黄胜琼：反比例函数与一次函数综合应用教案
《反比例函数与一次函数的综合运用》教学设计
《反比例函数与一次函数的综合运用》教学设计【教材】新人教版数学九年级【课时安排】1 课时【教学对象】九年级【教材分析】学生已经学过反比例函数和一次函数，有了一定的了解，但是综合性有待提高。
本节课的内容结合了七年级下册二元一次方程，八年级上册最短路径问题，八年级下册一次函数以及九年级下册反比例函数的内容，包含着初中数学三年里的部分内容，综合性强。
通过本节课的学习可以使学生思维变得更开阔，也对以后更好的学习各种科学知识有很大的帮助。
本节课的学习渗透数形结合、方法归纳等数学思想，培养学生实践能力、概括能力，也培养学生的合作交流意识和探索精神。
【学情分析】学生对反比例函数和一次函数的概念、图象和性质已经基本掌握，但综合起来，就要考验学生的计算能力、读图能力和分析能力了，这对于我校的学生来说是有待提高的。
因此我选择了从稍微简单的题目入手，进而突破中考 9 分题的第一题函数问题，再利用变式训练进行强化，意在让学生提高能力的同时更能增强学生学习数学，解决综合题，提高中考数学成绩的信心。
【教学目标】✧知识目标（1）理解并掌握用待定系数法确定一次函数、反比例函数的解析式；（2）已知一次函数与反比例函数的解析式，求它们图象的交点坐标；（3）能利用轴对称变化解决最短路径问题；（4）会解决一次函数与反比例函数相结合的综合问题。
✧能力目标（1）通过对一次函数与反比例函数综合问题的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识；（2）培养学生数形结合思想、方法归纳思想等。
情感目标通过解题进一步理解数形结合的数学思想在函数中的应用。
【教学重点】灵活掌握求反比例函数的解析式，求一次函数与反比例函数图象的交点坐标。
【教学难点】利用数形结合的思想方法解一次函数、正比例函数的综合题以及最短路径问题。
【教学方法】采用“学案导学、小组合作”的探究式教学方法：以导学案为辅助手段，通过小组合作探讨等方式解一次函数、正比例函数的综合题。
一次函数与反比例函数综合应用教案
一次函数与反比例函数综合应用教案一、教学目标1. 让学生掌握一次函数和反比例函数的基本概念和性质。
2. 培养学生运用一次函数和反比例函数解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过合作交流，提高解决问题的策略和思维能力。
二、教学内容1. 一次函数的基本概念和性质。
2. 反比例函数的基本概念和性质。
3. 一次函数和反比例函数的综合应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：一次函数和反比例函数的基本概念、性质和综合应用。
2. 教学难点：一次函数和反比例函数的综合应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究一次函数和反比例函数的性质。
2. 利用案例分析法，让学生通过实际问题体会一次函数和反比例函数的应用价值。
3. 采用合作交流法，培养学生团队协作和沟通能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活实例引入一次函数和反比例函数的概念。
2. 自主学习：让学生自主探究一次函数和反比例函数的性质。
3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用一次函数和反比例函数解决问题。
4. 合作交流：分组讨论，让学生分享解题策略和心得。
5. 总结提升：总结一次函数和反比例函数的性质及应用，提高学生解决问题的能力。
6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学活动设计1. 活动一：引入概念通过展示实际生活中的线性关系图片，如直线轨道上列车的运动，引导学生思考线性关系的表现形式。
引导学生提出一次函数的表达式，并解释其含义。
2. 活动二：探索性质学生通过绘制一次函数图像，观察并总结其在坐标系中的性质。
通过实际例子，让学生理解一次函数的斜率和截距对图像的影响。
3. 活动三：反比例函数的引入引导学生从比例关系出发，思考反比例函数的概念。
通过实际问题，如在固定面积内，距离与面积的关系，引入反比例函数。
七、教学评价设计1. 评价目标：学生能理解并应用一次函数和反比例函数解决实际问题。
通过设计具有挑战性的问题，如购物预算问题，让学生应用所学的函数知识。
初三一次函数与反比例函数综合应用教案
点坐标 线段长 三角形面积
拓展提高：当直线AB绕点A顺时针旋转与反比例函数 （x<0）的图象交于B点，且与x轴交于点C，且AB＝2BC，求点B、C的坐标和直线AB表达式．
过 点作 轴的平行线，过 点作 轴的平行线，这两条直线交于点F，若反比例函数 的图象与△ABE有公共点，请直接写出 的取值范围．
教
学
过
程
教师活动
学生活动
设计意图
一、知识梳理.
【知识点1】一次函数与反比例函数图象的交点.
1.交点坐标：
一次函数 与反比例函数 的交点坐标是方程组 的解.
2.交点个数：
（1）从图象上看：
一次函数 与反比例函数 的交点个数由 值的符号来决定.
① 值同号，两函数图象必有两个交点（当 时，正比例函数与反比例函数图象两交点关于原
若y轴上有一点P，且S△PAB=14，
求P点坐标；
若坐标轴上有一点P，且S△PAB=14，
求P点坐标．
【方法归纳】
三角形面积 点坐标
变式二：在例2的已知条件下，过点A作AE⊥x轴与E，当直线AB绕着点A转动时,与 轴的交点为D(b,0)，并与反比例函数图象的另一支还有一个交点的情形下,求△AED的面积S与b之间的函数关系式.并写出自变量b的取值范围．
学生总结，理解.
学生思考，求解.
对一次函数和反比例函数的交点与原点连线围成的三角形面积情况进行总结.
从函数表达式求点坐标，再由点坐标求函数表达式.
教
学
过
程
教师活动
学生活动
设计意图
【方法归纳】
表达式点坐标表达式点坐标
例2：已知：如图，已知A（-1,6），B(n,-1)是一次函数 的图象和反比例函数 的图象的两个交点．
反比例函数与一次函数的综合运用优秀教案
反比例函数与一次函数的综合运用教学设计一．教学目标能够运用一次函数和反比例函数的图象与性质解决一次函数与反比例函数的综合题。
二、教学重点、难点1、用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式。
求一次函数与反比例函数的交点坐标。
2、反比例函数、一次函数与几何图形的紧密联系，求围成的几何图形的面积。
3、利用图象性质，观察比较反比例与一次函数的函数值大小。
三、教学方法：讲练结合四、教学过程例：如图，已知点A（-4，2）、B（n，-4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m/x图象的两个交点：（1）求点B的坐标和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．解：（1）∵点A（-4，2）和点B（n，-4）都在反比例函数y=m/x的图象上∴m=-8,-4n=-8∴n=2∴B（2，-4）又由点A（-4，2）和点B（2，-4）都在一次函数y=kx+b的图象上∴-4k+b=2,2k+b=-4 , 解得k=-1,b=2∴反比例函数的解析式为y=-8/x一次函数的解析式为y=-x-2（2）由（1）得一次函数y=-x-2，令x=0，解得y=-2，∴一次函数与y轴交点为C（0，-2），∴OC=2，∴S △AOB =S △AOC +S △BOC= OC•|y 点A横坐标|+ OC•|y 点B横坐标|= ×2×4+ ×2×2=6．∴S △AOB =6；(3)、-4＜x＜0或x＞2．四、小结本节课我们通过一个题目的学习，学习了反比例函数的一次函数的综合运用。
反比例函数与一次函数综合应用教案
反比例函数与一次函数综合应用教案反比例函数与一次函数的综合应用学情分析：学生已经学过了反比例函数和一次函数，对其有一定的了解，但综合性有待提高。
本课程旨在针对中考反比例函数与一次函数结合的题目进行复练。
教学目标：1.知识目标：理解一次函数、正比例函数、反比例函数的概念。
掌握一次函数、正比例函数、反比例函数的图象及性质。
2.能力目标：能够用待定系数法求解一次函数、正比例函数、反比例函数的解析式。
能够作出一次函数、正比例函数、反比例函数的图象。
能够应用一次函数与反比例函数的图象与性质分析解决综合题。
3.情感态度与价值观：通过解题进一步理解数形结合的数学思想在函数中的应用。
教学重点：1.理解一次函数、正比例函数、反比例函数的图象及性质。
2.用待定系数法求解一次函数、正比例函数、反比例函数的解析式。
3.熟练应用一次函数与反比例函数的图象与性质进行解题。
教学难点：1.灵活运用一次函数、正比例函数、反比例函数的知识解决综合题。
2.进一步利用数形结合的思想方法进行解题。
教学方法：讲练结合学情分析：学生已经基本掌握反比例函数和一次函数的概念、图象和性质。
但是学生的计算能力、试图能力和分析能力有待提高。
因此，本课选择了稍微简单的综合题，旨在让学生提高能力的同时增强研究数学的自信心。
教学过程：一）源于中考，以点展面（导入）给定一个函数具有下列性质：①它的图象经过（－1，4）；②在每个象限内，函数y的值随自变量x的值增大而增大。
请写出一个符合上述条件的函数关系式。
设计意图：本题属于开放性试题，答案可以是反比例函数（一般学生）也可以是一次函数（好学生），由此引出本节课的内容，反比例函数与一次函数综合应用】二）综合应用，提升能力（新授课）1.例题分析若y = -4/x的图象与正比例函数y = kx(k≠0)的图象在第二象限的交点为A(－1，n)，如图所示。
1）求正比例函数的解析式。
（中等学生回答）2）确定该函数的图象与正比例函数y = kx的图象另一个交点B的坐标。
初中数学人教九年级下册第二十六章 反比例函数反比例函数与一次函数的综合应用教学设计
《反比例函数与一次函数的综合应用》教学设计一．内容和内容解析【教学内容】《反比例函数与一次函数的综合应用》是义务教育课程标准实验教科书人教版九年级上册第二十六章第二节，教参建议本单元内容5个课时完成．我们把第1、2、3小节整合为两个课时，第1课时介绍反函数的概念，第2课时探索函数关系，并用合适的函数表示方法进行描述，第3课时认识反比例函数图象（“看图说话”），画函数图象，第4、5课时整合一次函数与反比例函数之间的综合应用．本设计是第5课时，是典型的数形结合整合课，引导学生从函数图像中整合函数关系，其中运用待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，通过函数图像找出反比例函数和一次函数之间的关系是本节核心内容．【教材分析】函数是数学中最重要的基本概念之一，它刻画了现实世界中一类数量关系之间的“特殊对应关系”．方程、不等式、函数是初中数学的核心概念，它们从不同的角度刻画一类数量关系．本节课是反比例函数与一次函数的综合应用，首先必须准确运用一个点的坐标求出反比例函数的解析式，初步感受到坐标轴与函数之间联系的复杂性，同时感受到数学研究方法的化繁就简，本设计只选取了其中较为简单的例子．考虑到初中列函数的解析式是f x表示y，本节课中涉及的列函数解析式不是新的教学内容（通过函数图一个难点，其本质是用含x的式子()像找出反比例函数和一次函数之间的关系才是本节新的教学内容），因此把设计的重点放在运用待定系数法和观察图像法上，考虑到学生在日常生活中也能接触到函数图象，函数图象较为直观形象，便于学生理解函数之间的联系，在求面积时学会分割思想。
【学情分析】反比例函数的概念把学生由一次函数（直线）的学习引入到双曲线数学学习中.学生并不是初次接触函数的概念，所以理解起来较为容易，另一方面，学生在日常生活中也接触到函数图象等生活实例．在本节教学中，试图从学生较为熟悉的现实情景入手，引领学生在图像中去观察，进而达到掌握的目的。
二．目标和目标解析【知识目标】1、掌握反比例函数和一次函数解析式的求法（待定系数法）2、学会点关于原点、x轴、y轴的对称点3、掌握一次函数与坐标轴交点的特性4、学会分割：一次函数与反比例函数围成的三角形的面积，将所求的面积分割成多个三角形面积。
一次函数和反比例函数综合教学设计
一次函数和反比例函数综合应用教学设计教学过程教学环节教学活动设计意图情境引入1.复习二元一次方程与一次函数关系。
（1）已知二元一次方程组的解求相应函数图象交点坐标；（2）已知函数图象交点坐标求相应二元一次方程组的解；（3）在同一平面直角坐标系中,若一次函数y=-x+3与y=3x-5的图象交于点M,则点M的坐标为。
2.提出问题：一次函数的交点可以通过把一次函数相应的方程联立成方程组，方程组的解就是就是直线的交点。
那么一次函数和反比例函数的交点又怎么求？1.复习二元一次方程组的解和一次函数图象交点的坐标关系，回顾所学知识，感悟数形结合思想。
2.求一次函数图象交点的坐标，复习求一次函数交点坐标的过程，为教学求一次函数和反比例函数交点坐标作铺垫。
新知探究1.探究一次函数和反比例函数图象交点求法（1）多媒体展示题目；求反比例函数y=x2与一次函数y=x-1的图象的交点坐标。
（2）学生独立思考教师巡视指导；（3）同学间合作交流；（4）指名板演展示，教师适时点评。
（5）反思、总结求一次函数和反比例函数图象交点的方法，教师提炼板书：联立、转化、求解、写坐标。
2.求一次函数和反比例函数交点坐标例题（1）多媒体展示题目，指导学生读题；【例题1】如图，直线y＝x＋1与双曲线y＝kx的交点为A(1，m)和B.(1)求m的值；(2)求双曲线的解析式；(3)求点B的坐标．（2）学生独立思考；（3）同学间合作交流；1.学生在复习求一次函数交点坐标的基础上，利用类比的方法学习一次函数和反比例函数的交点，总结求一次函数和反比例函数的交点的步骤。
2.通过求一次函数和反比例函数的交点的例题，进一步巩固求一次函数和反比例函数的交点知识。
3.学生通过独立思考，学生间的合作交流，探究利用数形结合的方法确定自变量的取值范围，感受数形结合解决问题的好处，发展学生几何直观。
（4）多媒体展示学生完成的练习，学生互评，教师适时点评。
3.利用数形结合确定自变量的取值范围 （1）多媒体展示题目，学生读题理解题意； 【例题2】如图所示，反比例函数的图象y 1=xk 1与正比例函数y₂=k 2x 的图象交于点(2,1),则使y 1>y 2的x 的取值范围是( ) A ．0＜x ＜2B ．x ＞2C ．x ＞2或－2＜x ＜0D ．x ＜－2或0＜x ＜2（2）学生独立思考； （3）学生合作探究；（4）学生说解题思路，教师适时点评；（5）反思、总结根据一次函数和反比例函数图象交点确定自变量的取值范围的“三步法”：找交点写坐标，作垂线分区域，定区域写范围。
初中数学人教九年级下册第二十六章 反比例函数反比例函数与一次函数的综合应用教案
《反比例函数与一次函数的综合应用》教案一．【学习目标】1、掌握反比例函数和一次函数解析式的求法（待定系数法）2、学会点关于原点、x轴、y轴的对称点3、掌握一次函数与坐标轴交点的特性4、学会分割：一次函数与反比例函数围成的三角形的面积，将所求的面积分割成多个三角形面积。
二、【教学过程】（1）、预习温故：一次函数与反比例函数的综合比较（2）、新课早知1.在同一直角坐标系中,函数y = - x 1 与y =2x 图象的交点个数为( ).2.如图,一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =xm 的图象交于A (-2,1),B (1,n ) 两点.（1)求反比例函数和一次函数的解析式;（2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围.三、【综合应用】【例1】反比例函数y =x k 与直线y =mx 相交于A ,B 两点,B 点坐标为(-2,-3),则A 点坐 标为 .解析:由于y =x k 与y =mx 的图象都关于原点对称, 所以双曲线y =xk 与直线y =mx 的交点A ,B 也关于原点对称. 因为B 点坐标为(-2,-3),所以A 点坐标为(2,3).【例2】 如图,已知A (-4,n ),B (2,-4)是一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象和反比例函数y =x m(m ≠0)的图象的两个交点.（1)求反比例函数和一次函数的解析式;（2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积;（3)求方程kx +b -x m=0的解(请直接写出答案);（4)求不等式kx +b -x m<0的解集(请直接写出答案).四、【练习】1、函数y =2x 与函数y =-x 3在同一坐标系中的大致图象是( ).2、正比例函数y 1=k 1x (k 1≠0)与反比例函数y 2=x k 2 (k 2≠0)在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则当y 1>y 2时x 的取值范围是 .3.如图,已知直线y = -2x 经过点P (-2,a ),点P 关于y 轴的对 称点P '在反比例函数y =x k (k ≠0)的图象上. (1)求a 的值;（2)直接写出点P '的坐标;（3)求反比例函数的解析式.五、【作业】.如图,直线y =x +m 与双曲线y =xk 相交于A (2,1),B 两点.（1) 求m 及k 的值;（2) 解关于x ,y 的方程组 直接写出点B 的坐标;（3) 直线y =-2x +4m 经过点B 吗?请说明理由。
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反比例函数与一次函数的综合应用
珙县杉木树中学 黄胜琼
一、学情分析
1. 学生：学生已经学过了反比例函数和一次函数，有了一定的了解，但是综合性有待提高；
2. 教材：这是初三复习内容；
3. 课程：本课程针对中考反比例函数与一次函数结合的题目进行复习练习。
二、教学目标：
1、知识目标：
（1）一次函数、正比例函数、反比例函数的概念。
（2）一次函数、正比例函数、反比例函数的图象及性质。
2、能力目标：
（1）用待定系数法求一次函数、正比例函数、反比例函数的解析式。
（2）会用作出一次函数、正比例函数、反比例函数的图象。
（3）能够应用一次函数与反比例函数的图象与性质分析解决一次函数与反比例函数的综合题。
3、情感态度与价值观：
通过解题进一步理解数形结合的数学思想在函数中的应用。
三、教学重点：
1．一次函数、正比例函数、反比例函数的图象及性质。
2．用待定系数法求一次函数、正比例函数、反比例函数的解析式。
3．熟练应用一次函数与反比例函数的图象与性质进行解题。
四、教学难点：
1．灵活运用一次函数、正比例函数、反比例函数的有关知识解综合题。
2．进一步利用数形结合的思想方法进行解题。
五、教学方法：讲练结合
六、学情分析：
学生已经基本掌握反比例函数和一次函数的概念、图象和性质，但我校学生计算能力、试图能力和分析能力都有待提高，因此我选择了稍微简单的综合题，意在让学生提高能力的同时增强学习数学的自信心。
七、教学过程
（一）源于中考，以点展面（导入）
一个函数具有下列性质：①它的图象经过（－1，4）；②在每个象限内，函数y 的值随自变量x 的值增大而增大；请你写出一个符合上述条件的函数关系式： .
【设计意图：本题属于开放性试题，答案可以是反比例函数（一般学生）也可以是一次函数（好学生），由此引出本节课的内容，反比例函数与一次函数综合应用】
（二）综合应用，提升能力（新授课）
1.例题分析
若x
y 4-=的图象与正比例函数y =kx (k ≠0)的图象在第二象限的交点为A (－1，n )，如图.
（1）求正比例函数的解析式；（中等学生回答）
（2）确定该函数的图象与正比例函数y ＝kx 的图象另一个交点B 的坐标；
- 2 - （全体学生回答）
（3）过点A 、B 向x 轴作垂线，垂足为M 、N ，求S △AOM 、S △BON . （全体学生回答）
（4）①若C (2，m ) 为该正比例函数图象上一点，比较m 与n 的大小；（中等学生回答）
②若E (－2，m ) 为该正比例函数图象上一点，比较m 与n 的大小；（全体学生回答） ③若反比例函数值大于正比例函数值，确定 x 的取值范围. （中等学生回答）
【说明：本题是由4道学生熟悉的小题综合在一起的，难度不大，让学生体验一部分综合题就是由几个有关联的小题放在一起，消除学生抵触心理，为后面难点打基础】
2. 方法总结 解决函数问题方法总结：（师生共同总结，学生在学案中填写）
解
决
问
题 求函数解析式 确定交点坐标 求几何图形面积 比较函数值大小 3. 针对练习：回归中考，能力检测4（学生独立完成，大屏幕展示学生解题过程）
（三）变式延伸，拓展思维：
1. 例题分析
若直线()041>+=k kx y 与反比例函数()02≠=m m x
m y 为常数，的图象一个交点为A (－3，1)，如图.
（1）=1y ；=2y （全体学生）
（2）直接写出两函数的另一个交点坐标；（全体学生）
（3）当x 取何值时，21y y >；（中等学生）
（4）求△OAB 的面积； （较好学生）
（5）过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，两线交于点C ．（课外延伸）
①若反比例函数()02≠=m m x
m y 为常数，的图象与△ABC 有公共点，请直接写出m 的取值范围；
②若一次函数y =ax ＋b 的图象平行于直线 AB ，若直线y =ax ＋b 与
△ABC 有公共点，求b 的取值范围；
【说明：本题是本节课的难点，一次函数与反比例函数的结合，以及
割补法求面积，利用多媒体教学的优势，用动画展示割补的过程，从而突
破难点】
2. 方法总结
一次函数与反比例函数综合应用方法总结：（师生共同总结，学生在学案中填写）
3. 针对练习：回归中考，能力检测5（学生独立完成，大屏幕展示学生解题过程）
（四）课堂小结：
本节课讲的解决函数问题以及函数综合题的方法，强调交点的重要性.
（五）课堂反馈：回归中考，能力检测6
八、板书设计
策 略 方 法
八、教学反思
本节课学生基本掌握反比例函数和一次函数的概念、图象和性质以及掌握利用这些知识解较简单的综合题的方法，但是对于数形结合的思想运用、与几何知识的结合、坐标与线段的转化还不是很熟练，需要进一步练习提高。
- 3 -。