第三章行列式B
高等代数第3章第4节行列式按行展开
定理3.4.1 若在一个n阶行列式
a11 ⋯ a1 j ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ D = ai1 ⋯ aij ⋯ ain ⋮ ⋮ ⋮ an1 ⋯ anj ⋯ ann
中，第 i 行(或第 j 列)的元素除aij 外都是零，那么这个行 列式等于aij 与它的代数余子式Aij 的乘积： 证明：
D = aij Aij .
0
−2
3
0
5 1 −2
−1 4 5 −1 4 −1 2 3 1 + (−1) ⋅ (−1) 4+1 2 3 3 = 92 3 1 −2 3 1 0
17
解法二： 按第三列展开
1 −1 D= 2 3
2 0 −1 4 −1 5 3 3 1 1 0 −2
1 2 −1
= 0 + (−1) ⋅ (−1) 2+3 2 3
10
⋮ ⋯ aij
⋮
得 由命题3.3.2，行列式互换两行（列）行列式变号，
D = (−1) i + j −2
aij a1 j ⋮ ai −1, j ai +1, j ⋮ anj
0 a11 ⋮ ai −1,1 ai +1,1 ⋮ an1
⋯ ⋯
0
0
a1, j −1 a1, j +1 ⋮ ⋮ ⋯ ai −1, j −1 ai −1, j +1 ⋯ ai +1, j −1 ai +1, j +1 ⋮ ⋮ ⋯ an, j −1 an, j +1
a21 M12 = a31 a41 A12 = ( −1)
a23 a33 a43
1+ 2
a24 a34 a44
M12 = − M12 M 44 = M 44
武汉科技大学线性代数练习册答案
第三章 行列式及其应用§3-1 行列式的定义一、填空题。
1、行列式a b c d=__ad bc -___;112213141---=____-24____. 2、行列式1111121212000000a a a a b b c c d d =______0_____.3、已知行列式1111111111111111D -=-----,则32M =___4__;32A =___-4__.4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_.5、4阶行列式中含1331a a 且符号为负的项是____13223144a a a a -____.二、选择题。
1、方程0110001x x x=的实根为__C___.（A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2.2、若n 阶行列式中零元素的个数大于2n n -，则此行列式的值为__A__.（A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2. 3、排列396721584的逆序数为__C__.（A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）214、n 阶行列式00102000D n =的值为__D ___.（A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!nn -; （D ）(1)2(1)!n n n --.5、行列式312111321111x xx x x--中4x 的系数为__A____.(A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3.三、计算下列行列式1、12110001-解：3331212110(1)(1)111001r +--=-按展开2、1010120012301234解：44432101010112004(1)12012301231234101412024003r r +--=按c 展开3、11321011230112--解：4141132113010111013223012303102101300133033c c --------=--按r 展开四、设排列12n a a a 的逆序数为k ，证明排列11n n a a a - 的逆序数为(1)2n n k --. 证明：设i a 在排列12n a a a 的逆序数为i k ，则12n k k k k +++= ，且i a 在排列11n n a a a - 的逆序数为i t ，则i i i k t n a +=-， 所以，i i i t n a k =--，所以，排列11n n a a a - 的逆序数为12112122122(1)()()2n n n n n n a k n n n t t t n a k n a k a a k k a k k ---=--+++=--+--++++++++=-（另解：因为12n a a a 中的任两个不同的元素,i j a a 必在排列12n a a a或排列11n n a a a - 中构成逆序且只能在其中一个中构成逆序，所以 排列12n a a a 和11n n a a a - 的逆序数之和等于从n 个元素中任取两个 不同数的组合数kn C ，即11n n a a a - 的逆序数为(1)2n n k --.）§3-2 行列式的性质与计算一、填空题。
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结第一章 行列式 二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ奇偶排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换,其值不变.转置行列式T D D = ②行列式中某两行列互换,行列式变号.推论：若行列式中某两行列对应元素相等,则行列式等于零. ③常数k 乘以行列式的某一行列,等于k 乘以此行列式. 推论：若行列式中两行列成比例,则行列式值为零； 推论：行列式中某一行列元素全为零,行列式为零. ④行列式具有分行列可加性⑤将行列式某一行列的k 倍加到另一行列上,值不变 行列式依行列展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零.克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时,则只有零解逆否：若方程组存在非零解,则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:3331222113121100a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零,..化为三角形行列式⑤上下三角形行列式: 行列式运算常用方法主要行列式定义法二三阶或零元素多的 化零法比例化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：n m A *零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵矩阵的运算：加法同型矩阵---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA,不满足消去律；由AB=0,不能得A=0或B=0转置A A T T =)( T T T B A B A +=+)( T T kA kA =)( T T T A B AB =)(反序定理 方幂：2121k k k k A A A +=2121)(k k k kA A +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵,k 是数,则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵 数量矩阵：相当于一个数若…… 单位矩阵、上下三角形矩阵若…… 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0 分块矩阵：加法,数乘,乘法：类似,转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵,若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的, B A =-1非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵 初等变换1、交换两行列 2.、非零k 乘某一行列3、将某行列的K 倍加到另一行列初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的对换阵 倍乘阵 倍加阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r矩阵的秩rA ：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆,则满秩 若A 是非奇异矩阵,则rAB=rB 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样,矩阵不一样；行列式最终是一个数,只要值相等,就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=,行列式n ij nn ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆,则其逆矩阵是唯一的.矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的,且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的,且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置T A 也是可逆的,且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的,且111)(---=A B AB 但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆,即使可逆,但11)(--+≠+B A B AA 为N 阶方阵,若|A|=0,则称A 为奇异矩阵,否则为非奇异矩阵. 5、若A 可逆,则11--=A A伴随矩阵：A 为N 阶方阵,伴随矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211*A A A A A 代数余子式 特殊矩阵的逆矩阵：对1和2,前提是每个矩阵都可逆1、分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O B A D 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----11111C O BC A AD 2、准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A A A A A , 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-----141312111A A A A A 3、 I A A A AA ==** 4、1*-=A A A A 可逆 5、1*-=n A A 6、()()A AA A 1*11*==--A 可逆7、()()**T TA A = 8、()***AB AB =判断矩阵是否可逆：充要条件是0≠A ,此时*11A AA =- 求逆矩阵的方法：定义法I AA =-1伴随矩阵法AA A *1=-初等变换法()()1||-=A I I A n n 只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系： 设()nm ij aA *=是mn 阶矩阵,则对A 的行实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同等的m 阶初等矩阵左乘以A ：对A 的列实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A 行变左乘,列变右乘第三章 线性方程组消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵rAB=rB=r 当r=n 时,有唯一解；当n r ≠时,有无穷多解 rAB ≠rB,无解齐次线性方程组：仅有零解充要rA=n 有非零解充要rA<n 当齐次线性方程组方程个数<未知量个数,一定有非零解 当齐次线性方程组方程个数=未知量个数,有非零解充要|A|=0齐次线性方程组若有零解,一定是无穷多个N 维向量：由n 个实数组成的n 元有序数组.希腊字母表示加法数乘 特殊的向量：行列向量,零向量θ,负向量,相等向量,转置向量 向量间的线性关系: 线性组合或线性表示向量组间的线性相关无：定义179P向量组的秩：极大无关组定义P188定理：如果rj j j ααα,.....,21是向量组s ααα,.....,21的线性无关的部分组,则它是 极大无关组的充要条件是：s ααα,.....,21中的每一个向量都可由rj j j ααα,.....,21线性表出.秩:极大无关组中所含的向量个数.定理：设A 为mn 矩阵,则r A r =)(的充要条件是：A 的列行秩为r.现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注：两个向量αβ,若βαk =则α是β线性组合单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合 向量组间的线性相关无注： n 个n 维单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关,零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例,则他们一定线性相关向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T Tn TTTnTTr r βαααααα=判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设n k k k ....21,求n k k k ....21适合维数低的2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关,整体无关则部分无关3、分量法n 个m 维向量组180P ：线性相关充要n r Tn T T <⇒)....(21ααα 线性无关充要n r T n T T =⇒)....(21ααα推论①当m=n 时,相关,则0321=T T T ααα；无关,则0321≠T T T ααα ②当m<n 时,线性相关推广：若向量s ααα,...,21组线性无关,则当s 为奇数时,向量组13221,...,αααααα+++s 也线性无关；当s 为偶数时,向量组也线性相关.定理：如果向量组βααα,,...,21s 线性相关,则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出,且 表示法唯一的充分必要条件是s ααα,...,21线性无关. 极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的,但他们所含向量的个数是确定的；不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的. 齐次线性方程组I 解的结构：解为...,21αα I 的两个解的和21αα+仍是它的解； I 解的任意倍数αk 还是它的解；I 解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解,s c c c ,...,21是任意常数.非齐次线性方程组II 解的结构：解为...,21μμII 的两个解的差21μμ-仍是它的解；若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的一个解,则u+v 是II 的一个解. 定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(,则该方程组的基础解系存在,且在每个基础解系中,恰含有n-r 个解.若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的全部解,则u+v 是II 的全部解.第四章 向量空间向量的内积 实向量定义：α,β=n n T b a b a b a +++=....2211αβ 性质：非负性、对称性、线性性 α,k β=k α,β; k α,k β=2k α,β;α+β,δγ+=α,γ+α,δ+β,γ+β,δ;),(),(1111j i sj j ri i j sj j ri i i l k l k βαβα∑∑∑∑===== n R ∈δγβα,,,,向量的长度),(ααα=0=α的充要条件是α=0；α是单位向量的充要条件是α,α=1单位化 向量的夹角正交向量：αβ是正交向量的充要条件是α,β=0 正交的向量组必定线性无关 正交矩阵：ｎ阶矩阵Ａ I A A AA T T ==性质：1、若A 为正交矩阵,则Ａ可逆,且T A A =-1,且1-A 也是正交矩阵；２、若A 为正交矩阵,则1±=A ；３、若A 、Ｂ为同阶正交矩阵,则ＡＢ也是正交矩阵； ４、ｎ阶矩阵Ａ＝ij a 是正交矩阵的充要条件是Ａ的列行向量组是 标准正交向量；第五章 矩阵的特征值和特征向量 特征值、特征向量A 是N 阶方阵,若数λ使AX=λX,即λI-A=0有非零解,则称λ为A 的一 个特征值,此时,非零解称为A 的属于特征值λ的特征向量. |A|=n λλλ...**21 注： 1、AX=λX2、求特征值、特征向量的方法0=-A I λ 求i λ 将i λ代入λI-AX=0求出所有非零解 3、对于不同的矩阵,有重根、单根、复根、实根主要学习的特殊：n I )(λ的特征向量为任意N 阶非零向量或)(21不全为零i n c c c c ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4、特征值： 若)0(≠λλ是A 的特征值则1-A --------λ1 则m A --------m λ则kA --------λk若2A =A 则-----------λ=0或1若2A =I 则-----------λ=-1或1若k A =O 则----------λ=0迹trA ：迹A=nn a a a +⋯⋯++2211性质：1、N 阶方阵可逆的充要条件是A 的特征值全是非零的2、A 与1-A 有相同的特征值3、N 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关4、5、P281相似矩阵定义P283：A 、B 是N 阶矩阵,若存在可逆矩阵P,满足B AP P =-1,则矩阵A 与B 相似,记作A~B性质1、自身性：A~A,P=I2、对称性：若A~B 则B~A B AP P =-1 1-=PBP A A BP P =---111)(3、传递性：若A~B 、B~C 则A~C B AP P =-111 C BP P =-212---C P P A P P =-)()(211214、若AB,则A 与B 同不可逆5、若A~B,则11~--B A B AP P =-1两边同取逆,111---=B P A P6、若A~B,则它们有相同的特征值. 特征值相同的矩阵不一定相似7、若A~B,则)()(B r A r = 初等变换不改变矩阵的秩例子：B AP P =-1则1100100-=P PB AO AP P =-1 A=OI AP P =-1 A=II AP P λ=-1 A=I λ矩阵对角化定理：N 阶矩阵A 与N 阶对角形矩阵相似的充要条件是A 有N 个线性无关的特征向量注：1、P 与^中的i i x λ与顺序一致2、A~^,则^与P 不是唯一的推论：若n 阶方阵A 有n 个互异的特征值,则~^A P281定理：n 阶方阵~^A 的充要条件是对于每一个i K 重特征根i λ,都有i i K n A I r -=-)(λ注：三角形矩阵、数量矩阵I λ的特征值为主对角线.约当形矩阵约当块：形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλ111J 的n 阶矩阵称为n 阶约当块； 约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n J J J J 21i J 是约当块称为约当形矩阵. 定理：任何矩阵A 都相似于一个约当形矩阵,即存在n 阶可逆矩阵J AP P =-1.第六章 二次型二次型与对称矩阵只含有二次项的n 元多项式f 称为一个n 元二次型,简称二次型. 标准型：形如 的二次型,称为标准型.规范型：形如 的二次型,称为规范型.线性变换矩阵的合同：设AB 是n 阶方阵,若存在一个n 阶可逆矩阵C,使得 则称A 与B 是合同的,记作A B.合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型：配方法、做变换二次型中不含有平方项。
03 第三节 行列式的性质
第三节 行列式的性质内容要点一、行列式的性质将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若,212222111211nnn n n n a a a a a a a a a D=则 nnnnn n T a a a a a a a a a D212221212111=.性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D =注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号.推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即.2121112112121112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nnn n in i i n nnn n in i i n ===第i 行(列)乘以k ,记为k i ⨯γ(或k C i ⨯).推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如,nnn n inin i i i i n a a a c b c b c b a a a D21221111211+++=.则21212111211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nnn n in i i n nnn n in i i n +=+=.性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变.注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +.二、行列式的计算计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例题选讲例1若21101321-=D , 则.213102011D D T=-=例2（1）012121110012110121---=--（第一、二行互换）. （2）12110211012110121---=--（第二、三列（3）072501111=（第一、二两行相等） （4）0337224112=---（第二、三列相等）例3（1）02222510211=--因为第三行是第一行的2倍.（2）07541410053820141=---因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.例4 若121013201--=D , 则D 2121013201)2(121013402-=---=---- 又 D412101320141240112204=--=--.例5 设,1333231232221131211=a a a a a a a a a 求.53531026333231232221131211a a a a a a a a a ----解 利用行列式性质，有33323123222113121153531026a a a a a a a a a ----=3332312322211312115353522a a a a a a a a a ---5)3(2⋅-⋅-=333231232221131211a a a a a a a a a15)3(2⋅⋅-⋅-=.30=例6 证明奇数阶反对称行列式的值为零. 证 设反对称行列式D 0000321323132231211312nnnn n n a a a a a a a a a a a a ------=其中),(时j i a a ji ij ≠-=).(0时j i a ij == 利用行列式性质1及性质3的推论1,有D TD=0000)1(321323132231211312nnnn nn na a a a a a a a a a a a -------=,)1(D n-=当n 为奇数时有,D D -=即.0=D例7（1）.110111311103111132+=++=（2）()1)2(1272305)2(11121272305211--+--++=----+122720521112730511---+--=. 例8 因为,12310403212213==++--+而15)40()29(02213123=+++=-+-.因此221312303212213-+-≠++--+.注: 一般来说下式是不成立的22211211222112112222212112121111b b b b a a a a b a b a b a b a +≠++++.例9（1）13201013113214113112----r r ,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去, 其值不变.（2）33204103113214113113c c +--,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去, 其值不变.例10计算行列式2150321263-=D . 解 先将第一行的公因子3提出来：,21503242132150321263-=- 再计算.1623541430201541147022154218704212718987042132150324213=⨯====----=-=D例11 计算.3351110243152113------=D解 21c c D→3315112043512131-------14125r r r r +-72160112064802131------32r r ↔72160648011202131----- 242384r r r r -+15101080011202131----3445r r +.402501080011202131＝---例12 计算.3111131111311113=D解 注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2，3，4行同时加到第1行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.D4321r r r r +++311113111131111163111131111316666= 141312r r r r r r --- .48200200002011116=注：仿照上述方法可得到更一般的结果:.)]()1([1---+=n b a b n a abbbb b a b b b b a例13计算.1111000000332211a a a a a a ---解 根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使4D 中的零元素增多.4D12c c +1121000000033221a a a a a --23c c +1321000000003321a a a a -34c c +.44321000000000321321a a a a a a =例14计算.3610363234232dc b a cb a ba ad c b a c b a b a a d c b a c b a b a a d c b aD ++++++++++++++++++=解 从第4行开始，后一行减前一行：Drr r r r r ---33412.363023200c b a b a a c b a b a a c b a b a a d c b a+++++++++3423r r r r --.20200ba aab a a ac b a b a ad c b a+++++34r r -..020004a ab a ac b a b a ad c b a=++++例15 设nnn nkn n k kk k k b b c c b b c c a a a a D1111111111110000=，,)det(,)det(1111211111nnn n ij kk k k ij b b b b b D a a a a a D====证明 .21D D D =证 对1D 作运算,j i kr r +对2D 作运算,j i kc c +可分别把1D 和2D 化为下三角形行列式.1D =kkk p p p1110;11kk p p =2D =nnn q q q1110.11nn q q =对D 的前k 行作与对1D 相同的运算,j i kr r +再对后n 列作与对2D 相同的运算,j i kc c +即把D化为下三角形行列式，且D nn kk q q p p 1111⋅=.21D D = 证毕.例16解方程.0113211232113221132111321=-+-+-+-+-------xa a a a a a a xa a a a a a a xa a a a a a a xa a a a a a a a n n n nn n n n n n n n解 从第二行开始每一行都减去第一行得),)(())((00000000000001221112211321x a a x a x a a xa xa x a x a a a a a a n n n n n n ----=---------由,0))(())((12211=------x a a x a x a a n n 解得方程的1-n 个根：.,,,,11222211----====n n n n a x a x a x a x。
线性代数B n阶行列式的概念
... ... ...
§1 .1 n 阶行列式的概念
第一章结束前必须解决的三个问题： （1）如何计算D=？ （2）当D≠0时，方程组是否有唯一解？ （3）当D≠0时，如果满足方程组有唯一解，解的形式是否 是
xj
Dj D
j 1, 2,....,n
§1 .1 n 阶行列式的概念
二、全排列及逆序数 1、全排列 定义1 把由自然数1,2,3, ……,n这n个不同数组成的有序数 组叫做n级排列，简称排列.（即一个有序数组对应一个 排列.） 例如： 2314为四级排列； 由1、2、3能组成多少没有重复数字的三位数？ 3×2×1= 3！=6 所有排列为 123 132 213 231 312 321
第一章 行列式
• §1 .1 • §1 .2
n 阶行列式的概念
行列式的性质
• §1 .3
• §1 .4
行列式按行按列展开
克莱姆（Cramer）法则
行列式简介
• 行列式(determinant)是一个重要的数学工具，它起源于求解 线性方程组，不仅在数学中有广泛的应用，在其他学科中也 经常遇到． • 行列式的概念，最早是由17世纪日本数学家关孝和提出来的 ，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是 “解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开 已经有了清楚的叙述.
三、n阶行列式的定义 定义4 由 n2 个元素 aij (i, j 1, 2,.., n)排成n行n列的数表
为n个数排列的一般项 为行列式的一般项
取不同行，不同列的n个元素的乘积，且冠上符号 ，这n!项的代数和
§1 .1 n 阶行列式的概念
三、n阶行列式的定义 称为n阶行列式，
记为D=
线性代数 行列式
同济大学
第一章 行列式
§1 二、三阶行列式
n
用消元法解线性方程组
a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2
n
得
( a11a22 − a12a21 ) x1 = b1a22 − b2a12 ( a11a22 − a12a21 ) x2 = b2a11 − b1a21
=
−
2 2 − 3 4 r3 −2 r2 , r4 + r2 = − 2 3 7 −1 5 6
2 −1 1 2 2 −1 1 2 c3 ↔ c4 0 1 4 − 3 r4 +10 r3 0 1 4 − 3 = = 0 0 −1 9 0 0 −1 9 0 = 92 0 10 2 0 0 0 92
例2
2 6 −4 D= 3 2 0 4 1 5
2 6 −4 2 6 −4 3a 2a 0 = a3 2 0 = aD 4 1 5 4 1 5
推论
n
n
n
（1）行列式某行（列）有公因式，可提 到行列式前面 （2）如果行列式两行（列）元素对应成 比例，该行列式为零 （3）如果行列式有零行（列），行列式 结果为零
a + ( n − 1)b b L a b a−b O a−b L b = [a + (n − 1)b]( a − b) n −1
=
例4
a D4 = b c a +b+c d a +b+c +d
ri −ri−1,i=4,3,2
a b =
c
d a +b+c
a a +b
0 a a +b
§2 行列式的性质与计算
j (1) ( j j j ) a1 j (aij j j
1 2 n 1 1 2 n
i
biji ) anjn
a11 a12 a1n a11 a12 a1n ( 1) ( j j j ) a1 j aij anj j j j ai 1 ai 2 ain bi 1 bi 2 bin ( j j j ) ( 1) a1 j bij anj j j j an1 an 2 ann an1 an 2 ann
a1 p1 aip j a jpi anpn
p p (1) p p
( p1 p j pi pn )
D
§2 行列式的性质与计算
推论1 如果行列式中有两行（列）相同，那么
该行列式为零． 比如：
1 2 3 1 2 3 4 5 6
r1 r2
1 2 3 1 2 3 4 ห้องสมุดไป่ตู้ 6
3、再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下 的低一阶行列式； 4、如此继续下去，直至使它成为上三角形行列式， 这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.
§2 行列式的性质与计算
二、应用举例
例1. 计算行列式
0 1 D 1 2 2 2 0 0
1 1 2 1
1 0 1 1
2 2 0 0 1 1 1 3 0 1 1 1 2 2 2 4
§2 行列式的性质与计算
a b c d a ab abc abcd r3 r2 ( 1) 0 a 2a b 3a 2b c 0 a 3a b 6a 3b c
a 0 r2 r1 ( 1) 0 0
a r4 r3 ( 1) 0 0 0
行列式觧法
0 0 2 2 0
1 3 3 2 0
0 0 4 0 0
2⎤ 0⎥ ⎥ 5 ⎥. ⎥ 0⎥ 3⎥ ⎦
选择在第 4 行下之拉普拉斯展开式的行列式之值为:
det( A) = ∑ (−1) i + 4 ai 4 det( Ai 4 ) = ( −1) 3+ 4 a34 det( A34 )
i =1
5
0 1 2⎤ 0 3 0⎥ ⎥ 2 2 0⎥ ⎥ 0 0 3⎦ Use Sarrus’s rule Expand down column 2 ⎡ 1 1 2⎤ ⎥ = −4 ⋅ −2 ⋅ (9 + 27 − 30) = 48 = −4 ⋅ −2 ⋅ det ⎢ − 9 3 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ 5 0 3⎥ ⎦
a12 a 22 M ai 2 M an2
L L L L
a1 j a2 j M a ij M a nj
L L L L
a1 n ⎤ a2n ⎥ ⎥ ⎥ ⎥. a in ⎥ M ⎥ ⎥ a nn ⎥ ⎦
因此利用子行列式，则矩阵 A 之行列式之值 det(A)，可写为
det(A) = a11 det(A11) − a12 det(A12 ) + a13 det(A13 )
定义: 沙乐氏规则( Sarrus’s rule) 求解 3x3 矩阵 A 之行列式值为，将矩阵 A 之第一及第二行元素复制至第 三行之右边，然后沿着六个对角化元素做相乘运算，其方式如下:
-
⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ ⎣ a31
a12 a22 a32
-
-
a13 ⎤ a11 a23 ⎥ ⎥ a21 a33 ⎥ ⎦ a31
例题 6: 使用拉普拉斯展开式，求解下列矩阵之行列式值?
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解：D 0 2 3 1 0 1 25 2 0 2 3 1
0 4 1 4 0 4 1 4 0
02 35 0 2 350
5 3 1 2
2 3 1
125 2 0 2
3
1 2 5 4 1 4
0 4 1 4
2 35
02 35
➢ 我们为什么要学习行列式？
行列式应用广泛，在数学、工程技术以及经济学中都有 极其广泛的应用。
➢ 行列式为什么应用如此广泛呢？
主要是因为矩阵的广泛应用，而行列式之于矩阵，就像 判别式Δ之于一元二次方程。当我们知道判别式的值就 可以知道方程是否有根，有实根还是虚根。类似地，当 我们知道矩阵的行列式的值时，我们能获取有关矩阵的 关键信息，比如，矩阵是否可逆？矩阵的秩是多少？等 等。
4 6 32 4 8 24
14.
➢ 下面我们利用递归方法将二阶、三阶行列式的概念推广 到n阶行列式情形.
➢ 为此我们给出余子式、代数余子式的定义。
➢定义：在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去 后，留下来的 n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作 Mij . 把 Aij = (−1)i+j Mij 称为元素 aij 的代数余子式．
a11 a12 a13
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 , ka21 ka22 ka23
a31 a32 a33
a31 a32 a33
D1 kD.
➢备注：我们也将行列式的这种变换分别记为：
行变换： kri 列变换： kci
推论2：行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外面．
= a11a22...ann
an3 K ann
➢例3.6. 计算上三角行列式
a11 a12 a1n 0 a22 a2n
0 0 ann
解: 我们将行列式按第1列元素展开:
a11 a12 a1n
0 a22 a2n
a11a22 ann .
0 0 ann
D a21 a22 L a2n , DT a12 a22 L an2
M MO M
M MO M
an1 an2 L ann
a1n a2n L ann
根据行列式的定义，有
D a11A11 a12 A12 a1n A1n
DT a11B11 a12B21 an1Bn1 a11A11T a12 A12T a1n A1nT
D
a11 a12 a13
D a21
a22
a 23
a11(1)2
a22 a32
a23 a33
a12
(1)3
a21 a31
a23 a33
a13(1)4
a21 a31
a22 a32
a31 a32 a33
a11 DT a12
a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11(1)2
D det(aij ) 0 2 0 6, D1 det(bij ) 0 0 3 6
003
020
D D1 推论1：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列 式为零.
✓证明：互换相同的两行，有 D = −D ，所以 D = 0 ．
➢性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同 一个倍数 k ，等于用数 k 乘以此行列式．
DT a11B11 a12B21 an1Bn1
a11A11T a12 A12T a1n A1nT D
➢性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号．
备注：交换第 i 行（列）和第 j 行（列），记作
✓例：
ri rj (ci c j )
100
100
an1 an2 ann
n
a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj akj Akj
k 1
j 1,2, , n
注意: 由此定理,在计算行列式的值时,可以按它的 任一行(或列)展开.为计算方便起见,我们一般选择
有较多0元素的行(或列)展开.
a12 a22 =
11 22
12 21
当n>2时,
a11 a12 K
A = a21 a22 K
MM
an1 an2 K
a1n
n
a2n
M
a11A11 a12 A12 L
L
a1n A1n
a1 j A1 j
j1
ann
A 也可简记为 det A 或 aij
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a31 a32 a33
➢三阶行列式的计算
对角线法则
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
橙线上三元素的乘积冠以正号，绿线上三元素的乘积冠 以负号．
可以看到无论是下三角阵还是上三角阵，其行列式的结 果均为为主对角线元素之积.
➢行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为 低阶行列式计算的重要工具.
n
D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain aik Aik
k 1 n
i, j 1,2, , n
a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj akj Akj
k 1
在按行、按列展开时，建议挑选含零最多的行、列！
5 3 1 2 0 1 7 252 ➢例3.7.计算行列式 D 0 2 3 1 0 0 4 1 4 0 0 2 350
5 3 1 2 0 5 3 1 2
a11 a12 a1n
n 行列式可以按第i行元素展开: D a21 a22 a2n
n
an1 an2 ann
ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain aik Aik
i 1,2, ,n k1
n 阶行列式也可以按第j 列展开：
a11 a12 a1n D a21 a22 a2n
3 5 3
➢例3.3. 计算行列式
D 0 1 0
7 72
解：按第一行展开，得
D 3(1)11 1 0 (5) (1)12 0 0
72
72
3(1)13 0 1 6 0 21 27.
77
解：注意到第二行零元素较多，按第二行展开，得
D
0 A21
推论3. 对 n 阶行列式及数k, 有 kA kn A
➢例3.9. 证明：奇数阶反对称矩阵的行列式的值等于 零．
证: 设A为n阶反对称矩阵，即 AT = A,n为奇数
由性质1及性质3，有:
A AT A (1)n A A 所以 A 0
推论4. 若有两行（列）元素对应成比例，则行列式等 于零。
a21 A21 a22 A22 a23 A23
a31 A31 a32 A32 a33 A33
➢我们将行列式按第1行元素展开的定义式推广,得到行列 式按任意行(或列)展开的定理.
➢定理3.1. n阶行列式 D = aij 等于它的任一行(任一列)
的每个元素与它们所对应的代数余子式乘积之和,即:
20 (42 12) 1080.
§3.2 行列式的性质
➢当n 较大时,求n阶行列式值的计算量是很大的.一般地, 我们可以利用行列式的性质来简化行列式的计算.
a11 a12 L a1n
a11 a21 L an1
➢记 D a21 a22 L a2n , DT a12 a22 L an2
M MO M
M MO M
an1 an2 L ann
a1n a2n L ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式．
A D DT AT
行列式中行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是 对行成立的对列也同样成立．
➢性质1：行列式与它的转置行列式相等．
a11 a12 L a1n
a11 a21 L an1
(1)(1)22
3 7
3 2 0 A23
0 27 0 27.
➢例3.4. 计算对角行列式
0001 0020 0300 4000
0001 0020
0 3 0 0 24.
4000
解：0 0 0 1
002
0 0 2 0 (1)14 1 0 3 0
0300
400
4000
(1)13 2 0 3 40
2 (1) 3 4 24
D N
an1
a2,n1
a1n
n( n1)
(1) 2 a1na2,n1 L an1
a11 0 0 K 0
➢例3.5. 计算n阶下三角行列式 D a21 a22 0 K 0
MMM
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
1 2 -4 ➢例3.2. 计算三阶行列式 D - 2 2 1
-3 4 -2 解： 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4
11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
a11 a12 a13 a14 例如： D a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44