分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理
3、如图梯形ABCD中点E、F分别在 AB、CD上EF∥AD假设EF作上下平 行移动
一、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例. 关键要能熟练地找出对应线段
小结
二、要熟悉该定理的几种基本图形
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
a
（平行线分线段成 比例定理）。
三 练习
！
证明：因为
（平行线分线段成 比例定理）。
因为
已知：如图， ， 求证： 。
E
B
A
D
C
F
（平行线分线段 成比例定理）。
设AB=X则BC=8—X
即：
（平行线分线段成 比例定理）。
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平行线分线段成比例定理
l1
l2
l3
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例 如图
已知l1∥l2∥l3 求证
或
或
定理的证明过A点作AN ∥ DF交l2于M交l3于N 点连接 BN 、CM如图1-2
∵l1∥l2∥l3 ∴AM =DE MN=EF 在△ACN中有
.
∵BM∥CN ∴S△BCN= S△BMN ∴
亦即
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例
“对应”是数学的基本概念 图1-1中 在l1∥l2∥l3的条件下可分别推出如下结论之一： 1简称“上比下”等于“上比下” 2简称“上比全”等于“上比全” 3 简称“下比下”等于“下比下” 把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论
第25讲 平行线分线段成比例定理
ABCDEEDC BAl 3l 2l 1FE D CBA 第二十四讲 平行线分线段成比例 一、知识要点1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=.2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
（你会证明吗？）二、典例分析：类型一：平行线分线段成比例定理及其推论基本应用例1、如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA例2、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA1、 如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F . 证明：111AB CD EF+=.2、如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA3、如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
类型二、定理及推论与中点有关的问题 例4、 （2007年北师大附中）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F，则EF AF FC FD+ 的值为（ ） A.52 B.1 C.32D.2 注：对上面两小题请写出简要过程。
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理讲义
二、平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理是研究相似三角形的最重要和最基本的理论.它一方面可直接判定线段成比
例，另一方反面也可用辅助平行线转移比例.
1.平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例.
如图1-1
图1-1
若，则，(或；或)
定理的证明“对应”是数学的基本概念，图1-1中，在的条件下，可分别推出如下结论
之一：
(1)简称“上比下”等于“上比下”
(2)简称“上比全”等于“上比全”
(3)简称“下比全”等于“下比全”
把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论.
2.平行于三角形一边的直线的判定和性质(“A”、“X”型)
主要的基本图形：
1．如图2-1 已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CP
交AB于N，若AB=6cm，求AP的值.
点评：此题利用平行线分线段成比例定理，结合中点定义找出线段的比值，进而求出线段的长.
2．(如图2-2)已知直线截△ABC三边所在的直线分别于E、F、D三点且AD=BE.
求证：EF：FD=CA：CB.
图2-2又AD=BE
∴.
证法(二) 过E作EP∥BA交CA的延长线于P是解决此问题的第二种辅助线作法.
证法(三) 过D作DN∥BC交AB于N也可解决此问题.。
分线段成比例定理
分线段成比例定理分线段成比例定理定义分线段成比例定理是指一条直线上的两个点A、B以及另外一点C，如果AC/BC等于一个常数k，则称A、B、C三点在这条直线上成比例，k为这个比例的常数。
定理表述在一条直线上，如果有两个点A、B以及另外一点C，使得AC/BC=k，则称A、B、C三点在这条直线上成比例。
其中k为常数。
证明假设有一条直线AB和一个点C，且AC/BC=k。
根据相似三角形的性质，可以得到：∆ABC ~ ∆ABD因此，AC / AB = AB / AD解得：AD = AB² / AC同理，BD = AB² / BC因此，AD / BD = (AB² / AC) / (AB² / BC) = BC / AC = k因此，A、B、C三点在这条直线上成比例。
应用举例1. 证明中位线定理：在一个三角形中，连接一个顶点与对边中点的那条边被称为中位线。
如果连接三角形的任意两个顶点并将它们延长至交于第四个点，则第四个点到第三个顶点所在边的距离等于第四个点到第二个顶点所在边的距离。
这个定理可以通过分线段成比例定理证明。
2. 证明角平分线定理：在一个三角形ABC中，假设有一条从顶点A到边BC上的点D的直线，使得∠BAD和∠DAC相等。
则AD被称为角ABC的平分线。
这个定理可以通过分线段成比例定理证明。
3. 证明圆周角定理：如果一个角的顶点位于圆心上，则这个角是圆周角，它所对应的弧长是该圆周上与该角相应的弧长的一半。
这个定理可以通过分线段成比例定理和同弧度量定理证明。
总结分线段成比例定理是几何学中非常重要的一个基本概念。
它在许多几何问题中都有广泛应用，例如中位线、角平分线、圆周角等问题。
因此，深入掌握这个概念对于学好几何学非常重要。
平行线分线段成比例定理
5
17
2 1
)
)
(3) S△AGE=( 2
4
课堂小结
作业 4
已知AD // ED // BC，AD=15，BC=21，2AE = EB，求EF的长
A D E
H
F
解法（一）
作AG // CD交EF于H AD // EF // BC AD=15, BC=21
B
G
C
AD = HF = GC =15 ，BG = 6 EH AE = BG AB 2AE = EB
A
3k 3m 2m
E
D
2k
G
4m 2a
F
a
B
C
应用1—求线段长度（比值）
如图，△ABC中，D是AB上的点，E是AC上的点，延长ED与射线 CB交于点F．若AE∶EC=1∶2，AD∶BD=3∶2． 求：FB∶FC的值．
A
3k 3m
E
6m
H
2m
D
2k
F
a
B
3a
C
应用1—求线段长度（比值）
如图，△ABC中，D是AB上的点，E是AC上的点，延长ED与射线 CB交于点F．若AE∶EC=1∶2，AD∶BD=3∶2． 求：FB∶FC的值．
A
y
D
x
x
E C
B
5
应用4 — 建立函数关系式
2. 已知：如图，BC = 4, AC = 2 3 ∠C=60°，P为BC上 一点，DP//AB，设BP = x，S△APD= y.
(1)求y关于x的函数关系式; (2)若S△APD =
2 S△APB，求：BP的长. 3
A
D
H
B
比例及平行线分线段成比例定理
一、比例1、比例的基本性质：1),a c ad bc b d =⇔=这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; 2)a c b db d ac =⇔=(反比定理); 3)a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)(更比定理);4)a c a b c db d b d ++=⇔=(合比定理); 5)a c a b c db d b d --=⇔=(分比定理); 6)a c a b c db d a bcd ++=⇔=--(合分比定理); 7)(0)a c m a c m a b d n bd n b d n b ++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+(等比定理).2、比例中项：若::a b b c =,则b 叫做,a c 的比例中项. 3、如图,设三条平行线123l l l ∥∥,则AB DEBC EF=.此定理 称为平行线分线段成比例定理,它的逆定理仍然成立.l 3l 2l 1FE D CB A二、平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理 如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥BC 。
重点：掌握比例的基本性质，同时掌握比例的几种变形；掌握平行线分线段成比例定理的内容 难点：掌握定理的内容和推论及其初步运用 关键：掌握好与相似的过渡板块一、比例的基本性质【例1】 已知：a cb d=，求证：ab cd +是2222a c b d ++和的比例中项。
【例2】 已知：234x y z==。
求33x y z x y -+-. 【例3】 设14a c e b d f ===，则a c eb d f+-=+-_______板块二、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例4】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
平行线分线段成比例
平行线分线段成比例知识点精讲平行线分线段成比例定理：两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（关键要能熟练地找出对应线段）推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．典型例题：例题1. ①如图，l1、l2分别被l3,l4,l5所截,且l3∥l4∥l5，则AB与对应，BC与对应，DF与对应；ABBC=()()，()AB=( )DF，ABDE=()()=()().②如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( )A.ADDF=BCCEB.BCCE=DFADC.CDEF=BCBED.CDEF=ADAF找准对应线段是关键.例2.如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC。
（1）如果AE=7 ，EB=5，FC=4.那么AF的长是多少？（2）如果AB=10 ，AE=6，A F=5.那么FC的长是多少？例3 如图所示，如果D ，E ，F 分别在OA ，OB ，OC 上，且DF ∥AC ，EF ∥BC ．求证：OD ∶OA ＝OE ∶OB跟踪训练1.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（ ） A ．AD DF =BC CE B ．BC CE =DF AD C ．CD EF =BC BE D ．CD EF =AD AF第1题图 第2题图 第3题图2. 如图，△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AE:EC=1:2，AD=6，则AB 的长为（ ）A.18B.12C.9D.33.如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶FB ＝( )A. 5∶8 B ．3∶8 C ．3∶5 D ．5∶3 4.如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1、l 2、l 3分别相交于A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若=，DE =4，则EF的长是．第4题图 第5题图 5.如图，321////l l l ，AM ＝2，MB ＝4，CN ＝1.5，则ND ＝______.6．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，BC AB =32，DE=6，则EF= ．第6题图 第7题图7.如图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，DE ＝5cm ，则线段BF 的长为_________cm ． 8.如图，已知：△ABC 中，DE ∥BC ，AD=3，DB=6，AE=2，求AC 的长．9.如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交这三条直线于点A ，B ，C ，直线DF 分别交这三条直线于点D ，E ，F ，若AB=3，DE=27，EF=4，求BC ．10、如图，在ABC △中，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且BD ︰DC=3︰1， AE ︰EC=2︰3，DE 的延长线交BA 的延长线于F 点，求EF ︰ED的值。
平行线分线段成比例定理
左 左 = 右 右
L5 L4 A D B E C
L5
L4 D
L1
L2
E A
L1
L2
B C 数学符号语言 L3 数学符号语言 ∵ DE∥BC ∵ DE∥BC
L3
AD AE AB AC
AD AE AB AC
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线），所得的对应线段的比相等.
例1 如图: l1∥l2∥l3 ,
A1 A 要把表示对应角顶点的 字母写在对应的位置上。 注意 B1 C
B
C1
当 ∠A =∠A1，∠B =∠B1， ∠C =∠C1， AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时， 则△ABC 与△A1B1C1 相似，
记作△ABC ∽ △A1B1C1。
平行线分线段成比例定理：
(1)若AB=3 , DE=2, EF=4,求 BC. 解: l ∥l ∥l A
一般把所求线段 BC EF AB DE 写成比例第一项.
即:
BC EF BCDE 4 AB
1
2
3
B C
D E
F
l1 l2 l3
3
2
BC=6
(2)若AC=8,DE=2,EF=3,求AB.
AB DE DE AB 2 16 AB AC DF DE EF 8 2 3 5
过点E作EF∥AB，EF交BC于点F. ∵DE∥BC，EF∥AB，
AD AE BF AE , . AB AC BC AC DE . BC
E
C
∵四边形DEFB是平行四边形， DE AE AD AE , ∴DE=BF，
BC AC AB AC
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分线段成比例定理
分线段成比例定理是初中数学中的一个重要定理，它是解决线段比例问题的基础。
在学习这个定理之前，我们需要先了解一些基本概念。
线段是由两个端点确定的一段直线。
我们可以用字母表示一个线段，比如AB表示由点A和点B确定的线段。
线段的长度可以用两个端点的坐标计算出来。
比例是指两个数之间的关系。
比如，如果A和B两个数的比例为2:3，我们可以表示为A/B=2/3。
在这个比例中，2被称为比例的第一项，3被称为比例的第二项。
有了这些基本概念，我们就可以来学习分线段成比例定理了。
这个定理的表述如下：
在一条直线上，如果有两个点C和D分别在线段AB的两侧，且AC:CB=AD:DB，那么C和D就把线段AB分成了两个比例相等的线段。
这个定理的意思是，如果我们在一条直线上找到两个点，它们分别在一个线段的两侧，并且它们到这个线段的两个端点的距离之比相等，那么这两个点就把这个线段分成了两个比例相等的线段。
为了更好地理解这个定理，我们可以通过一个例子来说明。
假设有
一条线段AB，长度为10个单位。
现在我们在这条线段的两侧分别找到两个点C和D，它们到A点的距离分别为3个单位和7个单位，到B点的距离分别为7个单位和3个单位。
那么根据分线段成比例定理，我们可以得到：
AC:CB=AD:DB
3:7=7:3
也就是说，C和D把线段AB分成了两个比例相等的线段，其中AC:CB=3:7，AD:DB=7:3。
这个定理在解决数学问题时非常有用。
比如，我们可以用它来求解线段的长度、坐标等问题。
下面我们来看几个例子。
例1：已知线段AB的长度为10个单位，点C在线段AB的左侧，且AC:CB=2:3，求线段AC的长度。
根据分线段成比例定理，我们可以得到：
AC:CB=2:3
设AC的长度为x，则CB的长度为10-x。
代入上式，得到：
x/(10-x)=2/3
通过移项和化简，可以得到：
x=20/5=4
因此，线段AC的长度为4个单位。
例2：已知线段AB的长度为10个单位，点C在线段AB的左侧，且AC:CB=2:3，点D在线段AB的右侧，且AD:DB=3:4，求线段CD的长度。
根据分线段成比例定理，我们可以得到：
AC:CB=2:3
AD:DB=3:4
设线段CD的长度为x，则线段AC的长度为2x/5，线段BD的长度为4x/7。
因此，线段AB的长度可以表示为：
2x/5+4x/7=10
通过化简，可以得到：
x=35/18
因此，线段CD的长度为35/18个单位。
通过以上两个例子，我们可以看到分线段成比例定理的应用。
在解决线段比例问题时，我们可以通过这个定理来求解线段的长度、坐
标等问题，从而更好地理解和掌握这个定理。
分线段成比例定理是初中数学中的一个重要定理，它是解决线段比例问题的基础。
在学习这个定理时，我们需要掌握一些基本概念，比如线段、比例等。
通过实际例子的演示，我们可以更好地理解和掌握这个定理的应用。