攻克解析几何综合题的几种策略

收稿日期：2012-05-11作者简介：郭允远（1963—），男，山东沂南人,中学高级教师，临沂市教育局教科研中心高中数学教研员,山东省教学能手，山东省知名高考研究专家，主要从事中学数学教育与高考研究.攻克解析几何综合题的几种策略郭允远(山东省临沂市教育科学研究中心)摘要：解析几何综合题，在高考解答题中一般出现在最后两题之一的位置，以其综合性强、运算量大、区分度高等特点，成为常考常新、经久不衰的热点、难点问题.从破解难点的角度，以典型高考试题为例，给出全面审题、分部转化，设而不求、整体处理，数形结合、减少运算等一般性策略,在关键之处有点评,可有效解决这类难题之难点.关键词：解析几何；综合题；高考题例；解题策略解析几何综合题表现为题干长，条件多，往往要涉及几种曲线的组合，可能还要与平面向量、函数、不等式等其他内容综合，有两问或三问，第二问往往是探索性、开放性问题，如是否存在问题，定点、定值、最值等问题．这样的问题设计,特别有利于考查学生综合分析解决问题的能力,因而成为高考的主干内容之一, 而且常以压轴题呈现，常考常新，经久不衰.可以说,这几乎是所有学生的一个难点, 很多学生对其有惧怕感,有的只做第一问,第二问干脆放弃.对此,本文结合部分高考题中有相当难度的解析几何压轴题,分析攻克这类题目第二问、第三问的一般性策略,供广大师生参考.一、全面审题，分部转化由于解析几何综合题具有信息量大、字母符号多、图形复杂等特点，另一方面学生面对探索性、存在性等问法，缺少明确的解题目标，难以找到解题方向.因此，审清题意、找到解题的入口是解题的前提.全面审题要做好“三审”：审条件，审结论，审图形，并注意隐含条件.弄清题干给出的是哪一种或几种曲线，它们是怎样的位置关系，其方程是已知的还是含字母待求的，等等，要对照图形找到它们之间的关系（若题目没有给出图形，要边读题边画出图形），通过审结论明确解题目标。

但是，由于条件和结论距离甚远,很可能还找不到解题的方向,那么，就要对条件逐一进行转化,向着结论指示的解题目标转化,同时也转化结论,一旦“对接”,就找到了问题解决的入口。

例1（2011年湖南卷·理21）如图1，椭圆22221:by a x C +)0(1>>=b a 的离心率为23，x 轴被曲线22:x y c =b-截得的线段长等于1C 的长半轴长． (1)求21C C 、的方程；图1 (2)设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点MB MA B A 、、,分别与1C 相交于点D 、E . ①证明：;ME MD ⊥②记MDE MAB ∆∆、的面积分别是,21S S 、问：是否存在直线l ，使得?321721=S S 请说明理由.解析：本题涉及椭圆、抛物线、直线的相关问题，本质是直线l 与2C 相交问题.第（1）问易得21C C 、的方程分别为.1,14222-==+x y y x 第(2)问②，通过审图形、审条件，抓住问题的本质是直线l 与2C 相交于点A 、B ，实施如下转化即可使问题获得解决:1-=•⇔⊥⇔⊥MB MA k k MB MA ME MD .第(2)问②为存在性问题，假设存在直线l 满足321721=S S ，需要分别求出1S 、2S 的表达式，由MD ME ⊥与MA MB ⊥，则求出点A 、B 与D 、E 的坐标即可.设直线MA 的斜率为1k ，则直线的方程为11y k x =-，由1211y k x y x =-⎧⎨=-⎩解得01x y =⎧⎨=-⎩或1211x k y k =⎧⎨=-⎩，则点A 的坐标为211(,1)k k - 又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点B 的坐标为21111(,1)k k --. 【点评】利用类比推理，直接得到点B 的坐标，节省了运算.于是221111211111111||||1||1||.222||k S MA MB k k k k k +=⋅=+⋅⋅+⋅-=又由1221440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2211(14)80k x k x +-=， 解得01x y =⎧⎨=-⎩或12121218144114k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，则点D 的坐标为2112211841(,)1414k k k k -++； 又直线的斜率为11k -，同理可得点E 的坐标211221184(,)44k k k k --++，于是2112221132(1)||1||||2(14)(4)k k S MD ME k k +⋅=⋅=++， 因此21122111(417)64S k S k =++. 由题意知，21211117(417)6432k k ++=，解得214k =或2114k =. 又由点A 、B 的坐标可知，21211111111k k k k k k k -==-+，所以3.2k =± 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为32y x =和32y x =-. 【点评】若直接设AB 的方程为y =kx 与抛物线2C 的方程联立，可以用k 表示出1S ，但用k 表示2S 的运算就复杂了.所以注意运用①的结论，即MD ME ⊥与MA MB ⊥，转化为直线MA (MD )与1C 、2C 的关系，进而把1S 、2S 都用MA 的斜率1k 表示，通过点A 、B 的坐标完成了与k 的“对接”.二、设而不求，整体处理在解析几何解题中，恰当地设某些变量（尽量减少变量个数），如点的坐标、直线方程、圆锥曲线方程等，是解题的开始，而过程中的运算是解题能否完成的关键.要围绕解题的总目标,运用设而不求等运算技巧，实施整体代换、整体化简、整体求出等策略，往往可起到化繁为简、事半功倍的卓越功效.例2（2011年浙江卷·理21）已知抛物线1:C 2x ＝y ，圆2:C 22(4)1x y +-=的圆心为点M .（1）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；（2）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A 、B 两点，若过M 、P 两点的直线l 垂足于AB ，求直线l 的方程.解析：（1）易得圆心M (0,4)到准线的距离为417.（2）本题涉及三个动点P 、A 、B ，两条动直线AB ，l 两种位置关系：相切、垂直，要求直线l 的方程，需求l 的斜率或点P 的坐标,离已知条件甚远,所以要实施分部转化,先大胆设出三个动点的坐标,用坐标表示两种位置关系.设),(2a a P ，),(211t t A 、),(222t t B 由题意得0≠a ，1±≠a ，21t t ≠.【点评】利用点P 、A 、B 在抛物线1:C 2x ＝y 上,巧设点的坐标,较少了变量个数，使得以下的解法优于试题原答案的解法；注意挖掘题目的隐含条件也是重要的一点.所以P A 方程为)(12212a x at a t a y ---=-,即0)(11=--+at y x a t .因为P A 与圆M 相切，所以11)(|4|211=++--=a t at d ,即0156)1(21212=-++-a at t a . 同理0156)1(22222=-++-a at t a ,所以1t 、2t 是关于t 的方程0156)1(222=-++-a at t a 的两个根.所以16221--=+a at t ，1152221--=a a t t .而212221t t t t k AB --==16221--=+a at t .【点评】整体求出、整体代换的整体策略在这里得到了充分地体现！至此，问题的解决便水到渠成.又aa k MP 42-=，因为MP AB ⊥，所以1-=MP AB k k ，即141622-=-⋅--a a a a ，解得5232=a .所以1151153523452342±=±-=-=a a k MP ，所以直线l 的方程为41151153+±=x y . 三、 数形结合，减少运算解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，核心思想是“数形结合”，注意利用图形特点和性质,往往可以减少运算量,使问题获得简捷解决.例3(2010年陕西卷·理20）如图，椭圆22:ax C 122=+b y 的顶点为,21A A 、,21B B 、焦点为,21F F 、,7||11=B A2211B A B A s ⋅=22112F B F B S（1）求椭圆C 的方程；（2）设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于P 点且与椭圆相交于A 、B 两点的直线，|| 1.OP =是否存在上述直线l 使1AP PB ⋅=成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解析: （1）易得13422=+y x . (2)由条件||1,1OP AP PB =⋅=,则有1||||||2==⋅OP BP AP ， 即,||||||||BP OP OP AP =可得,~OBP Rt AOP Rt ∆∆所以BOP OAP ∠=∠，故 90AOB BOP AOP OAP AOP ∠=∠+∠=∠+∠=︒.当直线l 不垂直于x 轴时，设l ：y =kx +m ，由||1OP =，得11||=+km ，即2m .12+=k 将直线l 的方程代入椭圆方程，整理得3(.0124.8)4222=-+++m x km x k设点A 、B 的坐标分别为),(),(2211y x y x 、，则222122143124,438k m x x k km x x +-=+-=+. 由上得12120OA OB x x y y ⋅=+=，即)1(2k +0)(22121=+++m x x km x x ，再把2121x x x x 、+代人并化简，得)1(12722k m +=，将122+=k m 代入得 0)1(52=+-k ，矛盾．即此时直线l 不存在.当l 垂直于x 轴时，可验证也不存在.【点评】由条件||1,1OP AP PB =⋅=得到2||||||AP BP OP ⋅=，再由三角形相似关系推得OA OB ⊥，从而得到12120x x y y +=，这是一个由数到形、又由形到数的推理过程,既为本题的解决找到了突破口，又大大减缩了运算过程.如果单纯从已知的向量等式出发，设出P 、A 、B 的坐标代入1AP PB ⋅=，来寻求坐标间的关系，虽然也能解决问题，但运算过程较为繁琐.也可用下列向量方法推得OA OB⊥：,()OP l OA OB OP PA ⊥⋅=+⋅()1110,OP PB PA PB OA +=+⋅=-=∴.OB ⊥四、特“形”引路，先知后证在解析几何的定点、定值等问题中，常常要先研究图形的特殊情形、临界状态，由此先得到结论，再进行一般情形下的证明. 例4（2005年全国卷I ·理21）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +与a =（3，-1）共线．（1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且OM =OA λ(,)OB μλμ+∈R ，求证：22μλ+为定值.解析：（1）易得离心率.36=e （2）设出M 点的坐标，将条件中的等式用坐标表示.112(,),(,)(,)(,M x y OM x y x y x λμ==+)2y ，则⎩⎨⎧⋅+=+=2121,y y y x x x μλμλ 由（1）问的结果，得椭圆方程为22233b y x =+，将点M 坐标代入即得1(x λ.3)(3)222122b y y x =+++μλμ展开，围绕解题目标：证明22μλ+为定值，故要分离出22μλ+.22221212()3(x y x μλ++22121223)3(2)3b y y x x y =+++λμ，于是)(3)3(2322121222*⋅+-=+by y x x b λμμλ 再如何进行呢？面对如此复杂的式子，很多考生往往不知所向.此时，如果先通过点M 的特殊位置猜出定值，可以为我们的解题指明方向.当点M 运动到点A 时，则1,0,122=+==μλμλ,即可发现定值是1 【点评】抓住问题的特殊性进行猜想是一种哲学方法.于是,只要证明032121=+y y x x ,这样解答方向明确，问题迎刃而解.过程如下:)(331212121c x x x y y x x -+=+233233)(34)(2221212cc c c x x c x x c x ⋅-=++-=-⋅ .133,0322222==+=+bb c μλ例5 以)1,0()1,0(21F F 、-为焦点的椭圆C 过点⋅)1,22(P （1）求椭圆C 的方程；（2）过点)0,31(-S 的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ?若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.解析：第（1）问易得椭圆C 的方程为1222=+y x . 第（2）问为定点问题,如果直接设定点T 的坐标,转化为恒成立问题去解决,则运算非常繁琐；若研究直线l 的两种特殊情况：当直线l 与x 轴重合时，以AB 为直径的圆是;122=+y x当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆是⋅=++916)31(22y x 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=+916)31(,12222y x y x 解得两圆相切于点（1，0）。