2018-2019学年四川省成都七中初中学校九年级(上)期中数学试卷
【精品】2020年四川省成都七中九年级上学期数学期中试卷及解析
2018学年四川省成都七中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）若反比例函数的图象过点（3，2），那么下列各点中在此函数图象上的点是（）A．B． C．D．2．（3分）一元二次函数（x﹣1）（x﹣2）=0的解为（）A．x1=﹣1，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=23．（3分）如图所示的几何体中，它的主视图是（）A．B．C．D．4．（3分）某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为120元，下面所列方程正确的是（）A．100（1﹣x%）2=120 B．100（1+x%）2=120C．100（1﹣2x%）2=120 D．100（1﹣x2%）2=1205．（3分）如图是三个反比例函数y=，y=，y=在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为（）A．k1＞k2＞k3B．k3＞k2＞k1C．k2＞k3＞k1D．k3＞k1＞k26．（3分）如图AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sinB=（）A．B．C．D．7．（3分）在下列命题中，是真命题的是（）A．两条对角线相等的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形8．（3分）某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（）A．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成B．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成C．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成D．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成9．（3分）形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为=ad﹣bc，依此法则计算的结果为（）A．﹣10 B．10 C．2 D．﹣210．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A．B．6 C．D．2+二、填空题：（每小题3分，共12分）11．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB的值为．12．（3分）已知，则=．13．（3分）若一元二次方程x2+px+q=0的两根为﹣3和4，则二次三项式x2+px+q可分解为．14．（3分）已知图中，AE：ED=3：2，则四边形ABCD与四边形EFGD的位似比为．三、解答题：（本大题共6个小题，共58分）15．（15分）（1）计算：|﹣5|﹣2cos60°﹣+（）﹣1（2）解分式方程：﹣=（3）解方程：3x（x﹣2）=2（2﹣x）16．（6分）先化简，再求值：，其中x=2+．17．（8分）有四张正面分别标有数字2，1，﹣3，﹣4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n．（1）请画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；（2）求所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率．18．（9分）如图，王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行12m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知王华同学的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m．（1）求两个路灯之间的距离；（2）当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？19．（10分）如图，一次函数y=kx+3的图象分别交x轴、y轴于点C、点D，与反比例函数的图象在第四象限的相交于点P，并且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，已知B（0，﹣6），=27且S△DBP（1）求上述一次函数与反比例函数的表达式；（2）求一次函数与反比例函数的另一个交点坐标．20．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO=，求EM：MF的值．一、B卷填空题：（每小题4分，共20分）21．（4分）是y关于x的反比例函数，且图象在第二、四象限，则m的值为．22．（4分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是．23．（4分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B．若OA2﹣AB2=12，则k的值为．24．（4分）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出个这样的停车位．（≈1.4）25．（4分）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、S n，则S n的值为．（用含n的代数式表示，n为正整数）二、解答题：（本大题共3个小题，共30分）26．（8分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？27．（10分）探索绕公共顶点的相似多边形的旋转：（1）如图1，已知：等边△ABC和等边△ADE，根据（指出三角形的全等或相似），可得CE与BD的大小关系为：．（2）如图2，正方形ABCD和正方形AEFG，求：的值；（3）如图3，矩形ABCD和矩形AEFG，AB=kBC，AE=kEF，求：的值．（用k的代数式表示）28．（12分）如图1，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（2，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．（1）求k的值；（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．2018学年四川省成都七中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）若反比例函数的图象过点（3，2），那么下列各点中在此函数图象上的点是（）A．B． C．D．【解答】解：因为反比例函数的图象经过点（3，2），故k=3×2=6，只有B中9×=6=k．故选：B．2．（3分）一元二次函数（x﹣1）（x﹣2）=0的解为（）A．x1=﹣1，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=2【解答】解：（x﹣1）（x﹣2）=0，x﹣1=0，或x﹣2=0，所以x1=1，x2=2．故选：B．3．（3分）如图所示的几何体中，它的主视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．故选：D．4．（3分）某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为120元，下面所列方程正确的是（）A．100（1﹣x%）2=120 B．100（1+x%）2=120C．100（1﹣2x%）2=120 D．100（1﹣x2%）2=120【解答】解：依题意得两次涨价后售价为100（1+x%）2，∴方程为：100（1+x%）2=120．故选：B．5．（3分）如图是三个反比例函数y=，y=，y=在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为（）A．k1＞k2＞k3B．k3＞k2＞k1C．k2＞k3＞k1D．k3＞k1＞k2【解答】解：由图知，y=的图象在第二象限，y=，y=的图象在第一象限，∴k1＜0，k2＞0，k3＞0，又当x=1时，有k2＜k3，∴k3＞k2＞k1．故选：B．6．（3分）如图AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sinB=（）A．B．C．D．【解答】解：由勾股定理知，AC2=CD2+AD2=25，∴AC=5．∵AC2+BC2=169=AB2，∴△CBA是直角三角形．∴sinB==．故选：A．7．（3分）在下列命题中，是真命题的是（）A．两条对角线相等的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【解答】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A错误；B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B错误；C、根据平行四边形的判定定理可知两条平行线相互平分的四边形是平行四边形，为真命题，故选项C是正确的；D、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项D错误；故选：C．8．（3分）某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（）A．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成B．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成C．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成D．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成【解答】解：设实际每天铺设管道x米，原计划每天铺设管道（x﹣10）米，方程，则表示实际用的时间﹣原计划用的时间=15天，那么就说明实际每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成任务．故选：C．9．（3分）形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为=ad﹣bc，依此法则计算的结果为（）A．﹣10 B．10 C．2 D．﹣2【解答】解：根据题意得：=1×4﹣2×（﹣3）=4+6=10．故选：B．10．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A．B．6 C．D．2+【解答】解：连接B′C，∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAC=45°，∴B′在对角线AC上，∵AB=AB′=2，在Rt△ABC中，AC==2，∴B′C=2﹣2，在等腰Rt△OB′C中，OB′=B′C=2﹣2，在直角三角形OB′C中，OC=（2﹣2）=4﹣2，∴OD=2﹣OC=2﹣2，∴四边形AB′OD的周长是：2AD+OB′+OD=4+2﹣2+2﹣2=4．故选：A．二、填空题：（每小题3分，共12分）11．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB的值为．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，∴设AC=12k，BC=5k，则AB==13k，∴sinB===．故答案为：．12．（3分）已知，则=．【解答】解：∵===（e+f+g≠0），∴=．故答案为：．13．（3分）若一元二次方程x2+px+q=0的两根为﹣3和4，则二次三项式x2+px+q可分解为（x+3）（x﹣4）．【解答】解：∵方程x2+px+q=0的两个根为x1=﹣3，x2=4，∴（x+3）（x﹣4）=0，∴二次三项式x2+px+q=（x+3）（x﹣4）；故答案为（x+3）（x﹣4）．14．（3分）已知图中，AE：ED=3：2，则四边形ABCD与四边形EFGD的位似比为5：2．【解答】解：∵AE：ED=3：2，∴AD：ED=5：2，∴四边形ABCD与四边形EFGD的位似比为：5：2．故答案为：5：2．三、解答题：（本大题共6个小题，共58分）15．（15分）（1）计算：|﹣5|﹣2cos60°﹣+（）﹣1（2）解分式方程：﹣=（3）解方程：3x（x﹣2）=2（2﹣x）【解答】解：|﹣5|﹣2cos60°﹣+（）﹣1=5﹣2×﹣3+2=5﹣1﹣3+2=3；（2）方程两边同乘2（x﹣2），得3﹣2x=x﹣2，解得：x=，将x=代入2（x﹣2）≠0，所以x=是方程的解；（3）3x（x﹣2）=2（2﹣x），3x（x﹣2）﹣2（2﹣x）=0，（x﹣2）（3x+2）=0，x﹣2=0或3x+2=0，x1=2，x2=﹣．16．（6分）先化简，再求值：，其中x=2+．【解答】解：原式=（﹣）÷=•=•=x+4，当x=2+时，原式=2++4=6+．17．（8分）有四张正面分别标有数字2，1，﹣3，﹣4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n．（1）请画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；（2）求所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率．【解答】解：（1）画树状图得：则（m，n）共有12种等可能的结果：（2，1），（2，﹣3），（2，﹣4），（1，2），（1，﹣3），（1，﹣4），（﹣3，2），（﹣3，1），（﹣3，﹣4），（﹣4，2），（﹣4，1），（﹣4，﹣3）；（2）∵所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第第二、三、四象限的有：（﹣3，﹣4），（﹣4，﹣3），∴所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第第二、三、四象限的概率为：=．18．（9分）如图，王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行12m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知王华同学的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m．（1）求两个路灯之间的距离；（2）当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？【解答】解：（1）由对称性可知AP=BQ，设AP=BQ=xm∵MP∥BD∴△APM∽△ABD∴∴∴x=3经检验x=3是原方程的根，并且符合题意．∴AB=2x+12=2×3+12=18（m）答：两个路灯之间的距离为18米．（2）设王华走到路灯BD处头的顶部为E，连接CE并延长交AB的延长线于点F，则BF即为此时他在路灯AC的影子长，设BF=ym∵BE∥AC∴△EBF∽△CAF∴，即解得y=3.6，经检验y=3.6是分式方程的解．答：当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是3.6米．19．（10分）如图，一次函数y=kx+3的图象分别交x轴、y轴于点C、点D，与反比例函数的图象在第四象限的相交于点P，并且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，已知B（0，﹣6），=27且S△DBP（1）求上述一次函数与反比例函数的表达式；（2）求一次函数与反比例函数的另一个交点坐标．【解答】解：（1）令一次函数解析式y=kx+3中x=0，解得y=3，∴D坐标为（0，3），即OD=3，又B（0，﹣6），即OB=6，∴BD=OD+OB=3+6=9，∵S Rt=BD•BP=×9×BP=27，△BDP∴BP=6，∴P的坐标为（6，﹣6），将x=6，y=﹣6代入一次函数解析式得：﹣6=6k+3，解得：k=﹣，∴一次函数解析式为y=﹣x+3，将x=6，y=﹣6代入反比例解析式得：﹣6=，解得：m=﹣36，∴反比例函数的表达式为y=﹣；（2）联立两个关系式得：，消去y得：﹣x+3=﹣，整理得：（x﹣6）（x+4）=0，解得：x1=6，x2=﹣4，经检验是原方程的解，∴y1=﹣6，y2=9，∴一次函数与反比例函数交点为（6，﹣6）或（﹣4，9），则一次函数与反比例函数的另一交点坐标为（﹣4，9）．20．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO=，求EM：MF的值．【解答】（1）证明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OA=OC，OB=OD，∴∠AEO=∠CFO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形BFDE是平行四边形；（2）解：设OM=x，∵EF⊥AB，tan∠MBO=，∴BM=2x，又∵AC⊥BD，∴∠AOM=∠OBM，∴△AOM∽△OBM，∴=，∴AM==x，∵AD∥BC，∴△AEM∽△BFM，∴EM：FM=AM：BM=x：2x=1：4．一、B卷填空题：（每小题4分，共20分）21．（4分）是y关于x的反比例函数，且图象在第二、四象限，则m的值为﹣2．【解答】解：∵是y关于x的反比例函数，∴m2﹣m﹣7=﹣1，解得m=﹣2或3，∵图象在第二、四象限，∴m2﹣5＜0，解得：m=﹣2．故答案为：﹣2．22．（4分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是﹣≤k＜且k≠0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，∴k≠0，△=（﹣）2﹣4k＞0，∴k＜且k≠0，∵2k+1≥0，∴k≥﹣，∴k的取值范围是﹣≤k＜且k≠0，故答案为：﹣≤k＜且k≠0．23．（4分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B．若OA2﹣AB2=12，则k的值为6．【解答】解：设B点坐标为（a，b），∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∴OA=AC，AB=AD，OC=AC，AD=BD，∵OA2﹣AB2=12，∴2AC2﹣2AD2=12，即AC2﹣AD2=6，∴（AC+AD）（AC﹣AD）=6，∴（OC+BD）•CD=6，∴a•b=6，∴k=6．故答案为：6．24．（4分）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出17个这样的停车位．（≈1.4）【解答】解：如图，CE=2.2÷sin45°=2.2÷≈3.1米，BC=（5﹣CE×）×≈1.98米，BE=BC+CE≈5.04，EF=2.2÷sin45°=2.2÷≈3.1米，（56﹣3.1﹣1.98）÷3.1+1=50.92÷3.1+1≈17（个）．故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．故答案为：17．25．（4分）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、S n，则S n的值为24n﹣5．（用含n的代数式表示，n为正整数）【解答】解：∵函数y=x与x轴的夹角为45°，∴直线y=x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，∵A（8，4），∴第四个正方形的边长为8，第三个正方形的边长为4，第二个正方形的边长为2，第一个正方形的边长为1，…，第n个正方形的边长为2n﹣1，由图可知，S1=×1×1+×（1+2）×2﹣×（1+2）×2=，S2=×4×4+×（4+8）×8﹣×（4+8）×8=8，…，S n为第2n与第2n﹣1个正方形中的阴影部分，第2n个正方形的边长为22n﹣1，第2n﹣1个正方形的边长为22n﹣2，S n=•22n﹣2•22n﹣2=24n﹣5．故答案为：24n﹣5．二、解答题：（本大题共3个小题，共30分）26．（8分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？【解答】解：（1）由题意，得60（360﹣280）=4800元．答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由题意，得（360﹣x﹣280）（5x+60）=7200，解得：x1=8，x2=60．∵有利于减少库存，∴x=60．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．27．（10分）探索绕公共顶点的相似多边形的旋转：（1）如图1，已知：等边△ABC和等边△ADE，根据△AEC≌△ADB（指出三角形的全等或相似），可得CE与BD的大小关系为：CE=BD．（2）如图2，正方形ABCD和正方形AEFG，求：的值；（3）如图3，矩形ABCD和矩形AEFG，AB=kBC，AE=kEF，求：的值．（用k的代数式表示）【解答】解：（1）如图1，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AE=AD，AC=AB，∠CAB=∠EAD．∴∠CAE=∠BAD．在△AEC和△ADB中，．∴△AEC≌△ADB．∴CE=BD．故答案分别为：△AEC≌△ADB、CE=BD．（2）如图2，∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，∴AC=AB，AF=AE，∠CAB=∠FAE=45°．∴==，∠CAF=∠BAE．∴△AFC∽△AEB．∴==．∴的值为．（3）连结FA、CA，如图3，∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，AB=kBC，AE=kEF，∴∠FEA=∠CBA=90°，==k．∴△FEA∽△CBA．∴=，∠FAE=∠CAB．∴∠FAC=∠EAB．∴△FAC∽△EAB．∴=∵AC===BC．∴==．∴的值为．28．（12分）如图1，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（2，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．（1）求k的值；（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．【解答】解：（1）把A（2，1）代入y=得k=2×1=2；（2）作BH⊥AD于H，如图1，把B（1，a）代入反比例函数解析式y=得a=2，∴B点坐标为（1，2），∴AH=2﹣1，BH=2﹣1，∴△ABH为等腰直角三角形，∴∠BAH=45°，∵∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，∴tan∠DAC=tan30°=；∵AD⊥y轴，∴OD=1，AD=2，∵tan∠DAC==，∴CD=2，∴OC=1，∴C点坐标为（0，﹣1），设直线AC的解析式为y=kx+b，把A（2，1）、C（0，﹣1）代入得，解，∴直线AC的解析式为y=x﹣1；（3）设M点坐标为（t，）（0＜t＜2），∵直线l⊥x轴，与AC相交于点N，∴N点的横坐标为t，∴N点坐标为（t，t﹣1），∴MN=﹣（t﹣1）=﹣t+1，=•t•（﹣t+1）∴S△CMN=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+（0＜t＜2），∵a=﹣＜0，∴当t=时，S有最大值，最大值为．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
四川省成都七中育才学校2018-2019学年九年级(上)第七周周测数学试卷(解析版)
2018-2019学年四川省成都七中育才学校九年级（上）第七周周测数学试卷一．选择题（每小题3分，共30分）1．将方程x2﹣2x＝2配成（x+a）2＝k的形式，则a＝（）A．1 B．2 C．4 D．﹣12．已知，那么的值为（）A．B．C．D．﹣3．实数，2π，tan45°，，cos60°，sin45°，中无理数的个数有（）个．A．2 B．3 C．4 D．54．如果线段AB＝1，点C是AB上靠近点B的黄金分割点，则AC的值为（）A．B．C．D．或5．兴义市2014年财政总收入为60亿元，2016年财政总收入达80亿元，若平均每年的增长率为x，则可以列出方程为（）A．60（1+x）2＝80 B．（60+x%）2＝80C．60（1+x）（1+2x）2＝80 D．60（1+x%）2＝806．下列函数中，y与x之间是反比例函数关系的是（）A．xy＝B．3x+2y＝0 C．y＝D．y＝7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则sin A的值为（）A．B．C．D．8．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列哪些条件，①∠AED＝∠B②＝③＝，使△ADE与△ACB一定相似（）A．①②B．②C．①③D．①②③9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE．则＝（）A．B．C．D．10．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△ABC沿AC折叠，点B落到E点，此时AE交CD于F，则AF：EF＝（）A．24：7 B．25：7 C．2：1 D．3：1二．填空题（每小题4分，共16分）11．一元二次方程（3﹣2x）2＝3﹣2x的解是．12．反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（3，5），若点（﹣5，n）在反比例函数的图象上，则n等于．13．比较大小：cos35°sin65°．14．小明同学沿坡度为i＝1：的山路向上行走了100米，则小明上升的高度是米．三．解答题（共54分）15．（10分）计算下列各题（1）解方程：x2﹣4x﹣3＝0（2）（）﹣1﹣2tan45°+4sin60°﹣16．（6分）先化简，再求值：，其中a2﹣4a+2＝017．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A （﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．18．（8分）某水果批发商场经销一种高档水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价3元，日销售量将减少60千克；（1）为了获得6000元的利润，同时考虑顾客的利益，那么应该涨价多少元？（2）通过涨价可以使利润达到10000元吗如果能，应涨价多少元如果不能，请说明理由．19．（10分）如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D 在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，求A，B之间的距离．（≈，结果精确到海里）．20．（12分）已知Rt△ABC中，AC＝BC＝2．一直角的顶点P在AB上滑动，直角的两边分别交线段AC，BC于E．F两点（1）如图1，当＝且PE⊥AC时，求证：＝；（2）如图2，当＝1时（1）的结论是否仍然成立为什么（3）在（2）的条件下，将直角∠EPF绕点P旋转，设∠BPF＝α（0°＜α＜90°）．连结EF，当△CEF的周长等于2+时，请直接写出α的度数．B卷21．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD＝．22．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，F为DE中点，若点D在直线BC 上运动，连接CF，则在点D运动过程中，线段CF的最小值是．23．（12分）在平面直角坐标系中，BC∥OA，BC＝3，OA＝6，AB＝3（1）直接写出点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2BE，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式；（3）在（2）的条件下，点M是直线DE上的一点，在x轴上方是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2018-2019学年四川省成都七中育才学校九年级（上）第七周周测数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每小题3分，共30分）1．将方程x2﹣2x＝2配成（x+a）2＝k的形式，则a＝（）A．1 B．2 C．4 D．﹣1【分析】先把方程两边加上1，然后把方程左边配成完全平方的形式，从而得到a的值．【解答】解：x2﹣2x+1＝3，（x﹣1）2＝3．所以a＝﹣1．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．2．已知，那么的值为（）A．B．C．D．﹣【分析】直接利用已知把a，b用同一未知数表示，进而计算得出答案．【解答】解：∵，∴设a＝4x，则b＝5x，那么＝＝．故选：C．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出a，b的值是解题关键．3．实数，2π，tan45°，，cos60°，sin45°，中无理数的个数有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：tan45°＝1，＝4，cos60°＝，sin45°＝，其中2π，cos60°，sin45°是无理数，故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，…（每两个8之间依次多1个0）等形式．4．如果线段AB＝1，点C是AB上靠近点B的黄金分割点，则AC的值为（）A．B．C．D．或【分析】根据黄金比值是计算即可．【解答】解：∵点C是AB上靠近点B的黄金分割点，∴AC＞BC，∴AC＝AB＝，故选：B．【点评】本题考查的黄金分割，掌握黄金比值为是解题的关键．5．兴义市2014年财政总收入为60亿元，2016年财政总收入达80亿元，若平均每年的增长率为x，则可以列出方程为（）A．60（1+x）2＝80 B．（60+x%）2＝80C．60（1+x）（1+2x）2＝80 D．60（1+x%）2＝80【分析】2016年财政总收入＝2014年财政总收入×（1+增长率）2，把相关数值代入即可．【解答】解：2015年财政总收入为60×（1+x），2016年财政总收入为60×（1+x）×（1+x）＝60×（1+x）2，可列方程为60（1+x）2＝80，故选：A．【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．6．下列函数中，y与x之间是反比例函数关系的是（）A．xy＝B．3x+2y＝0 C．y＝D．y＝【分析】根据反比例函数的定义，解析式符合y＝（k≠0）的形式为反比例函数．【解答】解：A、xy＝属于反比例函数，故此选项正确；B、3x+2y＝0是一次例函数，故此选项错误；C、y＝（k≠0），不属于反比例函数，故此选项错误；D、y＝，是y与x+1成反比例，故此选项错误．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数的定义，注意在解析式的一般式y＝（k≠0）中，特别注意不要忽略k≠0这个条件．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则sin A的值为（）A．B．C．D．【分析】作出图形，根据∠A的余弦设AC＝5k，AB＝13k，利用勾股定理列式求出BC＝12k，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式即可．【解答】解：如图，∵∠C＝90°，cos A＝，∴设AC＝5k，AB＝13k，根据勾股定理得，BC＝＝＝12k，所以，sin A＝＝＝．故选：D．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，同角三角函数的关系，掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．8．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列哪些条件，①∠AED＝∠B②＝③＝，使△ADE与△ACB一定相似（）A．①②B．②C．①③D．①②③【分析】根据相似三角形的判定方法即可一一判断；【解答】解：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B，∴△AED∽△ABC，故①正确，∵∠A＝∠A，＝，∴△AED∽△ABC，故③正确，由②无法判定△ADE与△ACB相似，故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE．则＝（）A．B．C．D．【分析】由点D，E分别是边AC，AB的中点，推出DE∥BC，DE＝BC，推出△DEO∽△BCO，可得＝＝，推出OD：DB＝1：3，由此即可解决问题；【解答】解：∵点D，E分别是边AC，AB的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DEO∽△BCO，∴＝＝，∴OD：DB＝1：3，∴＝，故选：B．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△ABC沿AC折叠，点B落到E点，此时AE交CD于F，则AF：EF＝（）A．24：7 B．25：7 C．2：1 D．3：1【分析】根据折叠的性质得到AE＝AB，∠BAC＝∠EAC，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到FD＝FE，根据勾股定理计算即可．【解答】解：由折叠的性质可知，AE＝AB，∠BAC＝∠EAC，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∴∠EAC＝∠DCA，∴FA＝FC，∴FD＝FE，在Rt△AFD中，AF2＝AD2+DF2，即AF2＝32+（4﹣AF）2，解得，AF＝，∴DF＝4﹣＝，∴AF：EF＝AF：DF＝25：7，故选：B．【点评】本题考查的是翻转变换的性质、矩形的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．二．填空题（每小题4分，共16分）11．一元二次方程（3﹣2x）2＝3﹣2x的解是或1 ．【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：（3﹣2x）2﹣（3﹣2x）＝0，（3﹣2x）（3﹣2x﹣1）＝0，∴3﹣2x＝0或2﹣2x＝0，∴x＝或x＝1，故答案为：或1【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．12．反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（3，5），若点（﹣5，n）在反比例函数的图象上，则n等于﹣3 ．【分析】把点（3，5）代入y＝（k≠0），求出k，即可得出反比例函数的解析式，把点（﹣5，n）代入函数解析式，即可求出n．【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（3，5），∴代入得：k＝3×5＝15，即y＝，∵点（﹣5，n）在反比例函数的图象上，∴代入得：n＝＝﹣3，故答案为﹣3．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和用待定系数法求出反比例函数的解析式，能求出函数的解析式是解此题的关键．13．比较大小：cos35°＜sin65°．【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得正弦函数，根据正弦函数随锐角的增大而增大，可得答案．【解答】解：cos35°＝sin（90﹣35）°＝sin55°，由正弦函数随锐角的增大而增大，得sin55°＜sin65°，即cos35°＜sin65°．故答案为：＜．【点评】本题考查了锐角三角函数的增加性，利用一个角的余弦等于它余角的正弦得出正弦函数是解题关键．14．小明同学沿坡度为i＝1：的山路向上行走了100米，则小明上升的高度是50米．【分析】由斜坡的坡度i ＝1：＝，可得坡角α的度数，再求得斜坡的正弦值sin α，那么它垂直上升的高度可利用正弦函数求得． 【解答】解：∵斜坡的坡度i ＝1：＝，∴坡角α＝60°， ∴斜坡的正弦值sin α＝，∴小明上升的高度是100×sin α＝50（米）． 故答案为50．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣﹣坡度坡角问题，根据坡度求出坡角是解题的关键．坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i 表示，常写成i ＝1：m 的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i 与坡角α之间的关系为：i ＝h ：l ＝tan α． 三．解答题（共54分） 15．（10分）计算下列各题 （1）解方程：x 2﹣4x ﹣3＝0（2）（）﹣1﹣2tan45°+4sin60°﹣【分析】（1）利用配方法解方程；（2）根据负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值计算． 【解答】解：（1）x 2﹣4x ＝3，x 2﹣4x +4＝7，（x ﹣2）2＝7，x ﹣2＝±，所以x 1＝2+，x 2＝2﹣； （2）原式＝2﹣2×1+4×﹣2＝0．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x +m ）2＝n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了实数的运算． 16．（6分）先化简，再求值：，其中a 2﹣4a +2＝0【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据a 2﹣4a +2＝0，即可求得所求式子的值．【解答】解：＝[]＝＝＝＝＝，∵a2﹣4a+2＝0，∴a2﹣4a＝﹣2，∴原式＝．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．17．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A （﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．【分析】（1）画出A 、B 、C 关于x 轴的对称点A 1、B 1、C 1即可解决问题；（2）连接OB 延长OB 到B 2，使得OB ＝BB 2，同法可得A 2、C 2，△A 2B 2C 2就是所求三角形； 【解答】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1就是所求三角形（2）如图所示，△A 2B 2C 2就是所求三角形如图，分别过点A 2、C 2作y 轴的平行线，过点B 2作x 轴的平行线，交点分别为E 、F ， ∵A （﹣1，2），B （2，1），C （4，5），△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2， ∴A 2（﹣2，4），B 2（4，2），C 2（8，10）， ∴＝8×10﹣×6×2﹣×4×8﹣×6×10＝28．【点评】本题考查作图﹣位似变换，作图轴对称变换等知识，解题的关键是理解位似变换、轴对称变换的定义，属于中考常考题型．18．（8分）某水果批发商场经销一种高档水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价3元，日销售量将减少60千克；（1）为了获得6000元的利润，同时考虑顾客的利益，那么应该涨价多少元？（2）通过涨价可以使利润达到10000元吗如果能，应涨价多少元如果不能，请说明理由．【分析】（1）设应该涨价x元/千克，则每天可售出（500﹣）千克，根据每千克的利润×日销售量＝日销售利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）同（1）可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣775＜0，即可得出不能通过涨价可以使利润达到10000元．【解答】解：（1）设应该涨价x元/千克，则每天可售出（500﹣）千克，根据题意得：（10+x）（500﹣）＝6000，整理得：x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10，∵同时考虑顾客的利益，∴x＝5．答：应该涨价5元/千克．（2）不能，理由如下：根据题意得：（10+x）（500﹣）＝10000，整理得：x2﹣15x+250＝0，∵△＝（﹣15）2﹣4×1×250＝﹣775＜0，∴该方程无解，∴不能通过涨价可以使利润达到10000元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．19．（10分）如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D 在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，求A，B之间的距离．（≈，结果精确到海里）．【分析】作DE⊥AB于E，根据直角三角形的性质得到DE＝AB，设DE＝x海里，根据正切的定义求出CE，根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：作DE⊥AB于E，由题意得，∠DBA＝∠DAB＝45°，∴∠ADB＝90°，∴DE＝AB，设DE＝x海里，则AB＝2x海里，∵∠DCE＝30°，∴CE＝DE＝x，由题意得，CE﹣BE＝BC，即x﹣x＝25，解得，x＝（25+1），则AB＝25（+1）≈，答：A，B之间的距离为海里．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．20．（12分）已知Rt△ABC中，AC＝BC＝2．一直角的顶点P在AB上滑动，直角的两边分别交线段AC，BC于E．F两点（1）如图1，当＝且PE⊥AC时，求证：＝；（2）如图2，当＝1时（1）的结论是否仍然成立为什么（3）在（2）的条件下，将直角∠EPF绕点P旋转，设∠BPF＝α（0°＜α＜90°）．连结EF，当△CEF的周长等于2+时，请直接写出α的度数．【分析】（1）如图1，易证△AEP∽△PFB，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）连接CP，如图2，易证△APE≌△CPF，从而得到PE＝PF，故（1）的结论不成立；（3）在（2）的条件下可得AE＝CF，由此可得EC+CF＝2，EF＝，设CF＝x，在Rt△CEF中运用勾股定理可求出CF的值．由于CF的值有两个，需分以下两种情况讨论：①若CF＝，如图3，过点P作PH⊥BC于H，先求出PH、FH，然后在Rt△PHF中运用三角函数可求出∠FPH的度数，由此可求出α的值；②若CF＝，如图4，过点P作PG⊥AC于G，同理可求出∠APE度数，四川省成都七中育才学校2018-2019学年九年级(上)第七周周测数学试卷(解析版)由此可求出α的值．【解答】解：（1）如图1，∵PE⊥AC，∴∠AEP＝∠PEC＝90°．又∵∠EPF＝∠ACB＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴∠PFC＝90°，∴∠PFB＝90°，∴∠AEP＝∠PFB．∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∴∠FPB＝∠B＝45°，△AEP∽△PFB，∴PF＝BF，＝，∴＝＝；（2）（1）的结论不成立，理由如下：连接PC，如图2．∵＝1，∴点P是AB的中点．又∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴CP＝AP＝AB．∠ACP＝∠BCP＝∠ACB＝45°，CP⊥AB，∴∠APE+∠CPE＝90°．∵∠CPF+∠CPE＝90°，∴∠APE＝∠CPF．在△APE和△CPF中，，∴△APE≌△CPF，∴AE＝CF，PE＝PF．故（1）中的结论＝不成立；（3）当△CEF的周长等于2+时，α的度数为75°或15°．提示：在（2）的条件下，可得AE＝CF（已证），∴EC+CF＝EC+AE＝AC＝2．∵EC+CF+EF＝2+，∴EF＝．设CF＝x，则有CE＝2﹣x，在Rt△CEF中，根据勾股定理可得x2+（2﹣x）2＝（）2，整理得：3x2﹣6x+2＝0，解得：x1＝，x2＝．①若CF＝，如图3，过点P作PH⊥BC于H，易得PH＝HB＝CH＝1，FH＝1﹣＝，在Rt△PHF中，tan∠FPH＝＝，∴∠FPH＝30°，∴α＝∠FPB＝30+45°＝75°；②若CF＝，如图4，过点P作PG⊥AC于G，同理可得：∠APE＝75°，∴α＝∠FPB＝180°﹣∠APE﹣∠EPF＝15°．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，有一定的综合性，得到EC+CF＝2是解决第（3）小题的关键．B卷21．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD＝．【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解．【解答】解：延长AD和BC交于点E．∵在直角△ABE中，tan A＝＝，AB＝3，∴BE＝4，∴EC＝BE﹣BC＝4﹣2＝2，∵△ABE和△CDE中，∠B＝∠EDC＝90°，∠E＝∠E，∴∠DCE＝∠A，∴直角△CDE中，tan∠DCE＝tan A＝＝，∴设DE＝4x，则DC＝3x，在直角△CDE中，EC2＝DE2+DC2，∴4＝16x2+9x2，解得：x＝，则CD＝．故答案是：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．22．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，F为DE中点，若点D在直线BC 上运动，连接CF，则在点D运动过程中，线段CF的最小值是 4 ．【分析】连接CE，根据∠DCE＝90°，F是DE的中点，可得CF＝DE，再根据当AD⊥BC时，AD最短，此时DE最短，根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质，求得DE的最小值，即可得出CF的最小值．【解答】解：如图，连接CE，∵△ABC∽△ADE，∴∠ACD＝∠AEG，又∵∠AGE＝∠DGC，∴△AGE∽△DGC，∴＝，又∵∠AGD＝∠EGC，∴△AGD∽△EGC，∴∠ADG＝∠ECG，又∵Rt△ADE中，∠ADG+∠AEG＝90°，∴∠ECG+∠ACD＝90°，即∠DCE＝90°，∵F是DE的中点，∴CF＝DE，∵△ABC∽△ADE，∴当AD⊥BC时，AD最短，此时DE最短，当AD⊥BC时，AD＝＝，∵＝，即＝，∴DE＝8，∴CF＝×8＝4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及直角三角形斜边上中线的性质的应用，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．解决问题的关键是利用垂线段最短得到线段的最小值．23．（12分）在平面直角坐标系中，BC∥OA，BC＝3，OA＝6，AB＝3（1）直接写出点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2BE，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式；（3）在（2）的条件下，点M是直线DE上的一点，在x轴上方是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）过B作BG⊥OA于点G，在Rt△ABG中，利用勾股定理可求得BG的长，则可求得B点坐标；（2）由条件可求得E点坐标，利用待定系数法可求得直线DE的解析式；（3）当OD为边时，则MO＝OD＝5或MD＝OD＝5，可求得M点坐标，由MN∥OD，且MN＝OD可求得N 点坐标；当OD为对角线时，则MN垂直平分OD，则可求得M、N的纵坐标，则可求得M的坐标，利用对称性可求得N点坐标．【解答】解：（1）如图1，过B作BG⊥OA于点G，∵BC＝3，OA＝6，∴AG＝OA﹣OG＝OA﹣BC＝6﹣3＝3，在Rt△ABG中，由勾股定理可得AB2＝AG2+BG2，即（3）2＝32+BG2，解得BG＝6，∴OC＝6，∴B（3，6）；（2）由OD＝5可知D（0，5），∵B（3，6），OE＝2BE，∴E（2，4），设直线DE的解析式是y＝kx+b把D（0，5）E（2，4）代入得，∴直线DE的解析式是y＝﹣x+5；（3）当OD为菱形的边时，则MN＝OD＝5，且MN∥OD，∵M在直线DE上，∴设M（t，﹣ t+5），①当点N在点M上方时，如图2，则有OM＝MN，∵OM2＝t2+（﹣t+5）2，∴t2+（﹣t+5）2＝52，解得t＝0或t＝4，当t＝0时，M与D重合，舍去，∴M（4，3），∴N（4，8）；②当点N在点M下方时，如图3，则有MD＝OD＝5，∴t2+（﹣t+5﹣5）2＝52，解得t＝2或t＝﹣2，当t＝2时，N点在x轴下方，不符合题意，舍去，∴M（﹣2， +5），∴N（﹣2，）；当OD为对角线时，则MN垂直平分OD，∴点M在直线y＝上，在y＝﹣x+5中，令y＝可得x＝5，∴M（5，），∵M、N关于y轴对称，∴N（﹣5，），综上可知存在满足条件的点N，其坐标为（4，8）或（﹣5，）或（﹣2，）．【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及勾股定理、待定系数法、菱形的性质、分类讨论及方程思想．在（2）中求得E点坐标是解题的关键，在（3）中求得M点的坐标是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．。
2018-2019学年四川省成都市成华区九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2018-2019学年四川省成都市成华区九年级（上）期中数学试卷1.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. 直角三角形B. 正五边形C. 正方形D. 平行四边形2.若xy =13，则x+yy=()A. 4：3B. 1：4C. 2：3D. 4：13.如图所示的几何体的左视图是()A.B.C.D.4.下列命题正确的是()A. 平行四边形的对角线互相垂直平分B. 矩形的对角线互相垂直平分C. 菱形的对角线互相平分且相等D. 正方形的对角线互相垂直平分5. 一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为( )A. 16B. 13C. 12D. 236. 一元二次方程y 2−y −34=0配方后可化为( )A. (y +12)2=1B. (y −12)2=1C. (y +12)2=34D. (y −12)2=347. 如图，四边形ABCD 和A′B′C′D′是以点O 为位似中心的位似图形，若OA ：OA′=2：3，则四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′的面积比为( )A. 4：9B. 2：5C. 2：3D. √2：√38. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )A.B.C.D.9. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，斜边AB =9，D 为AB 的中点，F 为CD 上一点，且CF =13CD ，过点B 作BE//DC 交AF 的延长线于点E ，则BE 的长为( )A. 6B. 4C. 7D. 1210.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE//BD，且交AB于点E，GF//AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是()A. ABAE =AGADB. DFCF =DGADC. FGAC =EGBDD. AEBE =CFDF11.已知线段a，b，c，d成比例，且a=6cm，b=3cm，d=35cm，则c的长度是______cm．12.若m是方程2x2−3x−1=0的一个根，则6m2−9m+2015的值为______．13.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，CD=3，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点F，交CD于点G，再分别以点F、G为圆心，大于12FG的长为半径画弧，两弧相交于点H，射线CH交BA的延长线于点E，则AE的长是______．14.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”大意是：如图，ABCD是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门E位于CD的中点，南门F位于AD的中点，出东门15步的G处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于G处的树木(即点H在直线GD上)？请你计算FH的长为______步．15.解下列方程：(1)x2−2x−1=0．(2)(x+8)(x+1)=−12．(3)2(x−3)=3x(x−3)．16.已知，关于x的一元二次方程x2−(2k−1)x+k2=0，当k取何值时．(1)方程有两个不相等的实数根？(2)方程有两个相等的实数根？并求出这两个等根．17.数学兴趣小组准备测算旗杆的高度，方法如下：如图，小亮蹲在地上，小明适当调整标杆的位置，使小亮的眼睛A，标杆顶部B及旗杆的顶部M恰在一条直线上．测得小亮与标杆之间的距离CD=2米，标杆与旗杆之间的距离DN=10米(C,D，N在一条直线上)，标杆的高度BD=2米，小亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=0.8m.求旗杆的高度MN为多少米？18.某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米长跑测试，按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图．根据图中信息解答下列问题：(1)扇形统计图中“良好”所对应的圆心角度数是______，请补全条形统计图；(2)该校九年级有200名男生，请估计成绩未达到良好有多少名？(3)某班甲、乙两位成绩获“优秀”的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛，预赛分为A，B，C，D四组进行，选手由抽签确定分组，甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？(用树状图或列表法解答)19.在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系．销售量y(千克)…34.83229.628…售价x(元/千克)…22.62425.226…(1)某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．(2)如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？20.(1)问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M.填空：①ACBD的值为______；②∠AMB的度数为______．(2)类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M.请判断ACBD的值及∠AMB的度数，并说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=√7，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．21.已知：a5=b7=c8，且3a−2b+c=9，则2a+4b−3c=______．22.若x1，x2是一元二次方程3x2+2x−9=0的两根，则x2x1+x1x2的值是______．23. 如图，点E 是线段AB 的黄金分割点，且AE >BE.分别以AB ，AE 为边长在AB 的同侧作正方形ABCD 和AEKF ，延长FK ，EK 分别交BC ，CD 于G ，H ，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在四边形KGCH 内的概率为P 1，针尖落在四边形AEKF 的概率为P 2，则P1P 2=______．24. 如图，矩形EFGH 的四个顶点分别在菱形ABCD 的四条边上，BE =BF ，将△AEH ，△CFG 分别沿边EH ，FG 折叠，当重叠部分为菱形且面积(阴影部分)是菱形ABCD 面积的116时，那么AEBE =______．25. 如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，点E 、F 分别在BC 、CD 上，若AE =√5，∠EAF =45°，则AF 的长为______．26. 某地2017年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2019年在2017年的基础上增加投入资金1600万元． (1)从2017年到2019年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ (2)在2019年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户(含第1000户)每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？27.如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG//CD交AF于点G，连接DG．(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG=6，EG=2√5，求BE的长．28.如图1，已知平行四边形ABCD，AB//x轴，AB=6，点A的坐标为(1,−4)，点D的坐标为(−3,4)，点B在第四象限，点P是平行四边形ABCD边上的一个动点．(Ⅰ)若点P在边BC.上，PD=CD，求点P的坐标．(Ⅱ)若点P在AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x−1上，求点P的坐标．(Ⅲ)若点P在CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标(直接写出答案)．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，属于基础题．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选C．2.【答案】A【解析】解：∵x y=13，∴x+yy =1+33=43．故选：A．根据ba =dc，则a+ba=c+dc得到x+yy=1+33．本题考查了比例的性质：若ba =dc，则a+ba=c+dc．3.【答案】D【解析】解：图中几何体的左视图如图所示：从左面观察几何体，能够看到的线用实线，看不到的线用虚线．本题主要考查的是几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．4.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了命题与定理，关键是掌握正确的命题是真命题，错误的命题是假命题．根据平行四边形的对角线互相平分；矩形的对角线平分且相等；菱形的对角线互相平分且垂直；正方形的对角线互相垂直平分进行分析即可．【解答】解：A.平行四边形的对角线互相垂直平分，是假命题；B.矩形的对角线互相垂直平分，是假命题；C.菱形的对角线互相平分且相等，是假命题；D.正方形的对角线互相垂直平分，是真命题；故选D．5.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键．直接得出偶数的个数，再利用概率公式求出答案．【解答】解：∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，偶数的有2，4，6，共3种情况，∴朝上一面的数字是偶数的概率为：36=12．故选：C．6.【答案】B【解析】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型． 根据配方法即可求出答案．【解答】解：y 2−y −34=0y 2−y =34y 2−y +14=34+14 (y −12)2=1 故选：B ．7.【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD 和A′B′C′D′是以点O 为位似中心的位似图形，OA ：OA′=2：3，∴DA ：D′A′=OA ：OA′=2：3，∴四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′的面积比为：(23)2=49，故选：A ．根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．8.【答案】C【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．根据网格中的数据求出AB ，AC ，BC 的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB =√32+12=√10，AC =√2，BC =2，∴AC ：BC ：AB =√2：2：√10=1：√2：√5，A、三边之比为1：√5：2√2，图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似；B、三边之比为√2：√5：3，图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似；C、三边之比为1：√2：√5，图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似；D、三边之比为2：√5：√13，图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似．故选：C．9.【答案】A【解析】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，∴CD=12AB=4.5．∵CF=13CD，∴DF=23CD=23×4.5=3．∵BE//DC，∴DF是△ABE的中位线，∴BE=2DF=6．故选：A．先根据直角三角形的性质求出CD的长，再由三角形中位线定理即可得出结论．本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．10.【答案】D【解析】解：∵GE//BD，∴AEBE =AGDG，∵GF//AC，∴AGDG =CFDF，∴AEBE =CFDF．故选D．由GE//BD、GF//AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA，根据相似三角形的性质即可找出AEBE =AGDG=CFDF，此题得解．本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出AEBE =AGDG=CFDF是解题的关键．11.【答案】65【解析】解：根据题意得ab =cd，即63=c35，解得：c=65，答：线段c的长度为65cm．故答案为：65．根据比例线段的定义得出ab =cd，即63=c35，解之可得c．本题主要考查比例线段，掌握比例线段的定义是关键．12.【答案】2018【解析】解：由题意可知：2m2−3m−1=0，∴2m2−3m=1∴原式=3(2m2−3m)+2015=2018故答案为：2018根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．13.【答案】1【解析】解：由题意可知CE是∠BCD的平分线，∴∠BCE=∠DCE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，∴∠DCE=∠E，∴∠BCE=∠AEC，∴BE=BC=5，∵AB=4，∴AE=BE−AB=1，故答案为：1．根据角平分线的定义得到∠BCE=∠DCE.根据平行线的性质得到∠DCE=∠E，等量代换得到∠BCE=∠AEC，求得BE=BC=5，根据线段的和差即可得到答案．本题考查的是作图−基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．14.【答案】200【解析】解：GE⊥OC，HF⊥AD，DF=DE=100步，EG=50步，∠ADC=90°，∴∠HFD=∠DEG=∠ADC=90°，∴FH//ED，∴∠H=∠GDE，∴△HDF∽△DGE，∴FHFD =EDEG，即FH100=10050，∴FH=200，故答案为：200．证明△HDF∽△DGE，利用相似三角形的性质得HF100=10050，然后利用比例性质可求出FH的长．本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．15.【答案】解：(1)x2−2x−1=0，移项，得x2−2x=1，配方，得x2−2x+1=1+1，(x−1)2=2，开方，得x−1=±√2，解得：x1=1+√2，x2=1−√2；(2)(x+8)(x+1)=−12，整理，得x2+9x+20=0，(x+4)(x+5)=0，x+4=0或x+5=0，解得：x1=−4，x2=−5；(3)2(x−3)=3x(x−3)，移项，得2(x−3)−3x(x−3)=0，(x−3)(2−3x)=0，x−3=0或2−3x=0，解得：x1=3，x2=23．【解析】(1)移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；(2)整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；(3)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．16.【答案】解：(1)根据题意得Δ=(2k−1)2−4k2>0，解得k<14；(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=(2k−1)2−4k2=0，解得k=14，x=−1 22=−14．【解析】(1)利用判别式的意义得到Δ=(2k−1)2−4k2>0，然后解不等式即可；(2)由题意得出Δ=(2k−1)2−4k2=0，则可得出答案．本题考查了根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)Δ> 0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．17.【答案】解：过A作CN的平行线交BD于E，交MN于F．由已知可得FN=ED=AC=0.8m，AE=CD=2m，EF=DN=10m，∠AEB=∠AFM=90°．又∵∠BAE=∠MAF，∴△ABE∽△AMF．∴BEMF =AEAF，即2−0.8MF=22+10，解得MF=7.2(m)．∴MN=MF+FN=7.2+0.8=8(m)．答：旗杆的高度MN为8m．【解析】过A作CN的平行线交BD于E，交MN于F，由相似三角形的判定定理得出△ABE∽△AMF，再由相似三角形的对应边成比例即可得出MF的长，进而得出结论．本题考查的是相似三角形的应用，解答此题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答；此题需要转化为相似三角形的问题，利用相似三角形的判定与性质求解．18.【答案】144°【解析】解：(1)扇形统计图中“良好”所对应的圆心角度数是：360°×40%=144°，合格的有：16÷40%−12−16−2=10(人)，补全条形统计图如下：故答案为：144°；(2)成绩未达到良好的有：200×10+240=60(名)，答：成绩未达到良好的有60名；(3)如下图所示，共有16种等可能的情况数，其中甲、乙两人恰好分在同一组的有4种，则甲、乙两人恰好分在同一组的概率是416=14．(1)用360°乘以“良好”所占的百分比求出“良好”所对应的圆心角度数，用总人数减去其他成绩的人数，求出合格的人数，从而不全统计图；(2)用总人数乘以成绩未达到良好的人数所占的百分比即可；(3)根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得甲、乙两人恰好分在同一组的概率． 本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．19.【答案】解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b ，将(22.6,34.8)、(24,32)代入y =kx +b ，{22.6k +b =34.824k +b =32，解得：{k =−2b =80， ∴y 与x 之间的函数关系式为y =−2x +80．当x =23.5时，y =−2x +80=33．答：当天该水果的销售量为33千克．(2)根据题意得：(x −20)(−2x +80)=150，解得：x 1=35，x 2=25．∵20≤x ≤32，∴x =25．答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．【解析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．(1)根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论；(2)根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．．20.【答案】1 40°【解析】解：(1)问题发现①如图1，∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠COA=∠DOB，∵OC=OD，OA=OB，∴△COA≌△DOB(SAS)，∴AC=BD，∴ACBD=1，②∵△COA≌△DOB，∴∠CAO=∠DBO，∵∠AOB=40°，∴∠OAB+∠ABO=140°，在△AMB中，∠AMB=180°−(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°−(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°−140°=40°，故答案为：①1；②40°；(2)类比探究如图2，ACBD=√3，∠AMB=90°，理由是：Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，∴ODOC =tan30°=√33，同理得：OBOA =tan30°=√33，∴ODOC =OBOA，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴ACBD =OCOD=√3，∠CAO=∠DBO，在△AMB中，∠AMB=180°−(∠MAB+∠ABM)=180°−(∠OAB+∠ABM+∠DBO)= 90°；(3)拓展延伸①点C与点M重合时，如图3，同理得：△AOC∽△BOD，∴∠AMB=90°，ACBD=√3，设BD=x，则AC=√3x，Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1，∴CD=2，BC=x−2，Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=√7，∴AB=2OB=2√7，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，(√3x)2+(x−2)2=(2√7)2，x2−x−6=0，(x−3)(x+2)=0，x1=3，x2=−2，∴AC=3√3；②点C与点M重合时，如图4，同理得：∠AMB=90°，ACBD=√3，设BD=x，则AC=√3x，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，(√3x)2+(x+2)2=(2√7)2x2+x−6=0，(x+3)(x−2)=0，x1=−3，x2=2，∴AC=2√3；综上所述，AC的长为3√3或2√3．(1)①证明△COA≌△DOB(SAS)，得AC=BD，比值为1；②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB=180°−(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°−140°=40°；(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则ACBD =OCOD=√3，由全等三角形的性质得∠AMB的度数；(3)正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，则∠AMB=90°，ACBD=√3，可得AC的长．本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．21.【答案】14【解析】解：由于a5=b7=c8，3a−2b+c=9，∴{7a=5b7c=8b3a−2b+c=9，解得：b=7，a=5，c=8，把a，b，c代入代数式得：2a+4b−3c=2×5+4×7−3×8=14，故本题答案为：14，另解：设：a5=b7=c8=x，则：a=5x，b=7x，c=8x3a−2b+c=9可以转化为：15x−14x+8x=9，解得x=1那么2a+4b−3c=10x+28x−24x=14x=14．故答案为：14．根据题意列出三元一次方程组，求得a，b，c的值后，代入代数式求值．本题利用了三元一次方程组的解法求解．22.【答案】−5827【解析】解：根据题意得x 1+x 2=−23，x 1⋅x 2=−3， 所以x 2x 1+x 1x 2=x 2+x 2x 1x 2=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=−5827， 故答案为−5827．先根据根与系数的关系得到x 1+x 2=−23，x 1⋅x 2=−3，再把x 2x 1+x 1x 2变形得到(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2，然后利用整体代入的方法计算．本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=ca ．23.【答案】3−√52【解析】解：由题意得：四边形KGCH 为正方形，设AB =x ，∵点E 是线段AB 的黄金分割点，且AE >BE ，∴AE =√5−12x ，BE =3−√52x ， ∴P 1P 2=S 正方形KGCHS 正方形AEKF =(3−√52x)2(√5−12x)2=3−√52，故答案为：3−√52．设AB =x ，由黄金分割点的定义得AE =√5−12x ，BE =3−√52x ，再由概率公式和正方形面积公式求解即可． 本题考查了黄金分割的定义、正方形的性质以及概率公式，熟记黄金分割的比值是解题的关键．24.【答案】53【解析】解：设重叠的菱形边长为x ，BE =BF =y ，∵阴影部分面积是菱形ABCD 面积的116，∴AB =4x ，AE =AB −BE =4x −y ，由折叠，EM =MF ，∵BE//MF ，EM//MF ，∴四边形BEMF是菱形，∴EM=BE=y，∴AE=x+y，∴4x−y=x+y，∴x=23y，∴AE=53y，∴AEBE =53yy=53，故答案为：53．设重叠的菱形边长为x，BE=BF=y，由已知可得AB=4x，AE=AB−BE=4x−y，再由四边形BEMF是菱形，可得AE=x+y，则有4x−y=x+y，则有AE=53y，即可求解．本题考查图形的折叠，熟练掌握菱形的性质，翻折的性质是解题的关键．25.【答案】4√103【解析】解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，∴NF=√2x，AN=4−x，∵AB=2，∴AM=BM=1，∵AE=√5，AB=2，∴BE=1，∴ME=√BM2+BE2=√2，∵∠EAF=45°，∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴AMFN =MEAN，∴√2x =√24−x，解得：x=43，∴AF=√AD2+DF2=4√103．故答案为：4√103．取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=√2x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，26.【答案】解：(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，得：1280(1+x)2=1280+1600，解得：x=0.5或x=−2.5(舍)，答：从2017年到2019年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；(2)设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得：1000×8×400+(a−1000)×5×400≥5000000，解得：a≥1900，答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．【解析】(1)设年平均增长率为x，根据：2017年投入资金给×(1+增长率)2=2019年投入资金，列出方程求解可得；(2)设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据：前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万，列不等式求解可得．本题主要考查一元二次方程与一元一次不等式的应用，由题意准确抓住相等关系并据此列出方程或不等式是解题的关键．27.【答案】解：(1)证明：∵GE//DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．(2)EG2=12GF⋅AF．理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG=OF=12GF．∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴DFAF =FOFD，即DF2=FO⋅AF．∵FO=12GF，DF=EG，∴EG2=12GF⋅AF．(3)如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2=12GF⋅AF，AG=6，EG=2√5，∴20=12FG(FG+6)，整理得：FG2+6FG−40=0．解得：FG=4，FG=−10(舍去)．∵DF=GE=2√5，AF=10，∴AD=√AF2−DF2=4√5．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH//AD．∴△FGH∽△FAD．∴GHAD =FGFA，即4√5=410．∴GH=8√55．∴BE=AD−GH=4√5−8√55=12√55．【解析】(1)先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF，即可得证；(2)连接DE，交AF于点O.由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=12GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO⋅AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；(3)过点G作GH⊥DC，垂足为H.利用(2)的结论可求得FG=4，然后在△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH 的长，最后依据BE=AD−GH求解即可．本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO⋅AF是解答问题(2)的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题(3)的关键．28.【答案】解：(Ⅰ)∵CD=6，∴点P与点C重合，∴点P坐标为(3,4)．(Ⅱ)①当点P在边AD上时，∵直线AD的解析式为y=−2x−2，设P(a,−2a−2)，且−3≤a≤1，若点P关于x轴的对称点Q1(a,2a+2)在直线y=x−1上，∴2a+2=a−1，解得a=−3，此时P(−3,4)．若点P关于y轴的对称点Q3(−a,−2a−2)在直线y=x−1上时，∴−2a−2=−a−1，解得a=−1，此时P(−1,0)②当点P在边AB上时，设P(a,−4)且1≤a≤7，若等P关于x轴的对称点Q2(a,4)在直线y=x−1上，∴4=a−1，解得a=5，此时P(5,−4)，若点P关于y轴的对称点Q4(−a,−4)在直线y=x−1上，∴−4=−a−1，解得a=3，此时P(3,−4)，综上所述，点P的坐标为(−3,4)或(−1,0)或(5,−4)或(3,−4)．(Ⅲ)如图1中，当点P在线段CD上时，设P(m,4)．在Rt△PNM′中，∵PM=PM′=6，PN=4，∴NM′=√M′P2−PN2=√36−16=2√5，在Rt△OGM′中，∵OG2+OM′2=GM′2，∴22+(2√5+m)2=m2，解得m=−6√55，∴P(−6√55,4)，根据对称性可知，P(6√55,4)也满足条件．∴当点P的坐标为(−6√55,4)或(6√55,4)时，点M的对应点落在坐标轴上．【解析】(Ⅰ)由题意点P与点C重合，可得点P坐标为(3,4)；(Ⅱ)分两种情形①当点P在边AD上时，②当点P在边AB上时，分别列出方程即可解决问题；(Ⅲ)当点P在线段CD上时，设P(m,4)，由勾股定理可求NM′的长，由勾股定理可求解．本题是一次函数综合题，考查了平行四边形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
2018~2019学年四川成都七中嘉祥外国语学校初三上学期期中数学试卷
13. 已知二次函数
的图象如图所示，则这个二次函数的表达式是
．
14. 如图所示， 为平行四边形
的边 延长线上一点，且 为 的黄金分割点，即
， 交 于点 ，已知
，则
.
三、解答题
（本大题共 5 个小题，共 50 分）
15. 回答下列问题：
（ 1 ）计算：
．
（ 2 ）解方程：
．
16. 先化简，再求值： 整数．
不等式组
有整数解的概率是
．
23. 已知二次函数 ；③
；④
的图象如图所示，则下列结论：① ，其中正确的结论是（填写序号）
；② ．
y
x
O
24. 如图，在矩形
中，
，
沿 所在直线翻折得到
，则
周长的最小值是
， 是 边的中点， 是 边上的一动点，将 ，连接 ．在 上存在一动点 ．连接 、 ．
25. 如图，已知双曲线
程为（ ）．
A.
B.
C.
D.
7. 某校九年级参加了“维护小区周边环境”、“维护繁华街道卫生”、“义务指路”等志愿者活
动，如图是根据该校九年级六个班的同学某天“义务指路”总人次所绘制的折线统计图，则关于
这六个数据中，下列说法正确的是（ ）． 九年级六个班的同学某天 义务指路 总人次折线统计图
总人次
A. 极差是
2018~2019学年四川成都成都七中嘉祥外国语学校初三 上学期期中数学试卷
A 卷（共 100 分）
一、选择题
（本大题共 10 各小题，每小题 3 分，共 30 分）
1. 如图，在 ）．
的正方形网格中，
的顶点都在小正方形的顶点上，则
的值是（
四川省成都七中2018届九年级上学期期中考试数学试题(无答案)
初2018级九年级上期半期阶段性测试数 学 试 题命题人：A 卷：贺莉 B 卷：陈开文 审题人：罗丹梅说明：本试卷分为A 卷和B 卷，A 卷满分100分，B 卷满分50分，全卷总分150分，考试时间120分钟。
A 卷<共100分）一、选择题<每小题3分，共30分）1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么B cos 的值是< ） A 、54B 、53C 、43D 、342．方程022=-x x 的解是< ） A ．2=xB ．0=xC ．01=x ，22-=xD ．01=x ，22=x3． 已知如图，A 是反比例函数k y x=的图象上的一点，AB丄x 轴于点B ，且△ABO 的面积是3，则k 的值是A 、3B 、﹣3C 、6D 、﹣64． 与y=2(x －1>2+3形状相同的抛物线解读式为< ） A 、y=1+21x2 B 、y=(2x+1>2 C 、y = (x －1>2D 、y=2x25．如果双曲线k y x =过点<3，－2），那么下列的点在该双曲线上的是< ）A ．<3，0）B ．<0，6）C ．<－1.25，8）D ．<－1.5，4）7s8TiA2QWV 6．在△ ABC 中，已知∠C=90°，53sin =B ，则A cos 的值是( > A 、53B 、34C 、54D ．437．若关于x 的一元二次方程0122=--x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是< ）A ．1->kB ．1->k 且0≠kC ．1<kD ．1<k 且0≠k8．抛物线2y x bx c =++图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解读式为223y x x =--，则b 、c 的值为( >．7s8TiA2QWV A ．b ＝2，c ＝2 B ．b ＝2，c ＝0 C ．b ＝-2，c ＝-1 D ．b ＝-3，c ＝27s8TiA2QWV 9．某厂今年3月份的产值为50万元,5月份上升到72万元,这两个月的平均每月增长的百分率是多少?若设平均每月增长的百分率为x ，则列出的方程是< ）7s8TiA2QWV A ．)1(50x +72= B ． )1(50x ++2)1(50x +72= C ．722)1(50=⨯+x D ．2)1(50x +72=10．如图，一次函数11y x =--与反比例函数22y x =-点(21)(12)A B --，，，，则使12y y >的x 的取值范围是< ） ．A. 2-<x 或10<<xB. 2-<x 或1>xC. 02<<-x 或10<<xD. 02<<-x 或1>x二.填空题<每小题4分，共16分）11．若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则k = ，另一个根是______．12．若函数xm y 12+-=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是_____________.13.在ABC ∆中，若90C ∠=︒，31sin =A ，6=AB ，则ABC ∆的周长为 <保留根号）14．若二次函数26y x x c =-+的图象过A(-1，y1>、B(2，y2>、C(5 ，y3>三点，则y1、y2、y3大小关系是 . 7s8TiA2QWV 三、<15题每小题6分，满分12分；16题8分；共20分） 15.<1）计算：︒+︒-︒60tan 245cos 330sin <2）解方程01212=--x x 16.如图，某校教学楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2M 的影子CE ；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有13M 的距离<B 、F 、C 在一条直线上）7s8TiA2QWV <1）求教学楼AB 的高度；<2）学校要在A 、E 之间挂一些彩旗，请你求出A 、E 之间的距离<结果保留整数）．<参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）四、<每小题8分，共24分）17．如图，已知双曲线k=和直线y=mx+n交于点A和B，B点的坐标是yx；<2，－3），AC垂直y轴于点C，AC=32<1）求双曲线和直线的解读式；<2）求△AOB的面积。
2018-2019学年四川省成都七中实验学校九年级(上)月考数学试卷(9月份)
2018-2019学年四川省成都七中实验学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题（请在答题卡上将正确答案的序号涂黑，每小题3分，共30分）1．（3分）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）若a＞b，则下列式子正确的是（）A．﹣4a＞﹣4b B．a＜b C．4﹣a＞4﹣b D．a﹣4＞b﹣4 3．（3分）如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（）A．x＜﹣1或x≥3B．x≤﹣1或x＞3C．﹣1≤x＜3D．﹣1＜x≤3 4．（3分）若凸n边形的内角和为1260°，则n的值是（）A．9B．10C．11D．125．（3分）反比例函数的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限6．（3分）若ax2﹣5x+3＝0是一元二次方程，则不等式3a+6＞0的解集是（）A．a＞﹣2B．a＞﹣2且a≠0C．a D．a＜﹣27．（3分）方程x2﹣kx﹣1＝0根的情况是（）A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个相等的实数根C．方程没有实数根D．方程的根的情况与k的取值有关8．（3分）下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）A．2a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+a2B．2a（b+c）＝2ab+2acC．x3﹣2x2+x＝x（x﹣1）2D．（x﹣1）（y﹣1）＝xy﹣x﹣y+19．（3分）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论：①当x＜3时，y1＞0；②当x＜3时，y2＞0；③当x＞3时，y1＜y2中，正确的个数是（）A．0B．1C．2D．310．（3分）甲、乙两名工人加工某种零件，已知甲每天比乙多加工5个零件，甲加工80个零件和乙加工70个零件所用的天数相同．设甲每天加工x个零件，则根据题意列出的方程是（）A．B．C．D．二．填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）函数y＝的自变量x取值范围是12．（4分）x2﹣10x+21可以分解为（x+n）（x﹣7），则n＝．13．（4分）已知点P（2﹣a，﹣3a）在第四象限，那么a的取值范围是．14．（4分）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为．15．（4分）在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝4，AF＝6，平行四边形ABCD的周长为40，则平行四边形ABCD的面积为．三、解答题：（16题每小题18分，17、18每题6分，19题10分，20题10分）16．（18分）（1）解不等式组（2）分解因式（x﹣1）（x﹣3）﹣8（3）解方程：＝+17．（6分）当+|b+2|+c2＝0时，求ax2+bx+c＝0的解．18．（6分）先化简，后求值，其中x为0、1、2、4中的一个数．19．（10分）如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．（1）先将△ABC沿y轴正方向向上平移3个单位长度，再沿x轴负方向向左平移1个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，点C1坐标是；（2）将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°，得到△A2B1C2，画出△A2B1C2，并求出点C2的坐标是；（3）我们发现点C、C2关于某点中心对称，对称中心的坐标是．20．（10分）如图1，四边形ABCD是菱形，过点A作BC的垂线交CB的延长线于点E，过点C作AD的垂线交AD的延长线于点F．（1）说明△AEB≌△CFD的理由；（2）连接AC、BD，AC与DB交于点O（如图2），若BE＝1．①当DC＝2时，求FC的长度；②当CD是∠ACF的平分线时，求DB的长度与菱形ABCD的边长．一．填空题（每题4分，共20分）21．（4分）如果a+b＝8，ab＝15，则a2b+ab2的值为．22．（4分）关于x的方程的解是非正数，则m的取值范围是．23．（4分）如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG 交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB＝3：1，则AO：OH＝．24．（4分）已知＝k，则k＝．25．（4分）如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD＝45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为．二．解答题（26题8分，27题10分，28题12分，共20分）26．（8分）某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，通过一段时间摸索，该店主发现这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件．（1）将售价定为多少元的时候，使每天利润为700元吗？（2）当售价定为x元时，这天所获利润为y，请写出y与x的关系式．（3）根据（2）问中的关系式，求出这天所获利润y的最大值？27．（10分）如图1，在正方形ABCD中，BD是对角线，点E在BD上，△BEG是等腰直角三角形，且∠BEG＝90°，点F是DG的中点，连结EF与CF．（1）求证：EF＝CF；（2）求证：EF⊥CF；（3）如图2，若等腰直角三角形△BEG绕点B按顺时针旋转45°，其他条件不变，请判断△CEF的形状，并证明你的结论．28．（12分）在矩形OABC中，OA＝4，OC＝2，以点O为坐标原点，OA所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．（1）将矩形OABC绕点C逆时针旋转至矩形DEFC，如图1，DE经过点B，求旋转角的大小和点D，F的坐标；（2）将图1中矩形DEFC沿直线BC向左平移，如图2，平移速度是每秒1个单位长度．①经过几秒，直线EF经过点B；②设两矩形重叠部分的面积为S，运动时间为t，写出重叠部分面积S与时间t之间的函数关系式．2018-2019学年四川省成都七中实验学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）参考答案一、选择题（请在答题卡上将正确答案的序号涂黑，每小题3分，共30分）1．C；2．D；3．D；4．A；5．B；6．B；7．A；8．C；9．C；10．D；二．填空题（每小题4分，共20分）11．x≤4且x≠3；12．﹣3；13．0＜a＜2；14．；15．48；三、解答题：（16题每小题18分，17、18每题6分，19题10分，20题10分）16．；17．；18．；19．（﹣2，1）；（﹣5，0）；（﹣3，﹣1）；20．；一．填空题（每题4分，共20分）21．120；22．m≥；23．2：1；24．2或﹣1．；25．；二．解答题（26题8分，27题10分，28题12分，共20分）26．；27．；28．；。
四川成都七中实验学校18-19学度初三年中考试-数学
四川成都七中实验学校 18-19学度初三年中考试 - 数学一. 选择题 ( 每题 3 分，共 30 分) 1. 下边与2 是同类二次根式的是〔〕A. 3B. 12C. 8D.2 1 2. 一元二次方程 x 2 -x+2=0 的根的状况是〔〕。
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D.只有一个实数根3.方程 x 24 x 的解是〔〕A.x 4 B. x 1 2, x 2 2 C. x 0 D.x 1 0 , x 2 44. 假如对于 x 的一元二次方程 Kx 2－ 6x+9=0 有两个不相等的实数根， 那么 K 的取值范围是〔〕A.K ＜ 1B.K ≠ 0C.K ＜1 且 K ≠0D.K ＞15. 在图中，∠ 1=∠2，那么与以下各式不可以说明△ ABC ∽△ ADE 的是〔〕A. ∠D=∠ BB.∠E=∠CC. ADAE D.AD DE .ABACABBC6. 以下说法中，错误的选项是〔〕7. 在相像的两个三角形，此中一个三角形的三边长是 4.6.8 ，另一个三角形最短的一边长是 2，那么另一个三角形的周长是〔〕 A.4.5B.6C.9D. 以上答案都有可能8. 如图，在大小为 4×4 的正方形网格中，是相像三角形 ()A. ①和②B. ②和③C.①和③D.②和④9. 以下各式计算正确的选项是〔〕A.22 B .5225 C .626D. x 2 x210. 某商品经过两次连续降价，每件售价由本来的 55 元降到了 35 元。
设均匀每次降价的百分率为 x ，那么以下方程中正确的选项是〔〕 。
A.55(1+x) 2=35B.35(1+x) 2 =55 C.55(1 － x) 2=35D.35(1 －x) 2=55 二 . 填空题〔每题 2 分，共 20 分〕A1. 如图，请你增补一个你以为正确的条件， 使 ABC ∽ ACD ，这个条件是： .D2. 当x 时，二次根式2x1存心义。
成都七中实验学校()九年级上册期中试卷检测题
成都七中实验学校（）九年级上册期中试卷检测题一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.（1）求这两年藏书的年均增长率；（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？【答案】（1）这两年藏书的年均增长率是20%；（2）到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%． 【解析】 【分析】（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率； （2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几. 【详解】解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x ，()2517.2x +=，解得，10.2x =，2 2.2x =-（舍去）， 答：这两年藏书的年均增长率是20%；（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有()7.2520%0.44-⨯=（万册）， 到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：5 5.6%0.44100%10%7.2⨯+⨯=，答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题.2．某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况．小张：“该商品的进价为 24元/件．”成员甲：“当定价为 40元/件时，每天可售出 480件．”成员乙：“若单价每涨 1元，则每天少售出 20件；若单价每降 1元，则每天多售出 40件．” 根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利 7680元，应该怎样合理定价？ 【答案】要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件 【解析】【分析】设每件商品定价为x 元，则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是[]48020(40)x --件，每件商品的利润是(24)x -元，在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件，每件的利润是(24)x -元，从而可以得到答案．【详解】解：设每件商品定价为x 元．①当40x ≥时，[](24)48020(40)7680x x ---= ， 解得：1240,48;x x ==②当40x <时，[](24)48040(40)7680x x -+-=， 解得：1236,40x x ==（舍去），.答：要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件． 【点睛】本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用，用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键．3．如图，∠ AOB ＝90°，且点A ，B 分别在反比例函数1k y x =（x ＜0），2ky x=（x ＞0）的图象上，且k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根． （1）求k 1，k 2的值；（2）连接AB ，求tan ∠ OBA 的值．【答案】（1）k 1＝－2，k 2＝3． （2）tan∠OBA 6． 【解析】解：（1）∵k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根，∴解方程x 2－x －6＝0，得x 1＝3，x 2＝－2．结合图像可知：k 1＜0，k 2＞0，∴k 1＝－2，k 2＝3．（2）如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥y 轴于点D ．[来源:学&科&网Z&X&X&K]由（1）知，点A ，B 分别在反比例函数2y x =-（x ＜0），3y x=（x ＞0）的图象上， ∴S △ACO ＝12×2-＝1 ，S △ODB ＝12×3＝32．∵∠ AOB ＝90°， ∴∠ AOC ＋∠ BOD ＝90°，∵∠ AOC ＋∠ OAC ＝90°，∴∠ OAC ＝∠ BOD ． 又∵∠ACO ＝∠ODB ＝90°，∴△ACO ∽△ODB ．∴S S ACO ODB ∆∆＝2OA OB ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝23，∴OA OB 6OA OB 6∴在Rt △AOB 中，tan ∠ OBA ＝OA OB 6．4．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10． 【解析】 【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论． 【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭ 解得：52k = 当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0，解得：k＝32，∴b+c＝2k+1＝4．∵b+c＝4＝a，∴此时，边长为a，b，c的三条线段不能围成三角形．∴△ABC的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．5．如图，某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子．设园子中平行于墙面的篱笆长为ym（其中y≥4），另两边的篱笆长分别为xm．（1）求y关于x的函数表达式，并求x的取值范围．（2）若仅用现有的11m长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案．【答案】（1）y＝；1.5≤x≤3；（2）长为8m，宽为1.5m．【解析】【分析】（1）由矩形的面积公式可得出y关于x的函数表达式，结合4≤y≤8可求出x的取值范围；（2）由篱笆的长可得出y＝（11﹣2x）m，利用矩形的面积公式结合矩形园子的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】（1）∵矩形的面积为12m2，∴y＝．∵4≤y≤8，∴1.5≤x≤3．（2）∵篱笆长11m，∴y＝（11﹣2x）m．依题意，得：xy＝12，即x（11﹣2x）＝12，解得：x1＝1.5，x2＝4（舍去），∴y＝11﹣2x＝8．答：矩形园子的长为8m，宽为1.5m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）利用矩形的面积公式，找出y 关于x 的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）6．已知函数2266()22()x ax a x a y x ax a x a ⎧-+>=⎨-++≤⎩（a 为常数，此函数的图象为G ）（1）当a ＝1时，①直接写出图象G 对应的函数表达式 ②当y=-1时，求图象G 上对应的点的坐标（2）当x >a 时，图象G 与坐标轴有两个交点，求a 的取值范围（3）当图象G 上有三个点到x 轴的距离为1时，直接写出a 的取值范围【答案】（1）①2266(1)22(1)x x x y x x x ⎧-+>=⎨-++≤⎩，②(1,1),(31),(31)--+--；（2）0a <或2635a <<；（3）315a --<，1153a <<，113a <<-【解析】 【分析】（1）①将1a =代入函数解析式中即可求出结论；②分1x >和1x ≤两种情况，将y=-1分别代入求出x 的值即可；（2）根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可；（3）先求出266y x ax a =-+的对称轴为直线6321ax a -=-=⨯，顶点坐标为()23,96a a a -+，222y x ax a =-++的对称轴为直线()221ax a =-=⨯-，顶点坐标为()2,2a aa +，然后根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可． 【详解】（1）①1a =时，2266(1)22(1)x x x y x x x ⎧-+>=⎨-++≤⎩②当1x >时，2661x x -+=-2670x x -+=1233x x ==当1x ≤时，2221x x -++=-2230x x --=121,3x x =-=（舍）∴坐标为(1,1),(31),(31)---- （2）当0a <时266()y x ax a x a =-+>与y 轴交点坐标(0,6)a ，266y x ax a =-+对称轴为直线6321ax a -=-=⨯，过点(1,1) ∴x ＞a ＞3a ，此时图像G 与坐标轴有两个交点（与x 轴一个交点，与y 轴一个交点） 当0a ≥时，266()y x ax a x a =-+>的图像与y 轴无交点顶点坐标为()23,96a a a -+当x a =时，256y a a =-+＞0①，且2960a a -+<②时，此时图像G 与x 轴有两个交点将①的两边同时除以a ，解得65a <； 将②的两边同时除以a ，解得23a > ∴2635a << 即当2635a <<时，图像G 与坐标轴有两个交点， 综上，0a <或2635a <<（3）266y x ax a =-+的对称轴为直线6321ax a -=-=⨯，顶点坐标为()23,96a a a -+ 222y x ax a =-++的对称轴为直线()221a x a =-=⨯-，顶点坐标为()2,2a a a + ①当a ＜0时，()222y x ax a x a =-++≤中，当x=a 时，y 的最大值为22a a +由()210a +≥可得221a a +≥-，即此图象必有一个点到x 轴的距离为1而()266y x ax a x a =-+>必过（1,1），即此图象必有一个点到x 轴的距离为1，此时x＞3a ，y ＞225666a a a a a a ⋅+=-+-当2221561a a a a ⎧+<⎨-+<-⎩时，()222y x ax a x a =-++≤与x 轴只有一个交点，()266y x ax a x a =-+>与x 轴有两个交点解得：315a --<；当2221561a aa a⎧+>⎨-+>-⎩时，()222y x ax a x a=-++≤与x轴有两个交点，()266y x ax a x a=-+>与x轴有一个交点解得：1a-+<<，与前提条件a＜0不符，故舍去；②当a≥0时，()222y x ax a x a=-++≤中，当x=a时，y的最大值为22a a+，必过点（-1，-1），即此图象必有一个点到x轴的距离为1而()266y x ax a x a=-+>，此时当x=3a时，y的最小值为296a a-+，由()2310a--≤可得2961a a-+≤，即此图象必有一个点到x轴的距离为1当222221561961961a aa aa aa a⎧+<⎪-+>⎪⎨-+>-⎪⎪-+≠⎩时，()222y x ax a x a=-++≤与x轴只有一个交点，()266y x ax a x a=-+>与x轴有两个交点解得：115a<<-+且13a≠；当222221561961961a aa aa aa a⎧+<⎪-+<⎪⎨-+<-⎪⎪-+≠⎩时，()222y x ax a x a=-++≤与x轴只有一个交点，()266y x ax a x a=-+>与x轴有两个交点此不等式无解，故舍去；当222221561961961a aa aa aa a⎧+>⎪-+<⎪⎨-+>-⎪⎪-+≠⎩时，()222y x ax a x a=-++≤与x轴有两个交点，()266y x ax a x a=-+>与x轴有一个交点此不等式无解，故舍去；综上：315a--<或1153a<<或113a<<-【点睛】此题考查的是二次函数的性质和分段函数的应用，此题难度较大，掌握二次函数的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．7．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =+-的图象与x 轴交于点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线22y ax bx =+-上的任意一点，过点P 作x 轴的垂线PD ，直线PD交直线AC 于点D ．①是否存在点P ，使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的45？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．②点Q 是坐标平面内的任意一点，若以O ，C ，Q ，D 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q 的坐标． 【答案】(1)213222y x x =+- (2)①存在，点P 的坐标为(22,12)-+-，(222,12)--+，(2,3)--②1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，3452555Q ⎛- ⎝⎭，4452555Q ⎛- ⎝⎭【解析】 【分析】(1)将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中求解即可； (2)①先求出△PAC 的面积为4，再求出直线AC 的解析式为122y x =--．设点P 的横坐标为(t ,213222t t +-)，利用21442∆∆∆=-=⋅=+=PAC PDC PDA S S S OA PD t t 即可求解； ②先设出D 点坐标，然后再按对角线分成三种情况讨论即可求解． 【详解】解：(1)由题意得,将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中：1642020a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴此抛物线的解析式为213222y x x =+-， 故答案为213222y x x =+-． (2)①存在点P ，使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的45．理由如下： 作出如下所示示意图：∵点(4,0)A -，(1,0)B ， ∴4OA =，5AB =， 令0x =，则2y =-， ∴(0,2)C -，∴2OC =， ∴1152522ABC S AB OC ∆=⋅=⨯⨯=， ∴445545PAC ABC S S ∆∆==⨯=， 设直线AC 的解析式为y mx n =+，则有402m n n -+=⎧⎨=-⎩，解得：122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为122y x =--．设点P 的横坐标为t ，则其纵坐标为213222t t +-， 即213,222P t t t ⎫⎛+- ⎪⎝⎭． ∵PD x ⊥轴，则点D 的坐标为1,22t t ⎫⎛-- ⎪⎝⎭． ∴2213112222222PD t t t t t ⎫⎛=+----=+ ⎪⎝⎭． ∵22111424222PAC PDC PDA S S S OA PD t t t t ∆∆∆=-=⋅=⨯⨯+=+． ∴244t t +=，即2440t t +-=或2440t t ++=， 解得：1222t =-+，2222t =--，32t =-．∴点P 的坐标为(222,12)-+-，(222,12)--+，(2,3)--， 故答案为：(222,12)-+-或(222,12)--+或(2,3)--． ②分类讨论：情况一：当OC 为菱形的对角线时，此时DO=DC ，即D 点在线段OC 的垂直平分线， ∴D 点坐标(-2,-1)，将△OCD 沿y 轴翻折，此时四边形ODCQ 为菱形，故此时Q 点坐标为(2,-1)，如下图一所示，情况二：当OQ 为对角线时，DO=DQ ，如下图二所示，DQ=OC=OD=2，设D 点坐标1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭x x ，则EO=-x ，DE=122x +，在Rt △EDO 中，由勾股定理可知：EO²+ED²=DO²， 故221(2)42++=x x ，解得80(),5舍==-x x ，此时Q 点坐标为816,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，情况三：当OD 为对角线时，OC=OQ=2，如下图三所示：设D 点坐标1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭m m ，则EO=|m|，DE=122m +，QE=2-(122m +)=12m ， 在Rt △QDO 中，由勾股定理可知：QE²+EO²=QO²， 故221()()42+=m m ，解得124545,==-m m ，此时Q 点坐标为4525,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或4525,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 综上所述，Q 点的坐标为1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525,55Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭，44525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭．故答案为1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭，44525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积问题，菱形的存在性问题等，属于综合题，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．8．已知点P(2，﹣3)在抛物线L ：y ＝ax 2﹣2ax+a+k （a ，k 均为常数，且a≠0）上，L 交y 轴于点C ，连接CP ．（1）用a 表示k ，并求L 的对称轴及L 与y 轴的交点坐标； （2）当L 经过(3，3)时，求此时L 的表达式及其顶点坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a ＜0时，若L 在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a 的取值范围；（4）点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是L 上的两点，若t≤x 1≤t+1，当x 2≥3时，均有y 1≥y 2，直接写出t 的取值范围．【答案】（1）k=-3-a ；对称轴x ＝1；y 轴交点(0，-3)；（2）2y=2x -4x-3，顶点坐标(1，-5)；（3）-5≤a ＜-4；（4）-1≤t ≤2． 【解析】 【分析】（1）将点P(2，-3)代入抛物线上，求得k 用a 表示的关系式；抛物线L 的对称轴为直线2ax==12a--，并求得抛物线与y 轴交点； （2）将点(3，3)代入抛物线的解析式，且k=-3-a ，解得a=2，k=-5，即可求得抛物线解析式与顶点坐标；（3）抛物线L 顶点坐标(1，-a-3)，点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1，可得1＜-a-3≤2，即可求得a 的取值范围；（4）分类讨论取a ＞0与a ＜0的情况进行讨论，找出1x 的取值范围，即可求出t 的取值范围． 【详解】解：（1）∵将点P(2，-3)代入抛物线L ：2y=ax -2ax+a+k ，∴-3=4a 4a a+k=a+k -+ ∴k=-3-a ；抛物线L 的对称轴为直线-2ax=-=12a，即x ＝1； 将x=0代入抛物线可得：y=a+k=a+(-3-a)=-3，故与y 轴交点坐标为(0，-3)；（2）∵L 经过点(3，3)，将该点代入解析式中， ∴9a-6a+a+k=3，且由（1）可得k=-3-a ， ∴4a+k=3a-3=3，解得a=2，k=-5，∴L 的表达式为2y=2x -4x-3；将其表示为顶点式：2y=2(x-1)-5， ∴顶点坐标为(1，-5)；（3）解析式L 的顶点坐标(1，-a-3)，∵在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1， ∴1＜-a-3≤2， ∴-5≤a ＜-4；（4）①当a ＜0时，∵2x 3≥，为保证12y y ≥，且抛物线L 的对称轴为x=1， ∴就要保证1x 的取值范围要在[-1,3]上， 即t ≥-1且t+1≤3，解得-1≤t ≤2；②当a ＞0时，抛物线开口向上，t ≥3或t+1≤-1，解得：t ≥3或t ≤-2，但会有不符合题意的点存在，故舍去，综上所述：-1≤t≤2．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．9．如图，在平面直角坐标系x O y中，抛物线y = ax2+ bx + c经过A、B、C三点，已知点A （-3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；（3）在直线x = -2上是否存在点M，使得∠MAC = 2∠MCA，若存在，求出M点坐标．若不存在，说明理由．【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）点（-32，154），△PDE的周长最大；（3）点M（-2，3）或（-2，3【解析】【分析】（1）将A、B、C三点代入，利用待定系数法求解析式；（2）根据坐标发现，△AOB是等腰直角三角形，故只需使得PD越大，则△PDE的周长越大.联立直线AB与抛物线的解析式可得交点P坐标；（3）作点A关于直线x=-2的对称点D，利用∠MAC = 2∠MCA可推导得MD=CD，进而求得ME的长度，从而得出M坐标【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（0，3），C（1，0），∴9303a b cca b c-+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以，抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；（2）∵A（-3，0），B（0，3），∴OA=OB=3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°，∵PF⊥x轴，∴∠AEF=90°-45°=45°，又∵PD ⊥AB ，∴△PDE 是等腰直角三角形，∴PD 越大，△PDE 的周长越大，易得直线AB 的解析式为y=x+3， 设与AB 平行的直线解析式为y=x+m ，联立223y x m y x x =+⎧⎨=--+⎩，消掉y 得，x 2+3x+m-3=0， 当△=9-4（m-3）=0，即m=214时，直线与抛物线只有一个交点，PD 最长， 此时x=-32，y=154，∴点（-32，154），△PDE 的周长最大；（3）设直线x=-2与x 轴交于点E ，作点A 关于直线x=-2的对称点D ，则D （-1，0），连接MA ，MD ，MC ．∴MA=MD ，∠MAC=∠MDA=2∠MCA ， ∴∠CMD=∠DCM∴MD=CD=2 ， ∴ME=3 ∴点M （-2，3）或（-2，-3）． 【点睛】本题是动点和最值的考查，在解决动点问题时，寻找出不变量来分析是解题关键，最值问题，通常利用对称来简化分析10．如图，直线3yx与x 轴、y 轴分别交于点A ，C ，经过A ，C 两点的抛物线2y ax bx c =++与x 轴的负半轴的另一交点为B ，且tan 3CBO ∠=（1）求该抛物线的解析式及抛物线顶点D 的坐标；（2）点P 是射线BD 上一点，问是否存在以点P ，A ，B 为顶点的三角形，与ABC 相似，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）243y x x =++，顶点(2,1)D --；（2）存在，52,33P ⎛⎫--⎪⎝⎭或(4,3)-- 【解析】 【分析】（1）利用直线解析式求出点A 、C 的坐标，从而得到OA 、OC ，再根据tan ∠CBO=3求出OB ，从而得到点B 的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，整理成顶点式形式，然后写出点D 的坐标；（2）根据点A 、B 的坐标求出AB ，判断出△AOC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AC ，∠BAC=45°，再根据点B 、D 的坐标求出∠ABD=45°，然后分①AB 和BP 是对应边时，△ABC 和△BPA 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可；②AB 和BA 是对应边时，△ABC 和△BAP 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可． 【详解】解：（1）令y=0，则x+3=0， 解得x=-3， 令x=0，则y=3，∴点A （-3，0），C （0，3）， ∴OA=OC=3， ∵tan ∠CBO=3OCOB=， ∴OB=1， ∴点B （-1，0），把点A 、B 、C 的坐标代入抛物线解析式得，93003a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：143a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴该抛物线的解析式为：243y x x =++， ∵y=x 2+4x+3=（x+2）2-1， ∴顶点(2,1)D --；（2）∵A （-3，0），B （-1，0）， ∴AB=-1-（-3）=2， ∵OA=OC ，∠AOC=90°， ∴△AOC 是等腰直角三角形， ∴，∠BAC=45°， ∵B （-1，0），D （-2，-1）， ∴∠ABD=45°，①AB 和BP 是对应边时，△ABC ∽△BPA ，∴AB ACBP BA=，即2322BP=，解得BP=223，过点P作PE⊥x轴于E，则BE=PE=23×22=23，∴OE=1+23=53，∴点P的坐标为（-53，-23）；②AB和BA是对应边时，△ABC∽△BAP，∴AB ACBA BP=，即2322BP =，解得BP=32过点P作PE⊥x轴于E，则BE=PE=322=3，∴OE=1+3=4，∴点P的坐标为（-4，-3）；综合上述，当52,33P⎛⎫--⎪⎝⎭或(4,3)--时，以点P，A，B为顶点的三角形与ABC∆相似；【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了直线与坐标轴交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）要分情况讨论．三、初三数学 旋转易错题压轴题（难）11．已知：如图①，在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AE BD ==⊥，垂足是E .点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF ．（1）求AF 和BE 的长；（2）若将ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度)．当点F 分别平移到线段AB AD 、上时，直接写出相应的m 的值． （3）如图②，将ABF 绕点B 顺时针旋转一个角1(080)a a ︒<<︒，记旋转中ABF 为''A BF ，在旋转过程中，设''A F 所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ．是否存在这样的P Q 、两点，使DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）129,55AF BF ==；（2）95m =或165m =；（3）存在4组符合条件的点P 、点Q ，使DPQ 为等腰三角形； DQ 的长度分别为2或25891055或35105 【解析】 【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；（2）依题意画出图形，如图①-1所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m 的值；（3）在旋转过程中，等腰△DPQ 有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可． 【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠BAD=90°，在Rt △ABD 中，AB=3，AD=4， 由勾股定理得：2222345AB AD +=+=，∵S△ABD12=BD•AE=12AB•AD，∴AE=AB AD3412 BD55⋅⨯==，∵点F是点E关于AB的对称点，∴AF=AE125=，BF=BE，∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，AB=3，AE125 =，由勾股定理得：BE2222129355 AB AE⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭；（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如图①-1所示：由对称点性质可知，∠1=∠2．BF=BE95 =，由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′95 =，①当点F′落在AB上时，∵AB∥A′B′，∴∠3=∠4，根据平移的性质知：∠1=∠4，∴∠3=∠2，∴BB′=B′F′95=，即95m=；②当点F′落在AD上时，∵AB∥A′B′，AB⊥AD，∴∠6=∠2，A′B′⊥AD，∵∠1=∠2，∠5=∠1，∴∠5=∠6，又知A′B′⊥AD，∴△B′F′D为等腰三角形，∴B′D=B′F′95 =，∴BB′=BD-B′D=5-91655=，即m165=；（3）存在．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°，∴∠2=∠BAE，∵点F是点E关于AB的对称点，∴∠1=∠BAE，∴∠1=∠2，在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：①如图③-1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，则∠Q=∠DPQ，∴∠2=∠Q+∠DPQ=2∠Q，∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，∴∠3=∠Q，∴A′Q=A′B=3，∴F′Q=F′A′+A′Q=1227355+=，在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=2222927910 BF F Q555⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，∴DQ=BQ-BD=9105 5-；②如图③-2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，则∠2=∠P，∵∠1=∠2，∴∠1=∠P，∴BA′∥PD，则此时点A′落在BC边上．∵∠3=∠2，∴∠3=∠1，∴BQ=A′Q，∴F′Q=F′A′-A′Q=125-BQ，在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2，即：222 91255BQ BQ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：158 BQ=，∴DQ= BD-BQ=5-1525 88=；③如图③-3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，则∠3=∠4．∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，∴∠4=90°-12∠2．∵∠1=∠2，∴∠4=90°-12∠1，∴∠A′QB=∠4=90°-12∠1，∴∠A′QB=∠A′BQ，∴A′Q=A′B=3，∴F′Q=A′Q-A′F′=3-123 55=，在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=222293310 BF F Q55⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，∴DQ=BQ-BD=3105-；④如图④-4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD，则∠2=∠3．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，∴∠1=∠4，∴BQ=BA′=3，∴DQ=BD-BQ=5-3=2．综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形，DQ的长度分别为：2或25891055或35105【点睛】本题是四边形综合题目，主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点；第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论．12．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2y ax bx c =++的顶点是A(1，3)，将OA 绕点O 顺时针旋转90︒后得到OB ，点B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的对称轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）P 是线段AC 上一动点，且不与点A ，C 重合，过点P 作平行于x 轴的直线，与OAB ∆的边分别交于M ，N 两点，将AMN ∆以直线MN 为对称轴翻折，得到A MN '∆． 设点P 的纵坐标为m ．①当A MN '∆在OAB ∆内部时，求m 的取值范围；②是否存在点P ，使'56A MN OAB S S ∆'∆=,若存在，求出满足m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】()21y x 22x =-++；（2）①433m <<；②存在，满足m 的值为619-或6393-． 【解析】【分析】（1）作AD ⊥y 轴于点D ，作BE ⊥x 轴于点E ，然后证明△AOD ≌△BOE ，则AD=BE ，OD=OE ，即可得到点B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；（2）①由点P 为线段AC 上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点P 与点A 重合时；点P 与点C 重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案；②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点M 在线段OA 上，点N 在AB 上时；当点M 在线段OB 上，点N 在AB 上时；先求出直线OA 和直线AB 的解析式，然后利用m 的式子表示出两个三角形的面积，根据等量关系列出方程，解方程即可求出m 的值．【详解】解：（1）如图：作AD ⊥y 轴于点D ，作BE ⊥x 轴于点E ，∴∠ADO=∠BEO=90°，∵将OA 绕点O 逆时针旋转90︒后得到OB ，∴OA=OB ，∠AOB=90°，∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°，∴∠AOD=∠BOE ，∴△AOD ≌△BOE ，∴AD=BE ，OD=OE ，∵顶点A 为（1，3），∴AD=BE=1，OD=OE=3，∴点B 的坐标为（3，1-），设抛物线的解析式为2(1)3=-+y a x ，把点B 代入，得 2(31)31a -+=-，∴1a =-，∴抛物线的解析式为2(1)3y x =--+，即222y x x =-++；（2）①∵P 是线段AC 上一动点，∴3m <，∵当A MN '∆在OAB ∆内部时，当点'A 恰好与点C 重合时，如图：∵点B 为（3，1-）， ∴直线OB 的解析式为13y x =-， 令1x =，则13y =-， ∴点C 的坐标为（1，13-），∴AC=1103()33--=， ∵P 为AC 的中点，∴AP=1105233⨯=， ∴54333m =-=， ∴m 的取值范围是433m <<； ②当点M 在线段OA 上，点N 在AB 上时，如图：∵点P 在线段AC 上，则点P 为（1，m ），∵点'A 与点A 关于MN 对称，则点'A 的坐标为（1，2m -3）， ∴'3A P m =-，18'(23)233A C m m =-+=-， 设直接OA 为y ax =，直线AB 为y kx b =+，分别把点A ，点B 代入计算，得直接OA 为3y x =；直线AB 为25y x =-+，令y m =，则点M 的横坐标为3m ，点N 的横坐标为52m --， ∴5552326m m MN m -=-=--； ∵2'11555515'()(3)22261224A MN S MN A P m m m m ∆=•=•-•-=-+；'138'3(2)34223OA B S A C m m ∆=••=•-=-； 又∵'56A MN OA B S S ∆'∆=， ∴255155(34)12246m m m -+=⨯-， 解得：619m =-或619m =+（舍去）；当点M 在边OB 上，点N 在边AB 上时，如图：把y m =代入13y x =-，则3x m ， ∴5553222m MN m m -=+=+-，18'(23)233A C m m =---=-， ∴2'11555515'()(3)2222424A MN S MN A P m m m m ∆=•=•+•-=-++， '138'3(2)43223OA B S A C m m ∆=••=•-=-， ∵'56A MN OA B S S ∆'∆=， ∴255155(43)4246m m m -++=⨯-， 解得：639m -=或639m +=（舍去）； 综合上述，m 的值为：619m =-6393m -=． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质、三角形的面积公式等，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确得到点P 的位置．注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题．13．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 、Q 分别是边AB 、BC 上的两个动点（与点A 、B 、C 不重合），且始终保持BP BQ =，AQ QE ⊥，QE 交正方形外角平分线CE 于点E ，AE 交CD 于点F ，连结PQ ．（1）求证：APQ QCE ∆∆≌；（2）证明：DF BQ QF +=；（3）设BQ x =，当x 为何值时，//QF CE ，并求出此时AQF ∆的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当222x =-+//QF CE ；AQF S ∆442=-+．【解析】【分析】（1）判断出△PBQ 是等腰直角三角形，然后求出∠APQ=∠QCE=135°，再根据同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE ，再求出AP=CQ ，然后利用“角边角”证明即可；（2）根据全等三角形对应边相等可得AQ=EQ ，判断出△AQE 是等腰直角三角形，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得F AB '∆，再证明()F AQ FAQ SAS '∆∆≌；（3）连结AC ，设QF CE ，推出QCF ∆是等腰直角三角形°，再证明()ABQ ADF SAS ∆∆≌，根据全等三角形对应边相等可得QF=GF ，AQ AF =，22.5QAB DAF ∠=∠=︒，分别用x 表示出DF 、CF 、QF ，然后列出方程求出x ，再求出△AQF 的面积．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC =，90B BCD DCM ∠=∠=∠=︒，∵BP BQ =，∴PBQ ∆是等腰直角三角形，AP QC =，∴45BPQ ∠=︒，∴135APQ ∠=︒∵CE 平分DCM ∠，∴45DCE ECM ∠=∠=︒，∴135QCE ∠=︒，∴135APQ QCE ∠=∠=︒，∵AQ QE ⊥，∴90AQB CQE ∠+∠=︒．∵90AQB BAQ ∠+∠=︒．∴BAQ CQE ∠=∠．∴()APQ QCE ASA ∆≌．（2）由（1）知APQ QCE ∆∆≌．∴QA QE =．∵90AQE ∠=︒，∴AQE ∆是等腰直角三角形，∴45QAE ∠=︒．∴45DAF QAB ∠+∠=︒，如图4，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得F AB '∆，其中点D 与点B 重合，且点F '在直线BQ 上，则45F AQ '∠=︒，F A FA '=，AQ AQ =，∴()F AQ FAQ SAS '∆∆≌．∴QF QF BQ DF '==+．（3）连结AC ，若QF CE ，则45FQC ECM ∠=∠=︒．∴QCF ∆是等腰直角三角形，∴2CF CQ x ==-，∴DF BQ x ==．∵AB AD =，90B D ∠=∠=︒，∴()ABQ ADF SAS ∆∆≌．∴AQ AF =，22.5QAB DAF ∠=∠=︒，∴AC 垂直平分QF ，∴22.5QAC FAC QAB FAD ∠=∠=∠=∠=︒，2FQ QN =，∴22FQ BQ x ==．在Rt QCF ∆中，根据勾股定理，得222(2)(2)(2)x x x -+-=．解这个方程，得1222x =-+， 2222x =--（舍去）．当222x =-+时，QF CE ．此时，QCF QEF S S ∆∆=，∴212QCF AQF QEF AQF AQE S S S S S AQ ∆∆∆∆∆+=+==， ∴()2222111222AQF AQE QCF S S S AQ CQ AQ CQ ∆∆∆=-=-=- ()222112(2)4244222x x x x ⎡⎤=+--=⋅==-+⎣⎦ 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于（3）作辅助线构造成全等三角形并利用勾股定理列出方程．14．如图1，正方形ABCD 与正方形AEFG 的边AB 、AE （AB ＜AE ）在一条直线上，正方形AEFG 以点A 为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为. 在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，其它顶点均不重合，连接BE 、DG.（1）当正方形AEFG 旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG ；（2）当点C 在直线BE 上时，连接FC ，直接写出∠FCD 的度数；（3）如图3，如果=45°，AB =2，AE=，求点G 到BE 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）45°或135°；（3）.【解析】 试题分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD ，AE=AG ，∠BAD=∠EAG=90°，再求出∠BAE=∠DAG ，然后利用“边角边”证明△ABE 和△ADG 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可.（2）当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，据此求解即可.（3）根据和求解即可.试题解析：（1）如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°.∵四边形AEFG是正方形，∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°.∴∠BAE=∠DAG..∴△ABE≌△ADG（SAS）.∴BE=DG..（2）如图，当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，此时∠FCD 的度数为45°或135°.（3）如图3，连接GB、GE.由已知α=45°，可知∠BAE=45°.又∵GE为正方形AEFG的对角线，∴∠AEG=45°.∴AB∥GE.∵，∴GE =8.∴.过点B作BH⊥AE于点H.∵AB=2，∴. ∴..设点G到BE的距离为h.∴.∴.∴点G到BE的距离为.考点：1.旋转的性质；2.正方形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.平行的判定和性质；5.勾股定理；6.分类思想的应用．15．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，点D 是射线BC 上的动点，将AD 绕点A 逆时针方向旋转60得到AE ，连接DE ．(1).如图，猜想ADE ∆是_______三角形；（直接写出结果）(2).如图，猜想线段CA 、CE 、CD 之间的数量关系，并证明你的结论；(3).①当BD=___________时，30DEC ∠=；（直接写出结果）②点D 在运动过程中，DEC ∆的周长是否存在最小值？若存在．请直接写出DEC ∆周长的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）等边三角形；（2）AC CD CE +=，证明见解析；（3）①BD 为2或8时，30DEC ∠=；②最小值为423+【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到,60AD AE DAE =∠=，根据等边三角形的判定定理解答； （2）证明ABD ACE ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到BD CE =，结合图形计算即可； （3）①分点D 在线段BC 上和点D 在线段BC 的延长线上两种情况，根据直角三角形的性质解答；②根据ABD ACE ∆≅∆得到CE BD =，根据垂线段最短解答．【详解】解：（1）由旋转变换的性质可知，,60AD AE DAE =∠=，ADE ∴∆是等边三角形，故答案为等边三角形；（2）AC CD CE +=，证明：由旋转的性质可知，60,DAE AD AE ∠==，ABC ∆是等边三角形60AB AC BC BAC ∴∠︒＝＝，＝，60BAC DAE ∴∠∠︒＝＝，BAC DAC DAE DAC ∴∠+∠∠+∠＝，即BAD CAE ∠∠＝，在ABD ∆和ACE ∆中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ABD ACE SAS ∴∆∆≌（）BD CE ∴=，CE BD CB CD CA CD ∴++＝＝＝；（3）①BD 为2或8时，30DEC ∠=，当点D 在线段BC 上时，3060DEC AED ∠︒∠︒＝，＝，90AEC ∴∠︒＝，ABD ACE ∆∆≌，9060ADB AEC B ∴∠∠︒∠︒＝＝，又＝，30BAD ∴∠︒＝，122BD AB ∴＝＝， 当点D 在线段BC 的延长线上时，3060DEC AED ∠︒∠︒＝，＝，30AEC ∴∠︒＝，ABD ACE ∆∆≌，3060ADB AEC B ∴∠∠︒∠︒＝＝，又＝，90BAD ∴∠︒＝，28BD AB ∴＝＝，BD ∴为2或8时，30DEC ∠︒＝；②点D 在运动过程中，DEC ∆的周长存在最小值，最小值为4+理由如下：ABD ACE ∆∆≌，CE BD ∴＝，则DEC ∆的周长DE CE DC BD CD DE BC DE +++++＝＝＝，当CE 最小时，DEC ∆的周长最小，ADE ∆为等边三角形，DE AD ∴=， AD的最小值为DEC ∴∆的周长的最小值为4+【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．四、初三数学圆易错题压轴题（难）16．如图①、②、③是两个半径都等于2的⊙O1和⊙O2，由重合状态沿水平方向运动到互相外切过程中的三个位置，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，分别连结O1A、O1B、O2A、O2B和AB．(1)如图②，当∠AO1B=120°时，求两圆重叠部分图形的周长l；(2)设∠AO1B的度数为x，两圆重叠部分图形的周长为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)在(2)中，当重叠部分图形的周长时，则线段O2A所在的直线与⊙O1有何位置关系？请说明理由.除此之外，它们是否还有其它的位置关系？如果有，请直接写出其它位置关系时的x的取值范围.【答案】（1）83（2）（0≤x≤180）（3）O2A与⊙O1相切；当0≤x≤90和0≤x≤180时，线段O2A所在的直线与⊙O1相交【解析】试题分析：（1）解法一、依对称性得，∠AO2B=∠AO1B=120°,∴解法二、∵O1A=O1B=O2A=O2B∴AO1BO2是菱形∴∠AO2B=∠AO1B=120°∴l=2׈A=(2)∵由（1）知，菱形AO1BO2中∠AO2B=∠AO1B=x度,∴重叠图形的周长, 即（0≤x≤180）(3) 当时，线段O2A所在的直线与⊙O1相切！理由如下：∵，由（2）可知：，解之x=90度∴AO1B=90°,因此菱形AO1BO2是正方形，∴O1AO2=90°,即O2A⊥O1A,而O1A是⊙O1的半径，且A为半径之外端；∴O2A与⊙O1相切．还有如下位置关系：当0≤x≤90和0≤x≤180时，线段O2A所在的直线与⊙O1相交。
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2018-2019学年四川省成都七中初中学校九年级（上）期中数学
试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列几何体中，主视图是矩形的是（）
A．B．C．D．
2．（3分）下列各点中在反比例函数的图象上的点是（）
A．（﹣1，﹣2）B．（1，﹣2）C．（1，2）D．（2，1）
3．（3分）已知，那么＝（）
A．B．C．D．
4．（3分）方程（x﹣1）（x+2）＝0的根是（）
A．1，2B．3，﹣2C．0，﹣2D．1，﹣2
5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（）
A．（x+1）2＝6B．（x﹣1）2＝6C．（x+2）2＝9D．（x﹣2）2＝9 6．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根为x1，x2，则x1•x2为（）A．1B．2C．﹣3D．3
7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若，则＝（）
A．B．C．D．
8．（3分）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（）
A．4：9B．2：5C．2：3D．：
9．（3分）若点（﹣2，y1），（1，y2），（2，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则有（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1 10．（3分）在△ABC中，AB＝12，AC＝10，BC＝9，AD是BC边上的高．将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（）
A．9.5B．10.5C．11D．15.5
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．（4分）P是线段AB的黄金分割点，P A＞PB，已知AB＝2，则P A＝．12．（4分）在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是．
13．（4分）若＝＝≠0，且a+b﹣2c＝3，则a＝．
14．（4分）如图，在A时测得某树的影长为4米，B时又测得该树的影长为9米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为米．
三、解答题（共54分）
15．（12分）（1）计算：
（2）解方程：（x﹣1）2+3x﹣3＝0
16．（6分）已知关于x的方程3x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的一个根为﹣1，求方程的另一个根．
17．（8分）如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E （尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长．
18．（8分）某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进行问卷调查，发出问卷140份，每位学生的家长1份，每份问卷仅表达一种态度．将回收的问卷进行整理（假设回收的问卷都有效），并绘制了如下两幅不完整的统计图：学生家长对孩子使用手机的态度情况统计图
根据以上信息回答下列问题：
（1）回收的问卷数为份，“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为．（2）把条形统计图补充完整；
（3）为了正确引导家长，学校决定从初三某班表示严加干涉的3位家长（甲、乙、丙三位家长）中随机选2位进行深入访谈，请你利用树状图或列表的方法，求出甲、乙家长被同时选中的概率．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点C（0，2），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，a）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥y轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点N，若C，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点N的坐标．
20．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝4，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a．
（1）问题发现：①当a＝0时，＝．
②当a＝180°时，＝．
（2）拓展探究：如图2，试判断：当0°≤a＜90时，求的值．
（3）问题解决：当△EDC旋转至A，D，E三点在一条直线上线时，直接写出线段BD 的长．
四、填空题（每小题4分，共20分）
21．（4分）已知x2﹣2x﹣1＝0，代数式（x﹣1）2+9的值为．
22．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2＝0的两个不相等的实数根α、β满足+＝1，则m的值为．
23．（4分）如图，直线y＝﹣x+1与反比例函数y＝﹣交于点A、B，当反比例函数值大于一次函数值时，x的取值范围为．
24．（4分）已知Rt△ABC≌Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，∠A＝∠FDE，BC＝3，AB＝5，点D是边AB的中点，∠FDE的两边分别与AC交于点G、H．当△BDH与△ADG相似时，CH的长为．
25．（4分）如图，在等腰△ABC中，CA＝CB＝6，AB＝5，点D为线段AB上一点，AD＝2，∠EDF绕点D旋转，DE交边AC于点M，DF交边BC于点M，且满足∠EDF＝∠A，则DN+的最小值为．
五、解答题（共30分）
26．（8分）某超市销售一种商品，成本是每千克30元，规定每千克售价不低于成本，且不高于90元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，当售价每千克50元时，销售量v为80千克：当售价每千克60元时，销售量y为60千克．
（1）求y月x之间的函数表达式；
（2）设该商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）并求当售价为多少时，利润为1600元．
27．（10分）如图，在锐角△ABC中，∠B＝45°，AC＝5，BC＝7．
（1）求边AB的长；
（2）D为边AB上的一动点，将△BCD沿CD翻折，得到对应的△BCD，BC交边AB于点E；
i）当AC＝EC时，求DE的长；
ii）当B'D∥AC时，求AE和BD的长．
28．（12分）已知直线y＝﹣x+6与x轴，y轴分别相交于点A，B，将∠OBA对折，使点O的对应点E落在直线AB上，折痕交x轴于点C．
（1）求点C的坐标和直线BC的函数表达式；
（2）若已知x轴上有一点D（4，0），点M为直线AB上一点，点N为直线BC上一点，是否存在这样的点M、N，使得以点A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标：若不存在，说明理由；
（3）已知y轴上有点P（0，2），点Q为直线BC上一点，点K为直线y＝﹣x上一点，是否存在合适的点Q，K，使得PQ+KQ最小？若存在，求出PQ+KQ的最小值以及此时K点的坐标；若不存在，请说明理由．。