne no
若
I I θ m = 90o , sin 2θ m ~ 0
k 的展开式:
(k ) (k ) = k θ =θm + θ
若
θ m = 90o
2 4π 2 ne ω (θ ) θ =θm θ + ω λo θ 2
θ =θm
(θ )
2
=
π
L
λoω = 1.06 m L = 5cm n = 0.08
第八讲 相位匹配原理和有效非线性系数
一,角相位匹配; θ m 二,温度相位匹配; θ = 90o 三,有效非线性系数; m
相位失配: k 由于 ω
= k2
2ω
k1 k1
ω
ω
↑ n↑ ,通常 n(2ω ) > n(ω ) ,利用双折射,选择 θ m
2ω [n(2ω ) n(ω )] C
d eff = e2 d ( ω 2 ; ω1 , ω1 ) : e1e1
θ = 7.9mr
θ m = 90o , 90o 匹配,非临界匹配(失配角可以很大) θ m ≠ 90o ,
非
90o 匹配,临界匹配(失配角要求苛刻)
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第八讲 相位匹配原理和有效非线性系数
取 θ = 90 ,通过改变温度实现相位匹配
o
二,温度相位匹配
有些晶体折射率随温度变化很 大,且 ne 比 no 变化大 例如,LiNbO3 ,对YAG激光
ω
ω
2ω
z
I θm
k(I)
ω no
y
2 ne ω (θ )
[
]
I 满足 θ m 的所有 方向都满足相位匹配,是一个圆.
由
2 ne
cos θ sin θ (θ ) = 2 + 2 ne no
自动控制原理第八章非线性控制系统
稳定性定义
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
感谢您的观看
THANKS
自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
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自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
第八讲非线性回归分析
线性对数回归函数
因为该模型中Y是对数形式而X不是， 所以有时称它为对数线性模型。
如何理解β1的含义
在线性对数模型中， β1 表示X变化1个 单位引起Y的变化为(100*β1)%。
推导：我们考察自变量X变化∆X的过程。
此时： f ( X X ) f ( X ) ln(Y Y ) ln(Y ) ( Y ) Y
对数形式
对数形式经常用于表示变量的百分率变 化。例如：
在消费者需求的经济分析中，通常假定 价格上涨1%导致需求量下降一定的 百 分率。称价格上涨1%引起的需求下降 百分率为价格弹性(elasticity)。
对数形式是经济学中最常用的形式，广泛地应用在 各个领域中：
例如：在宏观经济学中，我们如果想研究投资的增
但当回归函数为非线性时，由于Y的预期 变化依赖于自变量的取值，因此其计算 较复杂。
我们假定非线性总体回归的一般公式为
书中的两个例子
1。地区收入从10----11（单位是千美 元）
2。地区收入从40----41
Yˆ (607.3 3.8511 0.0423112 ) (607.3 3.8510 0.0423102 ) 2.96 Yˆ (607.3 3.85 41 0.0423 412 ) (607.3 3.85 40 0.0423 402 ) 0.42
可以看出，income对testscore的弹性 逐渐变小。
效应估计的标准误差
在上例中
利用多元回归建立非线性模型的 一般方法
(1)确定一种可能的非线性关系。最佳做法 是利用经济理论和你对实际应用的了解提出 一种可能的非线性关系。在看数据之前，问 自己联系Y和X的回归函数斜率是否依赖于X 或其他自变量的取值。
当d1=0(男性) 对Y的效应为β2 当d1=1(女性) 对Y的效应为β2+β3
8-非线性理论.ppt
A)
N ( A) e j1
2
N (A)
4K
a(a
A2
2
A)
K
2
sin
1
A 2a A
A 2a A
1
A
2a A
2
(8-25)
4 a(a A)
1
tg 1
sin
1
A 2a
A2 A 2a
2
A A
1
A
2a
2
A
(8-26)
4. 继电特性
假定输入e(t) Asin t，继电特性输出为
0 x(t) b
0
0 t 1 1 t 2 2 t
式中 1
sin 1
a A
,
2
sin
1
ma A
A1 2ab(m 1)
(8-27)
A
B1
2b
1 ma 2 A
1
a
2
A
(8-28)
具死区和磁滞回环继电特性的描述函数N（A） 为
N ( A) N ( A) e j1
则基波分量为
x1(t) A1 cost B1 sin t
x1 sin( t 1)
(8-12)
式中
x1 A12 B12
(8-13)
则描述函数
N ( A) x1 e j1
(8-14)
A
由式（8－14）可知，描述函数是输入振幅 A的函数，是一个可变增益的放大系数。
8.3.2 典型非线性的描述函数
如图8－3所示的非线性弹簧输出的幅频特性。
A() 1. 2 2
3
4
4 .5
图8－3 跳跃谐振与多值响应
自动控制原理 第8章非线性控制理论系统
第8章 非线性控制系统分析
3
典型非线性特性
饱和非线性可以由磁饱和、放大器输出饱和、功率限制等引起。一般情况下， 系统因存在饱和特性的元件，当输入信号超过线性区时，系统的开环增益会有大 幅度地减小，从而导致系统过渡过程时间的增加和稳态误差的加大。但在某些自 动控制系统中饱和特性能够起到抑制系统振荡的作用。因为在暂态过程中，当偏 差信号增大进入饱和区时，系统的开环放大系数下降，从而抑制了系统振荡。在 自动调速系统中，常人为地引入饱和特性，以限制电动机的最大电流。
2020/4/3
第8章 非线性控制系统分析
9
典型非线性特性
图8.4 继电器非线
2020/4/3
第8章 非线性控制系统分析
10
8.1.2 非线性系统的特点
非线性元件系统与线性控制系统相比，有如下特点：
1. 叠加原理不适用于非线性控制系统。即几个输入信号作用于非线性控制系 统所引起的输出，不再等于每一个输入信号所引起的输出之总和。
同时满足 x 2 0，f(x1,x 2 ) 0 的特殊点，由于该点相轨迹的斜率为0/0，是一
图8.6 相平面图
2020/4/3
第8章 非线性控制系统分析
16
8.2.2 相轨迹的性质
在相平面的分析中，相轨迹可以通过解析法作出，也可以通过图解法或实验
法作出。相轨迹一般具有如下几个重要性质：
间 之 向，是t 1在的x.相1相推的轨平移减迹面，小运下系方动半统向方平状，向面态即的上沿向确，相左定由轨运于迹在动x的相。2<运平0动，面方表的向示上是随半x着平1的时面增间上t大，的方由推向于移x，2，即>0相向，轨右表迹运示的动随运。着动反时方
自动控制原理
第8章 非线性控制系统分析
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4，1999， 4000
Original model
原模型的稳定性分析
Konishi等的混沌控制方法
Optimal Velocity (OV) Model
Models:
• a favorable one of the microscopic traffic models • a differential equation
物理学家还指出，交通网络是一种复杂网络，由于构成成 分的多样性（客车、轿车、非机动车、行人）和运行的随 机性，与一般的大网络相比，其复杂性绝不逊色。
Freeway Network
Traffic Flow
车辆的运动和车辆间的相互作用决定了车流状态 时空图描述
Traffic Flow
密度 流量 平均速度
d 2 xi (t) dt 2
a
A(xi
(t))
dxi (t) dt
xi (t) xi1(t) xi (t),i 2,3,L , N
The definition of traffic jam
A simple definition about traffic jams (Konishi et al, 1999) Definition 1. Assume that characteristic polynomial d(s) is
考虑多辆前车的位置信息：
敏感系数： 稳定性条件：
稳定区域的变化
稳定性改善方法3
Akihiro Nakayama，Yuki Sugiyama，Katsuya Hasebe Effect of looking at the car that follows in an optimal velocity model of traffic flow PHYSICAL REVIEW E 65, 016112 （2001）
Microscopic Modelling
Microscopic modellings differ in varying mappings of the acceleration. A rule based one is:
Microscopic Modelling
Rules for the rule-based modelling are:
考虑后面车的位置信息： backward looking OV （BL-OV） model
稳定性条件：
稳定区域的比较
能耗的比较
稳定性改善方法4
王涛， 高自友， 赵小梅 多速度差模型及稳定性分析 物理学报 55，634－637，2006
考虑多辆前车间速度差的影响提出了一个扩展的跟 驰模型 ：
Nonlinear Dynamics 16: 127–151, 1998.
Original model: New model:
自组织现象
自组织是指系统通过系统内部各子系统之间的非线 性相互作用，在一定的条件下，自发产生在时间、 空间和功能上稳定的结构。
在真实的交通中，存在着一定的密度区域，在该区 域内交通流的状态是亚稳定的，由于车辆之间的相 互作用，一些交通流的状态会自发形成。较为典型 的是行走波的形成，也就是向后传播的堵塞波。一 般来说在诸如入口、出口匝道等瓶颈处容易产生这 种现象。
Braking: Arranges the behavior of the vehicle a when the safe distance to the leading vehicle b cannot be adhered and vehicle a has to slam on the brakes.
交通流理论概述（2）
在交通流理论的研究中，传统的研究方法主要是重 视实验观察到的流量-密度关系和不稳定的交通流 域。
近年来，研究的结果指出，对交通流理论的研究最 重要的是能够描述交通系统中观察到的非线性现象 。
2.交通流中的非线性现象（1）
道路交通状态大致可以分成3种：低密度的畅行交通（即自 由流）、各车道的车辆齐头并进的高密度同步交通、更高密 度的拥堵交通。在物理学家眼里，它们可类比为气相、液相 、固相这三个相，各相之间可以发生“相变”，到了某个临 界密度，相变就要发生。人们出行时就经常遇到相变，最不 愿意遇到的是从畅行交通相（经同步交通相）到拥堵交通相 的相变。
稳定性条件：
4.混沌控制
Konishi等的方法 Zhao等的方法 Li等的方法
混沌控制（1）
Coupled map car-following model and its delayedfeedback control
Keiji Konishi,* Hideki Kokame, and Kentaro Hirata PHYSICAL REVIEW E， VOLUME 60, NUMBER
Traffic Flow
Microscopic Modelling
Maps traffic flow as a set of individual vehicles.
Microscopic Modelling
The behavior of vehicle modeled by two conditional equations:
交通系统的相变中也存在着回滞（hysteresis：交通流量随 密度变化的回路特性）、成簇（clustering：拥堵集簇的形 成）、相分离（phase separation：交通流态时断时续）等 现象。
交通流中的非线性现象（2）
从物理学的角度看来，交通运行经常远离平衡态，而制约 它们的是复杂的非线性动力学规律，因此，非平衡态统计 物理学和非线性动力学正可以大行其道，交通系统中充满 着自组织（系统自行进入最佳临界状态）、混沌、分叉、 失稳（进入拥堵）等非线性现象。
2) 实测的流量密度关系是间断的，看起来像 是一个反。这个反的两个分支分别用来 定义自由流和拥挤流。
3) 在自由流区，流量和密度呈线性关系；随 着密度的增加，流量密度关系式变得越来 越复杂；在拥挤状态下，数据点分布在一 个比较大的二维空间中，很难用一个函数 关系来描述。
流量密度关系与回滞现象（2）
原OV模型离散化： 考虑次邻近前车的位置信息： 稳定性条件： （＝1/a）
稳定性改善方法2
H. Lenza, C.K. Wagner, and R. Sollacher Multi-anticipative car-following model Eur. Phys. J. B 7, 331-335 (1999)
Desired velocity: Arranges the behavior of the vehicle a without any outside influences.
Safe distance: Arranges the behavior of the vehicle a behind a leading vehicle b. Vehicle a tries to keep a safe distance to the leading vehicle b.
流量密度关系与回滞现象（1）
流量密度关系（基本图）
－ 交通流测量中的一个典型描述就是流量-密度关系，它 用来展示交通流量Q和车辆密度ρ之间的相互关系。
在德国高速公路A43上 测得的交通流量—密度 关系
基本图
1) 在密度为0时，流量为0；当道路上存在致 密堵塞时，流量也为0；在中间密度范围 内流量存在一个最大值。
窄堵塞窄堵塞逐渐融合为宽运动堵塞
混沌与分岔现象
Chaos and headway distribution of shuttle buses that pass each other freely
Physica A 323 (2003) 686 – 694
A Nonlinear Temporal Headway Model of Traffic Dynamics
OV模型
模型描述：
稳态：
稳定性条件： V'(h) 1 a2
改善稳定性的方法： （1）位置信息； （2）速度信息；
稳定性改善方法1
Takashi Nagatani Stabilization and enhancement of traffic flow by the next-nearest-neighbor interaction PHYSICAL REVIEW E 60, 6395－6401,交通流理论概述 2. 交通流中的非线性现象及其研究 3. 交通流模型的稳定性分析 4. 交通中的混沌控制 5. 交通流控制在ACC系统中的应用
1.交通流理论概述（1）
交通流理论是研究交通流状态随时间和空间变化规律的模 型和方法体系。
物理学家指出，交通系统可以看作一个由多个自驱动粒子 组成的复杂系统，把行进着的车辆和行人看成自行驱动的 “粒子”，交通流与光线一样，既有粒子性又有波动性， 因此，可以从宏观和微观的视角加以描述；
交通相
自由流相
每辆车均以期望速度运动，因此，车流量随车辆密度线性增加
同步流相 宽运动堵塞流相
交通相变
交通流的相变过程是一个十分复杂的过程
它是指交通流状态在不同交通相（包括自由流相、 同步流相及交通堵塞流相）之间的转变过程。
在真实的交通中，每一种交通相的出现都伴随着较 为复杂的动力学过程。一般来说，交通流的相变过 程是一种临界现象，车辆密度是影响交通流相变的 一个重要因素。除此以外，外界施加的扰动、交通 瓶颈等也是诱发交通相变的重要因素
跟驰模型的稳定性与相变
最优速度模型（OV）
有匝道的道路系统中的相变
通过上匝道的扰动会触发引起多种拥挤状态：(a)同步态 ；(b)振荡堵塞态；(c)触发时走时停态；(d)固定的局域堆集 以及完全堵塞态。
Original model
原模型的稳定性分析
Konishi等的混沌控制方法
Optimal Velocity (OV) Model
Models:
• a favorable one of the microscopic traffic models • a differential equation
物理学家还指出，交通网络是一种复杂网络，由于构成成 分的多样性（客车、轿车、非机动车、行人）和运行的随 机性，与一般的大网络相比，其复杂性绝不逊色。
Freeway Network
Traffic Flow
车辆的运动和车辆间的相互作用决定了车流状态 时空图描述
Traffic Flow
密度 流量 平均速度
d 2 xi (t) dt 2
a
A(xi
(t))
dxi (t) dt
xi (t) xi1(t) xi (t),i 2,3,L , N
The definition of traffic jam
A simple definition about traffic jams (Konishi et al, 1999) Definition 1. Assume that characteristic polynomial d(s) is
考虑多辆前车的位置信息：
敏感系数： 稳定性条件：
稳定区域的变化
稳定性改善方法3
Akihiro Nakayama，Yuki Sugiyama，Katsuya Hasebe Effect of looking at the car that follows in an optimal velocity model of traffic flow PHYSICAL REVIEW E 65, 016112 （2001）
Microscopic Modelling
Microscopic modellings differ in varying mappings of the acceleration. A rule based one is:
Microscopic Modelling
Rules for the rule-based modelling are:
考虑后面车的位置信息： backward looking OV （BL-OV） model
稳定性条件：
稳定区域的比较
能耗的比较
稳定性改善方法4
王涛， 高自友， 赵小梅 多速度差模型及稳定性分析 物理学报 55，634－637，2006
考虑多辆前车间速度差的影响提出了一个扩展的跟 驰模型 ：
Nonlinear Dynamics 16: 127–151, 1998.
Original model: New model:
自组织现象
自组织是指系统通过系统内部各子系统之间的非线 性相互作用，在一定的条件下，自发产生在时间、 空间和功能上稳定的结构。
在真实的交通中，存在着一定的密度区域，在该区 域内交通流的状态是亚稳定的，由于车辆之间的相 互作用，一些交通流的状态会自发形成。较为典型 的是行走波的形成，也就是向后传播的堵塞波。一 般来说在诸如入口、出口匝道等瓶颈处容易产生这 种现象。
Braking: Arranges the behavior of the vehicle a when the safe distance to the leading vehicle b cannot be adhered and vehicle a has to slam on the brakes.
交通流理论概述（2）
在交通流理论的研究中，传统的研究方法主要是重 视实验观察到的流量-密度关系和不稳定的交通流 域。
近年来，研究的结果指出，对交通流理论的研究最 重要的是能够描述交通系统中观察到的非线性现象 。
2.交通流中的非线性现象（1）
道路交通状态大致可以分成3种：低密度的畅行交通（即自 由流）、各车道的车辆齐头并进的高密度同步交通、更高密 度的拥堵交通。在物理学家眼里，它们可类比为气相、液相 、固相这三个相，各相之间可以发生“相变”，到了某个临 界密度，相变就要发生。人们出行时就经常遇到相变，最不 愿意遇到的是从畅行交通相（经同步交通相）到拥堵交通相 的相变。
稳定性条件：
4.混沌控制
Konishi等的方法 Zhao等的方法 Li等的方法
混沌控制（1）
Coupled map car-following model and its delayedfeedback control
Keiji Konishi,* Hideki Kokame, and Kentaro Hirata PHYSICAL REVIEW E， VOLUME 60, NUMBER
Traffic Flow
Microscopic Modelling
Maps traffic flow as a set of individual vehicles.
Microscopic Modelling
The behavior of vehicle modeled by two conditional equations:
交通系统的相变中也存在着回滞（hysteresis：交通流量随 密度变化的回路特性）、成簇（clustering：拥堵集簇的形 成）、相分离（phase separation：交通流态时断时续）等 现象。
交通流中的非线性现象（2）
从物理学的角度看来，交通运行经常远离平衡态，而制约 它们的是复杂的非线性动力学规律，因此，非平衡态统计 物理学和非线性动力学正可以大行其道，交通系统中充满 着自组织（系统自行进入最佳临界状态）、混沌、分叉、 失稳（进入拥堵）等非线性现象。
2) 实测的流量密度关系是间断的，看起来像 是一个反。这个反的两个分支分别用来 定义自由流和拥挤流。
3) 在自由流区，流量和密度呈线性关系；随 着密度的增加，流量密度关系式变得越来 越复杂；在拥挤状态下，数据点分布在一 个比较大的二维空间中，很难用一个函数 关系来描述。
流量密度关系与回滞现象（2）
原OV模型离散化： 考虑次邻近前车的位置信息： 稳定性条件： （＝1/a）
稳定性改善方法2
H. Lenza, C.K. Wagner, and R. Sollacher Multi-anticipative car-following model Eur. Phys. J. B 7, 331-335 (1999)
Desired velocity: Arranges the behavior of the vehicle a without any outside influences.
Safe distance: Arranges the behavior of the vehicle a behind a leading vehicle b. Vehicle a tries to keep a safe distance to the leading vehicle b.
流量密度关系与回滞现象（1）
流量密度关系（基本图）
－ 交通流测量中的一个典型描述就是流量-密度关系，它 用来展示交通流量Q和车辆密度ρ之间的相互关系。
在德国高速公路A43上 测得的交通流量—密度 关系
基本图
1) 在密度为0时，流量为0；当道路上存在致 密堵塞时，流量也为0；在中间密度范围 内流量存在一个最大值。
窄堵塞窄堵塞逐渐融合为宽运动堵塞
混沌与分岔现象
Chaos and headway distribution of shuttle buses that pass each other freely
Physica A 323 (2003) 686 – 694
A Nonlinear Temporal Headway Model of Traffic Dynamics
OV模型
模型描述：
稳态：
稳定性条件： V'(h) 1 a2
改善稳定性的方法： （1）位置信息； （2）速度信息；
稳定性改善方法1
Takashi Nagatani Stabilization and enhancement of traffic flow by the next-nearest-neighbor interaction PHYSICAL REVIEW E 60, 6395－6401,交通流理论概述 2. 交通流中的非线性现象及其研究 3. 交通流模型的稳定性分析 4. 交通中的混沌控制 5. 交通流控制在ACC系统中的应用
1.交通流理论概述（1）
交通流理论是研究交通流状态随时间和空间变化规律的模 型和方法体系。
物理学家指出，交通系统可以看作一个由多个自驱动粒子 组成的复杂系统，把行进着的车辆和行人看成自行驱动的 “粒子”，交通流与光线一样，既有粒子性又有波动性， 因此，可以从宏观和微观的视角加以描述；
交通相
自由流相
每辆车均以期望速度运动，因此，车流量随车辆密度线性增加
同步流相 宽运动堵塞流相
交通相变
交通流的相变过程是一个十分复杂的过程
它是指交通流状态在不同交通相（包括自由流相、 同步流相及交通堵塞流相）之间的转变过程。
在真实的交通中，每一种交通相的出现都伴随着较 为复杂的动力学过程。一般来说，交通流的相变过 程是一种临界现象，车辆密度是影响交通流相变的 一个重要因素。除此以外，外界施加的扰动、交通 瓶颈等也是诱发交通相变的重要因素
跟驰模型的稳定性与相变
最优速度模型（OV）
有匝道的道路系统中的相变
通过上匝道的扰动会触发引起多种拥挤状态：(a)同步态 ；(b)振荡堵塞态；(c)触发时走时停态；(d)固定的局域堆集 以及完全堵塞态。