任务分配问题

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五、参考书
1.刑文训 谢金星,现代优化计算方法,清华大学出版 社,2001年； 2.张颖 刘艳秋, 软计算方法,科学出版社,2002年； 3.王晓东, 算法设计与分析,清华大学出版社, 2003 年. 4.(美) Zbigniew Michalewicz,等著,曹宏庆等译,如 何求解问题_现代启发式方法,中国水利水电出版社, 2003年.
MATHEMATICA MODEL
任务分配问题
制作: 龚劬
一、问题重述
假设有m个人，共同完成n项工作，(n>m≥2)。每 个人可以干任何一件工作，但效率不同，任意时刻每个 人只能干一件工作，每项工作只能由一人独立完成。 如果这m个人任选一项工作同时开始干，每个人干完 一件工作后，立即选一项还没有人干过的工作接着干， 直到所有 n项工作全部完成。从开始工作到最后一项工 作完成的时间称为总完成时间，简称总时间，记为T。 为使总时间 T尽量小，请对以下三种情况，分别确定 每个人应干哪几项工作？顺序如何？并求出T。 对一般情况进行讨论
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四、启发式算法（近似）
1.贪婪算法（计算机模拟） (改进) 设 Y1 为各项工作的第二短时间向量。令 Y=Y1-Y 称为 罚数向量。 算法步骤： 1）令t=0； 2 ）对当前无工作做的 i, 在 Zi 里未做的最小分量所对应 的工作中选择Y尽可能大的分量所对应的工作干； 3）令t为当前所有在干的工作中最先结束的结束时间； 4）重复2),3)直到所有工作干完为止。
1 n T 0 min(aij ) 因此有如下结论 m j 1 1im
定理
1 n T min(aij ) m j 1 1i m
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总时间的一个下界
根据上述定理，计算出一个特定问题的下限很容易， 对本问题的三种情形可计算出其下限。
1 （1）T0= 2 (2 3 5 9 7 6 4) 18 1 31 1 （2）T0= 2 y i 2 807 = 403.5 i 1 62 1 1 y （3）T0= 3 i 3 1395 = 465 i 1
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四、启发式算法（近似）
5）tt*0.87,kk+1，重复2）至4）直到t>tf 为止 。 注：可以增设记忆功能，将前面计算过的解中， 最优的解记录下来，效果更好。
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四、注意
1）这是一个NP难题，不存在精确的有效算法， 求解大型问题要用近似的有效算法。 2）描述算法时,要就一般情况(m个人，n项工作） 给出算法步骤.由于是近似算法,最好给出最优解 的下界计算公式，据此对结果进行近似程度分析； 3 ）智能算法 , 如模拟退火算法和遗传算法等中 的参数选择可能会很花时间,选得不合适,效果也 会不好； 4）最好能给出模型,如0-1规划模型。
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四、启发式算法（近似）
4.模拟退火算法 1 ）用贪婪算法得到一个初始解 x0, 令 k0，选 定 初始温 度 t0 和末 温 tf，确 定降温 策略（ 如取 tk+1=tk*0.87)和内循环次数Lk,tt0; 2）产生新解x1：随机选择两人，任意将其中一 人的一个工作分给另一人或交换这两人的任意一 对工作，计算新解和原解的目标函数值的差f； 3）若新解更优，则x0x1，否则，以一定概率 (可取为exp(-f/t)）接受新解； 4）重复2),3)到给定次数Lk；
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四、注意
5)最好对给出的算法进行时间复杂度分析，表明是否 有效算法； 6）可进一步对算法进行灵敏度分析，比如，自己构 造一些实例对算法的计算时间和精度进行测试，不 只是限于题目所给出的三个特例； 以下做法不可取 1）只是针对题目中三种特殊情形描述算法，不将其 一般化到m个人，n个工作的情形； 2）不考虑算法的计算时间， 3）没有总结出算法步骤。
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四、启发式算法（近似）
2.逐步改进算法 算法步骤： 1）让每件事由所需时间最少的人做; 2 ）计算出每个人的完成时间，找出完成指派 工作所需时间最多的人（最繁忙者）与所需时间 最少的人（最闲暇者）； 3）若最繁忙者所做的工作均标有，则停止， 此指派方案即为一个近似最优方案；
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四、启发式算法（近似）
2.逐步改进算法 算法步骤： 4）求最繁忙者所做的每个工作的工作时间与最闲 暇者的工作时间差，其绝对值最小的工作转给最 闲暇者做。 5）若此二人完成时间的较大者变小，记录新方案， 清除标记，转2)；否则，维持原方案，并将该工 作记上标记，转4）。
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四、启发式算法（近似）
3.启发式随机搜索算法 算法步骤： 1）用贪婪算法得到一个工作分配方案,令k=0; 2 ）随机选择两人，任意将其中一人的工作分 配给另一人或者交换这两人的任意一对工作； 3 ）判断新方案是否更优？是， kk+1，记录 下新方案，执行下一步，否则直接执行下一步； 4）判断k>=N否？是，停止，否则，转2） 。
ij
1
j 1,2,, n
xij 0或1， i 1, m, j 1, n
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三、优化模型
可以用隐枚举法和分支定界方法（利用分解技术）， 割平面法（松弛技术）来求解，但这些方法不是有效算 法，无法解规模大的问题。
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四、启发式算法（近似）
1.贪婪算法（计算机模拟） 例.X1=(2, 3, 8, 9, 10, 7, 6) , X2=(3, 8, 5, 9, 7, 6, 4) Y=(2,3,5,9,7,6,4)
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二、问题分析
总时间的一个下界
我们的任务是寻找一个最佳调度方案，使总完成时 间最短，该问题是一个 NP难题，不存在有效算法。求解 大规模问题要用近似算法。最好能找到一个评价结果的 指标。下面给出总时间的一个下界。设Y是最短时间向量， 如果每人都用Y中的时间来干工作，中间无间息，且每人 的最后一项工作都同时干完，这时的总时间T最小，为T0
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7
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四、启发式算法（近似）
1.贪婪算法（计算机模拟）
1 3 2 4 5 2 5 1 4 3 2 5 6 7 4 7 6 2 3 4 5
6 7
7
6
1
3 1
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四、启发式算法（近似）
1.贪婪算法（计算机模拟） 向量Y= (b1,b2,…,bn)， 其中 bj=min{a1j,a2j,…,amj}, 称 Y 为各项工作的最短时 间向量。称向量Zi=Xi–Y为第i人对Y的误差向量。 算法步骤： 1）令t=0； 2 ）对当前无工作做的 i, 任选 Zi 中未做的一个最小分量 所对应的工作干； 3）令t为当前所有在干的工作中最先结束的结束时间； 4）重复2),3)直到所有工作干完为止。
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一、问题重述
（1） X1=(2, 3, 8, 9, 10, 7, 6) , X2=(3, 8, 5, 9, 7, 6, 4)。 （2） X1=(44, 37, 39, 25, 26, 49, 11, 49, 51, 46, 13, 31, 11, 50, 29, 16, 54, 13, 58, 29, 37, 49, 13, 40, 34, 25, 42, 43, 24, 24, 52), X2=(52, 37, 60, 56, 22, 45，60, 23, 37, 16, 60, 44, 11, 39, 16, 16, 50, 25, 13, 25, 30, 26, 58, 59, 31, 24, 19, 19, 43, 31, 31)。 （3） X1=(46, 27, 42, 21, 20, 40, 15, 33, 56, 24, 50, 29, 25, 56, 42, 42, 32, 15, 39, 45, 56, 52, 12, 38, 56, 32, 44, 36, 36, 34, 28, 31, 24, 13, 23, 59, 14, 30, 29, 35, 18, 34, 23, 42, 38, 18, 57, 43, 36, 30, 16, 50, 33, 48, 40, 52, 11, 21, 14, 16, 27, 17), X2=(11, 37, 43, 38, 52, 15, 20, 44, 33, 28, 18, 46, 57, 37, 15, 48, 31, 34, 35, 21, 27, 15, 40, 19, 57, 15, 33, 24, 54, 48, 24, 44, 23, 15, 12, 27, 50, 25, 22, 35, 23, 28, 13, 35, 21, 54, 40, 48, 57, 27, 38, 15, 42, 31, 59, 16, 57, 42, 28, 18, 34, 21)。 X3=(46, 37, 39, 25, 26, 49, 11, 49, 51, 46, 13, 31, 35, 50, 29, 59, 54, 13, 58, 29, 37, 15, 13, 40, 34, 25, 42, 43, 24, 24, 52, 52, 40, 60, 21, 22, 45, 60, 23, 37, 16, 60, 44, 11, 39, 16, 16, 50, 25, 13, 25, 30, 26, 58, 59, 31, 24, 19, 19, 43, 31, 31)
结束 -22-
The End
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1 1 2 2 3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
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四、启发式算法（近似）
1.贪婪算法（计算机模拟）
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7
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四、启发式算法（近似）
1.贪婪算法（计算机模拟）
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7
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四、启发式算法（近似）
1.贪婪算法（计算机模拟）
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三、优化模型
引入
第j项工作由第i人做 否则