幂级数ppt 下载
合集下载
幂级数经典课件
收敛域的性 质：收敛域 是一个开区 间且包含原 点
收敛域的应 用：在函数 分析、微积 分等领域有 广泛应用
幂级数的收敛域的性质
收敛半径：幂级 数在收敛域内收 敛
收敛域：幂级数 在收敛域内收敛 且收敛半径为R
收敛半径的性质： 收敛半径R是幂级 数收敛域的半径
收敛域的性质：收 敛域是幂级数收敛 的区间且收敛半径 为R
幂级数的性质
收敛性：幂级数 是否收敛取决于 其收敛半径
解析性：幂级数 在其收敛半径内 解析
幂级数的和：幂级 数的和等于其收敛 半径内的解析函数
幂级数的展开：幂 级数可以展开为泰 勒级数或其他幂级 数形式
幂级数的收敛性
收敛性定义：幂级数在收敛区间内其部分和数列的极限存在 收敛性判别：使用比值判别法、根判别法、积分判别法等 收敛性应用：在函数逼近、数值分析、微分方程求解等领域有广泛应用 收敛性研究：幂级数的收敛性是数学分析中的重要课题有许多研究成果和理论
幂级数的求和的定义与性质
幂级数的求和： 将无穷多个幂 级数项相加得 到新的幂级数
求和的定义： 求和是指将无 穷多个幂级数 项相加得到新
的幂级数
求和的性质： 求和后的幂级 数具有与原幂 级数相同的收 敛半径和收敛
域
求和的应用： 求和在解决数 学问题、物理 问题等方面有
广泛应用
幂级数的求积的定义与性质
幂级数在解决初等数学问题中的应用
幂级数在微积分中的应用
幂级数在函数逼近中的应 用
幂级数在数值分析中的应 用
幂级数在概率论中的应用
幂级数的展开式的定义
幂级数：由无穷多个项组成的函数 展开式：将幂级数表示为无穷多个项的和 展开式形式：_0 + _1x + _2x^2 + ... 展开式的应用：在数学、物理、工程等领域广泛应用
幂级数ppt
定理 1 (Abel 定理)
（1）如果级数 an x n 在 x x0 ( x0 0)处收敛,则
n0
它在满足不等式 x x0 的一切 x处绝对收敛;
（2）如果级数 an x n 在 x x0处发散,则它在满
n0
足不等式 x x0 的一切 x处发散.
几何说明
收敛区域
o
• • •• • • ••• • •
发散区域 R
R 发散区域 x
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在x 0 一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
15
收敛半径为R 1 ，收敛区间为（1，2）.
2
当x 2时，原级数化为收敛的 交错级数
(1)n
;
x 1时，原级数化为
1 ,发散.
n0 2n 1
n0 2n 1
因此原级数的收敛域为 （1，2 ].
三、幂级数的运算
1、代数运算性质
设 an xn和 bn xn的收敛半径各为R1和R2 ,
n0
n0
证明 对级数 an xn 应用达朗贝尔判别法
n0
lim
n
an1 an
x n1 xn
lim an1 n an
x
x,
17
（1）由比值审敛法, 当 | x | 1 时,
级数| an xn | 收敛, 从而级数 an xn绝对收敛.
n0
n0
当 | x | 1 时,
级数 | an xn | 发散,
n0
chenpc文件数理方法第三章幂级数展开精品文档PPT课件
= 2 1 iC R 1 ' f b 1 z 1 b bd 2 1 iC R 2 ' fz b 1 z 1 b bd
CR1' CR2'
::zzbb= bb 2 1 iC R 1 ' f b k 0 z b b k d 2 1 iC R 2 ' f z b k 0 z b b k d
= k 0 2 1 i C R 1 'f b k 1 d z b k k 0 2 1 i C R 2 ' f b k d z b k 1
1、达朗贝尔判别法：
k充 分 大 时 ， w w kk 1q 1 k 1w kz绝 对 收 敛
证明：k N N p 1 w kz= k N N p 1 w 1zq k 1 w 1zq N 1 q q N p N
wkz收敛 k1
wkz绝 对 收 敛 k1
k = N + 1 k = N + 1
1
1
z 1时，zk收敛 k=1
z 1时， zk绝对收敛 k=1
二、绝对收敛性的判别法：
wk z 收敛
k=1
wk z绝对收敛
k=1
Np
Np
wkz wkz
k=N+1
k=N+1
w kz收 敛 w kz绝 对 收 敛
k = 1
k = 1
二、绝对收敛性的判别法：
第三章 幂级数展开
§3.1 幂级数的收敛性
一、基本概念：
N :任意大正整数
不存在 发 散
n
p :任意正整数 ：任意小正数
wk
k1
z
lni m k1wk
z
存
在
幂级数.ppt
收敛半径为 R 1, 收敛区间为
1 n 时, 级数成为 (1) (1 ) n n 1
n
当
(0, 2)
，发散 ，发散
(0, 2)
x 1 1
当
x 1 1
1 n 时, 级数成为 (1 ) n n 1
1 n ( lim (1 ) e ) n n
cn 1 2n 2n 2 (2) cn 2 , lim lim 2, 2 n c n ( n 1) n n
1 1 收敛半径 R , 收敛圆为 z i 2 2
例 3 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域:
( x 1) (1) n n 1 cn 1 1 解 (1) cn , lim lim n n n cn
n 1
S (x)
ln 3 ln(3 x) x
1 3
x 3, 0 0, 3
x0
2n 1 2 n 2 (6) z , 并求 n 2 n 1
2n 1 2n n 1
的和.
解
R 2
z 2
2n 1 2 n 2 1 S ( z) z n ( z 2 n 1 ) 2n n 1 n 1 2
当 |z|<R时,级数绝对收敛,当 |z| >R 时,级数发散,
当 |z|=R 时,不 一定.
x
|z|<R
R
0
R
R Sup{ z
z B}
注 1. R---收敛半径 ,
cn z n : z R
n 0
---收敛圆 ---收敛区间
1 n 时, 级数成为 (1) (1 ) n n 1
n
当
(0, 2)
，发散 ，发散
(0, 2)
x 1 1
当
x 1 1
1 n 时, 级数成为 (1 ) n n 1
1 n ( lim (1 ) e ) n n
cn 1 2n 2n 2 (2) cn 2 , lim lim 2, 2 n c n ( n 1) n n
1 1 收敛半径 R , 收敛圆为 z i 2 2
例 3 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域:
( x 1) (1) n n 1 cn 1 1 解 (1) cn , lim lim n n n cn
n 1
S (x)
ln 3 ln(3 x) x
1 3
x 3, 0 0, 3
x0
2n 1 2 n 2 (6) z , 并求 n 2 n 1
2n 1 2n n 1
的和.
解
R 2
z 2
2n 1 2 n 2 1 S ( z) z n ( z 2 n 1 ) 2n n 1 n 1 2
当 |z|<R时,级数绝对收敛,当 |z| >R 时,级数发散,
当 |z|=R 时,不 一定.
x
|z|<R
R
0
R
R Sup{ z
z B}
注 1. R---收敛半径 ,
cn z n : z R
n 0
---收敛圆 ---收敛区间
9-4[2]幂级数-PPT文稿
![9-4[2]幂级数-PPT文稿](https://img.taocdn.com/s3/m/b35ebbbdddccda38366baf5e.png)
n1
n1
(x1)[ x1 ] x11 1(x1)
(x1)( x1) 2 x
x1 (2x)2 0x2
28
练习1: 求下列幂级数的和函数：
另 解设 S(x) n(x1)n
n1
1
S(x) n(x1)n1.
x1
n1
xS(x)
x
dx
n(x1)n1dx
xn(x1)n1dx
1 x1
1 n1
1 n1
(x1)nx1 0<x11
x2 2
x 2 x2
2 x2 (2 x2 )2
(0 x2 1) 2
显然 x = 0 时上式也正确, 而在 x 2 级数发散,
故和函数为
30
例3: 求级数
的和 .
解
设S(x)
n2xn
n1 n!
n2
S(1) 2e n1 n!
31
谢谢！！！
它们的收敛半径都是1,
但它们的收敛域各是[ 1,1],[ 1,1),( 1,1)
22
例 8求 n 1[( 2 1 n )n3 n ]x n 的 收 敛 域 及 和 函 数 .
解
容 易 求 得 n 1( 2 1 n )nx n 与 n 13 n x n 的 收 敛 域 分 别 为 (2, 2),
x
n
)
S(x) ( a n x n ) ( a n x n ) n an xn1 x(R,R)
n0
n0
n1
x S(x) d x
0
x
(
0
anxn)dx
n0
n0
x 0
(an
xn
)dx
n0
an n1
幂级数-PPT
n0
由阿贝尔定理知: 收敛范围为一单位圆域 z 1,
在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1, 且有 1 1 z z2 zn .
1 z
26
例2 求下列幂级数的收敛半径:
zn
(1) n1 n3
(并讨论在收敛圆周上的情形)
(2) (z 1)n (并讨论 z 0 , 2 时的情形)
zn 收敛,
n1
和函数 S(z) zn 1 zn 1 1 ,
n1
z n0
z 1 z
所以
I
c(1z
1
1
z
)dz
c1z
dz
c1
1
z
dz
2i 0 2i.
36
五、小结与思考
这节课我们学习了幂级数得概念和阿贝尔定 理等内容,应掌握幂级数收敛半径得求法和幂级 数得运算性质、
37
思考题
级数逐项求导得到, 即 f (z) ncn(z a)n1.
n1
23
(3) f (z) 在收敛圆内可以逐项积分,
即 f (z)dz cn (z a)ndz, c z a R.
c
n0 c
或
z
f ( )d
cn (z a)n1.
a
n0 n 1
简言之: 在收敛圆内, 幂级数得和函数解析;
18
课堂练习 试求幂级数
zn
n1 n p
( p为正整数) 的收敛半径.
答案
因为
cn
1， np
lim cn1
n cn
lim( n ) p n n 1
lim
n
(1
1 1)p
1.
n
所以 R 1 1.
由阿贝尔定理知: 收敛范围为一单位圆域 z 1,
在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1, 且有 1 1 z z2 zn .
1 z
26
例2 求下列幂级数的收敛半径:
zn
(1) n1 n3
(并讨论在收敛圆周上的情形)
(2) (z 1)n (并讨论 z 0 , 2 时的情形)
zn 收敛,
n1
和函数 S(z) zn 1 zn 1 1 ,
n1
z n0
z 1 z
所以
I
c(1z
1
1
z
)dz
c1z
dz
c1
1
z
dz
2i 0 2i.
36
五、小结与思考
这节课我们学习了幂级数得概念和阿贝尔定 理等内容,应掌握幂级数收敛半径得求法和幂级 数得运算性质、
37
思考题
级数逐项求导得到, 即 f (z) ncn(z a)n1.
n1
23
(3) f (z) 在收敛圆内可以逐项积分,
即 f (z)dz cn (z a)ndz, c z a R.
c
n0 c
或
z
f ( )d
cn (z a)n1.
a
n0 n 1
简言之: 在收敛圆内, 幂级数得和函数解析;
18
课堂练习 试求幂级数
zn
n1 n p
( p为正整数) 的收敛半径.
答案
因为
cn
1， np
lim cn1
n cn
lim( n ) p n n 1
lim
n
(1
1 1)p
1.
n
所以 R 1 1.
第十三章第二节幂级数
的 收 敛 域. [解] 问: 这个幂级数有什麽特点？
缺项!
利用达朗贝尔判别法
lim un1( x) n un ( x)
2n x2n1
lim
n
2n1
x 2n1
lim 2 x 2 2 x 2 n
当2 x 2 1时,即 x 1 时,级 数 收 敛 2
当2 x 2 1时,即 x 1 时,级 数 发 散 2
an xn
第十三章 级数
第8页
2019/8/18
§13.2 幂级数
2、幂级数的收敛半径
对于幂级数 an x n , 若R > 0，且 n0
（1）当| x | < R时，幂级数绝对收敛；
（2）当| x | > R时，幂级数发散。
则称 R为该幂级数的收敛半径。
3、幂级数的收敛区间： (－R，R)
§13.2 幂级数
性 质4
若 幂 级 数 an xn的 收 敛 半 径R 0, n0
则
x 0
an
x
n
dx
、 (an xn )'
n0
n0
与 原幂 级数 有 相同 的 收敛 半径.
第十三章 级数
第19页
2019/8/18
§13.2 幂级数
性 质5
若 幂 级 数 an xn的 收 敛 半 径R 0, n0
级数
n(
1
)n1可
以
看
成
是
幂
级
数
nxn1
n1 3
n1
在x 1 处的值 3
第十三章 级数
幂级数及其收敛性
其中
f ( n +1) (ξ ) rn ( x ) = ( x x 0 ) n +1 (n + 1)!
( ξ 在 x0 与 x 之间 ) .
称为泰勒公式 称为拉格朗日型余项 . ① 式称为泰勒公式 .
如果令 x 0 = 0 ,
就得到
f ′′(0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( x ) = f (0) + f ′(0) x + x ++ x n! 2! + rn ( x ) . ②
还要考察函数 f ( x ) = e x 的麦克劳林公式中的余 项 , 因为
⑥ ⑥ ⑥ ⑥
e (θ x ) n + 1 rn ( x ) = x ( n + 1)!
(0 < θ < 1) ,
且θ x≤
θ x < x , 所以 e θ x < e x , 因而有
θ x
x
e e n +1 n +1 rn ( x ) = x x . < ( n + 1)! ( n + 1)!
f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = = f ( n ) (0) = 1 .
因此我们可以得到幂级数
1 2 1 n 1 + x + x + + x + . 2! n!
⑥
显然， ∞,+ 显然，这个幂级数的收敛区间为 (∞ ∞) . 至于级 ∞
数
是否以 f ( x ) = e x 为和函数 , 收敛于 f ( x ) = e x ,
∞
n=0
∑1
∞
, 它是发散的 ;
当x = 4时，幂级数 化为∑ ( 1) n , 也是发散的 .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定理 1 (Abel 定理)
（1）如果级数 an x n 在 x x0 ( x0 0)处收敛,则
n0
它在满足不等式 x x0 的一切 x处绝对收敛;
（2）如果级数 an x n 在 x x0处发散,则它在满
n0
足不等式 x x0 的一切 x处发散.
几何说明
收敛区域
o
• • •• • • ••• • •
n0
(3) 如果 ,
x 0, 级数 an xn必发散.
n0
收敛半径 R 0.
定理证毕.
18
例1 求下列幂级数的收敛区间:
(1) (1)n xn ;
(2) (nx)n;
n1
n
n1
(3) xn ;
n1 n!
解 (1) lim an1 lim n 1 R 1
n an
n n 1
定义: 正数R称为幂级数 anxn 的收敛半径. n0
开区间 (R, R) 叫做幂级数 anxn 的收敛区间. n0
收敛域可能是(R, R), [ R, R), (R, R], [ R, R].
收敛区间是含在收敛域内的最 0处收敛, R 0, 收敛区间x 0;
当x 1时,
级数为
(1)n ,
n1 n
当x 1时,
级数为
1,
n1 n
该级数收敛 该级数发散
故收敛区间是(1,1].
(2) (nx)n;
n1
lim n n
an
lim n , n
级数只在x 0处收敛,
R 0,
xn
(3)
;
n1 n!
lim an1 lim 1 0, R ,
n1
称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.
例如级数 xn 1 x x2 ,
n0
2.收敛点与收敛域:
如果 x0 I ,数项级数 un ( x0 )收敛,
n1
则称x0 为级数 un ( x)的收敛点, 否则称为发散点.
n1
函数项级数 un( x)的所有收敛点的全体称为收敛域, n1
并且从某个 n开始 | an1 xn1 || an xn |, | an xn | 0
从而级数 an xn发散.
n0
收敛半径 R 1 ;
17
(2) 如果 0, 任意给定x 0,
有 an1 xn1
an xn
0 (n ),
级数 | an xn | 收敛,
n0
从而级数 an xn绝对收敛. 收敛半径 R ;
第三节 幂级数
一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛域 三、幂级数的运算
1
一、函数项级数的一般概念
前面讲过常数项级数,其各项均为一个常数.若 讲各项改变为定义在区间I上的一个函数,便为函数 项级数。
1.定义:
设u1( x), u2 ( x),, un ( x),是定义在I R 上的
函数,则 un( x) u1( x) u2 ( x) un( x)
当 4 x 2 1, 即| x | 1 , 2
解 由达朗贝尔判别法
un1( x) n 1 1 (n ) un ( x) n 1 1 x 1 x
(1)
当1 1 x
1,
1
x
1,
即 x 0或x 2时, 原级数绝对收敛.
(2) 当 1 1, 1 x 1, 1 x
即 2 x 0时, 原级数发散.
(3) 当| 1 x | 1, x 0或x 2,
证明 对级数 an xn 应用达朗贝尔判别法
n0
lim
n
an1 an
x n1 xn
lim an1 n an
x
x,
16
（1）由比值审敛法, 当 | x | 1 时,
级数| an xn | 收敛, 从而级数 an xn绝对收敛.
n0
n0
当 | x | 1 时,
级数 | an xn | 发散,
n0
当 x 0时, 当 x 2时,
级数 (1)n 收敛;
n1 n
级数 1 发散;
n1 n
故级数的收敛域为(,2) [0,).
8
二、幂级数及其收敛性
1、定义:形如 an ( x x0 )n的级数称为幂级数.
n0
其中an 为幂级数系数.
下面着重讨论
的情形, 即
2、收敛性
例如级数 xn 1 x x2 ,
lim
n
sn
(
x)
s(
x)
lim
n
rn
(
x
)
0
(x在收敛域上)
注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是
数项级数的收敛问题.
4
例如, 等比级数 它的收敛域是
有和函数
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1， ）, 或 x 1.
5
例如 求级数 (1)n ( 1 )n的收敛域.
n1 n 1 x
(2) 幂级数对一切x 都收敛,
R , 收敛区间(,).
问题 如何求幂级数的收敛半径? 幂级数的收敛区间，幂级数的收敛域？
15
定理 2 对幂级数 an x n
设
lim an1 n an
n0
(或
lim n
n
an
)
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
(3) 当 时,R 0 .
发散区域 R
R 发散区域 x
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在x 0 一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
14
n0
当 x 1时, 收敛; 当 x 1时, 发散;
收敛域(1,1); 发散域(,1][1,);
对于幂级数,要解决两个问题： (1) 如何求出它的收敛域？ (2) 如何求出收敛域内的和函数？
从幂级数的形式不难看出,任何幂级数在x=0处总 是收敛的.而对的点处,幂级数的敛散性如何呢?先 看下列定理.
n an
n n 1
收敛区间(,).
例2
求幂级数
n0
(2n)! (n!)2
x2n
的收敛半径。
解
级数的一般项为un ( x)
(2n)! ( n !)2
x2n 缺少奇次幂的项
应用达朗贝尔判别法
lim un1( x) 4 x 2 , n un ( x)
当 4 x 2 1, 即| x | 1 , 2
所有发散点的全体称为发散域.
3
3.和函数:
在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数 s ( x ) ,
称s( x)为函数项级数的和函数.
s( x) u1( x) u2( x) un( x) (定义域是?)
函数项级数的部分和 sn ( x), 余项 rn ( x) s( x) sn ( x)