高数上——微分方程的基本概念
微分方程—微分方程的基本概念(高等数学课件)
2
把 2 、x的表达式代入方程后成为一个恒等式，
这说明： = 1 + 2 ,是微分方程的解，并且是通解.
课程小结
微分方程的定义
微分方程的阶
（常微分方程，偏
微分方程）
微分方程的解
（通解，特解，
定解条件）
= −0.2 2 + 20.
微分方程的阶，解
例1：验证函数 = 1 +
2
2 ,是微分方程 2
+ 2 = 0的解.
解：求出所给函数的导数
= −1 + 2 ,
2
2
2
=
−
−
2
1
其中 ，−1 ⋯ ，1 ， ()， 是关于的函数.
微分方程的阶，解
微分方程的阶：方程中所含有未知函数导数（或微分）的最高阶数.
一般的，n阶微分方程的形式：
, , ′ ， ⋯ () = 0, 或 () = , , ′ , ⋯ (−1) .
等式，那么函数 = 是微分方程的解.
例：
通解：
2
= −0.4
2
= 3,
=
3 2
2
3
+ ，
3
2
特解： = 2 + 2 .
= −0.2 2 + 1 + 2 ，
= −0.2 2 + 20.
微分方程的阶，解
通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意的常数的个数
等于该方程的阶数.
特解：当通解中各任意常数都取定值时所得的解.
高中数学知识点微分方程
高中数学知识点微分方程高中数学知识点——微分方程微分方程（Differential Equation）是高中数学中的一个重要内容，也是数学与自然科学交叉研究时最为常用的工具之一。
微分方程在电子工程、物理学、化学等领域有广泛的应用。
概念及基本要素微分方程指的是关于一个或多个未知函数的导数与该函数自身的表达式，一般形式为$F(y,y',y'',...,y^{(n)})=0$。
其中，$y$是未知函数，$y',y'',...,y^{(n)}$是它的各阶导数。
微分方程的解数就是函数$y$在特定条件下的解集。
微分方程的基本要素是：微分方程的阶数与次数。
微分方程的阶数指方程中最高导数的阶数；微分方程的次数指方程中最高导数的幂次。
常见微分方程一阶微分方程：${\rm d}y/{\rm d}x=f(x,y)$其中，$y$为未知函数，$x$为自变量，$f(x,y)$为已知函数。
它的解可以用分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等方法求出。
二阶微分方程：$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$其中，$p(x)$、$q(x)$、$f(x)$为已知函数，$y$为未知函数，它的解可以用齐次方程法和非齐次方程法求解。
齐次方程法是指将非齐次方程化为对应的齐次方程，而非齐次方程法是指先找到齐次方程的通解，再根据非齐次项的特殊形式，找到一个可以使齐次通解中包含非齐次项的特解。
高阶微分方程：可以用多种方法求解，如常系数高阶微分方程可以用特征方程法求解，非齐次线性方程可以用未定系数法和待定系数法求解，变系数非齐次线性方程可以用变换求解。
微分方程在自然科学中的应用微分方程在自然科学中的应用非常广泛，它的主要作用是将问题转化为一个数学问题，通过求解微分方程得到某些物理量的函数关系式。
以牛顿第二定律为例，如果一个物体受到的力为$F(t)$，质量为$m$，则它的加速度$a(t)$与受力之间的关系可以用微分方程来表示：$m{\rm d}^2x/{\rm d}t^2=F(t)$。
高等数学微分方程的基本概念教学ppt讲解
三、主要问题——求方程的解
微分方程的解:
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且 独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
独立的任意常数的个数=微分方程的阶数 含有几个任意常数的表达式，如果它们不能合并而使 得任意常数的个数减少，则称这表达式中的几个任意 常数相互独立．
由题意知 t = 0 时，
s 0, v ds 0 dt
(8)
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8
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
把(8)式分别代入(6)，(7)式，得
C1 = 0 , C2 = 0. 故(7)式为
s 1 gt 2
是该微分方程的特解.
第一节 微分方程的基本概念
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第六章 常微分方程
内容小结
第一节 微分方程的基本概念
本节基本概念： 微分方程； 微分方程的阶； 微分方程的解； 通解，初始条件； 特解； 初值问题； 积分曲线．
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
例如y = C1x + C2x + 1 与 y = Cx+1 (C1,C2，
C都是任意常数）所表示的函数族是相同的，
因此y = C1x + C2x + 1中的C1，C2是不独立的；
代入初始条件
高数第七章微分方程知识点
高数第七章微分方程知识点
高数第七章微分方程的知识点主要包括：
1. 微分方程的基本概念：微分方程是包含导数或微分的方程，一般形式为
f(x, y', ..., y^{(n)}) = 0。
微分方程的阶数是指微分方程中所含导数或微分的最高阶数。
微分方程的解是指使微分方程成立的函数，不含任意常数的解称为特解，若微分方程的解中所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等，称这个解为通解。
2. 高阶微分方程：高阶微分方程是阶数大于一的微分方程。
例如，二阶常系数齐次线性微分方程，形如 y'' + py' + q = 0 (p, q为常数)的方程。
3. 齐次方程：齐次方程是一种特殊的微分方程，可以通过变量代换化为另一种形式的一阶微分方程。
一阶齐次方程的形式为dydx=φ(yx)，或者可化为这种形式的方程。
4. 一阶线性微分方程：一阶线性微分方程是包含一个未知函数及其导数的一次幂的方程，形式为 dydx+P(x)y=Q(x)。
如果Q(x)=0，则方程为齐次的，反之为非齐次的。
以上内容仅供参考，建议查阅高数教材或咨询专业人士以获取更准确的信息。
微分方程基本概念介绍
微分方程基本概念介绍微分方程（Differential equation）是数学中研究函数与其导数（或称微商）之间的关系的方程。
它在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。
本文将就微分方程的基本概念进行介绍。
一、微分方程的定义微分方程是一个含有未知函数及其导数的方程。
一般形式为F(x, y, y', y'', ...) = 0，其中x是自变量，y是未知函数，y'、y''分别表示一阶、二阶导数。
二、微分方程的类型1.第一阶微分方程：形式为dy/dx = f(x)的微分方程，它包含一阶导数，最高阶数为1；2.第二阶微分方程：形式为d²y/dx² = f(x)的微分方程，它包含二阶导数，最高阶数为2；3.常系数微分方程：系数与自变量无关的微分方程，如dy/dx + ay = 0；4.线性微分方程：未知函数及其导数只有一次项且可相加，如y''+ p(x)y' + q(x)y = f(x)；5.非线性微分方程：未知函数及其导数有非线性项的微分方程，如y' = y²。
三、解微分方程的方法1.可分离变量法：将方程重写成形式dy/f(y) = g(x)dx，然后分别对x和y积分；2.齐次微分方程法：将微分方程转化为全微分形式dz = P(x, y)dx + Q(x, y)dy，其中P和Q为关于x和y的函数，然后求z的通解；3.一阶线性微分方程法：利用一阶线性微分方程的特性，找到形如y = u(x)v(x)的通解；4.常系数线性微分方程法：对于常系数微分方程，可通过特征方程求得特解；5.变量代换法：通过变量代换将微分方程转化为更简单的形式，再进行求解；6.数值解法：对于无法解析求得的微分方程，可以通过数值计算方法求得近似解。
四、微分方程的应用微分方程广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
它可用于描述动力学系统、电路网络、人口变化、物质传输等各类问题。
高数知识汇总之微分方程
第六章微分方程微分方程的基本概念微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的等式称为微分方程。
微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。
微分方程的通解：如果微分方程的解这中含有任意常数，且任意个不相关的常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。
微分方程的特解：在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解，称为特解。
初始条件：用于确定通解中的任意常数而得到特解的条件称为初始条件。
积分曲线：微分方程的特解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。
一阶微分方程的求解方法分离变量法可分离变量的微分方程：形如 )()(y g x f dxdy =的微分方程，称为可分离变量的微分方程。
特点：等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个是只含有x 的函数，另一个是只含有y 的函数． 解法：当0)(≠y g 时，把)()(y g x f dxdy =分离变量为)0)((,)()(≠=y g dx x f y g dy 对上式两边积分，得通解为 ()()dy f x dx Cg y =+⎰⎰（这里我们把积分常数C 明确写出来，而把()dy g y ⎰，⎰dx x f )(分别理解为)(1y g 和)(x f 的一个确定的原函数。
） 齐次方程和可化为齐次方程的一阶方程不考。
一阶线性微分方程一阶线性微分方程：如果一阶微分方程(,,)0F x y y '=可以写为()()y p x y q x '+=则称之为一阶线性微分方程，其中()p x 、()q x 为连续函数．当()0q x ≡时，此方程为()0dy p x y dx+=，称它为对应于非齐次线性方程的齐次线性微分方程；当()0q x ≡时，称为非齐次线性微分方程。
解法：用常数变易法可得其通解为：()()(())p x dx p x dx y e q x e dx c -⎰⎰=+⎰（注：其中每个积分，不再加任意常数C 。
高中数学微分方程的概念及相关题目解析
高中数学微分方程的概念及相关题目解析微分方程是数学中的一门重要分支，它是研究函数与其导数之间关系的数学工具。
在高中数学中，微分方程作为一种常见的题型，经常出现在考试中。
掌握微分方程的概念和解题方法对于高中学生来说至关重要。
本文将详细介绍微分方程的概念，并通过具体的题目解析，帮助读者更好地理解和掌握微分方程的相关知识。
一、微分方程的概念微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
一般来说，微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种。
常微分方程是指只涉及一个自变量的导数的方程，而偏微分方程则涉及多个自变量的导数。
常微分方程可以进一步分为一阶常微分方程和二阶常微分方程。
一阶常微分方程中，未知函数的导数最高阶为一阶；二阶常微分方程中，未知函数的导数最高阶为二阶。
二、一阶常微分方程的解析下面通过一个具体的题目来解析一阶常微分方程的解法。
例题：求解微分方程dy/dx = 2x解析：根据题目中的微分方程，我们可以得到dy = 2xdx。
将方程两边同时积分，得到∫dy = ∫2xdx。
对方程两边进行积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。
这个例题中，我们通过对方程两边同时积分，得到了一阶常微分方程的解。
通过这个解析过程，我们可以发现，一阶常微分方程的解法主要是通过对方程两边进行积分来求解的。
三、二阶常微分方程的解析下面通过一个具体的题目来解析二阶常微分方程的解法。
例题：求解微分方程d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = 0解析：这是一个二阶常微分方程，可以通过特征方程的方法来求解。
首先，我们设y = e^mx，其中m为待定常数。
将y代入微分方程中，得到m^2e^mx + 2me^mx + e^mx = 0。
将方程两边同时除以e^mx，得到m^2 + 2m + 1 = 0。
解这个二次方程，我们可以得到m = -1，-1。
因此，方程的通解为y = (C1 +C2x)e^(-x)，其中C1和C2为常数。
高中数学中的微分方程知识点总结
高中数学中的微分方程知识点总结微分方程是数学中的重要分支，也是应用数学中的一种重要工具。
在高中数学课程中，微分方程也是一个重要的知识点。
本文将对高中数学中的微分方程知识点进行总结。
1. 微分方程的基本概念微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
一般形式可以表示为：$$F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0$$，其中 $y, y', y'', ..., y^{(n)}$ 分别表示未知函数及其各阶导数。
2. 微分方程的阶数微分方程的阶数由最高导数的阶数决定。
如 $y'' + y' - 2y = 0$ 是一个二阶微分方程。
3. 微分方程的解微分方程的解是使得方程成立的函数。
解可以分为通解和特解两种类型。
- 通解：包含任意常数的解，可以表示为 $y = F(x, C_1, C_2, ...,C_n)$，其中 $C_1, C_2, ..., C_n$ 是任意常数。
- 特解：满足特定条件的解，没有任意常数。
4. 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程是指可以将原方程中的未知函数和自变量分离后，分别进行积分求解的微分方程。
一般形式可以表示为：$$\frac{dy}{dx} = g(x) \cdot f(y)$$，可通过分离变量，将方程化简为$$\frac{1}{f(y)} \cdot dy = g(x) \cdot dx$$，再对两边同时积分得到解。
5. 齐次线性微分方程齐次线性微分方程是指形如 $$\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$$ 的微分方程。
可以通过变量代换 $y = x \cdot v$，化简为可分离变量的形式求解。
6. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程是指形如 $$\frac{dy}{dx} + P(x) \cdot y =Q(x)$$ 的微分方程。
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y 2xdx 即 y x2 C, 求得C 1,
所求曲线方程为 y x2 1 .
例2 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒2,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？
四、小结
本节基本概念： 微分方程； 微分方程的阶； 微分方程的解； 通解; 初始条件； 特解； 初值问题； 积分曲线．
(t 2 x)dt xdx 0,
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 导数(或微分)之间的关系式.
分类1: 常微分方程, 偏微分方程.
y xy, y 2 y 3 y e x , (t 2 x)dt xdx 0,
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之.
对于未知函数y及其导数都是一次的
分类3: 线性与非线性微分方程.
y P( x) y Q( x), x( y)2 2 yy x 0; y xy, y 2 y 3 y e x ,
分类4: 单个微分方程与微分方程组.
dy dx
3
y2z, dzcoskt ,
d2 dt
x
2
k
2C1
cos
kt
k
2C2
sin
kt ,
将
d2 dt
x
2
和x的表达式代入原方程
,
k 2(C1 cos kt C2 sin kt) k 2(C1 cos kt C2 sin kt) 0.
故 x C1 cos kt C2 sin kt 是原方程的解.
C2 1.
y(0) 2, y C1 cos x C2 sin x
C1 2.
所求特解为 y 2sin x cos x.
请你动手做
验证：y sin 2 x, y e2x , y 3e2x 哪些是微分方程 y 2 y 0 的解？ 哪个是满足初始条件 y(0) 1 的特解？
x A, t0
C1 A, C2 0.
dx 0,
dt t0
dx
( dt
kC1 sin kt kC2 cos kt )
所求特解为 x Acos kt.
例4 验证：函数 y C1 sin x C2 cos x是微分方 程 y+y=0 的通解，求满足初始条件 y(0) 1, y(0) 2 的特解
yx x0
y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
例 3 验证 :函数 x C1 cos kt C 2 sin kt 是微分
方程d 2x dt 2
k2x
0的解.
并求满足初始条件
x
t0
A,
dx dt
t0
0的特解.
(k 0)
解
dx dt
kC1
sin
kt
kC2
解 设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s s(t)
d 2s dt 2
0.4
t 0时, s 0, v ds 20,
dt
v
ds dt
0.4t
C1
s 0.2t 2 C1t C2
代入条件
C1 20, C2 0
故 v ds 0.4t 20, dt
初始条件: 用来确定任意常数的条件.
y x x0
y0
y x x0
y0 , y x x0
yx0
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
一阶:
y f (x, y)
y
x
x0
y0
过定点的积分曲线;
二阶:
y f ( x, y, y)
y
x
x0
y0 ,
的解
微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有相互独立的任意常 数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
例 y y,
通解 y Ce x;
y y 0, 通解 y C1 sin x C2 cos x;
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.
解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族.
第一节 微分方程的基本概念
一、问题的提出 二、微分方程的定义 三、主要问题——求方程的解 四、小结 思考题
一、问题的提出
例 1 一 曲 线 通 过 点 (1 ,2 ),且 在 该 曲 线 上 任 一 点
M (x ,y)处 的 切 线 的 斜 率 为 2x,求 这 曲 线 的 方 程 . 解 设所求曲线为 y y( x)
分类2:按微分方程的阶数分类
一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y); 高阶(n)微分方程 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
(t 2 x)dt xdx 0, y xy, y 2 y 3 y e x ,
s 0.2t 2 20t,
开始制动到列车完全停住共需 t 20 50(秒), 0.4
列车在这段时间内行驶了
s 0.2 502 20 50 500(米).
二、微分方程的定义
微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.
例 y xy,
y 2 y 3 y e x ,
2y
z,
dx
三、主要问题-----求方程的解
微分方程的解: 设函数y ( x)在区间 I 上存在 n 阶连续导数且有恒等式
F ( x, ( x),( x),, (n)( x)) 0.
则称 y ( x) 为方程 F x, y, y, ... y(n) 0 在区间I上
解 y C1 cos x C2 sin x, y C1 sin x C2 cos x,
将y和y的表达式代入原方程,
C1 sin x C2 cos x+C1 sin x C2 cos x 0
y C1 sin x C2 cos x 是原方程的解.
y(0) 1,