幂级数课件

该级数收敛; 该级数发散;
( 2) ( nx )n ;
n 1

lim n a n lim n , R 0, n n
级数只在 x 0 处收敛,
xn ( 3) ; n1 n!

1 a n 1 lim 0, R , lim n n 1 n a n
如果 x0 I ,数项级数 un ( x0 ) 收敛,
则称 x 0 为级数


un ( x ) 的收敛点, n 1

n 1
否则称为发散点.
函数项级数 un ( x ) 的所有收敛点的全体称为收敛域,
n1
所有发散点的全体称为发散域.
例如级数
x n 1 x x 2 ,
s( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x )
定义域是什么? 定义域就是级数的收敛域 函数项级数的部分和 s n ( x ), lim sn ( x ) s( x ) n 余项 rn ( x ) s( x ) sn ( x )
lim rn ( x ) 0

n
2n
1 n ( x ) 的收敛域 . 2 n
a n 1 2 n 2 R 1, lim 解 lim n a n n 1 n 2 1 1 x (0,1)收敛, 即 x 收敛, 2 2 1 级数为 , 发散 当x 0时, n 1 n ( 1) n 收敛 当x 1时, 级数为 , n n 1
从而级数 an x 绝对收敛. 收敛半径 R ;
n n 0

( 3) 如果 , x 0,
有 a n1 x n1 an x
n
( n ), 级数 an x n必发散.
n 0

收敛半径 R 0.
求下列幂级数的收敛域: n n x ( 2) ( nx )n ; (1) ( 1) ; n 1 n n 1
(2) 幂级数
a n x n 的和函数 s( x ) 在收敛区间
（求和与求积可交换次序)
( R, R ) 内可积,且对x ( R, R ) 可逐项积分.
即 s( x )dx ( a n x )dx
x x n 0 0

a n x dx an x n1 . 0 n 0 n 0 n 1
x
2 n 1
1 2 当 x 1, 2
即 x 2时,

级数发散,
当x 2时, 级数为
n1
1 , 2
级数发散,
1 当x 2时, 级数为 , 级数发散, n 1 2
原级数的收敛域为

( 2, 2 ).
例3 求幂级数 ( 1) n ( 2 x 3) 2 n的收敛域 .
注: 若幂级数(2)在 R, R 内有和函数 s( x ) , 则幂级数(2)就由 s( x ) 在 x 0 处的各阶导数 所唯一确定.
三、幂级数的运算
代数运算性质:
设 an x 和 bn x 的收敛半径各为R1和R2 ,
n n n 0 n 0
R minR1 , R2
n
n 0 x

(3) 幂级数
a n x n 的和函数 s( x ) 在收敛区间
n 0

( R, R ) 内可导, 并可逐项求导.
（求和与求导可交换次序)
nan x n1 . 即 s( x ) ( a n x ) (a n x )
n n n 0 n 0
n 1



说明：
•幂级数经逐项求导或逐项积分后，所得之幂级
数的收敛半径不变；
•在收敛区间的端点处的收敛性可能改变； •若经逐项求导或逐项积分后得幂级数在某一端
点处收敛，则在该点处(2)、(3)仍成立。
推论1. 设 s( x ) 为幂级数(2)在收敛区间 R, R 内的和函数, 则它在 R, R 内具有任意阶导数, 且可逐项求导任意次, 即
从而级数 an x 绝对收敛.
n n 0


n 0
当 | x |
1

时, 级数 | an x n | 发散,
n 0
n 1

并且从某个 n开始 | an1 x
|| an x |, | an x | 0
n n
从而级数 an x 发散.
n n 0

收敛半径 R
1

;
( 2) 如果 0, x 0, a n 1 x n 1 有 0 ( n ), 级数 | a x n | 收敛, n n an x n 0
(1) 加减法


a n x n bn x n cn x n .
n 0 n 0
n 0
x R, R
(其中 cn an bn )
(2) 乘法
( a n x ) ( bn x ) cn x . x R, R
n n
n



n 0
(其中 cn a0 bn a1 bn1 an b0 )
n 0
n 0
柯 西 乘 积
1 a0 b0
a1b0
a 2 b0 a 3 b0

x a0 b1
a1b1
x2 x3 a0 b2 a0 b3
n 0

当 x 1时, 收敛; 当 x 1时, 发散;
收敛域(1,1);
发散域( ,1] [1,);
因此级数敛散性的问题对于函数项级数或 幂级数而言，正确的提法是区间上的那些 点使级数收敛，那些点使级数发散？
3.和函数
在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 s( x ) , 称 s( x ) 为函数项级数的和函数.
收敛域( ,) .
x 2 n 1 例 2 求幂级数 n 的收敛域. n 1 2 x x3 x5 解 级数为 2 3 缺少偶次幂的项 2 2 2

应用达朗贝尔判别法
n 1 un 1 ( x ) 1 2 2 lim lim 2 n1 x , n u ( x ) n x 2 n n 2 1 2 即 x 2时, 级数收敛, 当 x 1, 2
n
(x在收敛域上)
注意
函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是常数项级数的收敛问题.
定理 14.1 (Abel 定理)
如果级数 a n x n 在 x x 0 ( x 0 0) 处收敛,则
n 0

它在满足不等式 x x 0 的一切 x 处绝对收敛;
如果级数
a n x n 在 x x 0 处发散,则它在满足
故收敛域为(0,1].
二 幂级数的性质
1 （阿贝尔第二定理） 定理14.4
证明：
即幂级数在包含收敛域中的任意闭区间 上都一致收敛.
2.幂级数的和函数的分析运算性质:
(1) 幂级数
an x n 0
n 0

n
的和函数 s( x ) 在收敛域 I 上连续.
（求和与求极限可交换次序)
x x 当 1时, 等比级数 M 收敛, x0 x0 n 0
n
a n x n 收敛, 即级数 a n x n收敛;
n 0 n 0


( 2) 假设当x x0时发散,
而有一点x1 适合 x1 x0 使级数收敛,
由(1)结论 则级数当 x x 0 时应收敛,
这与所设矛盾.
(2) 幂级数对一切 x 都收敛,
R , 收敛域( ,) .
问题 如何求幂级数的收敛半径R?
定理 14.2 若幂级数
a n x n 的所有系数 a n 0 ,
n 0

a n1 设 lim n a n
(或 lim n a n )
n
1 (1) 则当 0 时, R ; (2) 当 0 时, R ; (3) 当 时,R 0 .
§14.1 幂级数
一 幂级数及其收敛性 二 幂级数的性质 三 幂级数的运算 四 小结
一、幂级数的定义及其收敛性
1.定义 幂级数系数
n 0
an ( x x0 ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )2 形如
an ( x x0 )n ,
当 x R与x R 时,幂级数可能收敛也可能发散.
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 开区间 ( R, R) 称为幂级数的收敛区间. 收敛域是 ( R, R), [ R, R),( R, R], [ R, R] 之一. 规定
(1) 幂级数只在 x 0 处收敛,
R 0,
n 0

解
令( 2 x 3) y 得 ( 1) n y n
2
n 0

当 y 1时，级数收敛； 当 y 1时，级数发散；
所以，当 1 2 x 3 1， 2 x 1时， 原级数收敛；
所求收敛域为 2， 1.
例4 求 ( 1)
n 1
第十四章
幂 级 数
引言
前面介绍了一般的函数项级数，重点 是函数项级数收敛、一致收敛的判定方法以 及一致收敛函数项级数的性质.从今天开始， 我们将陆续向大家介绍两类特殊的常用的函 数项级数，一类是“幂级数”（代数多项式 的推广）；另一类是“Fourier级数”（三 角多项式的推广，三角级数的特例，在物理 中有广的应用）.
几何说明 收敛区域 发散区域


R
o