随机信号处理教程 第3章 随机过程的功率谱密度
随机信号的功率谱密度课件
出端信噪比之比。即：
F
( Si / N i )
( So / N o )
四、白序列（RND伪随机序列）
设随机序列Zn的自相关函数满足：
2 Z , RZ (k ) 0,
k 0 k 0
2 Z
或
RZ (k ) (k )
对于白序列其功率谱：
GZ ()
2 Z ,
jt
d
将上式代入信号平均功率表达式中得:
1 W lim T 2T lim 1 T 2T
T T T
f T (t , ) dt 1 2
jt F ( , ) e d ]dt T
2
T T
f T (t , )[
1 lim T 2T 1 lim T 2T 1 2
GN(), FN()
RN()
N0 N0/2
N0/2
0 (a) 功率谱密度
0 (b) 自相关函数
白噪声的自相关函数：
1 RN ( ) 2 N 0 j N0 2 e d 2 ( )
白噪声的相关系数 N ( )为:
C N ( ) RN ( ) RN () RN ( ) N ( ) C N (0) RN (0) RN () RN (0)
2/
低通限带白噪声
W , G N ( ) 0,
0 | | 0
otherwise
sin RN ( ) W cos 0
4.6 功率谱估值的经典法
谱估值的基本问题是已知随机过程X(t)或Xj某个 实现： , x
2 , x1 , x0 , x1 , x2 ,, xN 1 ,
第3章_随机过程的谱分析1.2.3
第3章 平稳随机过程的谱分析
x(t ) dt （3.1.2）
2
随机信号分析
则 x(t ) 的傅里叶变换存在，即
X X ( ) x(t )e jt dt
（3.1.3）
x(t ) 称为 X X ( ) 的反变换，即
1 x(t ) 2
X X ( )e jt d
（3.1.13）
第3章
平稳随机过程的谱分析
随机信号分析
两个结论：
1
Q A E[ X ( t )]
2
（3.1.14）
1 A . lim . 表示时间平均 式中 T 2T 若过程为广义平稳平稳
Q A E[ X ( t )] E[ X ( t )]＝RX (0)
第3章 平稳随机过程的谱分析
随机信号分析
S 0 ( 2 M c2 M 2 2 M 2 c2 2 c0 ) S X ( ) 2N 2 N 2 2 d 2 N 2 d 2 d 0
其中M<N.
（3.2.4）
若用复频率s来表示功率谱密度，那 么，对于一个有理函数，总能把它表示 成如下的因式分解形式：
第3章
平稳随机过程的谱分析
随机信号分析
3.1.1 简单回顾
1 付氏变换
随机信号的功率谱
单边功率谱
单边功率谱——实平稳过程的谱密度 SX (ω) 是偶函数， 实平稳过程的谱密度 是偶函数， 因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。 因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。
2 1 T − iω t lim 2 T → ∞ E ∫0 X ( t ) e d t , ω ≥ 0 T G X (ω ) = ω<0 0 ,
平均功率： 平均功率： (2)
P = R X (0) = a 2 2
a2 a2 E [ X 2 (t )] = E [ a 2 cos 2 (ω 0 t + Θ )] = − sin( 2ω 0 t ) 2 π X (t) 是非平稳过程
平均功率： 平均功率：
1 P = lim T → ∞ 2T
∫
T
−T
+∞ S X (ω ) = ∑ RX (m) e − jω m m = −∞ R (m) = 1 π S (ω ) e jω m d ω ∫−π X X 2π
常见的平稳过程的 相关函数及相应的谱密度 参见表7.1（P150） 参见表 （ ）
例2
已知平稳过程的相关函数为 R X (τ ) = e − a τ cos(ω 0τ ) ， 为常数， 其中 a > 0, ω0 为常数，求谱密度 SX (ω) . [解]
3 随机信号的带宽
随机信号的带宽——随机信号的功率谱所占据的频带宽度。 随机信号的功率谱所占据的频带宽度。 随机信号的带宽 随机信号的功率谱所占据的频带宽度 3dB带宽 3dB带宽 半功率带宽） （半功率带宽）
S(ω) ω
1 0.5
绝对带宽
S(ω) ω
1
等效噪声带宽
随机信号分析第3章-平稳性与功率谱密度
8
a) 一般在实际应用中，只要产生随机信号 的主要物理条件，在时间进程中不发生变化。 则此信号就可以认为是平稳的。例如：在电子 管中由器件的“颗粒效应”引起的散弹噪声， 由于产生此噪声的主要物理条件不变，所以此 噪声可以认为是平稳的。
b)另一方面，对于有些非平稳随机信号， 可以根据需要，如果它在观测时间段内是平稳 的，就可以在该时间段内把信号视作平稳的随 机信号来处理。
（5）若自相关函数 R( ) 关于 在原点连续， 则它是关于 处处连续。
看书上图3.3，P71
22
例 如图所示，随机信号X(t)与A(t)相加。 X(t) 与A(t)相互独立，且其中之一均值为零。试求 它们之和Y(t)的自相关函数与X(t)，A(t)的自相 关函数之间的关系。
解：Y (t) X (t) A(t)
13
联合广义平稳
定义：随机信号X (t),t T与Y(t),t T，如果
单个是广义平稳的，且其互相关函数存在，并
与两时刻 t1,t2 的绝对值无关，只与相对差
t1 t2有关，即 RXY (t1, t2 ) RXY (t , t) RXY ( )
则称X(t)与Y(t)具有联合广义平稳性。
cos(2t
2)
1 2
RX
(
)
cos(
)
所以，Y(t)广义平稳。
16
§3.3 广义平稳随机信号的相关函数
一、自相关函数与协方差函数
R( ) E X (t )X (t)
x1x2 f (x1, x2;t , t)dx1dx2
C( ) E X (t ) m X (t) m
R(t1,t2 ) R(t1 t,t2 t) 自相关函数平稳
第3章 随机过程及答案
互相关函数 R (t1 , t 2 ) E[ (t1 )(t 2 )]
式中 (t) 和 (t) 分别表示两个随机过程。 R(t1, t2)又称为自相关函数。
10
3.2 平稳随机过程 3.2.1 平稳随机过程的定义
12
数字特征：
E (t ) x1 f1 ( x1 )dx1 a
R( t1 , t 2 ) E[ ( t1 ) ( t1 )]
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( )
可见，（1）其均值与t 无关，为常数a ； （2）自相关函数只与时间间隔 有关。
P ( f ) 0
P ( f ) P ( f )
这与R()的实偶性相对应。
23
例题
[例3-2] 求随机相位余弦波(t) = Acos(ct + )的功率谱密度。 [解] 在[例3-1]中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳 过程，并且求出其相关函数为
1 (t ) 2 (t )
n (t )
0
t
3
角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。
在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{i (t1), i = 1, 2, …, n} 是一个随机变量，记为 (t1)。
样本空间
随机过程是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
S1 x1(t)
t
T /2
T / 2
x( t ) x( t )dt
aa R( ) R( )
《随机过程的功率谱密度》(25页)
2.5随机过程的功率谱密度
平稳随机过程: 维纳－辛钦定理
物理谱定义:
2.5随机过程的功率谱密度
傅里叶 变换对
2.5随机过程的功率谱密度
平稳随机过程:
2.5随机过程的功率谱密度
0
1
例2.已知功率谱密度为
2.5随机过程的功率谱密度
二、平稳随机序列的功率谱密度对于平稳随机序列X(n), 其功率谱密度
傅里叶 变换对
2.5随机过程的功率谱密度
Z变换形式:
性质: 实平稳随机序列的功率谱是实的、非负的偶函数。
2.5随机过程的功率谱密度
三、互功率谱密度及其性质
其中:
若X(t)及Y(t)联合平稳, 有
2.5随机过程的功率谱密度
性质:
2.5随机过程的功率谱密度
例、已知随机过程Z(t)=aX(t)+bY(t)，a、b为常数，X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，求: Z(t)的功率谱密度；X(t)、Y(t)不相关时Z(t)的功率谱密度；X(t)、Y(t)分别与Z(t)的互谱密度。
随机过程的联合分布和互相关函数
二、两随机过程的相互关系互相关函数:
互协方差函数:
随机过程的联合分布和互相关函数
随机过程的联合分布和互相关函数
独立
两随机过程的相互关系:
联合平稳的定义: 如果随机过程X(t),Y(t)平稳，且满足
随机过程的联合分布和互相关函数
性质:
随机过程的联合分布和互相关函数
第五讲：小 结
平稳随机过程严格平稳随机过程广义平稳随机过程平稳随机过程自相关函数性质
相关函数示意图
第五讲: 小 结
平稳随机过程相关系数相关时间
随机信号的功率谱密度
随机信号的功率谱密度估计和相关函数随机信号的功率谱密度估计和相关函数1．实验目的了解估计功率谱密度的几种方法，掌握功率谱密度估计在随机信号处理中的作用。
⒉实验原理随机信号的功率谱密度用来描述信号的能量特征随频率的变化关系。
功率谱密度简称为功率谱，是自相关函数的傅里叶变换。
对功率谱密度的估计又称功率谱估计。
1.线性估计法（有偏估计）：线性估计方法是有偏的谱估计方法，谱分辨率随数据长度的增加而提高。
包括自相关估计、自协方差法、周期图法。
2.非线性估计（无偏估计）：非线性估计方法大多是无偏的谱估计方法，可以获得高的谱分辨率。
包括最大似然法、最大熵法⒊实验任务与要求1. 所有功能均用matlab仿真。
2. 输入信号为：方波信号+n(t)，方波信号信号基频1KHz，幅值为1v，n(t)为白噪声。
3. 编写自相关估计法、自协方差法、周期图法、最大似然法、最大熵法的matlab 程序。
正确的运行程序。
4. 必须用图示法来表示仿真的结果。
对几种功率谱估计的方法进行比较分析，发现它们各自有什么特点？。
5. 按要求写实验报告。
4.Matlab程序如下：生成输入信号：clear;fs=1024;%设采样频率为1024n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;%因方波频率F=1000HZ所以角频率W=2000piX1n=square(W*n);%方波信号X2n=randn(1,N);%白噪声信号xn=X1n+X2n;%产生含有噪声的信号序列XNsubplot(3,1,1)plot(n,xn);xlabel('n')ylabel(‘输入信号’)%绘输入信号图（1）.周期图法：fs=4000;n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;x1n=square(W*n);x2n=randn(1,N);xn=x1n+x2n;subplot(3,1,1)plot(n,xn);Nfft=256;N=256;%傅里叶变换的采样点数256Pxx=abs(fft(xn,Nfft).^2)/N;f=(0:length(Pxx)-1)*fs/length(Pxx);subplot(3,1,2),plot(f,10*log10(Pxx)),%转成DB单位xlabel('频率/HZ'),ylabel('功率谱/db'),title('周期图法');（2）.相关函数法：fs=1000;n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;x1n=square(W*n);x2n=randn(1,N);xn=x1n+x2n;subplot(3,1,1)plot(n,xn);%输入信号m=-100:100[r,lag]=xcorr(xn,100,'biased')%求XN的自相关函数R，biased为有偏估计lag为R 的序列号subplot(3,1,2)hndl=stem(m,r);%绘制离散图，分布点从-100—+100set(hndl,'Marker','.')set(hndl,'MarkerSize',2);ylabel('自相关函数R(m)')%利用间接法计算功率谱k=0:1000;%取1000个点w=(pi/500)*k;M=k/500;X=r*(exp(-j*pi/500).^(m'*k));%对R求傅里叶变换magX=abs(X);subplot(3,1,3)plot(M,10*log10(magX));xlabel('功率谱的改进直接法估计')（3）.自协方差法：clear all;fs=1000;n=0:1/fs:3;P=2000*pi;y=square(P*n);xn=y+randn(size(n));%绘制信号波形subplot(211)plot(n,xn)xlabel('时间（s）')ylabel('幅度')title('y+randn(size(n))')ymax_xn=max(xn)+0.2;ymin_xn=min(xn)-0.2;axis([0 0.3 ymin_xn ymax_xn]) %使用协方差法估计序列功率谱p=floor(length(xn)/3)+1;nfft=1024;[xpsd,f]=pcov(xn,p,nfft,fs,'half'); %绘制功率谱估计pmax=max(xpsd);xpsd=xpsd/pmax;xpsd=10*log10(xpsd+0.000001); subplot(2,1,2)plot(f,xpsd)title('基于协方差的功率谱估计') ylabel('功率谱估计（db）') xlabel('频率（HZ）')grid on;ymin=min(xpsd)-2;ymax=max(xpsd)+2;axis([0 fs/2 ymin ymax])（4）.最大熵法fs=4000;n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;x1n=square(W*n);x2n=randn(1,N);xn=x1n+x2n;subplot(3,1,1)plot(n,xn);Nfft=256;%分段长度256[Pxx,f]=pmem(xn,14,Nfft,fs);%调用最大熵函数pmem，滤波器阶数14 subplot(2,1,2),plot(f,10*log10(Pxx)),title(' 最大熵法，滤波器14'),xlabel('频率HZ'),ylabel('功率谱db');（5）.最大似然法：fs=1000;n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;x1n=square(W*n);x2n=randn(1,N);xn=x1n+x2n;subplot(3,1,1)plot(n,xn);%估计自相关函数m=-500:500;[r,lag]=xcorr(xn,500,'biased');R=[r(501) r(502) r(503) r(504);r(500) r(501) r(502) r(503);r(499) r(500) r(501) r(502);r(498) r(499) r(500) r(501)]; [V,D]=eig(R);V3=[V(1,3),V(2,3),V(3,3),V(4,3)].'; V3=[V(1,4),V(2,4),V(3,4),V(4,4)].'; p=0:3;wm=[0:0.002*pi:2*pi];B=[(exp(-j)).^(wm'*p)];A=B;%最小方差功率谱估计z=A*inv(R)*A';Z=diag(z');pmv=1./Z;subplot(2,1,2)plot(wm/pi,pmv);title('基于最大似然的功率谱估计') ylabel('功率谱幅度（db）') xlabel('角度频率w/pi')5.设计思想随机信号的功率谱密度用来描述信号的能量特征随频率的变化关系。
随机信号分析_第三章_平稳随机过程的谱分析
A RX (t , t ) e j d
说明如果A<RX(t,t+τ)>绝对可积，那自 相关函数的时间平均与功率谱密度是傅 里叶变换对。
对于平稳随机过程，由于： A<RX(t,t+τ)>＝ A<RX(τ)>＝ RX(τ) 所以: j S X ( ) RX ( )e d
S X ( ) R X ( )e
0
j
d
0
Ae e
j
d Ae
e
j
d
1 1 A[ ] j j 2 A 2 2
例3.4 P203 设随机相位信号X(t)＝Acos(ω0t+θ)， 其中A, ω0为常数； θ为随机相位，在（0， 2π）均匀分布。可以计算初其自相关函 数RX(τ)=[A2cos (ω0τ)]/2, 求X(t)的功率谱 密度。 解：引入δ函数。 1 1 j ()e d 2 2
3.2.1 功率谱密度的性质
1. 功率谱密度的非负性。即： SX(ω)>=0 2. 功率谱密度是ω的实函数。即： SX(ω)= SX(ω)
3. 对于实随机过程来讲，功率谱密度是ω 的偶函数。即： SX(ω)＝ SX(－ω) 4. 功率谱密度可积。即：
S X ( )d
3.2.2 谱分解定理
满足上述条件的x(t)的傅利叶变换为：
Fx ( ) x(t )e
jt
dt
称为x(t)的频谱。为一复数，有 Fx(ω)= Fx(-ω)
Fx(ω)的傅利叶反变换为：
1 x(t ) 2
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T
x
y
xy
T
3.5 联合平稳随机过程的互功率谱密度
为了求出两个随机过程 X (t ) 、Y (t) 的互功率，须将式(3.5.5) 扩展为对所有样本取统计平均，得 F ( j , T ) F ( j , T ) 1 1 E X (t )Y (t )dt E dt (3.5.6) 2T 2T 2 式(3.5.6)两边取极限（令T→∞），得 E[ F ( j , T ) F ( j , T )] 1 1 lim E[ X (t )Y (t )]dt lim dt (3.5.7) 2T 2 2T 式(3.5.7)的左边即是随机过程 X (t ) 、 Y (t) 的互功率 P 1 P lim E[ X (t )Y (t )]dt (3.5.8) 2T Y (t ) 因此，定义两个随机过程 X (t ) 、 的互功率谱密度(简称 为互谱密度)为 E[ F ( j , T ) F ( j , T )] S ( ) lim (3.5.9) 2T 于是有 1 P S ( )d 2 (3.5.10)
2
x(t ) dt
1 x (t )dt 2
2
Fx j d
2
度
3.1功率谱密度函数
一个随机过程的样本函数 x(t ) ，尽管它的总能量是无限的， 但它的平均功率却是有限的。因此，对于这类函数，研究 它的能量谱没有意义的、研究其平均功率谱才有意义。 首先我们把随机过程的一个样本函数 x(t ) 任意截取一段， 长度为2T并记为 x (t ) 。称 x (t ) 为 x(t ) 的截短函数，如图3.1所 示。于是有 x(t ) tT x (t ) tT (3.1.6) 0 对于持续时间有限的 x (t ) 而言，傅立叶变换是存在的，为 F j, T x t e dt xt e dt (3.1.7) 1 x t F j , T e d (3.1.8) 2 根据巴塞伐定理，有 1 (3.1.9) x (t )dt x (t )dt 2 F j,T d 上式两端除2T，得 F j, T 1 1 x (t )dt d
j X X
j X X
3.3 维纳-辛钦定理
由于随机过程的自相关函数BX ( )是 的偶函数，从S X ( ) 的定义也可看出 它也是 的偶函数，于是式(3.3.10)和(3.3.11)又可写成 S X ( ) 2 BX ( ) cosd 0 (3.3.12) 1 BX ( ) S X ( ) cos d (3.3.13) 0 根据前面我们对确知信号的讨论，对照现在的 S X ( ) 的定义，可知 S X ( ) 是随机过程 X (t )的功率谱密度，它是从频率这个角度描述随机过程统 计特性的重要的数字特征。 当 0 时，式(3.3.10)成为 1 B X (0) S X ( )d 2 (3.3.14) 式(3.3.14)是随机过程 X (t ) 的平均功率，那么，式(3.3.14)右边的被 积函数 S X ( ) 当然也就是功率谱密度函数了。这又从另一个角度证实 了 S X ( ) 的物理意义。 根据以上的讨论， S X ( ) 应分布在-∞到+∞的频率范围内，这种对正、 负频率都有意义的谱密度叫做双边谱密度。
功率谱密度函数 平稳随机过程功率谱密度的性质 维纳-辛钦定理 平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽 联合平稳随机过程的互功率谱密度 白噪声与色噪声
5
6
3.1功率谱密度函数
如果一个确知信号 x(t ) ，在 t 满足狄氏条件，且 绝对可积，即满足 那么 x(t ) 的傅里叶变换存在， Fx j x(t )e jt dt Fx j 也称为确知信号x(t ) 的频谱。 根据巴塞伐(Parseval)定理，有 其中。 Fx j Fx j Fx j 式(3.1.5)左端表示信号 x(t ) 的总能量。因此，等式右端 积分中的被积函数 Fx j 2相应地称为的 x(t ) 的能量谱密
3.4平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽
x1 (t )
x2 (t )
t
t
(a)
(b )
图3.3 X (t) 和 X
1
2
(t )
的样本函数曲线
BX 2 ( )
BX1 ( )
k1
0
k1
k2
0
k2
(a)
X (t ) 图3.4X (t) 和
1 2
(b )
的自相关函数
3.4平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽 图3.3表示二个平稳随机过程 X (t) 及 X (t) 实现的记录，设它 们具有相同的数学期望和相同的均方值，即
2
3
4
功率谱 密度为 非负函 数
功率谱密度 为 的实函 数
功率谱密度 为 的偶函 数
功率谱密度 为可积函数
3.3 维纳-辛钦定理
维纳-辛钦定理：平稳随机过程的自相关函 数和功率谱密度函数是一傅立叶变换对。 即 S ( ) B ( )e d (3.3.1) 1 B ( ) S ( )e d (3.3.2) 2 它揭示了从时间角度描述随机过程 X (t ) 的统 计规律和从频率角度描述 X (t ) 的统计规律之 间的联系。
若随机过程X (t ) 和 Y (t ) 正交， 则有
S XY ( ) 0 SYX ( ) 0
若随机过程X (t ) Y (t ) 不相关， 和 X (t )和 Y (t ) 且 的均 值分别为常 mY 数 mX 、 ，则
S XY ( ) SYX ( ) 2mX mY ( )
1 2 1 1
k1 k2
1 2
1
2
1
2
X
X
(3.4.3) 式(3.4.3)告诉我们，无论怎样的随机过程，它的自相关 时间与等效带宽的乘积恒为 1 。
4
k f
S X (0) BX (0) 1 2 BX (0) 2S X (0) 4
3.5 联合平稳随机过程的互功率谱密度
设 X (t ) 、 Y (t) 为两个平稳随机过程，仿照3.1中的方法， 对 X (t ) 、Y (t) 的样本函数 x(t) 、 y(t) 分别取截短函数 x (t ) 、y (t ) 为 t T x (t ) x (t ) 其它 0 (3.5.1) t T y (t ) y (t ) 其它 0 (3.5.2) 则 x (t ) 、y (t ) 的傅立叶变换存在，所以有为
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第1章 概率论基础 第2章 随机过程 第3章 随机过程的功率谱密度 第4章 随机信号通过线性系统 第5章 窄带系统和窄带随机信号 第6章 随机信号通过非线性系统 第7章 马尔可夫过程
第3章 随机过程的功率谱密度
1 2 3 4
T T
T
T
jt
T
x
T
jt
T
jt
T
x
2 T
T
2
2
T
x
2T
T
2
T
2
2
x
2T
3.1功率谱密度函数
表示随机过程 X (t )在单位频带内在单位电阻上消耗的平均 功率，即随机过程的平均功率沿频率轴的分布，称之为随 机过程 X (t )的功率谱密度函数，简称为功率谱密度，记为 2 E [ F ( j , T ) ] X S X ( ) lim T (3.1.13) 2T 功率谱密度 S ( ) 是从频率角度描述随机过程X (t ) 的统计特 性的最主要的数字特征。 ) X (t的均方值为常数，则 ) 当随机过程X (t为宽平稳时，此时 有
T X Y T
T X Y T T T
XY
T
XY
T
T
X
Y
XY
T
XY
XY
3.5 联合平稳随机过程的互功率谱密度
1
2
3
4
* S XY () SYX () * SYX () S XY ()
Re[ S XY ( )] Re[ S XY ( )] Re[ SYX ( )] Re[ SYX ( )] Im[ S XY ( )] Im[ S XY ( )] Im[ SYX ( )] Im[ SYX ( )]
1 2
X 1 (t ) X 2 (t )
2 X 12 (t ) X 2 (t )
但是二者有一个显然的区别，那就是二者的起伏频繁程度 不同，X (t) 起伏频繁程度低，而 X (t) 起伏较频繁。这个区别， 揭示了二者的自相关性不同，也就是说，二者在后继时间 上的取值受先行时间上的取值的波及关系不一样。所谓波 及，就是随机过程在先行点上的取值有尾迹(由于系统惯 性影响)，它波及后继点，使得后继点上的取值要受先行 时间点上取值的影响。这种波及的大小，表现在自相关函 B ( ) 数 上，如图 3.4所示。
T Fx ( j , T )
yT (t ) Fy ( j , T )
两个随机过程的样本函数在(-T,T)内的互功率为 1 1 P (T ) x (t ) y (t )dt x (t ) y (t )dt (3.5.3) 2T 2T 根据巴塞伐定理，有 1 x (t ) y (t )dt 2 F ( j , T ) F ( j , T )dt (3.5.4) 由式(3.5.3)和式(3.5.4)得 F ( j , T ) F ( j , T ) 1 1 P (T ) x ( t ) y ( t ) dt dt (3.5.5) 2T 2 2T