线性各向同性和各向异性晶体的极化响应
非线性光学复习总结
一.非线性基本概念线性极化率的基本概念:一、电场的复数表示法：E(r,t)=1/2E(r,ω)exp(-iωt)+c.c. (1)E(r,t)=Re{E(r,ω)exp(-iωt)} (2)E(r,t)=1/2E(r,ω)exp(-iωt) (3)以上三者物理含义是一致的，其严格数学表示是（1）式。
（注意是数学表达式，所以这种表示法主要还是为了运算的方便，具体那些系数、共轭神马的物理意义是其次的，不用太纠结。
）称为复振幅，代表频率为的简谐振动，的频率仅是数学描述，物理上不存在。
1/2是归一化系数。
对于线性算符，可采用（3）式进行简化计算，然后加c.c.或Re{ }即可对非线性算符，必须采用（1）式的数学形式计算二、因果性原理：某时刻的电场只能引起在此时刻以后介质的响应，而对此时刻以前的介质响应没有贡献。
也可以这样说，当光在介质中传播时，t时刻介质所感应的极化强度P(t)不仅与t时刻的光电场有关，也与此前的光电场有关。
（先有电场E，后有极化P）与此相关的是时间不变性原理：在某时刻介质对外电场的响应只与此前所加电场的时间差有关，而与所取的时间原点无关。
于是，极化强度表达的思路即是先找到时刻t之前附近的一段微小时间t-τ=dτ内电场的作用，再对从电场产生开始以来的时间进行积分，求得总的效应。
τ时刻电场，影响其后的极化：t时刻的极化，来自其前面时刻的电场贡献：或t时刻的极化，来自前面时刻的电场贡献：三、线性极化率：其中四、介电常数（各向同性介质）：五、色散：由于因果性原理，导致必然是频率的函数，即介质的折射率和损耗都随光波长变化，称为色散现象。
正常色散：折射率随波长增加而减小。
六、KK关系:以上两式为著名的KK色散关系，由K-K关系课件，只要知道极化率的实部和虚部中任何一个与频率的函数关系（光谱特性）就可通过此关系求出另外一个。
线性极化率张量同样满足真实性条件：,所以，这两式是线性极化率的KK关系。
七、极化率的一维谐振子经典模型:没希望考了。
晶体各向异性和各向同性
晶体各向异性和各向同性
各向异性：晶体的各向异性即沿晶格的不同方向，原子排列的周期性和疏密程度不尽相同，由此导致晶体在不同方向的物理化学特性也不同，这就是晶体的各向异性。
晶体的各向异性具体表现在晶体不同方向上的弹性模量、硬度、断裂抗力、屈服强度、热膨胀系数、导热性、电阻率、电位移矢量、电极化强度、磁化率和折射率等都是不同的。
各向异性作为晶体的一个重要特性具有相当重要的研究价值。
常用密勒指数来标志晶体的不同取向。
各向同性：指物体的物理、化学等方面的性质不会因方向的不同而有所变化的特性，即某一物体在不同的方向所测得的性能数值完全相同。
亦称均质性。
物理性质不随量度方向变化的特性。
即沿物体不同方向所测得的性能，显示出同样的数值。
如所有的气体、液体（液晶除外）以及非晶质物体都显示各向同性。
例如，金属和岩石虽然没有规则的几何外形，各方向的物理性质也都相同，但因为它们是由许多晶粒构成的，实质上它们是晶体，也具有一定的熔点。
由于晶粒在空间方位上排列是无规则的，所以金属的整体表现出各向同性。
郑州大学电子线路非线性部分复习总结
郑州大学电子线路非线性部分复习总结第一篇：郑州大学电子线路非线性部分复习总结第一章1.（变压器乙类推挽乙类互补推挽）2.乙类互补推挽放大电路工作原理【乙类工作时，为了在负载上合成完整的正弦波，必须采用两管轮流导通的推挽电路】3.实际电路问题（小题）（交越失真产生的原因及补救的措施）【由于导通电压的影响，造成传输电路传输特性的起始段弯曲，在正弦波的激励下，输出合成电压波形将在衔接处出现严重失真，这种失真称为交越失真】【在输入端为两管加合适的正偏电压，使它们工作在甲乙类状态】4.互补推挽电路提出的原因，解决了什么样的问题【当乙类功率管工作时，只在半个周期导通为了在负载上合成完整的正弦波，必须采用两管轮流导通的推挽电路】5.单电源供电的互补推挽电路中，电容起到了什么作用，怎么等效成双电源供电【与双电源供电电路比较，仅在输出负载端串接一个大容量的隔直流电容Cl，VCC 与两管串接，若两管特性配对，则VO = VCC/2，CL 实际上等效为电压等于 VCC/2 的直流电源】6.传输线变压器传输信号的时候采用了什么样的方法【传输线变压器，低频依靠变压器磁耦合方式传输信号，高频依靠传输线电磁能交换方式传输信号，所以高频受限于传输线长度，低频受限于初级绕组电感量】 7.整流器的作用【整流器：电网提供的50Hz交流电—直流电。
整流电路的功能是将电力网提供的交流电压变换为直流电压】8.计算：利用传输线变压器，端电压相等，两端电流大小相等方向相反这样的准则计算传输线变压构成的阻抗变换器的阻抗比第二章丙类谐振功率放大器 1.电路结构【ZL ——外接负载，呈阻抗性，用 CL 与 RL 串联等效电路表示Lr 和 Cr ——匹配网络，与 ZL 组成并联谐振回路调节 Cr 使回路谐振在输入信号频率VBB——基极偏置电压，设置在功率管的截止区，以实现丙类工作】2.偏置条件【基极偏置电压，是静态工作点设置在功率管的截止区，以实现丙类（导通小于半个周期）工作】 3.工作原理【输入完整正余弦波形，ib和ic为脉冲波形，要求输出为同频率正余弦电压，所以在输入、输出端要有谐振回路，使ib和ic电流变为基波电压，实现无失真输出】 4.谐振回路的作用【选频：利用谐振回路的选频作用，可将失真的集电极电流脉冲变换为不失真的输出余弦电压阻抗匹配：调节 Lr 和 Cr , 谐振回路将含有电抗分量的外接负载变换为谐振电阻Re，实现阻抗匹配】5.直流供电【因为丙类功率谐振放大器是放大高频信号，对于高频信号的直流供电来说，应该引入高频扼流圈和滤波电容，进行高低频信号隔离，提高稳定性】 6.谐振功率放大器工作状态【欠压、临界和过压状态（波形形貌）】7.谐振功率放大器外部特性【负载特性放大特性（可以构成线性放大器，作为线性功放和振幅限幅器）调制特性（运用到基极、集电极调制电路，实现调幅作用）】第三章1.正弦波振荡器【反馈振荡器、负阻振荡器】 2.反馈振荡器结构组成【由主网络和反馈网络构成的闭合环路】3.闭合环路成为反馈振荡器的三个条件【(1)起振条件——保证接通电源后从无到有地建立起振荡(2)平衡条件——保证进入平衡状态后能输出等幅持续振荡(3)稳定条件——保证平衡状态不因外界不稳定因素影响而受到破坏】 4.三点式正弦波振荡器组成法则【交流通路中三极管的三个电极与谐振回路的三个引出端点相连接，其中，与发射极相接的为两个同性质电抗，而另一个（接在集电极与基极间）为异质电抗】 5.判断能否产生正弦振荡的方法【(1)是否可能振荡——首先看电路供电是否正确；二是看是否满足相位平衡条件(2)是否起振——看是否满足振幅起振条件(3)是否产生正弦波——看是否有正弦选频网络】6.3.2.3例题（不看例2）7.对于各个类型的振荡电路的优势【晶体振荡器优势：将石英谐振器作为振荡器谐振回路，就会有很高的回路标准性，因此有很高的频率稳定度】8.实现负阻振荡器利用的是什么【平均负增量电导】9.平均负增量电导在正弦波振荡器当中实现的作用【当正弦电压振幅增加时，相应的负阻器件向外电路提供的基波功率增长趋缓。
(非线性光学课件)第二章 非线性光学极化强度和极化率的经典
P(1) (t) 0R(1) ( ) E(t )d
E(t) E()eitd
()
P(1) (t)
R(1)
0
(
)
[
E()eiteid]d
0[
R(1) ( )eid ] E()eitd
0 (1) () E()eitd
P(1) ()eitd
() R(1) ( )ei d
R(1)
0
(
)
E(t
)d
0
E(r, t) 1 n [E()eit E*()eit ] 1 n E()eit
2 1
2 n
E() E0 (r) exp{i[k r (r)]} E(r) exp(ik r)
数学上引入负频率
E* ( )可写成E( )
P(1) (t)
R(1)
0
(
)
E(t
0 d1 d2[(2) (3；1,2 ) : E(1)E(2 ) ei3td3 (3 1 2 )]
0
d1
d2[(2)
(3；1,
2
)
:
E(1)E(2
)
(3
1
2
)]
ei3t
d3
P(2) (3) d1 d2[(2) (3；1,2 ) : E(1)E(2) (3 1 2 )]
R (1)
0
(t,
t1 )
E(t1 )dt1
因此有：
dP(1) (t T ) 0R(1) (t, t1) E(t1 T )dt1
P(1) (t T )
R(1)
0
(t,
t1)
E(t1
T
)dt1
R(1)
0
各向同性、各向异性
各向同性、各向异性理解1、orthotropic和anis otrop ic的区别isotro pic各向同性orthot ropic正交各向异性的anisot ropic各向异性的uniaxi al单轴的我只说一下o rthotropic和anis otropi c的区别:orthot ropic主要是材料在不同垂直方向上有着不同的物理性质和参数,意思就是如果处在同一个角度的平面上,那么同平面的材料是具有着相同的物理性质的.anisot ropic则是完全有方向角度决定的物理参数,只要方向有不同,物理性质则完全不同.2、各向同性和各向异性物理性质可以在不同的方向进行测量。
如果各个方向的测量结果是相同的,说明其物理性质与取向无关,就称为各向同性。
如果物理性质和取向密切相关，不同取向的测量结果迥异，就称为各向异性。
造成这种差别的内在因素是材料结构的对称性。
在气体、液体或非晶态固体中，原子排列是混乱的,因而就各个方向而言,统计结果是等同的，所以其物理性质必然是各向同性的。
而晶体中原子具有规则排列，结构上等同的方向只限于晶体对称性所决定的某些特定方向。
所以一般而言，物理性质是各向异性的。
例如，α－铁的磁化难易方向如图所示。
铁的弹性模量沿[111]最大(7700kgf/mm),沿[100]最小(6400kg f/mm)。
对称性较低的晶体（如水晶、方解石）沿空间不同方向有不同的折射率。
而非晶体(过冷液体)，其折射率和弹性模量则是各向同性的。
晶体的对称性很高时，某些物理性质(例如电导率等)会转变成各向同性。
当物体是由许多位向紊乱无章的小单晶组成时，其表观物理性质是各向同性的。
一般合金的强度就利用了这一点。
倘若由于特殊加工使多晶体中的小单晶沿特定位向排列（例如金属的形变“织构”、定向生长的两相晶体混合物等），则虽然是多晶体其性能也会呈现各向异性。
各向同性
各向同性、各向异性理解1、orthotropic和anisotropic的区别isotropic各向同性orthotropic正交各向异性的anisotropic各向异性的uniaxial单轴的我只说一下orthotropic和anisotropic的区别:orthotropic主要是材料在不同垂直方向上有着不同的物理性质和参数,意思就是如果处在同一个角度的平面上,那么同平面的材料是具有着相同的物理性质的.anisotropic则是完全有方向角度决定的物理参数,只要方向有不同,物理性质则完全不同.2、各向同性和各向异性物理性质可以在不同的方向进行测量。
如果各个方向的测量结果是相同的,说明其物理性质与取向无关,就称为各向同性。
如果物理性质和取向密切相关，不同取向的测量结果迥异，就称为各向异性。
造成这种差别的内在因素是材料结构的对称性。
在气体、液体或非晶态固体中，原子排列是混乱的,因而就各个方向而言,统计结果是等同的，所以其物理性质必然是各向同性的。
而晶体中原子具有规则排列，结构上等同的方向只限于晶体对称性所决定的某些特定方向。
所以一般而言，物理性质是各向异性的。
例如，α－铁的磁化难易方向如图所示。
铁的弹性模量沿[111]最大(7700kgf/mm),沿[100]最小(6400kgf/mm)。
对称性较低的晶体（如水晶、方解石）沿空间不同方向有不同的折射率。
而非晶体(过冷液体)，其折射率和弹性模量则是各向同性的。
晶体的对称性很高时，某些物理性质(例如电导率等)会转变成各向同性。
当物体是由许多位向紊乱无章的小单晶组成时，其表观物理性质是各向同性的。
一般合金的强度就利用了这一点。
倘若由于特殊加工使多晶体中的小单晶沿特定位向排列（例如金属的形变“织构”、定向生长的两相晶体混合物等），则虽然是多晶体其性能也会呈现各向异性。
硅钢片就是这种性质的具体应用。
介于液体和固体之间的液晶，有的虽然分子的位置是无序的，但分子取向却是有序的。
材料科学中的各向异性研究
材料科学中的各向异性研究在材料科学中，人们经常遇到各向同性和各向异性的问题。
各向同性是指在各个方向上性质相同，各向异性则指在不同方向上物质性质存在差异。
各向异性多数情况下是由于内部结构因素引起的，如晶体结构、分子排列等。
因此，在材料科学中，研究各向异性对于材料性能的影响和适应各项需要的要求至关重要。
1. 各向异性研究在材料设计中的应用在研发材料时，对于材料的性能要求通常都是各向同性的，但在实际应用中，各向异性却十分常见。
例如，我们对于一种材料的强度、硬度等性能要求高，但若只从晶体结构角度出发，该材料的骨架只在某些方向上具有很强的性能，而在其他方向上则相对较弱。
这样就需要研究材料各向异性对于性能的影响，重新设计其中的晶体结构、分子排列来实现性能的提高，使材料能够满足真实需求。
2. 各向异性对材料力学性能影响的研究材料的力学性能，如弹性模量、泊松比、剪切模量等，均与其各向同性相关。
当材料出现各向异性时，力学性能也就会有变化。
例如，某些材料由于晶体结构的原因，在某个方向上的弹性模量可能远大于在另一个方向上的弹性模量，这就使得材料在受力时呈现出不同的变形模式，从而导致了材料不同的应力响应行为。
这样的影响在材料力学性能研究上显得尤为重要。
3. 各向异性对材料传输性质的影响各向异性对于材料的传输性质也有很大的影响。
例如，金属材料中存在着一些非球形的晶粒，在传热传电时会形成各向异性；木材由于其植物纤维的排列方式也表现出相应地各向异性特征。
而通过对各向异性的研究，我们可以更好地了解材料的传输性质，有助于我们制定更科学的实验方法和方案。
4. 各向异性在材料加工中的应用目前许多新型制备技术在利用各向异性进行材料加工方面有较高的应用价值。
比如在轧制工程中，利用物涌压加工原理使金属材料中的晶粒对处理气流产生阻挡，实现快速松弛并达到相应的分散、精炼目的；而在切削加工中，通过调整加工过程中的加工参数和工具的几何形状，实现材料高效率加工、精细切削和雷竭模拟效果等操作。
一维光子晶体中电磁场传播规律的转移矩阵理论
一维光子晶体中电磁场传播规律的转移矩阵理论杨付龙【摘要】采用Maxwell电磁场理论,推导了电磁场在各向同性均匀介质中传播的波动方程,利用转移矩阵方法得到了周期性光子晶体介质中的电磁场传输特性,计算了电磁场在一维光子晶体中的透射率和反射率,为计算和分析究一维光子晶体的传输特性提供了依据.【期刊名称】《宁夏师范学院学报》【年(卷),期】2015(036)003【总页数】6页(P40-45)【关键词】光子晶体;传输矩阵;透射率;反射率【作者】杨付龙【作者单位】宁夏师范学院物理与信息技术学院,宁夏固原756000【正文语种】中文【中图分类】O431.21987年，Yablonovitch和John分别在讨论周期性电介质结构对材料中光传播行为的影响时，各自独立地提出了光子晶体的概念[1,2].自从光子晶体的概念提出以来，关于光子晶体的理论、实验和应用研究已经取得了长足的发展.其中关于光子晶体的理论研究，主要是通过求解完整周期分布的电介质中的Maxwell方程组，给出完整光子晶体的能带；或求解有缺陷的不完整周期分布的光子晶体中的Maxwell方程组，给出其缺陷态的色散关系；以及电磁场在光子晶体中的传输特性和在表面的反射、透射等多个方面[3].由于电磁场的矢量特性，光子晶体的理论模拟研究变得较为困难.近些年来，随着计算科学的发展，光子晶体的理论研究取得了很大的进展.和电子能带计算理论相比，光子晶体理论更为完善的主要原因是光子之间不存在库仑相互作用，即线性光学是单粒子问题，而这在电子能带计算中则是必须要考虑的.计算光子晶体中电磁波传播特性的常用方法，主要有时域有限差分法、多重散射法、平面波展开法和转移矩阵法等.其中转移矩阵法又称为特征矩阵法或传输矩阵法，其思想是将研究体系划分为多层，把Maxwell方程离散化，通过边界条件将各层中的电磁场，用一个传输矩阵联系起来.然后依据初始条件，从第一层开始逐层计算各层电磁场的分布规律，最后得出电磁场在整个介质体系中的分布特性[4,5].转移矩阵法因其具有计算简单、精确度高等特点，受到了研究人员的广泛关注.本文采用Maxwell电磁场理论,推导了平面电磁场在均匀各向同性介质中传播的波动方程，利用转移矩阵方法得到了周期性光子晶体介质中电磁场的传播特性，计算了电场在一维光子晶体中的透射率和反射率.Maxwell方程组是决定光子晶体内电磁波传播规律的根本方程，研究光子晶体的实质就是研究电磁场在周期介质中的传播规律.下面根据Maxwell方程组,推导电磁波在光子晶体中传播的基本微分方程.电磁波在光子晶体中的传播特性，可由下列Maxwell方程组来精确描述式中E为电场强度，H为磁场强度，B为磁感应强度，D为电位移矢量，J为电流密度，ρ为电荷密度.介质与电磁场的本构方程或物质方程，可以表示为式中ε和μ为二阶张量，分别称为介电张量和磁导率张量，在许多情况下，可以假定量ε和μ与场强无关；ε0和μ0分别为真空中的电容率和磁导率；P和M分别为电极化矢量和磁极化矢量.在各向同性介质材料中时，上述张量可以简化为标量；而在色散介质或者各向异性介质，其表达式一般为矩阵向量形式，较为复杂.为简化推导，只考虑均匀各向同性介质的情况.在同一种介质中，介电张量ε和磁导率张量μ为常数.因为光子晶体是由不同折射率的介质材料，按一定排列方式周期性分布构成的，所以ε和μ为位置的函数.在无空间电荷和电流的情况下，可以得到将(2)、(3)、(4)式带入(1)式Maxwell方程组，可以得到将方程组(5)式中的第1式两边取旋度，再将第(2)式代入，得根据矢量等式得再采用矢量等式×(εE)=ε(·E)+E·ε，且利用物质方程，上式可以写为式中E电场强度，ε和μ是随位置变化的函数，由光子晶体的介质分布决定.上式即为电场E的波动方程.同样，可以得到磁场强度H的波动方程为对于各向同性的均匀介质，参量ε和μ的梯度为零，于是上述波动方程可以简化为这是Maxwell方程转换为电场和磁场矢量分量后，电场强度E和磁场强度H分别满足的偏微分方程，即电磁波在光子晶体中传播时的基本微分方程.电场在一维光子晶体中的传播，将物质方程代入(6)式，得到电场强度E满足的方程为式中E(z,t)和P(z,t)分别是电场强度和电极化强度.由于各向同性均匀介质中传播的电场，可以表示为多个不同频率的平面波的线性叠加，所以将电场强度E(z,t)表示为Fourier分量的形式则在线性响应近似条件下，相应的电极化强度可以表示为将(9)和(10)代入(8)式，得上式中ε(z,ω)=1+χ(z,ω).选取电场的传播方向为z轴方向，则光子晶体的层界面为x-y平面.假设电场垂直入射在光子晶体上，则电场的极化沿x轴，则上式化简得由此可以得出第j层电场Ej(z,ω)所满足的场方程为式中代表第j层介质的折射率.方程(11)式的一般解可表示为同理，由方程，可得到磁场Bj(z,ω)的表示式为磁场的极化方向沿z轴.定义ψ1j(z,ω)=Ej(z,ω)和ψ2j(z,ω)=icBj(z,ω)，则电磁场可由2个波矢分量来表示从方程(12)、(13)和(14)可以得到同一层内的ψ j(z+Δz,ω)和ψj(z,ω)，由转移矩阵连接起来，得由eiα=cosα+isinα得(12)和(13)的形式如下于是化简得写成矩阵形式由(15)知由边界连续条件，在任何位置的ψ(z,ω)和ψ(z0,ω)满足以下矩阵关系式中由边界条件决定.假定电场是从z<0的区域入射，在这一区域，电场是前行波和后行波的叠加，即在位置z = 0的入射端而z =zN的出射端式中 ns 为衬底的折射率，假设连接光子晶体的出射端和入射端的矩阵为XN(ω)，则有式中矩阵.根据(15)、(21)和(22)式，可得出式中t(ω)为透射系数，r(ω)为反射系数，详细计算式可以分别表示为于是，光子晶体对电场的反射率和透射率分别为一般情况下，电场的初始状态Ei(0,ω)是已知的，由转移矩阵方法就可以得到光子晶体中任何位置的电场分布状况.研究电磁场在光子晶体中的传播规律,是光子晶体理论研究的一项基础工作.常见的光子晶体理论计算方法有多种，这些方法也都各有其优缺点.转移矩阵法把求解光子晶体带隙的计算，转化为本征值的求解问题，具有计算简单、精确度高等特点.本文推导了电磁场在各向同性均匀介质中的传播微分方程，利用转移矩阵方法得到了周期性光子晶体介质中电磁场的传播特性,进而得出了电场在一维光子晶体中的透射率和反射率.该传输矩阵理论推导方法除适用于传统的正折射率介质材料外，还适用于负折射率介质、单负介质和其他介质材料的一维光子晶体的理论计算. [1]YablonovichE.Inhibitedspontaneousemissioninsolidstatephysicsandlectonics[J].Phys.Rev.Lett.,1987,58(20):2059-2061.[2]JohnS.Stronglocationofphotonsincertaindisorderdielectricsuper-lattices[J].Phys.Rev.Lett.,1987,58(23):2486-2489.[3] 刘碧蕊.含负折射率材料光子晶体耦合腔的传输特性[J].宁夏大学学报:自然科学版,2010,31(3):231-234.[4]LiuNianhua，ZhuShiyao，ChenHong，etal.Superluminalpulsepropagationthoughone-demensionalphotoniccrystalswithadispersivedefect[J].Phys.Rev.E.,2002，65(4):046607.[5] 刘碧蕊.可用于光通信的一维光子晶体特性的研究[D].西安电子科技大学,2007.(SchoolofPhysicsandInformationTechnology，NingxiaNormalUniversity，Guyuan，Ningxia 756000)Key words Photonic crystal; Transfer matrix; Transmisivity; Reflectivity。
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爱因斯坦振子
爱因斯坦曾经利用量子理论,成功解释了固体热容量随温度
下降的实验事实.爱因斯坦将固体中原子的热运动看成3N个谐振
子的振动，并假设这3N个振子的频率w 相同. 振子能级为
n
(n
1 )w
2
(8)
我们认为,对于线性各向同性
晶体在外电场作用下的极化响应
问题，晶体中离子的振动同样符
合爱因斯坦模型.例如NaCl晶体，
3. NaCl 晶体在外电场中的极化率与极化强度
电场强度一般地是位置的函数，记为E(x)．根据晶格对称 性和电荷的对称性，我们讨论晶体中的Na＋离子.
设一个Na＋离子位于晶体中x 处，则离子的哈密顿量为
H H0 H
(9)
其中
H0
2
2
2
1 2
w 2 2
H eE(x)
(10)
这里, 是Na＋的质量, 是相对于平衡位置的距离.
外电场对谐振子能级的影响
考虑第 i 个自由度,有
(0) ni
(ni
1 )w
2
,
i 1,2,3
(11)
由矩阵元公式
xnn
[
w
n
1
2
nn1
n 2
nn
1 ]
(12)
可求出准确到二级微扰近似下的能量
2
记为L
L cosq exp(p0E cosq / kT)cosqd coth(p0E ) kT
exp(p0E cosq / kT)d
kT p0E (2)
在弱场作用下,即当 p0 E kT 时,有
L cosq p0 E
(3)
3kT
将(3)代入(1),得气体和液体取向极化导致的极化强度为
W - p E - pEcosq
q 为p与E之间的夹角.
朗之万(Langevin)根据波尔兹曼分布定律,给出在外电场作 用下,气体和液体的取向极化所导致的极化强度
P0 N0 p0 cosq
(1)
P0 ——分子固有电偶极矩
N0 ——单位体积内被取向极化的分子数
<cosq > ——热平衡分布下cosq 的平均值,称为朗之万函数,
主要表现在两个方面：
（1）朗之万-德拜理论给出的取向极化率反比于温度:
0
p
2 0
3kT
但是,对于离子晶体，极化率随温度变化很小,例如对于NaCl
晶体,约为3.4×10-41/K.
（2）对于各向异性晶体的极化问题,朗之万-德拜理论更 不能解释.
2.晶体极化机制应由量子理论和统计物理解释
实践表明——介质的极化响应,决定于: 介质的内部结构 作用外场的强度、频率，以及温度 即使作用外场的强度、频率，以及温度相同，不同结构的介质, 也有不同的极化响应. 极化强度所反映的，是在外电场作用下大量分子极化这一 微观现象所表现出来的统计性质. 因此,必须根据介质的具体结构,利用量子理论和统计物理, 才能对各种介质的极化响应给出合理解释.
每个离子的一个自由度的振动能
量也符合式(8)，如图(1)所示.
图（1）NaCl晶体结构示意图
下面,我们从量子理论出发并根据统计理论,把外电场 对晶体离子的影响看成是对谐振子的微扰项,即晶体受到弱 场作用.
首先给出线性各向同性晶体,例如NaCl 晶体在外电场 作用下极化强度的表达式,再把这一结果推广到各向异性晶 体.
1 )w
2
e2 Ei2
2w 2
]
(14)
晶体为定域系统,在满足经典极限条件下,遵从玻尔兹曼统计.于
是得到Na＋的配分函数
Z
e b n1n2n3
n1,n2 ,n3
ebw / 2 1 ebw
3 exp[
i
(
be2Ei2 2w 2
)]
(15)
其中b 1/kT. 外界对系统的广义作用力Y 为
目录
1. 朗之万-德拜(Langevin-Debye)极化理论及其局限性 2. 晶体极化机制应由量子理论和统计物理解释 3. NaCl 晶体在外电场中的极化率与极化强度 4. 各向异性晶体的极化 5. 结语
1. 朗之万-德拜(Langevin-Debye)极化理论 及其局限性
我们知道,一个电矩为p 的电偶极子在电场E 中的势能为
Y N lnZ
(16)
其中y为广义坐标, N为分子数.
b y
极化过程中电场对介质做的元功,转化为介质在电场中的能量
W P dEPi , y Ei
(18)
得Na＋对总的极化强度的 i 分量的贡献
Pi
n
b
Ei
lnZ
n
b
1 Z
以Ne表示单位体积内电子极化的分子数,
Ni表示单位体积内离子极化的分子数,
N0 表示单位体积内取向极化的分子数.
朗之万-德拜由经典统计物理给出的极化强度为
P Ne pe Ni pi N0 p0
(Nee Nii N00 )E
(7)
朗之万-德拜极化理论的局限性
朗之万-德拜极化理论成功解释了极性分子气体和液体的 极化，但是却不能解释晶体极化问题.
P0 N00 E
(4)
其中
0
p02 3kT
(5)
称为每一分子的平均取向极化率.
在同时出现电子极化,离子极化和取向极化的一般情形下, 对于气体和液体电介质,朗之万-德拜(Langevin-Debye)方程给 出每一分子的平均极化率
e i 0
(6)
其中 e 是电子极化率, i 是离子极化率, 0 是取向极化率.
Z Ei
ne2
w 2
Ei
(19)
其中n为Na＋离子数密度．
作类似讨论，可得Cl－离子对总的极化强度的i 分量的贡献
Pi
ne2
w 2
Ei
(20)
其中， 为Cl－离子的质量，w 为Cl－离子的爱因斯坦频率．
推广到三维情形，可以得到总极化强度为
Pt
(
ne2
w 2
ne2
w 2
)
E
(21)
于是，我们得到极化率 的表达式
ne2
w 2
ne2
w 2
(22)
由式(22)可看出，极化率正比于离子数密度n ，且正比于离子
ni
(0) ni
H nini
H niki
ki
ni
(0) ni
ε
(0) ki
2
(ni
1 )w
2
e2 Ei2
w
ki ni
xkini
ni ki
(ni
1 )w
2
e2 Ei2
2w 2
(13)
每一个Na＋离子的能级为
n1n2n3
i
[(ni