初中数学拔尖材料07奇数与偶数性质及其应用
初中数学竞赛整数的性质及应用(一) 奇数与偶数
整数的性质及应用（一） 奇数与偶数全体整数可以分为两大类,一类是奇数，一类是偶数。
任何一个整数不是偶数就是奇数，奇数和偶数，有以下几条性质：一、性质1：任何奇数不可能与偶数相等。
性质2：奇数±奇数=偶数 偶数±偶数=偶数 奇数±偶数=奇数性质3：奇数X 奇数=奇数 奇数X 偶数=偶数 偶数X 偶数=偶数性质4：整数a 的a n 幂与a 的奇偶性相同 性质5：两个连续整数的积是偶数。
二、例题：例1.设4个正整数之和为9，求证：它们的立方和不可能为100例2.若n 是大于1的整数，那么数2)1(12)1(n n n p ---+=的值一定是偶数？一定是奇数？还是可以是偶数也可以是奇数。
例3.是否有满足x 2-y 2=1986的整数解x 和y?例4.平面上有15个点，任意三点不共线，试问能不能从每个点都引三条线段，且仅引三条线段和其余的某三点相连？证明你的结论。
例5.设有n 盏亮着的灯，规定每次拉动n-1个拉线开关，试问：能否将所有的灯都关闭？证明你的结论。
例6.用15个由4个小方格组成的L 字形纸片和1个田字形纸片，能否盖满1个8X8的方格棋盘 例7.设a 1,a 2,…,a n 是一组数，它们中的每一个数都取1或-1，而且013221=+++a a a a a a n ，证明：n 必是4的倍数。
例8. 在1，2，3，…，1998中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？例9 设a ，b 是自然数，且满足关系式(11111+a)(11111-b)=123456789．求证：a-b 是4的倍数． 例10 某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分．证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．*例11.是否存在整数m,n,使得5m 2-6mn+7n 2=1987*例12.设正整数d 不等于2，5，13，证明从数2，5，13，d 中可以找到两个数a,b,使得ab-1不是整数的平方。
偶数与奇数的性质与应用
偶数与奇数的性质与应用在数学中，偶数和奇数是一对基本的整数概念。
它们是我们日常生活中最常见的数字，并且在数学领域有着广泛的应用。
本文将探讨偶数和奇数的性质以及它们在实际中的应用。
一、偶数与奇数的定义和性质1. 定义在整数集中，一个整数如果可以被2整除，那么它就是一个偶数。
反之，如果一个整数不能被2整除，那么它就是一个奇数。
换言之，偶数可以表示为2的倍数，而奇数则不能表示为2的倍数。
2. 奇偶性质（1）偶数的特点：- 偶数可以由2和其他整数相乘得到。
- 任何偶数与2相除余数为0。
（2）奇数的特点：- 奇数不能被2整除，但可以被2的倍数加1得到。
- 任何奇数与2相除余数为1。
3. 奇偶数的加减性质（1）加法性质：两个偶数相加的结果仍是偶数；两个奇数相加的结果仍是奇数；一个偶数与一个奇数相加的结果为奇数。
（2）减法性质：无论从哪个奇数减去一个偶数，结果都是奇数。
反之亦然。
二、偶数与奇数的应用1. 计数偶数和奇数常用于计数问题中。
当我们需要统计一组数据中的偶数或奇数个数时，可以利用偶数和奇数的性质来解决。
例如，在统计一组整数中的偶数个数时，可以通过判断每个整数是否满足能否被2整除来实现。
2. 排列组合在排列组合问题中，偶数和奇数的性质起到了重要的作用。
例如，有一组数字1、2、3、4，我们需要从中选择3个数字进行排列。
由于偶数不能和奇数相加得到奇数，因此，在选择3个数字时，我们需要考虑它们的奇偶性质，以保证所组成的数字具有所需的奇偶性质。
3. 密码学在密码学领域，偶数和奇数的性质用于构建加密算法。
其中，奇偶性质被用于确定密钥空间和加密过程中的运算规则，以确保加密算法的安全性。
4. 奇偶校验在计算机科学中，奇偶校验用于检测和修复数据传输过程中的错误。
奇偶校验位通过对传输的数据进行计算，来确定数据中的比特位是否存在错误。
根据奇偶校验的结果，我们可以对错误进行检测和修复。
5. 数论偶数和奇数的性质在数论中应用广泛。
初中数学拔尖材料07奇数与偶数性质及其应用
初中数学拔尖材料07 奇数与偶数性质及其应用在整数中，能被2整除的数叫做偶数，如：0，2±，4±，…；不能被2整除的数叫做奇数，如：1±，3±，5±，…．通常偶数用2k 表示，奇数用21k +或21k -表示，这里k 是整数．在整数分析中，奇偶分析也是一把十分锋利的剑．．．．，用好此剑，尽显智慧． 一、奇数和偶数的性质1．奇偶性：一个数是奇数就不能是偶数，是偶数就不能再是奇数．一个数是偶数还是奇数，是这个数自身的属性，此称为奇偶性．2．运算性质：（这些必须熟悉，并能运用自如）①奇数+奇数＝偶数；偶数+偶数＝偶数；奇数+偶数＝奇数．②+++=奇数个奇数奇数奇数奇数；+++=偶数个奇数奇数奇数偶数．③奇数－奇数＝偶数；偶数－偶数＝偶数；奇数－偶数＝奇数；偶数－奇数＝奇数． ④奇数×奇数＝奇数；偶数×偶数＝偶数；奇数×偶数＝偶数．⑤若a b 、是整数，则a b +与a b -有相同的奇偶性．（* 特别有用）⑥两个连续的整数中，必有一个是奇数另一个是偶数；三个连续的整数中，至少有一个奇数和一个偶数．3．奇偶分析：上述性质看似浅显，若能巧妙运用，可解决一些看上去很难下手的问题．这种利用奇、偶数的性质解题的方法叫做奇偶分析．二、典型例题例1．能不能将1010写成10个连续自然数之和？如果能，把它写出来；如果不能，说明理由．（例如75可写成10各连续自然数之和为：75=3+4+5+6+7+8+9+10+11+12）加强练习：小明买了一本共96页的练习本，并依次将它的各面编号（即由第一面一直编到第192面）．小亮从该练习本中撕下某25页纸，并将写在它们上面的50个编号相加．试问：小亮所加的和数能否为2014？例2．如果先任意写三个自然数，然后擦去任意一个，换上未擦去的两个数的和减1，这样连续多次后，变成了199，2003，2014这三个数．那么，原来最先写的三个自然数都能是偶数吗？都能是奇数吗？加强练习2013个球无论多少人采用什么样的分法，最终每人都分得奇数个球的总人数不能是偶数，为什么？例3．元旦前同学们相互写信祝贺新年，如果每人只要接到对方来信就一定回信，那么写了奇数封信的学生人数是奇数个还是偶数个?加强练习如果两人每通一次电话，每人都记通话一次．问：通话次数是奇数的那些人的总数是奇数还是偶数？并说明理由．例4．在8个房间中，有7个房间开着灯，1个房间关着灯．如果每次同时拨动4个房间开关，能不能把全部房间的灯关上？为什么？加强练习有九只杯口向上的杯子放在桌上，每次将其中四只杯同时“翻转”，使其杯口向下，能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使九只杯口全部向下？为什么？例5．80个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行的最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，…，最右边的一个数是奇数还是偶数？加强练习一次数学考试，某班学生共得48247分．试说明，这次考试得奇数分的总人数不能是偶数，为什么？例6．试题50道，规定答对一题得3分，不答得1分，答错扣1分，阅卷的结果，所有的学生的得分数都是偶数，这是偶然的吗？为什么？加强练习某校数学竞赛，共有20道填空题，评分标准是每做对一道题得5分，做错一道题倒扣3分，某题没做，该题得0分，结果小英得了69分，那么小英有多少道题没做？例7．某班49个同学，坐成7行7列（在数学里，习惯于把横排叫“行”竖排叫“列”）。
探索数的奇偶性奇数和偶数的性质
探索数的奇偶性奇数和偶数的性质在数学中，数的奇偶性是一个重要的概念。
奇数和偶数都是自然数的一种分类方式，具有不同的特性和性质。
本文将探索奇数和偶数的性质，以及它们在数学中的应用。
一、奇数的定义和性质奇数是除以2余数为1的自然数。
例如，1、3、5、7都是奇数。
下面是奇数的几个重要性质：1. 奇数相加的结果一定为偶数：两个奇数相加，其结果一定是偶数。
例如，3 + 5 = 8。
这是因为两个奇数相加，被2整除的次数多一次，所以结果是偶数。
2. 奇数乘以奇数的结果仍为奇数：两个奇数相乘，其结果仍然是奇数。
例如，3 × 5 = 15。
这是因为两个奇数乘积中被2整除的次数仍为0次，所以结果是奇数。
3. 奇数与偶数相乘的结果为偶数：一个奇数与一个偶数相乘，其结果一定是偶数。
例如，3 × 4 = 12。
这是因为奇数中必然包含1个因子2，所以相乘的结果中被2整除的次数至少为1次，所以结果是偶数。
二、偶数的定义和性质偶数是能够被2整除的自然数。
例如，2、4、6、8都是偶数。
下面是偶数的几个重要性质：1. 偶数加偶数的结果仍为偶数：两个偶数相加，其结果仍然是偶数。
例如，2 + 6 = 8。
这是因为两个偶数相加，被2整除的次数没有增加，所以结果是偶数。
2. 偶数乘以偶数的结果仍为偶数：两个偶数相乘，其结果仍然是偶数。
例如，4 ×6 = 24。
这是因为两个偶数相乘，被2整除的次数更多，所以结果是偶数。
3. 偶数与奇数相乘的结果为偶数：一个偶数与一个奇数相乘，其结果一定是偶数。
例如，4 × 3 = 12。
这是因为偶数中必然包含最少一个因子2，所以相乘的结果中被2整除的次数至少为1次，所以结果是偶数。
三、奇偶数的应用奇偶性在数学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 数的分组：在统计学中，可以根据奇偶性将一组数据分成两个部分，以便进行不同的分析和比较。
2. 数的排列组合：在排列组合问题中，奇偶性常常用来判断可能的组合数量。
数学奇数和偶数
数学奇数和偶数在数学中，奇数和偶数是基本的数学概念。
奇数指的是不能被2整除的整数，而偶数指的是可以被2整除的整数。
在本文中，我们将探讨奇数和偶数的特性以及它们在数学中的应用。
一、奇数和偶数的定义奇数是指除以2的余数为1的整数，偶数是指除以2的余数为0的整数。
奇数和偶数是自然数的两个重要的分类。
二、奇数和偶数的性质1. 奇数加奇数：两个奇数相加，结果为偶数。
例如，3 + 5 = 8。
2. 偶数加偶数：两个偶数相加，结果为偶数。
例如，2 + 4 = 6。
3. 奇数加偶数：一个奇数与一个偶数相加，结果为奇数。
例如，3 +4 = 7。
4. 奇数乘奇数：两个奇数相乘，结果为奇数。
例如，3 × 5 = 15。
5. 偶数乘偶数：两个偶数相乘，结果为偶数。
例如，2 × 4 = 8。
6. 奇数乘偶数：一个奇数与一个偶数相乘，结果为偶数。
例如，3 ×4 = 12。
7. 奇数的平方：奇数的平方仍为奇数。
例如，3² = 9。
8. 偶数的平方：偶数的平方仍为偶数。
例如，2² = 4。
三、奇数和偶数的应用奇数和偶数在数学中具有广泛的应用，以下是其中几个例子：1. 质数分类：质数是只能被1和自身整除的正整数。
奇数可以是质数，如3、5、7，而偶数只有2是质数。
2. 奇偶校验：在计算机科学中，奇偶校验是一种错误检测方法。
通过判断二进制数中1的个数是奇数还是偶数，可以检测出数据传输中的错误。
3. 数字游戏：奇偶数在数字游戏中常被应用。
例如，石头剪刀布游戏中，奇数可以代表石头，偶数可以代表布。
4. 排列组合：奇数和偶数的排列组合具有特定的性质。
根据排列组合的原理，奇数个奇数的排列组合结果为奇数个；偶数个奇数的排列组合结果为偶数个。
五、结论奇数和偶数在数学中具有重要的地位，它们有着各自独特的特性和应用场景。
深入理解奇数和偶数的性质，可以帮助我们更好地应用数学知识。
无论是在计算机科学还是日常生活中，奇数和偶数都扮演着重要的角色。
初中数学竞赛：奇数与偶数
初中数学比赛：奇数与偶数往常我们所说的“单数”、“双数”，也就是奇数和偶数，即±1，±3，±5，, 是奇数， 0，±2，±4，±6，, 是偶数．用整除的术语来说就是：能被 2 整除的整数是偶数，不可以被 2 整除的整数是奇数．往常奇数能够表示为 2k+1(或 2k-1)的形式，此中 k 为整数，偶数能够表示为2k 的形式，此中 k 是整数．奇数和偶数有以下基天性质：性质 1 奇数≠偶数．性质 2 奇数±奇数 =偶数，偶数±偶数 =偶数，奇数±偶数 =奇数．性质 3 奇数×奇数 =奇数，偶数×偶数 =偶数，奇数×偶数 =偶数．性质 4 奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；随意有限个偶数之和为偶数．性质 5 若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．性质 6 假如若干个整数的乘积是奇数，那么此中每一个因子都是奇数；假如若干个整数的乘积是偶数，那么此中起码有一个因子是偶数．性质 7 假如两个整数的和 (或差 )是偶数，那么这两个整数的奇偶性同样；假如两个整数的和 (或差 )是奇数，那么这两个整数必定是一奇一偶．性质 8 两个整数的和与差的奇偶性同样．性质 9 奇数的平方除以8 余 1，偶数的平方是 4 的倍数 .性质 1 至性质 6 的证明是很简单的，下边我们给出性质 7 至性质 9 的证明．性质 7 的证明设两个整数的和是偶数，假如这两个整数为一奇一偶，那么由性质 2 知，它们的和为奇数，所以它们同为奇数或同为偶数．同理两个整数的和 (或差 )是奇数时，这两个数必定是一奇一偶．性质 8 的证明设两个整数为X，y．因为(x+y)+(x-y)=2x为偶数，由性质7 便知， x+y 与 x-y 同奇偶．性质 9 的证明若 x 是奇数，设 x=2k+1，此中 k 为整数，于是x=(2k+1)=4k+4k+1=4k(k+1)+1．223因为 k 与 k+1 是两个连续的整数，它们必然一奇一偶，进而它们的乘积是偶数．于是， x 除以 8 余 1．若 y 是偶数，设 y=2t，此中 t 为整数，于是y=(2t)=4t所以， y 是 4 的倍数．例 1 在 1， 2，3，, ，1998 中的每一个数的前方，随意添上一个“+或”“-”，那么最后运算的结果是奇数仍是偶数？解由性质 8 知，这最后运算所得的奇偶性同1+2+3+,+1998=999 × 1999的奇偶性是同样的，即为奇数．例 2 设 1， 2，3，, ，9 的任一摆列为 a1，a2，, ，a9.求证： (a1-1)(a2-2),(a9-9)是一个偶数．证法 1因为(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+,+(a9-9)＝(a1+a2+,+a9)-(1+2+,+9)=0是偶数，所以， (a1-1)，(a2-2)，, ，(a9-9)这 9 个数中必然有一个是偶数 (不然，便得奇数个 (9 个)奇数的和为偶数，与性质 4 矛盾 )，进而由性质 5 知(a1-1)(a2-2),(a9-9)是偶数．证法 2 因为 1，2，, ，9 中只有 4 个偶数，所以 a 1，a3，a5，a7，a9 中起码有一个是奇数，于是，a1-1，a3-3，a5-5，a7-7，a9-9 起码有一个是偶数，进而(a1-1)(a2-2),(a9-9)是偶数．例 3 有 n 个数 x1，x2，, ，xn，它们中的每一个数或许为1，或许为 -1．假如 x 1x2+x2xn-1xn+xnx1=0，求证： n 是 4 的倍数．证我们先证明n=2k 为偶数，再证 k 也是偶数．因为 x1，x2，, ，xn。
奇偶数的性质与应用
奇偶数的性质与应用一、基本概念和知识1.奇数与偶数整数可以分为奇数和偶数两大类，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k来（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）来表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
2.奇数与偶数的运算性质对于两个数：⑴奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±奇数=奇数；注：加减运算符号不改变结果的奇偶性⑵奇⨯偶=偶数，奇⨯奇=奇数，偶⨯偶=偶数，偶数÷奇数=偶数，偶数÷偶数=奇数或偶数对于多个数：⑴多个数相加减时，结果由奇数个数决定：奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数⑵多个数相乘时，只要有偶数，结果必为偶数（见偶得偶）【例1】1+3+5+…+2009的和是奇数？还是偶数？【巩固】7+9+11+…+2017的和是奇数？还是偶数？【例2】一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？【巩固】一个数分别与另外两个相邻偶数相乘，所得的两个积相差300，这个数是多少？【例3】已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7。
求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数。
【巩固】已知a、b、c是三个连续自然数，其中a是偶数。
根据图中的信息判断，小红和小明两人的说法中正确的是哪一位同学？巩固图【例4】你能不能将自然数1到9分别填入3⨯3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数？【巩固】能否将1～16这16个自然数填入４⨯４的方格表中（每个小方格只填一个数），使得每一行中的四个数之和都是偶数？【例5】元旦前夕，同学们相互送贺年卡。
每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，送了奇数张贺年卡的人数是奇数还是偶数？为什么？【巩固】新学期开始了，久别的同学们互相频频握手。
请问：握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？请说明理由。
【例6】下表中有18个数，选出5个数，使它们的和为28，你能否做到？为什么？例6图【巩固】能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？1□2□3□4□5□6□7□8□9=38竞赛篇：【例1】在黑板上写（2，2，2）三个数，把其中的一个2抹掉后，改写成其余两数的和减1，得（2，2，3），再把两个2中的一个2抹掉后，写成其余两数的和减1，得（2，4，3），再把2抹掉后写其余两数的和减1，得（6，4，3），继续这一过程，是否能得到（859，263，597）？【例2】黑板上写着1，2，3，…，n共n个数，每次擦掉两个数，再写上这两个数的差。
数字的奇偶性及其应用
数字的奇偶性及其应用数字是我们日常生活中常见的概念，它们不仅在数学领域有重要作用，也广泛用于各行各业的应用中。
数字的奇偶性是数字属性中的一个重要方面，本文将探讨数字的奇偶性及其在数学和实际应用中的用途。
一、奇数和偶数的定义与性质在数学中，每个整数都可以分为两类：奇数和偶数。
奇数是指不能被2整除的整数，偶数则是可以被2整除的整数。
1. 奇数的特点奇数的特点是无法被2整除，它们与2有一个不可分割的关系。
举个例子，1、3、5、7、9等都是奇数。
任何奇数与2相除，得到的商都是一个无法整除的小数，即余数为1。
2. 偶数的特点偶数则与奇数相反，可以被2整除。
偶数的末尾一位数字只有0、2、4、6、8这几个可能性，例如2、4、6、8、10等。
任何偶数与2相除，得到的商都是一个整数，即余数为0。
二、奇数和偶数的应用1. 数学论证中的奇偶性在数学论证中，奇数和偶数的性质经常被用来推导和证明一些数学定理。
例如，使用奇偶性可以证明一个整数的平方的奇偶性与其本身的奇偶性相同。
如果一个整数是奇数，那么它的平方也是奇数；如果一个整数是偶数，那么它的平方也是偶数。
这样的性质可以通过奇数和偶数在乘法中的运算规律来证明。
2. 计算机中的奇偶校验在计算机科学中，奇偶性被广泛应用于数据传输和错误检测中的奇偶校验。
奇偶校验是一种简单的错误检测方法，在传输数据时附加一个奇偶位，使得数据的总位数为奇数或偶数。
接收端通过计算接收到的数据中1的个数来判断数据是否传输正确。
如果校验位与计算出的奇偶位一致，说明传输正确，否则说明出现了错误。
奇偶校验通过利用了奇偶数的特性，保证了数据传输的可靠性。
3. 算法设计与优化奇偶性在算法设计和优化中也有重要作用。
有些算法的性能与输入数据的奇偶性相关。
例如，冒泡排序算法中，偶数的比较和交换操作更少，因为偶数总是靠在数组的后面，所以在排序过程中可以忽略已排好序的偶数部分。
这样的优化可以提高算法的执行效率。
4. 数学问题的解决奇偶性还在解决数学问题时发挥着重要作用。
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初中数学拔尖材料07 奇数与偶数性质及其应用
在整数中，能被2整除的数叫做偶数，如：0，2±，4±，…；不能被2整除的数叫做奇数，如：1±，3±，5±，…．通常偶数用2k 表示，奇数用21k +或21k -表示，那个地址k 是整数．
在整数分析中，奇偶分析也是一把十分锋利的剑．．．．
，用好此剑，尽显聪慧． 一、奇数和偶数的性质
1．奇偶性：一个数是奇数就不能是偶数，是偶数就不能再是奇数．一个数是偶数仍是奇数，是那个数自身的属性，此称为奇偶性．
2．运算性质：〔这些必需熟悉，并能运用自如〕
①奇数+奇数＝偶数；偶数+偶数＝偶数；奇数+偶数＝奇数．
②++
+=奇数个奇数奇数奇数奇数；+++=偶数个奇数奇数奇数偶数．
③奇数－奇数＝偶数；偶数－偶数＝偶数；奇数－偶数＝奇数；偶数－奇数＝奇数．
④奇数×奇数＝奇数；偶数×偶数＝偶数；奇数×偶数＝偶数．
⑤假设a b 、是整数，那么a b +与a b -有一样的奇偶性．〔* 专门有效〕
⑥两个持续的整数中，必有一个是奇数另一个是偶数；三个持续的整数中，至少有一个奇数和一个偶数．
3．奇偶分析：上述性质看似浅显，假设能巧妙运用，可解决一些看上去很难下手的问题．这种利用奇、偶数的性质解题的方式叫做奇偶分析．
二、典型例题
例1．能不能将1010写成10个持续自然数之和？若是能，把它写出来；若是不能，说明理由．
〔例如75可写成10各持续自然数之和为：75=3+4+5+6+7+8+9+10+11+12〕
增强练习：
小明买了一本共96页的练习本，并依次将它的各面编号〔即由第一面一直编到第192面〕．小亮从该练习本中撕下某25页纸，并将写在它们上面的50个编号相加．试问：小亮所加的和数可否为2021？
例2．若是先任意写三个自然数，然后擦去任意一个，换上未擦去的两个数的和减1，如此持续多次后，变成了199，
2003，2021这三个数．那么，原先最先写的三个自然数都能是偶数吗？都能是奇数吗？
增强练习
2021个球不管多少人采纳什么样的分法，最终每人都分得奇数个球的总人数不能是偶数，什么缘故？
例3．元旦前同窗们彼此写信祝贺新年，若是每人只要接到对方来信就必然回信，那么写了奇数封信的学生人数是奇
数个仍是偶数个?
增强练习
若是两人每通一次 ，每人都记通话一次．问：通话次数是奇数的那些人的总数是奇数仍是偶数？并说明理由．
例4．在8个房间中，有7个房间开着灯，1个房间关着灯．若是每次同时拨动4个房间开关，能不能把全数房间的灯关上？什么缘故？
增强练习
有九只杯口向上的杯子放在桌上，每次将其中四只杯同时“翻转〞，使其杯口向下，能不能通过如此有限多次的“翻转〞后，使九只杯口全数向下？什么缘故？
例5．80个数排成一行，除两头的两个数之外，每一个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行的最左侧的几个数是如此的：0，1，3，8，21，…，最右边的一个数是奇数仍是偶数？
增强练习
一次数学考试，某班学生共得48247分．试说明，这次考试得奇数分的总人数不能是偶数，什么缘故？
例6．试题50道，规定答对一题得3分，不答得1分，答错扣1分，阅卷的结果，所有的学生的得分数都是偶数，这是偶然的吗？什么缘故？
增强练习
某校数学竞赛，共有20道填空题，评分标准是每做对一道题得5分，做错一道题倒扣3分，某题没做，该题得0分，结果小英得了69分，那么小英有多少道题没做？
例7．某班49个同窗，坐成7行7列〔在数学里，适应于把横排叫“行〞竖排叫“列〞〕。
每一座位的前、后、左、右的位子都叫做它的“邻座〞．要让这49位同窗中的每一人都离开自己的座位，坐到他〔她〕的邻座上去，问：这种方案能不能实现？
增强练习
⨯=间的展览厅，现有人想从入口入内，出口出来，每一个展览室都走到，但不能重复，应如如图，有一个6636
何设计如此的线路？
例8．象棋盘上有一只马，它跳了x步正好回到原处，问x是奇数仍是偶数？什么缘故？
增强练习
将正方形ABCD分割成210个相等的小方格，把相对的极点A C
、染成蓝色，其它交点任意染
、染成红色，把B D
成红、蓝两色中的一种颜色；求证：恰有三个极点同色的小方格的数量必是偶数．
综合练习
1．在1，2，3，…，2021前面任意添上一个加号和减号，它们的代数和是______数．〔填奇．或偶．〕
2．一列数，最前面四个数为一、九、八、4，从第五个数起每一个数都是它前面四个数的平方和的末位数，那么1，9，9，4这四个数______在这列数中依次显现．〔填能．或不能
〕
．．
3．有5张扑克牌，画面向上。
小明每次翻转其中的4张，那么，他能在翻动假设干次后，使5张牌的画面______都
向下．〔填能．或不能．．
〕 4．元旦前夕，同窗们互赠贺卡，每人只要接到对方贺卡就必然回赠贺卡，那么送了奇数张贺卡的人数是______数．〔填
奇．或偶．
〕 5．某校八年级学生参加区数学竞赛，试题共40道，评分标准是：答对一题给3分，打错一题倒扣1分，某题不答
给1分，那么该校六年级参赛学生得分总和必然是______数．〔填奇．或偶．
〕 6．甲盒中放有180个白色围棋子和181个黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子，小李每次任意从甲盒中摸
出两个棋子，若是两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒；若是两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒．那么他拿_____次棋子后，甲盒中只剩下一个棋子，那个棋子是_____色．
7．a 、b 、c 中有一个是2001，一个是2002，另一个是2003，判定：(1)(2)(3)a b c ---的结果是奇数仍是偶数？
8．有一类小于200的自然数，每一个数的列位数字之和都是奇数，而且每一个数都是两个两位数的乘积〔如
1441212=⨯〕，把这一类自然数从大到小排列，第三个数是多少？
9．三个质数之积恰好等于它们和的7倍，求这三个质数．
10．设a 、b 、c 都是整数，且a b c ++是偶数，求证：a b c +-、b c a +-、c a b +-都是偶数．。