第三章行列式
高等代数第3章第4节行列式按行展开
定理3.4.1 若在一个n阶行列式
a11 ⋯ a1 j ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ D = ai1 ⋯ aij ⋯ ain ⋮ ⋮ ⋮ an1 ⋯ anj ⋯ ann
中，第 i 行(或第 j 列)的元素除aij 外都是零，那么这个行 列式等于aij 与它的代数余子式Aij 的乘积： 证明：
D = aij Aij .
0
−2
3
0
5 1 −2
−1 4 5 −1 4 −1 2 3 1 + (−1) ⋅ (−1) 4+1 2 3 3 = 92 3 1 −2 3 1 0
17
解法二： 按第三列展开
1 −1 D= 2 3
2 0 −1 4 −1 5 3 3 1 1 0 −2
1 2 −1
= 0 + (−1) ⋅ (−1) 2+3 2 3
10
⋮ ⋯ aij
⋮
得 由命题3.3.2，行列式互换两行（列）行列式变号，
D = (−1) i + j −2
aij a1 j ⋮ ai −1, j ai +1, j ⋮ anj
0 a11 ⋮ ai −1,1 ai +1,1 ⋮ an1
⋯ ⋯
0
0
a1, j −1 a1, j +1 ⋮ ⋮ ⋯ ai −1, j −1 ai −1, j +1 ⋯ ai +1, j −1 ai +1, j +1 ⋮ ⋮ ⋯ an, j −1 an, j +1
a21 M12 = a31 a41 A12 = ( −1)
a23 a33 a43
1+ 2
a24 a34 a44
M12 = − M12 M 44 = M 44
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结第一章 行列式 二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ奇偶排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换,其值不变.转置行列式T D D = ②行列式中某两行列互换,行列式变号.推论：若行列式中某两行列对应元素相等,则行列式等于零. ③常数k 乘以行列式的某一行列,等于k 乘以此行列式. 推论：若行列式中两行列成比例,则行列式值为零； 推论：行列式中某一行列元素全为零,行列式为零. ④行列式具有分行列可加性⑤将行列式某一行列的k 倍加到另一行列上,值不变 行列式依行列展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零.克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时,则只有零解逆否：若方程组存在非零解,则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:3331222113121100a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零,..化为三角形行列式⑤上下三角形行列式: 行列式运算常用方法主要行列式定义法二三阶或零元素多的 化零法比例化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：n m A *零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵矩阵的运算：加法同型矩阵---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA,不满足消去律；由AB=0,不能得A=0或B=0转置A A T T =)( T T T B A B A +=+)( T T kA kA =)( T T T A B AB =)(反序定理 方幂：2121k k k k A A A +=2121)(k k k kA A +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵,k 是数,则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵 数量矩阵：相当于一个数若…… 单位矩阵、上下三角形矩阵若…… 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0 分块矩阵：加法,数乘,乘法：类似,转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵,若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的, B A =-1非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵 初等变换1、交换两行列 2.、非零k 乘某一行列3、将某行列的K 倍加到另一行列初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的对换阵 倍乘阵 倍加阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r矩阵的秩rA ：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆,则满秩 若A 是非奇异矩阵,则rAB=rB 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样,矩阵不一样；行列式最终是一个数,只要值相等,就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=,行列式n ij nn ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆,则其逆矩阵是唯一的.矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的,且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的,且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置T A 也是可逆的,且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的,且111)(---=A B AB 但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆,即使可逆,但11)(--+≠+B A B AA 为N 阶方阵,若|A|=0,则称A 为奇异矩阵,否则为非奇异矩阵. 5、若A 可逆,则11--=A A伴随矩阵：A 为N 阶方阵,伴随矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211*A A A A A 代数余子式 特殊矩阵的逆矩阵：对1和2,前提是每个矩阵都可逆1、分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O B A D 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----11111C O BC A AD 2、准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A A A A A , 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-----141312111A A A A A 3、 I A A A AA ==** 4、1*-=A A A A 可逆 5、1*-=n A A 6、()()A AA A 1*11*==--A 可逆7、()()**T TA A = 8、()***AB AB =判断矩阵是否可逆：充要条件是0≠A ,此时*11A AA =- 求逆矩阵的方法：定义法I AA =-1伴随矩阵法AA A *1=-初等变换法()()1||-=A I I A n n 只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系： 设()nm ij aA *=是mn 阶矩阵,则对A 的行实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同等的m 阶初等矩阵左乘以A ：对A 的列实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A 行变左乘,列变右乘第三章 线性方程组消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵rAB=rB=r 当r=n 时,有唯一解；当n r ≠时,有无穷多解 rAB ≠rB,无解齐次线性方程组：仅有零解充要rA=n 有非零解充要rA<n 当齐次线性方程组方程个数<未知量个数,一定有非零解 当齐次线性方程组方程个数=未知量个数,有非零解充要|A|=0齐次线性方程组若有零解,一定是无穷多个N 维向量：由n 个实数组成的n 元有序数组.希腊字母表示加法数乘 特殊的向量：行列向量,零向量θ,负向量,相等向量,转置向量 向量间的线性关系: 线性组合或线性表示向量组间的线性相关无：定义179P向量组的秩：极大无关组定义P188定理：如果rj j j ααα,.....,21是向量组s ααα,.....,21的线性无关的部分组,则它是 极大无关组的充要条件是：s ααα,.....,21中的每一个向量都可由rj j j ααα,.....,21线性表出.秩:极大无关组中所含的向量个数.定理：设A 为mn 矩阵,则r A r =)(的充要条件是：A 的列行秩为r.现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注：两个向量αβ,若βαk =则α是β线性组合单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合 向量组间的线性相关无注： n 个n 维单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关,零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例,则他们一定线性相关向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T Tn TTTnTTr r βαααααα=判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设n k k k ....21,求n k k k ....21适合维数低的2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关,整体无关则部分无关3、分量法n 个m 维向量组180P ：线性相关充要n r Tn T T <⇒)....(21ααα 线性无关充要n r T n T T =⇒)....(21ααα推论①当m=n 时,相关,则0321=T T T ααα；无关,则0321≠T T T ααα ②当m<n 时,线性相关推广：若向量s ααα,...,21组线性无关,则当s 为奇数时,向量组13221,...,αααααα+++s 也线性无关；当s 为偶数时,向量组也线性相关.定理：如果向量组βααα,,...,21s 线性相关,则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出,且 表示法唯一的充分必要条件是s ααα,...,21线性无关. 极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的,但他们所含向量的个数是确定的；不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的. 齐次线性方程组I 解的结构：解为...,21αα I 的两个解的和21αα+仍是它的解； I 解的任意倍数αk 还是它的解；I 解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解,s c c c ,...,21是任意常数.非齐次线性方程组II 解的结构：解为...,21μμII 的两个解的差21μμ-仍是它的解；若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的一个解,则u+v 是II 的一个解. 定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(,则该方程组的基础解系存在,且在每个基础解系中,恰含有n-r 个解.若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的全部解,则u+v 是II 的全部解.第四章 向量空间向量的内积 实向量定义：α,β=n n T b a b a b a +++=....2211αβ 性质：非负性、对称性、线性性 α,k β=k α,β; k α,k β=2k α,β;α+β,δγ+=α,γ+α,δ+β,γ+β,δ;),(),(1111j i sj j ri i j sj j ri i i l k l k βαβα∑∑∑∑===== n R ∈δγβα,,,,向量的长度),(ααα=0=α的充要条件是α=0；α是单位向量的充要条件是α,α=1单位化 向量的夹角正交向量：αβ是正交向量的充要条件是α,β=0 正交的向量组必定线性无关 正交矩阵：ｎ阶矩阵Ａ I A A AA T T ==性质：1、若A 为正交矩阵,则Ａ可逆,且T A A =-1,且1-A 也是正交矩阵；２、若A 为正交矩阵,则1±=A ；３、若A 、Ｂ为同阶正交矩阵,则ＡＢ也是正交矩阵； ４、ｎ阶矩阵Ａ＝ij a 是正交矩阵的充要条件是Ａ的列行向量组是 标准正交向量；第五章 矩阵的特征值和特征向量 特征值、特征向量A 是N 阶方阵,若数λ使AX=λX,即λI-A=0有非零解,则称λ为A 的一 个特征值,此时,非零解称为A 的属于特征值λ的特征向量. |A|=n λλλ...**21 注： 1、AX=λX2、求特征值、特征向量的方法0=-A I λ 求i λ 将i λ代入λI-AX=0求出所有非零解 3、对于不同的矩阵,有重根、单根、复根、实根主要学习的特殊：n I )(λ的特征向量为任意N 阶非零向量或)(21不全为零i n c c c c ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4、特征值： 若)0(≠λλ是A 的特征值则1-A --------λ1 则m A --------m λ则kA --------λk若2A =A 则-----------λ=0或1若2A =I 则-----------λ=-1或1若k A =O 则----------λ=0迹trA ：迹A=nn a a a +⋯⋯++2211性质：1、N 阶方阵可逆的充要条件是A 的特征值全是非零的2、A 与1-A 有相同的特征值3、N 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关4、5、P281相似矩阵定义P283：A 、B 是N 阶矩阵,若存在可逆矩阵P,满足B AP P =-1,则矩阵A 与B 相似,记作A~B性质1、自身性：A~A,P=I2、对称性：若A~B 则B~A B AP P =-1 1-=PBP A A BP P =---111)(3、传递性：若A~B 、B~C 则A~C B AP P =-111 C BP P =-212---C P P A P P =-)()(211214、若AB,则A 与B 同不可逆5、若A~B,则11~--B A B AP P =-1两边同取逆,111---=B P A P6、若A~B,则它们有相同的特征值. 特征值相同的矩阵不一定相似7、若A~B,则)()(B r A r = 初等变换不改变矩阵的秩例子：B AP P =-1则1100100-=P PB AO AP P =-1 A=OI AP P =-1 A=II AP P λ=-1 A=I λ矩阵对角化定理：N 阶矩阵A 与N 阶对角形矩阵相似的充要条件是A 有N 个线性无关的特征向量注：1、P 与^中的i i x λ与顺序一致2、A~^,则^与P 不是唯一的推论：若n 阶方阵A 有n 个互异的特征值,则~^A P281定理：n 阶方阵~^A 的充要条件是对于每一个i K 重特征根i λ,都有i i K n A I r -=-)(λ注：三角形矩阵、数量矩阵I λ的特征值为主对角线.约当形矩阵约当块：形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλ111J 的n 阶矩阵称为n 阶约当块； 约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n J J J J 21i J 是约当块称为约当形矩阵. 定理：任何矩阵A 都相似于一个约当形矩阵,即存在n 阶可逆矩阵J AP P =-1.第六章 二次型二次型与对称矩阵只含有二次项的n 元多项式f 称为一个n 元二次型,简称二次型. 标准型：形如 的二次型,称为标准型.规范型：形如 的二次型,称为规范型.线性变换矩阵的合同：设AB 是n 阶方阵,若存在一个n 阶可逆矩阵C,使得 则称A 与B 是合同的,记作A B.合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型：配方法、做变换二次型中不含有平方项。
3-1 n阶行列式的概念
行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 近代,被广泛应用于数学, 近代,被广泛应用于数学,物理以及工程技术等 许多领域. 许多领域. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 定义
(a , b)
证明: 证明 (1)相邻对换
AabB → AbaB
A,B中的每一个数的逆序数都没有发生改变, 所以只需考虑a ,b的逆序数 若 a > b a的逆序数不变, b 的逆序数减少1 若
a < b a 的逆序数增加1,b 的逆序数不变, 所以, AabB, AbaB 的奇偶性不同
7
(2)一般对换
Aak1k2 kmbB → Abk1k2 kmaB
情况太复杂,改变思考角度 不是通过一次性得到结果,而是作如下过程:
(a , b)
Aak1k2 kmbB
m+1 +1次相邻对换 作m+1次相邻对换 作m次相邻对换 次相邻对换
→
由(1)知, 改变了2m+1(奇数) 次奇偶性 奇偶性当然改变.
8
→
Ak1k2 kmbaB Abk1k2 kmaB
1
第一节 n阶行列式的概念 阶行列式的概念
2
一,排列及其逆数 由n个自然数组成的一个有序数组, 定义3.1.1 定义3.1.1 称为由这n个自然数的一个全排列 全排列,简称排列 全排列 排列 记作: i1i2 in 例
自然数 1,2 1,2,3 1,2,3,4 123 1234 132 12 213 231 …… …… 312 4321 n(n-1) 321 ( -1)…321
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结篇1第一章行列式知识点1：行列式、逆序数知识点2：余子式、代数余子式知识点3：行列式的性质知识点4：行列式按一行（列）展开公式知识点5：计算行列式的方法知识点6：克拉默法则第二章矩阵知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律知识点8：矩阵的乘法运算及运算律知识点9：计算方阵的幂知识点10：转置矩阵及运算律知识点11：伴随矩阵及其性质知识点12：逆矩阵及运算律知识点13：矩阵可逆的判断知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15：矩阵方程的求解知识点16：初等变换的概念及其应用知识点17：初等方阵的概念知识点18：初等变换与初等方阵的关系知识点19：等价矩阵的概念与判断知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式知识点21：矩阵的秩的概念与判断知识点22：矩阵的秩的性质与定理知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例第三章向量知识点25：向量的概念及运算知识点26：向量的线性组合与线性表示知识点27：向量组之间的线性表示及等价知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念知识点29：线性表示与线性相关性的关系知识点30：线性相关性的判别法知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系知识点33：求向量组的最大无关组知识点34：有关向量组的定理的综合运用知识点35：内积的概念及性质知识点36：正交向量组、正交阵及其性质知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法知识点38：向量空间（数一）知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）知识点40：基变换下的坐标变换（数一）第四章线性方程组知识点41：齐次线性方程组解的性质与结构知识点42：非齐次方程组解的性质及结构知识点43：非齐次线性线性方程组解的各种情形知识点44：用初等行变换求解线性方程组知识点45：线性方程组的公共解、同解知识点46：方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系知识点47：方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例第五章矩阵的特征值与特征向量知识点48：特征值与特征向量的概念与性质知识点49：特征值和特征向量的求解知识点50：相似矩阵的概念及性质知识点51：矩阵的相似对角化知识点52：实对称矩阵的相似对角化.知识点53：利用相似对角化求矩阵和矩阵的幂第六章二次型知识点54：二次型及其矩阵表示知识点55：矩阵的合同知识点56 : 矩阵的等价、相似与合同的关系知识点57：二次型的标准形知识点58：用正交变换化二次型为标准形知识点59：用配方法化二次型为标准形知识点60：正定二次型的概念及判断线性代数知识点总结篇2行列式一、行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
线性代数03-行列式按行(列)展开
1
3 4 c1 2c3 11
1
3 1
2 0 1 1 c4 c3
0010
1 5 3 3
5 5 3 0
511 (1)33 11 1 1
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6 2 40. 5 5
说明
定理3叫做行列式按行(列)展开法则， 利用这个法则降阶并结合行列式的性质， 可以简化行列式的计算.
思考 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作Mij .
把 Aij 1 i j Mij 元素 aij 的代数余子式．
例如
a11 a12 a13 a14
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 1 23 M23 M23
结论 行标和列标是行列式中元素的唯一标识，有且仅有一 个余子式和一个代数余子式与行列式中每一个元素对应.
说明
(1)对于给定的 n 阶行列式 D det(aij ) ，元素
证明 我们以3阶行列式为例.
a11 a12 a13 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
把第1行的元素换成第2行的对应元素，则
a21 a22 a23
a21 A11 a22 A12 a23 A13 a21 a22 a23 0.
行列式的定义及性质
a b c
0
等于零？
按第三行展开 aA31 bA32 cA33
也可以看做第一行元素与第三行代数余子式的乘积
例3.3
设D
1 2 1 2 2 4 2
5 3 2
4 2 2 1
2 2
，求D的第3列元素的代数余子 式之和。
解
根据行列式的展开定理可得
a12 A13 a22 A23 a32 A33 a42 A43 0，
B A;
性质3.3(2)：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加 到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。
证明：
a11 as1 D at 1 an1
a12 as 2
a1 n a sn
at 2 atn an 2 ann
a11 a21 A ... a n1
a12 a22 ... an 2
... a1n ... a2 n ... ... ... ann
例如
a22 a32 M 11 an 2
a23 a2 n a33 a3n an 3 ann
n 1
a21 a23 a2 n a31 a33 a3n M 12 an1 an 3 ann
从而， 即，
2( A13 A23 A33 A43 ) 0， A13 A23 A33 A43 0.
1 5 7 8 1 1 1 1 2 0 3 6 1 2 3 4 ，
练习 已知 D
计算 A41 A42 A43 A44 .
利用展开定理得到计算行列式的基本方法Ⅰ “降阶法”，即 利用行列式展开定理, 可将n阶行列式的计算转化为n-1阶行列 式的计算。
《线性代数的几何意义》之三(行列式的几何意义)
----图解线性代数----任广千胡翠芳编著2010.06.01《线性代数的几何意义》几何意义名言录没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了，因此用这种方式来表达事物是非常有意义的。
-------笛卡尔算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图像化的公式；没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。
--------希尔伯特“如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。
”--------拉格朗日不会几何学就不会正确的思考，而不会正确思考的人不过是行尸走肉。
--------柏拉图无论是从事数学教学或研究, 我是喜欢直观的。
学习一条数学定理及其证明, 只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思路弄明白了, 我才认为真正懂了。
--------中国当代数学家徐利治第三章 行列式的几何意义在中国古代，用筹算表示联立一次方程未知量的系数时，就有了行列式的萌芽-----排列的方式。
日本吸收了这种思想，在1683年，日本学者关孝和（Seki Takakusu）对行列式的概念和它的展开已有了清楚的叙述。
到18世纪，瑞士数学家克莱姆（G.Gramer）和法国数学家拉普拉斯（place）建立了行列式理论。
行列式的几何意义具有深刻的含义。
它是指行列式的行向量或列向量所构成的平行多面体的有向体积。
这个有向体积是由许多块更小的有向面积或有向体积的累加。
在我们逐步地讨论这个几何意义之前，先来回顾一下行列式的定义。
3.1. 行列式的定义行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数。
当然，如果行列式中含有未知数，那么行列式就是一个多项式。
它本质上代表一个数值，这点请与矩阵区别开来。
矩阵只是一个数表，行列式还要对这个数表按照规则进一步计算,最终得到一个实数、复数或者多项式。
行列式分阶，比如二阶行列式、三阶行列式直至n 阶行列式。
第三章 行列式
再让j向左移动， 再让 向左移动，依次与 i, ks , ,…, k2 , k1 交换。经过 向左移动 交换。经过s+1次 次 相邻的两个数码的对换后， 相邻的两个数码的对换后，排列变为 . （2） … j, k1, k2 ,…, ks , i,… 对换而得到的排列。因此， 但（2）正是对（1）施行 (i, j) 对换而得到的排列。因此， 正是对（ 相当于连续施行2s+1 2s+1次相邻数码的 对（1）施行对换 相当于连续施行2s+1次相邻数码的 (i, j) 对换。 。，每经过一次相邻两数码的对换 每经过一次相邻两数码的对换， 对换。由1。，每经过一次相邻两数码的对换，排列都改 变奇偶性。由于2s+1是一个奇数，所以（ 2s+1是一个奇数 变奇偶性。由于2s+1是一个奇数，所以（1）与（2）的奇 偶性相反。 偶性相反。
……
…, i, j,…,
其中A与 都代表若干个数码 都代表若干个数码.施行对换 其中 与B都代表若干个数码 施行对换 (i, j), 得
宁波工程学院理学院《高等代数》课程组制作
……
…, j, i,…,
A
B
我们比较这两个排列的反序数.显然经过这个对换 我们比较这两个排列的反序数 显然经过这个对换 属于A或 的数码的位置没有改变 的数码的位置没有改变,因此这些数 后,属于 或B的数码的位置没有改变 因此这些数 属于 码所构成的反序数没有改变.同时 ，j与A或B中的 码所构成的反序数没有改变 同时i， 与 或 中的 同时 数码所构成的反序数也没有改变。 数码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排 i 列中， 列中， < j, 那么经过对换 (i, j) 后，i与j就构成一个 与 就构成一个 反序。 反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序数 i 增多一个。若在给定的排列中， 增多一个。若在给定的排列中， > j, 那么经过对换 排列的反序数减少一个。不论是哪一种情形， 后，排列的反序数减少一个。不论是哪一种情形， 排列的奇偶性都有改变。 排列的奇偶性都有改变。
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第二章 行列式 课外习题
一、判断题
1．若在n 阶行列式中等于零的元素个数超过2
n n -个，则这个行列式的值等于零。
（ ）
2．1112
13111213
21
22232122
331
323331
32
33
ca ca ca a a a a a a c a a a a a a a a a = ( )
二、单选题
1． 若行列式21
1
2031
2
x
--=-, 则x =( ) A. –2 B. 2 C. -1 D. 1
2．n 阶行列式0001
0010
01001
00
的值为（ ）
A. (1)n
- B. 1
(1)2
(1)
n n -- C. 1
(1)2
(1)
n n +- D. 1
3．设ij A 是行列式A 的元素(),1,2,,ij a i j n = 的代数余子式，当i j ≠时下列各式中错误的是（ ）
A. 1122i j i j in jn A a A a A a A =++
B. 1122i i i i in in A a A a A a A =++
C. 1122j j j j nj nj A a A a A a A =++
D. 11220i j i j in jn a A a A a A =++
4．行列式
0000
00000a b
c d e f
的值等于（ ） A. abcdef B. abdf - C. abdf D. cdf
5．
1111
222
2
0000000
a b c d a b c d =( ) A. 11222121a c b d a b c d - B. 22112211()()a b a b c d c d -- C. 12121212a a bb c c d d D. ()12211221()a b a b c d c d --
6.设行列式1
112
2233
3,a b c D a b c a b c = 则 111111
2
22
222333
333223223223c b c a b c c b c a b c c b c a b c +++++++++ ＝（ ） A. -D B. D C. 2D D. -2D
7．如行列式11
1213
21
22
2331
32
33a a a a a a d a a a =， 则31
3233
21222311
12
13
333222a a a a a a a a a ---＝（ ） A ． -6d B ． 6d C ． 4d D ． -4d
三、填空题
1. 四阶行列式
108519
620
73004000
=( ). 2． 排列12345a a a a a 的逆序数等于3，排列54321a a a a a 的逆序数等于（ ）.
3． n 阶行列式A 的值为c ，若将A 的第一列移到最后一列，其余各列依次保持原来的
次序向左移动，则得到的行列式值为（ ）.
4． n 阶行列式A 的值为c ，若将A 的所有元素改变符号，得到的行列式值为（ ）. 5． n 阶行列式A 的值为c ，若将A 的每个第(),i j 个元素ij a 换到第
()
1,1n i n j -+-+个元素的位置上，得到的行列式的值为（ ）. 6． n 阶行列式A 的值为c ，若将A 的每个ij a 换成()1i j
ij a +-，则得到的行列式的值为
（ ）.
7． n 阶行列式A 的值为c ，若将A 的每个ij a 换成()
()0i j
ij b a b -≠，则得到的行列式
的值为（ ）.
8． n 阶行列式A 的值为c ，若从第二列开始每一列加上它前面的一列，同时对第一列
加上A 的第n 列，则得到的行列式的值为（ ）.
四 讨论题
1. ,,λμ问取何值时齐次线性方程组1231231230020
x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩有非零解？
2. ,λ问取何值时齐次线性方程组 1231231
23(1)240
2(3)0(1)0
x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪
+-+=⎨⎪++-=⎩
有非零解？
自测题
一、填空题(每小题2分,共10分)
1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列. 2．四阶行列式4
4⨯=ij
a D 中,含24a 且带负号的项为_____.
3．设
.21
22221
11211
d a a a a a a a a a nn n n n n
=
则
._____1
2
21
22211
121=n n nn
n
n
a a a a a a a a a
4．行列式1
1
1111
11
---x 的展开式中,x 的系数是_____. 5．设ij ij A M ,分别是行列式D 中元素ij a 的余子式,代数余子式,则
._____1,1,=+++i i i i A M
二、判断题(每小题2分,共10分)
1．n 阶行列式D 中有多于n n -2个元素为零,则D=0 ( ) 2．D=0,则互换D 的任意两行或两列,D 的值仍为零. ( ) 3．排列 j i 与排列 i j 排列的反序数相差1. ( ) 4．ij ij
A a D ,3
3⨯=为ij a 的代数余子式,则0231322122111=++A a A a A a . ( )
5．齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
00321
3213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵为A,若存在三阶矩阵
B ≠0,使得AB=0,则.1=λ ( )
三、计算题(每小题5分,共25分)
1．1
1
2
101
1213100
10
12
1--； 2．
h
g
f e d c b a 00
000000； 3．
n
n n x a a a a a x a a a a x 32
1
321321；
4．
1
112
2
1
22
21212121+++n n n n
n a a a a a a a a a a a a a a a
；
5．
b
a a
b b
a b a ab b a ab b a +++++1
0000010001000
．
四、证明题(1小题6分，2、3小题各7分共20分)
1．证明:0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2
2
2
2
2
222
2
222
2222
=++++++++++++d d d d c c c c
b b b b a a a a 2．n 阶行列式D 的每行元素之和为C,则D 的每列元素的代数余子式之和为
C
D 3．设n a a a ,,,21 为数域F 上互不相同的数,n b b b ,,,21 是F 上任一组给定的数,证明,存在唯一的F 上次数小于n 的多项式)(x f ,使.,,2,1,)(n i b a f i i ==
五、计算与证明（35分）
1、计算行列式（每小题5分，共15分） 1）n ij D a =，其中,,1,2,,ij a i j i j n =-= ；
2）1
222
2
122221212111n n n n n n n n
n
n
n a a a a a a D a a a a a a ---=
； 3）n x a a a a a x a a a a a
x
a a D a a a x
a a a a a
x
---=
-------
.
2、求方程212322212223
0333245354435743
x x x x x x x x x x x x x x x x --------=-------的根。
（10分） 3、设n 级行列式,,,1,2,,n ij ij ji D a a a i j n ==-= ，证明：当n 为奇数时，0D =。
（10分）。