求函数值域的几种常见方法
函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
求函数值域的几种常用方法
求函数值域的几种常用方法函数的值域是指函数在定义域上所有可能的输出值的集合。
求函数值域的方法可以分为几种常用的途径，包括图像法、解析法、等价关系法和数列法等。
下面将详细介绍这些方法。
一、图像法图像法是通过绘制函数的图像来确定函数的值域。
具体步骤如下：1.根据函数的定义域，确定合适的坐标系并绘制出函数的图像。
2.观察图像的上下边界，确定最小值和最大值，并将这些值确定为函数的值域的下边界和上边界。
二、解析法解析法是通过对函数进行化简和分析，找出函数的特性来确定值域。
具体步骤如下：1.根据函数的定义表达式，观察函数的性质，例如函数的奇偶性、周期性等。
2.利用函数的性质，找出函数的最小值和最大值，并将这些值确定为函数的值域的下边界和上边界。
三、等价关系法等价关系法是通过将函数与其他已知函数进行比较来确定函数的值域。
具体步骤如下：1.将函数的定义表达式进行变形，使其更容易与已知函数进行比较。
2.将函数与已知函数进行比较，找出它们的区别和相似之处。
3.根据已知函数的值域，可以确定函数的值域的下边界和上边界。
四、数列法数列法是通过构造特定的数列来逼近函数的值域。
1.根据函数的定义域，构造一个数列，使得数列中的每一个数都在函数的定义域内。
2.计算函数在数列中每一个数的值，并将这些值确定为函数的值域的一部分。
3.根据数列的性质，可以逼近函数的值域的下边界和上边界。
需要注意的是，这些方法都只能对一些简单的函数有效，对于复杂的函数，求值域可能需要借助数学分析工具、数值计算方法或者计算机模拟来进行。
此外，不同的方法可以结合使用，以增加求值域的准确性。
函数值域的十种求法
函数值域的十种求法函数值域是一种数学概念，它描述了一个函数的结果范围，是数学研究的基础。
求函数值域的方法有多种，每种方法都有不同的优劣。
本文介绍了求函数值域的十种方法，及其优势和劣势，以供参考。
一、定义法定义法是求取函数值域最为简单的方法，只要将函数的定义式扩大至所有可能被求出的范围即可。
定义法最大的优势在于可以精确求出函数值域，大大减少误差，使得函数值域的求解更有可靠性。
但是，定义法也有其缺点，即求解过程会很繁琐，在有多个参数的函数中，会消耗大量的计算时间。
二、图像法图像法是一种简单易行的求函数值域的方法，它只需要将函数的图像表示出来，然后从图像中观察出函数值域的范围即可。
图像法的优势在于求解速度快，只需要对函数的图像做一次有限次的绘制，就可以直观了解函数的值域，而无需进行耗时的计算。
但是，图像法本身并不能精确求出函数值域，无法判断一些细微的函数特征，从而可能导致求得的函数值域不够准确。
三、五行式五行式是一种常见的求函数值域的方法，它将参数组合为五个不同的行，分别代表不同的极限情况，然后从五行式中求取函数值域。
五行式的最大优势就在于可以根据函数本身的特征，从而排除掉一些不必要的计算，减少运算量，大大提高求解的效率。
但是，五行式也存在一定的局限性，它无法正确处理复杂的函数，也不能处理参数过多的函数。
四、三角形法三角形法是一种求函数值域的经典方法，它将参数抽象出来，将参数空间细分为多个三角形，并将每个三角形中的值域分别求取出来。
三角形法的最大优势在于可以将参数空间剖分为有结构的模块，并在不同模块之间建立联系，从而大大减少计算量。
但是，三角形法也有其不足，即它只能处理二元函数的值域求解，而且在一些复杂函数的情况下，其求解精度也无法保证。
五、基于函数本质的求法基于函数本质的求法是一种综合的求值域的方法，它的原理是从函数的定义本质出发，抽象出函数的特征，并对参数和函数值域之间的联系进行分析，最后求解出函数值域。
求函数值域的常用方法
求函数值域的常用方法函数的值域（range）是指函数所有可能的输出值组成的集合。
求函数值域是函数分析中的一个重要问题，下面介绍一些常用的方法和技巧。
1.查表法：对于一些简单的函数，可以通过列出所有可能的输入值，计算出对应的输出值，然后将这些输出值整理成一个集合，即可得到函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，可以列出输入值x的所有可能取值，并计算出对应的输出值f(x)，将这些输出值整理成一个集合，即得到函数的值域。
2.分析法：对于一些简单的函数，可以通过对函数的性质进行分析，得到值域的一些性质。
例如，对于函数f(x)=x^2，由于平方不会产生负数，所以函数的值域是大于等于0的实数集合。
3.奇偶性的分析：对于奇函数和偶函数，可以利用它们的奇偶性来求值域。
奇函数的值域关于原点对称，而偶函数的值域关于y轴对称。
例如，对于奇函数f(x)=x^3，可以通过观察函数的奇性得到函数的值域是所有实数。
再例如，对于偶函数f(x)=x^2，可以通过观察函数的偶性得到函数的值域是大于等于0的实数集合。
4.极值点的分析：对于一些有极值点的函数，可以通过极值点的性质来求值域。
例如，对于函数 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的最大值和最小值分别是1和-1，所以函数的值域是闭区间[-1, 1]。
5.利用导函数的性质：对于一些可导函数，可以通过导函数的性质来求值域。
例如，对于函数f(x)=e^x，导函数是f'(x)=e^x，由于指数函数的导数始终大于0，所以函数是递增的，值域是大于0的实数集合。
6.利用连续性的性质：对于一些连续函数，可以利用连续性的性质来求值域。
例如，对于函数f(x)=1/(x-1)，由于分母为0时函数没有定义，所以值域是除去1的实数集合。
7.递归法：对于一些递归定义的函数，可以通过递归法来求值域。
例如，对于斐波那契数列定义函数f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(0)=0，f(1)=1、通过逐步计算斐波那契数列的值，可以得到函数的值域是非负整数集合。
函数值域的常见求法8大题型(解析版)
函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2.逐层法：求f 1(f 2⋯f n (x ))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y =ax x +bx +c (a ≠0)”或“y =a [f (x )]2+bf (x )+c (a ≠0)”的函数均可用配方法求值域；4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有(1)y =ax +b cx +d或y =cx +dax +b 的结构，可用“cx +d =t ”换元；(2)y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数，a ≠0,c ≠0)，可用“cx +d =t ”换元；(3)y =bx ±a 2-x 2型的函数，可用“x =a cos θ(θ∈[0,π])”或“x =a sin θθ∈-π2,π2”换元；5.分离常数法：形如y =ax +b cx +d (ac ≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y =ax +b cx +d=ac +bc -adc 2x +d c ，然后求值域；6.基本不等式法：形如y =ax +bx(ab >0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a +b ≥2ab 求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a >0,b >0；②a +b (或ab )为定值；③取等号的条件为a =b ，三个条件缺一不可；7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y =ax +b -cx +d (ac <0)的函数可用函数单调性求值域；(2)形如y =ax +bx的函数，当ab >0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；公众号：高中数学最新试题当ab <0时，y =ax +bx在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。
函数求值域的15种方法
函数求值域的15种方法求值域是数学中一个重要的概念，它可以用来确定函数在什么值上才能可以被定义。
它也可以用来判断函数是否具有极值以及极值在哪里。
求解函数域可以使用很多种方法，下面介绍15种求解函数域的方法。
1. 曲线图：用曲线图来求解函数域，通过分析函数的凹凸变化，以及变化的临界点来考虑函数的值域。
2. 区间法：分析函数的解析式，找出函数变量的取值范围，从而求出函数的定义域。
3. 限制法：通过限制函数的方程来求解函数域的大小，有助于函数属于哪个集合。
4. 线性变换：通过对函数值的线性变换，可以求解函数值的取值范围。
5. 积分法：根据求解函数值的积分值，来判断函数值的取值范围。
6. 求根法：通过求解函数的根，找出函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的有效值。
7. 不等式法：分析函数的不等式，来求出函数的定义域。
8. 收敛法：通过检验函数的收敛性，来确定函数的定义域。
9. 极值法：通过分析函数的极值，找出函数的值域。
10. 极限法：通过求解函数的极限，来确定函数的值域。
11. 变分法：根据函数在不同变量上的变分，求出函数的定义域。
12. 拓扑法：根据不同拓扑形状，确定函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的值。
13. 微分表示法：通过求解函数的微分，来确定函数的取值范围。
14. 二分法：通过分段求解函数的值，以二分的方式查找函数的值域。
15. 图解法：通过对函数的图解，计算出函数所具有的定义域。
以上就是15种求解函数域的方法。
上述15种方法都可以用来帮助我们求解函数域，可以根据不同的情况，适当选择不同的方法来解决问题。
根据实际情况，选择合适的方法，有助于我们获得更好的结果，但这也取决于我们是否能够正确掌握这些求解函数域的方法。
求函数值域的几种方法
求函数值域的几种方法
要找一个函数的值域，可以使用以下几种方法：
1.分析函数的图像：首先，将函数的图像绘制在坐标系中。
观察图像的上下界限，以确定函数值域的大致范围。
由于图像上每一个点的纵坐标就是函数的函数值，所以函数图像的纵坐标的取值范围即为函数的值域。
2.分析函数的定义域和特征：根据函数的定义和特征，分析函数值的变化规律。
例如，对于一个线性函数，它的定义域为整个实数集，值域也是整个实数集。
对于一个二次函数，可以根据开口方向和平移情况，确定它的最值，从而确定值域。
3.利用函数的性质和定理：对于特定类型的函数，可以利用其性质和定理来求解值域。
例如，对于连续函数，可以使用最大值最小值定理来求解值域。
对于周期函数，可以观察一个周期内的函数值，然后根据周期性将其延伸到整个定义域。
4.确定函数的反函数：对于能找到反函数的函数，可以通过求反函数的定义域来确定原函数的值域。
反函数的定义域就是原函数的值域。
5.求函数的极限：对于无法直接求解的函数，可以分析函数的极限情况来求解值域。
特别地，当函数的$x$趋近于无穷大时，如果函数的极限存在，那么该极限即为函数的值域的上界或下界。
6.利用函数的性质和图像变化关系：一些类型的函数具有特殊的性质和图像变化关系，可以通过分析这些性质和关系来求解值域。
例如，对于单调递增或递减函数，其值域可以直接从其定义域得出；对于有界函数，其值域也是有界的。
总之，求一个函数的值域需要根据函数的特点和性质进行分析和求解，可以结合图像、定义域、反函数、极限、函数的性质和定理等各种方法来
求解。
求函数值域的12种方法
求函数值域的12种方法函数的值域即为函数的输出值的集合。
在数学中，可以用多种方法来确定函数的值域。
1.输入法：根据函数的解析式，将不同的输入带入函数中，找出函数的输出值。
例如，对于函数$f(x)=x^2$，将不同的$x$值带入函数中，得到$f(1)=1$，$f(2)=4$，$f(3)=9$，...，通过这种方法可以找出函数的值域为正整数集合。
2. 虚拟增量法：给定函数的定义域，通过逐渐增加函数的输入值，观察函数的输出值是否有变化。
例如，对于函数$g(x) = \sqrt{x}$，可以从定义域中的最小值开始逐渐增加$x$的值，观察$\sqrt{x}$的变化，直到无法再增加$x$的值为止。
通过这种方法可以找出函数值域为非负实数集合。
3. 图像法：画出函数的图像，通过观察图像的高度范围找出函数的值域。
例如，对于函数$h(x) = \sin x$，可以画出其图像，观察图像的高度范围为$[-1, 1]$，则函数的值域为闭区间$[-1, 1]$。
4. 函数属性法：通过函数的性质推断出函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = \frac{1}{x}$，可以通过观察函数的分母$x$的取值范围，推断出函数的值域为除去零的实数集合。
5. 求导法：对于可导函数，可以通过求导数来确定函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = x^3 + 1$，求导得到$f'(x) = 3x^2$，由于$f'(x)$是一个二次函数，且开口向上，因此可以推断出函数$f(x)$的值域为$(-\infty, +\infty)$。
6. 函数复合法：对于复合函数，可以通过将函数复合起来，找出函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = \sqrt{\sin x}$，可以将其分解为$f(x) = \sqrt{g(x)}$，其中$g(x) = \sin x$，由于$\sin x$的值域为$[-1, 1]$，因此$\sqrt{\sin x}$的值域为闭区间$[0, 1]$。
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求函数值域的几种常见
方法
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
求函数值域的几种常见方法
河北涿州中学高二数学组------李瑞英
初等函数的值域是由函数的定义域和对应法则两个因素确定的，常常一个问题要覆盖多个知识点，涉及多种数学方法，渗透多种数学思想，因此它是高中阶段的一个难点。
现对高中阶段常用的方法总结如下：
方法一：配方法 一般适用于二次函数类型的函数
例1.求函数
[]4,1,0!6)(2∈+-=x x x x f 的值域 解析：[]
[]5,1)(4,1,1)3()(2∈∴∈+-=x f x x x f
方法二：换元法：适用于含根式、分式、三角函数类型的函数，且在还原过程中需注意还原后t 的取值范围
例2．求函数x x y 21--=的值域 解析：令x t 21-=则
2t 1x 02
-=≥且t 1)1(212++-=∴t y 即
]21,(-∞∈y 方法三：分离常数法：适用于分式类型的函数，且在解题过程中注意变量的范围
例3．求函数521+-=x x
y 的值域 解析：由题意可知函数的定义域为
⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠25/x x 104721521++-=+-=x x x y
⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∈∴,2121,y
方法四：单调性法：主要适用于能够判断单调性的复合函数、和函数。
例4．（1）求函数42221+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的值域
（2）求函数x x y 21--=的值域
解析：（1）令422
+-=x x t 则3)1(2+-=x t 3≥∴t 而t
y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21是减函数
]81,0(∈y （2）由题意可知函数的定义域为
]21,(-∞ x x g x x f 21)(,)(--== 在定义域内都是单调增函数
)()(x g x f y +=∴在定义域内也是单调增函数
∈∴y ]21,(-∞
方法五;反解法（利用反函数的原理）
例5．求函数
22
11x x y +-=的值域 解析：由题意可知函数的定义域为R
02≥∴x 而函数
2211x x y +-=可化为y y x +-=112 011≥+-∴y y 即
]1,1(-∈y 方法六：不等式法：柯西不等式、基本不等式、绝对值不等式，在适用中注意适用范围
例6.(1) 求函数
1log log 33-+=x x y （x>1）的值域 (2) 求函数x x y 21015-+-=的值域
（3）求函数12-++=x x y 的值域
解析：（1） 令x 3log t =则 t>0 111211=-⋅≥-+=∴t t t t y 当且仅当
t t 1=即t=1时等号成立 )
,1[+∞∈∴y
(2) 由函数知其定义域为[1，5]，且y>0 36427)5()1()2(552152222=⨯=-+-⨯+≤
-⨯+-⨯
=x x x x y
（3）),3[3
121212+∞∈∴=-++≥-++=-++=y x x x x x x y 方法七：判别式法：一般转化为含参数y 的一元二次函数，注意二次项的系数 例七．求函数
1122+-+=x x x y 的值域 解析：由函数可知定义域为R
函数1122+-+=x x x y 可化为
01)1(2=-+--y yx x y （*）有解 当y-1=0即y=1时，（*）式可化为-x=0即x=0,满足题意
当1y ,01≠≠-即y 时
0)1y (4)y (22≥---=∆ 解得232≤≤y 1y 232≠≤≤∴且y 综上：函数的值域为]2,32[
方法八：平方法：注意定义域
例8．求函数x x y -++=21的值域
解析：由题意可知函数的定义域为[-1，2]
函数x x y -++=21可化为
[]
[]6,3y 6,34
9)21(23)2)(1(3222∈∈∴+--+=-++=即y x x x y
方法九：导数法：适用于次数比较高的整式函数
例9．求函数
)51(,2249)(23≤≤++-=x x x x x f 的值域 解析：令24183)(2'+-=x x x f =0得4,2==x x
方法十：构造法：构造距离、构造斜率，需数形结合求得
例10．求函数102422++++=x x x y 的值域 解析：2222)30()1()20()0(-+++-+-=x x y
的距离和到点轴上的点可看作函数C(-1,3)B(0,2),)0,x (A x y ∴ 作B(0,2)关于x 轴的对称点D(0,-2)则线段CD 的长度就是y 的最小值且
26=CD 所以函数的值域为),26[+∞
练习：1、求函数
[]2,2,33-∈-=x x x y 的值域 2、求函数3221++-=x x y 的值域
3、求函数
122
+--=x x x x y 的值域 4、求函数
12222+---=x x x x y 的值域 5、求函数x x
y cos 2sin --=的值域
6、求函数)1(112->+++=x x x x y 的值域
7、求函数
122+=x x
y 的值域 8、求函数x x y 2+=的值域
9、求函数
[]3,0,924421∈+⋅-=-x y x x 的值域 10．求函数45cos 3sin 2-
+=x x y 的值域 11．求函数()176log 22+-=x x y 的值域
总结：求初等函数的值域问题是一个综合性的问题，要想用单一的方法求函数
的值域是不可能，但也不是杂乱无章的，只要我们灵活的掌握数学基础知识、思想和方法，并根据所给解析式的特征，结合定义域灵活的选择方法，并力求一题多解方可达到举一反三的效果。