初中数学拔尖材料09 整数里的一些神奇数
几个神奇的数字
几个神奇的数字看似平凡的数字，我们把它从1乘到6看看142857 X 1 = 142857142857 X 2 = 285714142857 X 3 = 428571142857 X 4 = 571428142857 X 5 = 714285142857 X 6 = 857142同样的数字，只是调换了位置，反复的出现。
那么把它乘与7是多少呢？我们会惊奇的发现是999999关于其中神奇的解答“142857”它发现于埃及金字塔内，它是一组神奇数字，它证明一星期有7天，它自我累加一次，就由它的6个数字，依顺序轮值一次，到了第7天，它们就放假，由999999去代班，数字越加越大，每超过一星期轮回，每个数字需要分身一次，你不需要计算机，只要知道它的分身方法，就可以知道继续累加的答案，它还有更神奇的地方等待你去发掘！也许，它就是宇宙的密码┅┅142857×1＝142857（原数字）142857×2＝285714（轮值）142857×3＝428571（轮值）142857×4＝571428（轮值）142857×5＝714285（轮值）142857×6＝857142（轮值）142857×7＝999999（放假由9代班）142857×8＝1142856（7分身，即分为头一个数字1与尾数6，数列内少了7）142857×9＝1285713（4分身）142857×10＝1428570（1分身）142857×11＝1571427（8分身）142857×12＝1714284（5分身）142857×13＝1857141（2分身）142857×14＝1999998（9也需要分身变大）继续算下去……神奇的“缺8数”12345679，这个数里缺少8，我们把它称为“缺8数”。
一、清一色12345679×63=777777777。
神奇的9(优秀)
k 个9 k 个9
为 2007 9=18063 ． 【例 3】 如果 A 3 33 333 ... 33...3 ，那么 A 的各位数字之和是多少。
2010个3
【解析】 10 A 30 330 3330 ... 33...30
2010个3
,
所
以 ，
9 A 33...30 3 3 ... 3= 33...327300
2 个 0 次 2010 1 个 0 3
2
A 33...327300 9 370370...370369700 ，数字和为 668 10 25=6705
2006个3 6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ8个370
【例 4】 检验下面的加法算式是否正确： 2638457＋3521983＋6745785＝12907225。 【解析】若干个加数的九余数相加，所得和的九余数应当等于这些加数的和的九余数。如果 不等，那么这个加法算式肯定不正确。上式中，三个加数的九余数依次为 8，4，6，8+4+6 的九余数为 0；和的九余数为 1。因为 0≠1，所以这个算式不正确
55...5 33...3 乘积的各位数字之和是多少？
2007 个5 2007 个3
55...5
【解析】 55...5 33...3=
2007 个5 2007 个3 2007 个5
3
则可知乘积的各位数字之和 99...9 =N 99...9 ,N 为整数，
【一知】让你无法解释的九个神秘数字
【一知】让你无法解释的九个神秘数字编者按据说在一次网络调查中有70%的人支持将数学移出高考。
网友神回复：“别傻了，高考不就是为了把70%的人区分开来的考试吗”。
数学并没有那么讨厌。
以下神秘数字或许可以帮助学渣们去逆袭学霸。
它们说出来如此简单，可迄今没有人能完全解释他们……495随便写一个三位数。
不能是111,222这种的，至少要有一个数字不同。
然后把数字从大到小排列，再从小到大排列，用前者减去后者，得到一个新的数。
重复以上操作，７步之内，必得到数字495比如，你写个300。
300-003=297972-279=693963-369=594954-459=495……6174跟上面的法则一样，如果你一开始写的是四位数，那么你经过７步以内的计算，最后一定能得到数字6174这个神奇的数字被称为“卡普雷卡尔”常数。
也是最著名的数字黑洞。
无论你怎么设值，只要按规定法则处理，最终都将得到一个固定值，跳也跳不出去。
153随便写个３的倍数。
然后把它每一个数位上的数字都立方，再求和，得到一个新数。
反复这样做，最后一定会得到153。
比如8208，8*8*8+2*2*2+0+8*8*8=10321*1*1+0+3*3*3+2*2*2=363*3*3+6*6*6=2432*2*2+4*4*4+3*3*3=999*9*9+9*9*9=14581*1*1+4*4*4+5*5*5+8*8*8=7027*7*7+0+2*2*2=3513*3*3+5*5*5+1*1*1=153这个数被称为水仙花数。
387654729有道经典数学谜题。
用1到9组成一个九位数，使得这个数的第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除。
没错，真的有这样猛的数：381654729。
其中3能被1整除，38能被2整除，381能被3整除，一直到整个数能被9整除。
另一个有趣的事实是，381654729是唯一一个满足要求的九位数！27你随便写个自然数，然后开始按小学生都会的计算步骤一步步算下去。
第六讲 神奇的9
2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 的形式：
品 升 2 ï ï þ 1 而 思}余？ 2 3、、、、 4 6 7 8、 9 备选数：、 品 格ü ï ï ï 兴 趣ï ý余？ ï ï +2 升 3 ï ï þ 2 而 思}余？ 1、 3、、、、 4 6 7 8、 9 备选数：
3 25 45
225 15 1
5 9 75
【第三单元 4】有写有 1~9 的九张牌，A 和 B 各抽 3 张，A 看了自己的三张牌后，对 B 说：你的 三个数之和不可能是 15. 请问 A 是如何知道的？他抽到的可能是哪三张牌？ 【答案】 （4,5,6）或（2,5,8） 【分析】从 1～9 的三阶幻方辅助分析：
【第一单元 2】将 1～2013 写成一排：1234……20122013，求这个数除以 9 的余数. 【答案】3 【分析】这个多位数与 1 + 2 + 3 + + 2013 对 9 同余（数码相同） ； 1 + 2 + 3 + + 2013 = 2013´1007 6 ´ 8 = 48 º 3(mod 9) 【点评】此题孩子容易把数拆成 1 + 2 + 3 + 4 + + 9 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 2 + + 2 + 0 + 1 + 3 ，确实是 拆成了各个数位数字和，但此式根本无法计算. 并不是全拆开一定最好，而是拆到容易计算最好. 反正无论怎么拆，数字从未变过，故除以 9 的余数不会变. 【第一单元 4】已知 2 的 29 次方由 9 个不同数字组成，那么缺少哪个数字？ 【答案】4 【分析】乘方数太大，不要死算，找余数的周期规律. 由于 26 = 64 º 1(mod 9) ，则 229 º 25 º 5(mod 9) ； 而 0 + 1 + 2 + 3 + + 9 = 45 是 9 的倍数；因此缺的数字是 9 - 5 = 4 . 学而思培优北京分校·小学理科教研组出品 2
数学中的神奇数字
数学中的神奇数字数学作为一门科学，涉及到各种形式的数和数的运算，其中有一些数字在数学中被称为“神奇数字”，因为它们具有特殊的性质和应用。
本文将介绍数学中的一些神奇数字及其相关应用。
黄金分割比例是一个非常重要和神奇的数字，表示为Φ（Phi），它的值约为 1.6180339887。
黄金分割比例在几何学和艺术中被广泛使用，因为它被认为是最美的比例之一。
事实上，黄金分割比例可以在自然界中找到，如骨架、蜂巢、植物花瓣等。
在数学中，黄金分割比例还与斐波那契数列相关，后者是一系列数字，每个数字都是前两个数字的总和。
这个数列的比率逐渐接近黄金分割比例，例如，1/1、2/1、3/2、5/3、8/5、13/8、21/13，依此类推。
圆周率π（pi）是数学中最著名和神奇的数字之一。
它是一个无理数，大约等于3.1415926535，它是圆的周长与直径之间的比值。
圆周率在几何学中有广泛的应用，可以计算圆的面积、体积和曲线长度等。
此外，圆周率还出现在许多数学公式和方程中，如正弦函数、正切函数和无穷级数等。
圆周率的小数点后面的数字是无限的，并且没有发现任何规律或重复出现的模式。
费马素数是一类非常特殊的素数，其形式为2^(2^n)+1，其中n是一个非负整数。
费马素数由法国数学家费马在17世纪提出，并引起了数学界的广泛关注。
尽管费马素数并不常见，但它们在计算机科学和密码学中具有重要的应用。
特别是当n等于0、1、2和3时，得到的费马素数分别为3、5、17和257，它们都是素数。
然而，费马素数的形式并不总是生成素数，例如，当n等于4时，得到的费马数为65537，它是一个合数。
自然对数e是一个常见且神奇的数。
这个数约等于2.718281828，它是一个无理数。
自然对数e在微积分和指数函数中广泛应用，可以描述指数增长和衰变的过程。
此外，自然对数e还与复利、连续复利和无限级数相关。
例如，当利率为100%时，用e作为底数的复利将会产生最大的收益。
奇妙而神秘的完全数
由此可见 ， 一位数中只有一个完全数 ６ 二位数 ， 中也只有一个完全数 ２ ， ８ 三位数 中只有一个完全数
４６ 四位数 中只有 一个 完全 数 ８ ２ ． ９， １８
奇妙 而 神秘 的 完 全 数
华 兴恒
（ 安徽省灵璧县黄湾中学 ， ３ ２３ ２４ １）
在 自然 数 中 ，６ 这 个 数是 非 常 普 通 的一 个 数 ， “”
位 数 １７ ３６ １２ ３４ ８９ ３ ８以及 十九 位数 ． 在此 后 的三个世
然而它却隐藏一个不被人们 注意的特性 ． 这就是 ６ 的因数有四个 ， １ ２ ３ ６ 除 了它本身 以外 ， 即 ， ， ，． 其 它三个因数的和恰好等于 ６这个 数本 身， 具有这样
４ ６＝ １ ２＋４＋８十 １ ９ ＋ ６＋ ３ １十６ ２＋ １ ４＋２ ８ ２ ４ ． ８２ １ ８： １ ＋２＋４＋８＋ １ ６＋ ３ ２＋ ６ ４＋ １ ７＋２ ４＋ ２ ５ ５ ８＋ １ １ ０ ０ ６＋３ ３ ０ ２＋４ ６ ０ ４．
现了许多令人感兴趣 的现象和规律 ： １ ．由欧几里得公式给出的完全数都是偶数 ， 而 且欧拉 已经 证 明： 一个 偶 完 全数 必 定 具 有 ２ 每
４ 完全数的全部 因数 的倒数之和为 ２ 例如 ： ． ．
三个完全数， 它们分别是 十位数 ８８ ８９ ５ ， ５９ ６０ ６ 十二
对 ６ ：＋ ＋ ＋ ＝ 于，Ｔ 号 号 吉２ 有１ ． 对 ２有Ｔ 十 十 十 ＋ ＝ 于８ ：＋ 号 １ ２ ， １１ １１ ．
６＝ １＋２十３．
２ ８＝ １十２＋４＋ ７＋ １ ４．
“9”的神奇魔力
“9”的神奇魔力9,它看起来是那么的普通,但是,我们可不要被它愚弄了。
因为在所有数字中,9可能是最神秘的,因为它有让人目瞪口呆的奇特本领。
前方高能预警！马上进入奇异的9世界,请各位托好自己的下巴！十位个位9×1=099×2=189×3=279×4=369×5=459×6=549×7=639×8=729×9=819×10=90奇怪的结果有人认为伟人之所以是伟人,早在他出生的那一天便确定了,因为伟人们出生的那一天都非常特殊。
如数学王子高斯出生于1777年4月30日,把他的生日组成一个八位数xxxx,将这8个数字的顺序任意打乱重新组成一个新的数,比如组成新的数为：xxxx,拿新的数与原来的八位数相减（大的减小的）,差为xxxx,然后把其各个数位上的数字相加,即3+4+6+2+6+6+0=27,再将27这个数各位上的数字相加,得2+7=9。
是这样的吗？出生日期经过上述计算后,结果是9的,都是伟人？不不不,其实每个人的生日,经过上述一系列的运算,最终的结果都是9。
将任意一个各位数字不全相同的数,重排得新数后,在这两个数中,用大数减小数,然后把所得的差的各个数位上的数字加起来,如果和是两位数,就再把它的两个数字相加,最后得到结果是9。
哎,空欢喜一场！可怕的预测丁零零……游戏时间到！接下来是我们的游戏环节,这是一个让人毛骨悚然的游戏！我会给你一件秘密武器――数字9,在游戏中它会助你一臂之力。
可是在游戏开始之前,你需要进行一些简单的计算练习。
请写下一个很大的数,如xxxx。
在它的下面,请你写出一个“补九数”,就像这样：xxxxxxxx如果你把这两个数相加,你会发现他们的和等于xxxx――这就是怎么求得“补九数”的秘籍：从个位数开始,依次用9去减。
接下来,紧张刺激的游戏马上开始！请你的朋友写出一个六位数。
当他写数的时候,你在纸条上写下你的预测,然后将纸条交给你的朋友。
有心灵感应的神奇数字9，魔术师常用，三公子教你，你有被忽悠吗
有心灵感应的神奇数字9，魔术师常用，三公子教你，你有被忽悠吗放暑假了，孩子们放纵了，天天不是看电视就是玩手机，气的我只有收起手机。
反正就一个字“玩”。
教育也没有多大用，左耳进右耳出，权当耳旁风了。
打骂不是办法，这是我的教育有问题，怪不得别人，但是我相信做父母的也会跟我一样深有体会，这个人群我相信也大有人在。
其实适当的玩乐并不是不可，但沉迷就不好了。
于是我就在想如何激发孩子学习的兴趣，至少别总是电视手机。
先天八卦九宫图于是我想起了之前有一次我在看《射雕英雄传》片断时，黄蓉曾破解九宫格，口诀：戴九履一，右三左七，二四为肩，六八为足。
还有口诀：“一居上行正中央，依次斜填切莫忘；上出框时向下放，右出框时向左放；排重便在下格填，右上排重一个样。
”当时我把儿子叫到身边，边看边电视边教会了他九宫算。
当时记得孩子对这种很好奇，觉得很牛逼，所以现在他记得牢牢的。
著名的教育家苏霍姆林斯基说：“在我们每个人的内心深处，都有一个根深蒂固的愿望，那就是希望自己是一个发现者、探究者，而在儿童的内心深处，这种愿望尤其强烈。
”至此我就想起来了我们大人们玩的一些数字魔术，什么猜电话号码猜骰子预测你心目中的数字等。
将数学和魔术结合起来，这样既满足了孩子的好奇心也让他们学习到了新的知识。
然后我准备了几个与数字9相关的魔术，一个个教他们，结果试了一下，两个孩子就自己玩的不亦乐乎了，女儿说到时上学去找同学玩，儿子说可以去骗我们班上的小女生……（一）预言数字1089⑴ 在纸上写下1089预言数字后摺起来请对方保存。
⑵ 请对方在0-9中选三个数字排列成一个三位数，数字要成递减方式，如 851、743 等。
⑶ 用该三位数，减去其反向的数字，如 851－158＝693。
⑷ 得出的值再加上其反向的数字，即得所预言的数值1089（693＋396＝1089）。
说明：这两个数的结果一定是1089，但是如果你选了像 546 这样的数，结果是 198，不是1089……！永远的1089546 的计算是这样： 645−546=99， 99+99=198。
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初中数学拔尖材料09 整数里的一些神奇数
数学是一切科学的皇后，整数理论是皇后头上的皇冠，皇冠里面有很多神奇的数．
本讲主要介绍常见的几个神奇数：质数、合数，最大公约数、最小公倍数；同时介绍几个与它们有关的定理：算术基本定理、正约数个数定理、辗转相除法、费马小定理．
这些内容小学生都能玩得起来，其中充满了“数的智慧”，还能检测你的“数．”思维能力． 一、质数与合数 基本知识
定义1：一个大于1的正整数a ，如果仅有1与a 这两个正约数，那么称a 叫做质数．．． 定义2：如果一个正整数a 除了1与a 这两个约数外还有其它的正约数，那么称a 叫做合数．．． 注意：1既不是质数，也不是合数．正整数分为三类：1，质数，合数． 如果一个正整数的约数是质数，那么称它为质约数．．．． 典型例题
例1．若三个质数p q r 、、满足p q r <<，且p q r +=，求质数p ．
例2．求不能用三个不相等的合数之和来表示的最大奇数．
例3．判断下列各数哪些是质数？哪些合数？
31，97，721，3223．
例4．若a 是正整数，问：4239a a -+是质数还是合数？
例5．若p 是不小于5的质数，且21p +也是质数，试证：41p +是合数．
例6．求这样的质数p ，当它加上10和14时，仍为质数．
二、最大公约数与最小公倍数 基本知识
定义3：设12, ,
, n a a a 是不全为0的整数，如果1d a ，2d a ，…，n d a ，那么称d 叫做1a ，
2,
, n a a 的公约数．其中最大的d 叫做最大公约数．．．．．
，记作：12(, , , )n a a a d =．
定义4：设12, ,
, n a a a 和m 是正整数，如果1a m ，2a m ，…，n a m ，那么称m 叫做1a ，
2,
, n a a 的公倍数．其中最小的m 叫做最．小．公．倍．数．
，记作：12[, , , ]n a a a d =．
特别地，对于两个正整数a 、b ，两者之间关系是：[, ](, )
ab
a b a b =
． 定义5：设12, ,
, n a a a 都是正整数，如果12(, ,
, )1n a a a =，那么称12, ,
, n a a a 是互质的
数，简称互质．．．特别地，12, , , n a a a 中任意两个数都互质，则称为两两互质．．．．
． 两两互质的整数一定互质；反之，互质的整数不一定两两互质，如：（8，9，14）．
典型例题
例7．求：①（221，325）； ②（5767，4453）．
例8．若n 为小于50的正整数，求使代数式45n +和76n +的值有大于1的公约数的所有n 的值．
例9．设m 是两个不相等的正整数x y 、的最小公倍数，且满足111
m x y m
-+=，求所有可能的x y 、．
例10．一个正整数能被5和7整除，被11除时余6，求适合条件的最小正整数，并写出具有这种
性质的整数的一般形式．
例11．用数码1、2、3、4、5、6随意排成一个六位数n ，求证：n 不是完全平方数．
三、有关的常用定理 基本知识
定理1（算术基本定理）：任意一个大于1的整数都能唯一地分解成质数的乘积．（不考虑顺序）
定理2（正约数个数定理）：12
12
k
k N p p p ααα=⋅⋅⋅的正约数共有：12(1)(1)
(1)k ααα+++个．
定理3（费马小定理）：对任意一个质数p 和整数a ，总有p p a a -成立；
特别地，当(, )1p a =，就有11p p a --成立．
例12．求最小的正整数，使它的12是平方数，它的13是立方数，它的1
5
是五次方数．
例13．设n 是满足下列两个条件的最小正整数：①n 是75的倍数；②n 恰好有75个正约数（包
括1和本身）；试求
75
n ．
例14．当质数5p >时，求证：(1)111p p -个
．
例15．求证：5
30a a -(a 为任一整数)．
巩固练习
1．求不能写成两个合数之和的最大正整数．
2．三个质数之积等于它们的和的5倍，求这三个质数．
3．有一个小于2000的四位数，它恰有14个正约数（包括1和本身），其中有一个质约数的末位数是1，求这个四位数．。